Crescimento populacional da Tartaruga-da-Amazônia (Podocnemis expansa)

Crescimento populacional da

Tartaruga-da-Amazˆonia (Podocnemis expansa)

Geraldo L. Diniz

_{, Cust´odio I. Santos,}

Dept

_{de Matem´atica, ICET – UFMT, 78060-900 – Cuiab´a, MT.}

Resumo. Apresentamos um modelo para o crescimento populacional para a Tartaruga-da-Amazˆonia, com estrutura de classe et´aria, cujos resultados, baseados em dados obtidos junto ao IBAMA/MT, indicam o risco de “extin¸c˜ao” da esp´ecie.

Palavras-chave: Dinˆamica populacional. Matriz de Leslie. Modelagem Matem´atica. Modelo com classe et´aria. Biomatem´atica.

1. Introdu¸c˜

ao

Tem-se pesquisado muito sobre a aplica¸c˜ao dos conhecimentos matem´aticos `as mais diversas atividades pr´aticas, concentrando-se a maioria das aplica¸c˜oes nas atividades tec-nol´ogicas e mais recentemente na ´area de sa´ude e meio ambiente. Um dos primeiros trabalhos foi o estudo de Malthus para crescimento populacional.

Atualmente, pesquisadores do INPA (Instituto de Pesquisa da Amazˆonia) tˆem apli-cado o ferramental matem´atico para o estudo da fauna da Amazˆonia Legal, onde encon-tramos muitas esp´ecies que est˜ao em risco de extin¸c˜ao, caso nenhuma providˆencia seja tomada. Ampliar as informa¸c˜oes a respeito do crescimento populacional de Podocnemis

expansa, implica em divulgar este estudo visando um maior embasamento para justificar

a¸c˜oes mais concretas no sentido da preserva¸c˜ao.

Neste trabalho apresentamos um estudo qualitativo do crescimento populacional de

Podocnemis expansa, atrav´es de um modelo matem´atico utilizando matriz de Leslie, com

alguns dados de pesquisadores do IBAMA. Para tais parˆametros bi´oticos foram realizados estudos conclusivos, que est˜ao apresentados nos resultados.

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O Modelo Matem´

atico

Com base nos estudos de biologia e do comportamento deste animal passaremos, a partir de agora, a descrever o modelo matem´atico que nos indicar´a se Podocnemis expansa

corre risco de extin¸c˜ao ou n˜ao. Na formula¸c˜ao do modelo vamos utilizar o esquema abaixo (figura 1), para a obten¸c˜ao das equa¸c˜oes que regem o sistema.

Fazendo uma separa¸c˜ao da popula¸c˜ao por classe et´aria, considerando para cada classe o per´ıodo de um ano e tomando como classe inicial o n´umero de ovos, teremos:

N0 = n´umero de ovos

N1 = n´umero de filhotes at´e 1 ano

N2 = n´umero de filhotes de 1 at´e 2 anos

. ..

N9 = n´umero de jovens de 8 at´e 9 anos

N10 = n´umero de indiv´ıduos acima de 9 anos

Vamos chamar de σi a sobrevivˆencia da classe Ni e γ o n´umero de ovos que cada

fˆemea produz na ´epoca da desova (uma vez por ano), sendo que tais fˆemeas s´o atingem a maturidade sexual, ap´os os 9 anos de idade, ou seja, quando entra para a classe N10. Assim,

podemos montar o seguinte esquema:

Figura 1: Esquema da dinˆamica populacional Da´ı, obtemos as seguintes equa¸c˜oes evolutivas:

N₀(t+1) = γ · N₁₀(t) (2.1) N1(t+1) = σ0· N0(t) (2.2) N₂(t+1) = σ1· N1(t) (2.3) N₃(t+1) = σ2· N2(t) (2.4) N₄(t+1) = σ3· N3(t) (2.5) N₅(t+1) = σ4· N4(t) (2.6) N₆(t+1) = σ5· N5(t) (2.7) N₇(t+1) = σ6· N6(t) (2.8) N8(t+1) = σ7· N7(t) (2.9) N₉(t+1) = σ8· N8(t) (2.10) N₁₀(t+1) = σ9· N9(t)+ (1 − µ) · N (t) 10 (2.11)

onde, µ ´e a mortalidade de adultos.

Desta forma, podemos escrever o sistema na seguinte forma matricial:                   N0 N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10                   t+1 =                   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 γ σ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ9 1 − µ                                     N0 N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10                   t (2.12)

que, simplificadamente, pode ser escrito na forma:

N(t+1)_{= AN}(t) _(2.13)

onde∗_{, N = [N}

0N1· · · N10]0

Assim, ao aplicarmos iterativamente a matriz A ao vetor inicial, N(0)_{, chegamos a}

seguinte equa¸c˜ao:

N(t)= At· N(0) (2.14) onde A ´e denominada matriz de Leslie (Edelstein-Keshet, 1988; Vandermeer, 1976).

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Estudo do comportamento qualitativo do sistema

Para isto, devemos obter primeiro os autovalores† _{associados a matriz A, que podem}

ser calculados atrav´es das ra´ızes do polinˆomio caracter´ıstico associado ao sistema (Bassanezi e Ferreira Jr., 1988), sendo tal polinˆomio obtido por:

P (λ) = det (A − λI) , (3.15) o que nos d´a:

P (λ) = λ10[(1 − µ) − λ] + γ · σ0· σ1· · · σ9, (3.16)

ou seja,

P (λ) = −λ11_{+ (1 − µ) λ}10_{+ κ (3.17)}

onde κ = γ · σ0· σ1· σ2· σ3· σ4· σ5· σ6· σ7· σ8· σ9 ∗_[•]0_{indica o vetor transposto de [•].}

Assim, definindo β = max  |λj| se λj∈ R, |Re (λj) | se λj∈ C, , onde j = 1, 2, · · · , 11  , temos que:

Se β > 1 a popula¸c˜ao crescer´a de forma exponencial, conforme ilustra o gr´afico da figura 2. Agora se β assumir um valor compreendido entre 0 e 1 ent˜ao a popula¸c˜ao decresce podendo atingir um ponto cr´ıtico muito rapidamente, caso β tenha um valor muito pr´oximo de 0. Nc ´e o chamado n´ıvel cr´ıtico (ver figura 3).

Figura 2: Crescimento exponencial Figura 3: Decrescimento exponencial

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Resultados

Para este estudo, estaremos trabalhando somente com a popula¸c˜ao de fˆemeas. Neste sentido, assumimos a raz˜ao sexual (n´umeros de fˆemeas/total de indiv´ıduos) como sendo igual a 1/2.

Segundo Rocha (1993, 1992, 1991), cada fˆemea desova cerca de 90 ovos a cada esta¸c˜ao (γ = 90), do total de ovos, apenas 81,6% sobrevivem. Teremos ent˜ao que. Do total de ovos, 40,8% ser˜ao fˆemeas que ir˜ao emergir (ou σ0= 0, 408). Al´em disso, h´a uma estimativa de que

5% dos filhotes que nascem conseguem sobreviver at´e um ano de vida, ou seja, σ1= 0, 05 e

desses, apenas 1% chega `a vida adulta, que acontece ap´os os 9 anos de idade; o que nos d´a

σ2· σ3· · · σ9≈ 0, 01. A partir da´ı, tem-se uma mortalidade de cerca de 95% (1 − µ = 0, 05).

Assim, para calcular os valores de λj, sejam reais ou complexos, levamos os dados

citados acima na equa¸c˜ao 3.17 e obtivemos:

P (λ) = −λ11_{+ (1 − 0, 05) λ}10_{+ 0, 01836 (4.18)}

Em seguida, os autovalores λjpara a equa¸c˜ao (4.18) acima, foram obtidos

calculando-se as ra´ızes da equa¸c˜ao:

P (λ) = 0

Neste caso, para uma estimativa de β, usamos a cota de Kojima (Cl´audio e Marins, 1988), que nos d´a o raio espectral (Kolmogorov e Fomin, 1976), calculada conforme o teorema enuciado a seguir:

Teorema 4.1 (Kojima) Dado um polinˆomio p(ξ) = a0ξn+ a1ξn−1+ · · · + an toda raiz α,

real ou complexa, verifica:

|α| ≤ Q1+ Q2 (4.19)

onde Q1 e Q2 s˜ao os maiores valores obtidos do conjunto:

(   _aa₀i     1 i , i = 1, 2, · · · , n )

Da´ı, para o polinˆomio caracter´ıstico obtido em (4.18), obtivemos:

Q1=    −0, 05₋₁     1 1 = 0, 05 e Q2=    0, 01836₋₁     1 11 = 0, 6952968203915 o que nos deu:

β ≤ 0, 745296820391.

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Conclus˜

oes

Tendo em vista o estudo qualitativo do comportamento do sistema e o valor obtido da cota de Kojima para os parˆametros bi´oticos considerados (β ≤ 0, 745296820391 < 1), podemos concluir que a popula¸c˜ao de Podocnemis expansa ir´a para a extin¸c˜ao.

No entanto, se pelo menos 20% dos filhotes nascidos completarem o primeiro ano de vida e, desses, outros 20% venham a atingir a idade reprodutiva, obtemos β = 1, 05 (ou seja,

β > 1), o que nos leva a concluir que a popula¸c˜ao poder´a ser preservada.

Nesse sentido, a ado¸c˜ao de pol´ıticas de prote¸c˜ao, dar´a condi¸c˜oes de preservar a esp´ecie, caso contr´ario, a extin¸c˜ao ser´a inevit´avel.

Referˆ

encias

Bassanezi, R. C. e Ferreira Jr., W. C. (1988). Equa¸c˜oes Diferenciais com Aplica¸c˜oes. Ed. Harbra, S. Paulo.

Boldrini, J. L., Costa, S. I. R., Figueiredo, V. L., e Wetzler, H. G. (1984). Equa¸c˜oes

Diferenciais com Aplica¸c˜oes. Ed. Harbra, S. Paulo.

Cl´audio, D. M. e Marins, J. M. (1988). C´alculo Num´erico Computacional: teoria e pr´atica. Ed. Atlas, S. Paulo.

Edelstein-Keshet, L. (1988). Mathematical Models in Biology. Random-House, N. York. Kolmogorov, A. N. e Fomin, S. V. (1976). Elementos da Teoria das Fun¸c˜oes e de An´alise

Funcional, traduzido do russo por M. Dombrovsky. Ed. Mir, Moscou.

Rocha, G. S. (1991). Relat´orios da Superintendˆencia do IBAMA em Mato Grosso, do Projeto Quelˆonios da Amazˆonia. Relat´orio interno IBAMA–MT.

Rocha, G. S. (1992). Relat´orios da Superintendˆencia do IBAMA em Mato Grosso do Projeto Quelˆonios da Amazˆonia. Relat´orio interno IBAMA–MT.

Rocha, G. S. (1993). Relat´orios da Superintendˆencia do IBAMA em Mato Grosso, do Projeto Quelˆonios da Amazˆonia. Relat´orio interno IBAMA–MT.