Aula Invariantes Adiabáticos

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Aula 6

Nesta aula, iremos iniciar o estudo sobre os invariantes adiabáticos, finalizando o capítulo 2.

Também iniciaremos o estudo do capítulo 3, onde discutiremos algumas propriedades magnéticas e elétricas do plasma como fluido.

2.4 Invariantes Adiabáticos

Em mecânica clássica, vimos que se um sistema tem movimento periódico, a integral de ação durante um período completo deve ser uma constante do movimento, isto é, deve ser conservada.

Mas se o sistema sofrer alguma perturbação durante um curto intervalo de tempo (menor que o período de movimento), de maneira que seu movimento passe a ser “quase periódico”, então em conseqüência a integral de ação é também “quase conservada”, isto é, torna-se um invariante adiabático.

Os invariantes adiabáticos são de grande importância em física de plasma, pois permitem obter respostas simples de complicados movimentos que uma única partícula pode executar.

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Iremos entender 3 tipos de invariântes adiabáticos, cada um correspondendo a um movimento periódico diferente.

Observação: A integral de ação em mecânica clássica é expressa por

∫

pdq

_{, onde p e q são momentum e} coordenada generalizada, respectivamente.

O primeiro invariante adiabático: Momento Magnético µ.

Na aula 4, definimos a grandeza escalar µ e também provamos sua invariância tanto para

r

não uniforme quanto para

r

variando no tempo.

B

Agora iremos provar sua invariância, a partir da integral de ação, onde o movimento periódico em questão é o movimento ciclotrônico da partícula.

Se p = momentum angular da partícula em órbita e dq = dθ, podemos calcular a integral de ação, então

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∫

=

∴

=

_⊥ _⊥ _⊥ _⊥

µ

π

θ

q

m

pdq

r

mV

d

r

mV

pdq

4

2

2.4.1 Calcular!

Se a integral de ação é uma constante do movimento, durante um período completo de giro da partícula, então para que isso seja satisfeito, necessariamente µ deve ser constante (segundo a expressão 2.4.1), isto é, conservada.

Assumimos também que

ω

c

<<

1 B

r

, isto é, que a freqüência de oscilação de é muito menor que a freqüência ciclotrônica da partícula, isto é, durante um período de giro da partícula, garantimos que µ varie menos com relação ao campo magnético

B

r

.

Para valores de

ω

c

≅

1

, isto é, ω não é

pequeno quando comparado com ω_c, a invariância de

µ pode ser violada.

A seguir, apresentamos alguns sistemas ou situações (consultar o livro texto), onde a invariância de µ pode ser violada, devido ao fato de que o

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plasma, nestes sistemas pode sofrer aquecimento, seja por evento colisional ou não.

• Espelho MagnéticoOscilante; • Aquecimento Ciclotrônico; • Cúspide Magnética.

O segundo invariante adiabático: Invariante Longitudinal J.

Para uma única partícula confinada entre 2 espelhos magnéticos, espera-se um movimento periódico de ida e volta entre os espelhos, com uma certa freqüência.

A partir da integral de ação, podemos encontrar uma nova constante do movimento, para este novo movimento periódico de ida e volta.

No entanto, se existir algum tipo de deriva do centro guia, eventualmente o movimento que ora era periódico, não será perfeitamente periódico como antes e então a constante do movimento passa a ser um invariânte adiabático.

A figura abaixo, mostra um evento natural da situação descrita acima, isto é, um única partícula

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confinada entre 2 espelhos magnéticos e sujeita à deriva dos seu centro guia

Movimento de uma única Partícula no Campo Magnético Terrestre.

Se p = momentum da partícula em seu movimento de ida e volta e dq = ds (elemento de comprimento de uma dada linha de campo), então podemos encontrar um segundo invariante adiabático: o invariante longitudinal, definido para o movimento de ida ou volta entre os pontos a e b de reflexão sob uma mesma linha de campo magnético

e

cons

ds

V

J

b a

tan

//

=

∫

2.4.2 Calcular!

Para encontrar o resultado da expressão 2.4.2, consultar o livro texto.

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A figura abaixo, mostra uma partícula em movimento oscilatório entre os pontos de reflexão a e b sob uma mesma linha de campo magnético.

Movimento de ida ou volta entre os pontos de reflexão a e b sob uma mesma Linha de Campo Magnético.

O resultado da expressão 2.4.2, permite afirmar que o movimento de ida e volta da partícula em órbita sob uma dada linha de campo magnético, deve ocorrer unicamente sob a mesma linha de campo magnético.

Portanto, no exemplo do movimento de uma única partícula no campo magnético terrestre, se J for um invariante adiabático, então o movimento de ida e, após a reflexão, de volta, deve ocorrer sob a mesma linha de campo magnético terrestre.

O terceiro invariante adiabático: Fluxo Magnético Φ.

Ainda referindo-se ao exemplo do movimento de uma única partícula no campo magnético terrestre,

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podemos encontrar um terceiro movimento periódico, isto é, o movimento de órbita da partícula, devido à deriva, em torno do planeta Terra.

Associado a este movimento periódico, podemos encontrar uma nova constante do movimento: o fluxo magnético através da área delimitada pela órbita da partícula em torno da Terra.

Devido ao fato da não uniformidade do campo magnético terrestre que passa através da área delimitada pela órbita da partícula, a constante do movimento, Φ que deve ser conservada, pode se tornar, novamente um invariante adiabático.

Observação: As mesmas considerações acima, podem ser utilizadas para determinar o fluxo magnético, associado ao movimento periódico da partícula em torno das linhas de campo magnético, isto é

0

2

2 )

(

2 2 2

=

Φ

∴

=

⋅

=

Φ

∫

dt

d

q

m

dt

d

q

m

r

B

S

d

B

m L m

µ

π

µ

π

r

2.4.3

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3. O Plasma como Fluido

No capítulo anterior vimos que o movimento isolado de partículas carregadas em campos elétrico e magnético pode dar origem a um grande número de fenômenos que em parte, são observados em plasmas naturais e de laboratório.

No entanto num plasma, milhões de partículas coexistem interagindo entre si e com campos elétricos e magnéticos externamente aplicados. Também deve-se computar o fato de que campos

E

r

e

B

r

internos são criados pelas posições e movimentos das partículas carregadas no plasma.

Para avaliar o efeito final da dinâmica das partículas em campos

r

e

r

, isto é, o comportamento “global” do plasma, um modelo aproximado é utilizado: o

E

B

modelo de fluidos, onde ao invés de tratar o plasma como uma coleção de partículas individuais, trata-o como uma coleção de elementos de fluido.

Iremos confrontar a partir de agora, 2 importantes terias: a teoria eletromagnética e a teoria de fluidos, para tentarmos compreender melhor, o plasma como um fluido de partículas carregadas.

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Começaremos com as equações de Maxwell do eletromagnetismo clássico, pois permitem determinar o comportamento de campos

r

e

r

gerados por correntes ou distribuições localizadas de cargas no plasma.

E

B

Considere um plasma com suas distribuições localizadas de cargas e correntes, então no vácuo, as equações de Maxwell que permitem-nos determinar os campos

r

e

r

, em unidades do Sistema Internacinal, são

E

B

0 D

B

E

B

H

J

D

ρ

∇ ⋅ =



∇ ⋅ =





∇ × = −



∇ ×

= +



r

_r&

r

_&r

Observações:

a) O plasma pode ser considerado como um meio dielétrico, desta forma pode ocorrer contribuições dos campos internos

r

e

r

(gerados pelo próprio plasma de permeabilidade magnética µ

D

H

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e constante dielétrica ε), devido à polarização e magnetização do plasma;

b) A princípio, seria lógico tratar o plasma como um meio magnético com permeabilidade magnética

µ m (usamos o índice m para diferenciar a

permeabilidade magnética do primeiro invariante adiabático µ).

Porém, diferentemente dos materiais magnéticos (por exemplo, Ferrita ou Níquel), não encontraremos uma relação linear entre

r

e

r

para os plasmas, isto é

M

B

Para um materiais magnético qualquer, temos:

_

_B

_H

(para

determinar esta expressão, consulte o livro texto ou outra referência sobre materiais magnéticos)

m m

M

H

M

B

χ

µ



₌



_⇒

_∝



=

r

(11)

2

₁

2 mV

B

µ

₌

⊥

_∝

B

(ver o capítulo 2 em 2.2 na expressão 2.2.56)

Então, se a magnetização é soma das contribuições do momento magnético de cada partícula por unidade de volume, temos

M

r

1 M

B

∝

_3.1.1

Justamente, devido a esta diferença marcante entre a proporcionalidade de

r

com

r

, nos 2 casos acima,

M

B

não devemos considerar os plasmas como um meio magnético;

c) Investigando o plasma como um material dielétrico, podemos tentar encontrar uma expressão para a constante dielétrica do mesmo, da mesma maneira que é possível encontrar a constante dielétrica para um material dielétrico qualquer, então

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(para determinar esta expressão, consulte o livro texto ou outra referência sobre materiais dielétricos)

1 4

_e

ε

= +

π

χ

Agora para os plasmas, considere o seguinte: que o mesmo seja submetido a campos

r

e

r

uniformes no espaço, mas

r

na direção x, varie senoidalmente no tempo, isto é

E

B

E

0

ˆ

i t

E

r

=

E e

ω

x

Vimos que a velocidade de deriva do centro guia, devido à variação temporal do campo elétrico é

1

p c c

dE

V

B dt

ω

= ±

⇔

<<

r

(ver o capítulo 2 em 2.3 na expressão 2.3.5)

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A partir da análise realizada para

V

, encontramos uma corrente, devido á separação das cargas de sinais contrários, isto é

p

r

2 p

dE

J

B dt

ρ

=

r

(ver o capítulo 2 em 2.3 na expressão 2.3.6)

Agora aplicando a equação de Àmpere-Maxwell no vácuo (no Sistema Internacional de Unidades) e considerando também uma “corrente externa de partícula”, além da corrente de polarização

r

, que ioniza e aquece o gás , temos

p

J

2 2

1

f p f

E

B

J

t

E

B

J

B

t

B

ρ

ε

∂

∇ × =

+

∂





∴∇ × =

+

_

+

_{ ∂}









⇔ =

_

+

_





r

3.1.2

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O resultado acima, é a constante dielétrica para movimentos transversais , isto é, ⊥

B

r

.

A partir do expressão 3.1.2 para a constante dielétrica do plasma, podemos concluir que os campos elétricos das partículas do plasma pode interferir nos campos externos aplicados.