FÓRMULA DE STIRLING: UMA DEMONSTRAÇÃO.

F ´

ORMULA DE STIRLING:

UMA DEMONSTRAC

¸ ˜

AO.

Luciano de Moura Silva Centro de Inform´atica

Universidade Federal de Pernambuco Recife, Pernambuco

Brasil

Resumo

Esta ´e uma simples prova da f´ormula de Stirling para calcular o fatorial de um n´umero natural. S˜ao introduzidos conceitos b´asicos de an´alise bem como a f´ormula de Stirling para crian¸cas e uma forma de calcular o limite da seq¨uˆencia de Wallis.

1

Nota¸

c˜

oes, Defini¸

c˜

oes e Resultados

Nesta se¸c˜ao ser˜ao apresentados conceitos necess´arios para o estudo da F´ormula de Stirling1_.

1.1

Fatorial de Um N´

umero Natural

A fun¸c˜ao fatorial de um n´umero natural n ´e definida recursivamente por: 0! = 1

n! = n · (n − 1)! Logo:

n! = 1 · 2 · 3 . . . (n − 2) · (n − 1) · n

1_{James Stirling (1692 - 1770) Matem´atico escocˆes nascido na cidade de Garden a cerca}

1.2

Seq¨

uˆ

encia de N´

umeros Reais

´

E uma fun¸c˜ao dos n´umeros naturais nos n´umeros reais. X : N −→ R X(n) = xn Exemplo: Sn= n! · en √ n · nn ∈ R + ∀ n ∈ N Wn = 22_{· 4}2_{· 6}2_{. . . (2n)}2 32_{· 5}2_{. . . (2n − 1)}2_{· (2n + 1)} ∈ R + ∀ n ∈ N

1.3

Seq¨

uˆ

encia Limitada Superiormente(Inferiormente)

Uma seq¨uˆencia ´e limitada superiormente(inferiormente) se ela ´e crescente(decrescente) e

∃ L ∈ R tal que: ∀ n ∈ N

xn ≤ L (xn ≥ L)

1.4

Seq¨

uˆ

encia Crescente(Decrescente)

Uma seq¨uˆencia xn ´e dita crescente(decrescente) se: ∀ n ∈ N,

xn< xn+1 (xn> xn+1)

1.5

Limite de Uma Seq¨

uˆ

encia de N´

umeros Reais

Dada uma seq¨uˆencia de n´umeros reais xn,

lim xn= l ∈ R ⇐⇒ ∀  > 0, ∃ N () ∈ N, tal que: (Cauchy)2

se n ≥ N () ent˜ao |l − xn| < 

2_{Cauchy (1789 - 1857) Nascido em Paris, estudou engenharia na ´Ecole des Ponts et}

Chauss´ees. Cauchy ´e considerado o matem´atico que primeiro lan¸cou os fundamentos do C´alculo.

1.6

Seq¨

uˆ

encia Convergente

Toda seq¨uˆencia de n´umeros reais crescente(decrescente) limitada superior-mente(inferiormente) ´e convergente.

1.7

Limite e Continuidade

f : R −→ R

se f cont´ınua ent˜ao f (lim Xn) = lim f (Xn)

Exemplo: f (x) =√x f (x) = x2 f (x) = ex f (x) = 4 + 2x

2

Seq¨

uˆ

encia de Wallis

3 W0 = 22 3 Wn+1 = 22_{· 4}2_{· 6}2_{. . . (2n)}2 _{· (2n + 2)}2 32_{· 5}2_{. . . (2n − 1)}2_{· (2n + 1)}2_{· (2n + 3)} = Wn· (2n + 2)2 (2n + 1) · (2n + 3) Wn+1 = 22· 42_{· 6}2_{. . . (2n)}2 _{· (2n + 2)}2 32_{· 5}2_{. . . (2n − 1)}2_{· (2n + 1)}2_{· (2n + 3)} Lema 2.1 (2n + 2) 2 (2n + 1) · (2n + 3) > 1 Demonstra¸c˜ao 2.1 (2n + 2)2 > (2n + 1) · (2n + 3) 4n2 + 8n + 4 > 4n2 + 8n + 3

3_{John Wallis (1616 - 1703) foi o matem´atico inglˆes de maior influˆencia antes de}

New-ton e contribuiu substancialmente `as origens do c´alculo. E tamb´´ em atribu´ıdo a ele a apresenta¸c˜ao do s´ımbolo ∞ para infinito.

Teorema 2.2 Wn ≤ π 2 ≤ Wn· (2n + 1) 2n Demonstra¸c˜ao 2.2 In = Z π₂ 0 sennθdθ = Z π₂ 0 senn−1θ · (−cosθ)‘dθ = 0 − Z π₂ 0 senn−1θ)‘· (−cosθ)dθ = − Z π₂ 0

(n − 1) · senn−2θ · cosθ · (−cosθ)dθ = (n − 1) · Z π₂ 0 senn−2θ · (1 − sen2)θdθ = (n − 1) · Z π₂ 0 senn−2θdθ − (n − 1) · Z π₂ 0 sennθdθ In = (n − 1) · In−2− (n − 1) · In In = (n − 1) n · In−2 I0 = Z π₂ 0 1dθ = π 2 I1 = Z π₂ 0 sen θ dθ = −cos θ| π 2 0 = 1 I2 = 1 2· I0 = 1 2· π 2 I3 = 2 3· I1 = 2 3 I4 = 3 4· 1 2 · π 2 I5 = 4 5· 2 3 I6 = 5 6· 3 4 · 1 2· π 2 I2n−1 = 2n − 2 2n − 1. . . 6 7· 4 5· 2 3 = (2n + 1) 1 2 (2n + 1)12 · 2n 2n · 2n − 2 2n − 1· · · 6 7 · 4 5· 2 3

= (Wn) 1 2 · (2n + 1) 1 2 2n I2n = 2n − 1 2n · 2n − 3 2n − 1· · · 5 6 · 3 4· 1 2 · π 2 = (2n + 1) 1 2 (2n + 1)12 · 2n − 1 2n · 2n − 3 2n − 1· · · 5 6 · 3 4 · 1 2· π 2 = 1 (Wn) 1 2 · 1 (2n + 1)12 · π 2 I2n+1 = 2n 2n + 1 · 2n − 2 2n − 1· · · 6 7 · 4 5 · 2 3 = 2n (2n + 1)12 · (2n + 1) 1 2 · 2n − 2 2n − 1· · · 6 7· 4 5 · 2 3 = (Wn) 1 2 (2n + 1)12

Como : (sen θ)2n+1 ≤ (sen θ)2n≤ (sen θ)2n−1 0 ≤ θ ≤ π 2 T emos que : Z π₂ 0 (sen θ)2n+1dθ ≤ Z π₂ 0 (sen θ)2ndθ ≤ Z π₂ 0 (sen θ)2n−1dθ 0 ≤ θ ≤ π 2 Segue que : I2n+1 ≤ I2n ≤ I2n−1 (Wn) 1 2 (2n + 1)12 ≤ 1 (Wn) 1 2 · 1 (2n + 1)12 ·π 2 ≤ (Wn) 1 2 ·(2n + 1) 1 2 2n Wn ≤ π 2 ≤ Wn· (2n + 1) 2n

3

F´

ormula de Stirling para Crian¸

cas

4

F´

ormula de Stirling

4.1

e

_{∼ S}

≡

n!e

n

√

_n

−→

√

2π

5

Hist´

orico

5.1

John Wallis (1616 - 1703)

John Wallis foi o matem´atico inglˆes de maior influˆencia antes de New-ton e contribuiu substancialmente `as origens do c´alculo. ´E tamb´em atribu´ıdo `

a ele a apresenta¸c˜ao do s´ımbolo ∞ para infinito.

Nascido em Ashford, Kent, Inglaterra. Wallis foi para a escola em Ashford, depois mudou para Tenterden onde mostrou pela primeira vez seu grande potencial como aluno. Em 1630 foi para Felsted onde se tornou

proficiente em latin, grego e hebreu. Aos quinze anos se especializou em aritm´etica ap´os ficar fascinado pelo livro de seu irm˜ao sobre o assunto.

Estudou na Faculdade Emmanuel, Cambridge, ordenando-se sacer-dote da Igreja Anglicana em 1640. Brilhante aluno de William Oughtred e colaborador de Christian Huygens, Wallis tinha habilidade em criptografia e decodificou mansagens Reais para os Parlamentares durante a Guerra Ci-vil. Em 1649, foi apontado Cadeira Saviliana de geometria na Universidade de Oxford, onde viveu at´e sua morte em outubro de 1703. Al´em de seus trabalhos matem´aticos, ele escreveu sobre teologia, l´ogica, e filosofia, e foi o primeiro a desenvolver um sistema para ensinar surdos-mudos.

Seu mais importante trabalho foi Arithmetica Infinitorum que foi pu-blicado em 1655. Nessa obra, Wallis avaliou a integral

Z 1

0

(1 − x2)ndx, para valores inteiros de n, atrav´es do m´etodo de Cavalieri dos indivis´ıveis. Ele desenvolveu um m´etodo de interpola¸c˜ao em uma tentativa de computar a integral R₀1(1 − x2₎1_{2dx. Usando o conceito de Kepler de continuidade, Wallis}

descobriu m´etodos para avaliar integrais que seriam mais tarde usadas por Newton em seu trabalho sobre teorema binomial.

Ainda em Arithmetica Infinitorum, Wallis estabeleceu a f´ormula π 2 = 22 _{· 4}2_{· 6}2_{· 8}2_{. . .} 32_{· 5}2_{· 7}2_{· 9}2_{· 11 . . .}

5.2

Abraham de Moivre (1667 - 1754)

5.3

James Stirling (1692 - 1770)

Filho de Archibald Stirling e Anna Hamilton, segunda esposa de Ar-chibald, James foi o terceiro filho do casal e nasceu em Garden, cerca de 20km a oeste da cidade escocesa de Stirling.

Quando James Stirling tinha 17 anos seu pai foi preso e acusado de alta trai¸c˜ao por simpatizar com a causa Jacobina. No entanto ele foi absolvido das acusa¸c˜oes.

Pouco se sabe sobre a infˆancia de Stirling ou sobre seus estudos na Esc´ocia. A primeira informa¸c˜ao certa ´e que ele viajou para Oxford no outono de 1710 e se matriculou na Faculdade Balliol, Oxford em 18 de janeiro de 1711 como um Snell Exhibitioner .

Em 1717, Stirling publicou seu primeiro trabalho Lineae Tertii Ordi-nis Neutonianae que extendia a teoria de Newton sobre as curvas planas de grau 3, adicionando quatro novos tipos de curvas aos 72 dados por Newton. O trabalho foi publicado em Oxford e Newton recebeu uma c´opia.

Em 1724, Stirling viajou para Londres onde permaneceu por 10 anos. Esses foram dez anos em que Stirling esteve mais ativo na matem´atica, corres-pondendo com muitos matem´aticos e apreciando sua amizade com Newton. Newton propˆos Stirling para a Royal Society of London e, em 3 de novembro de 1726, Stirling foi nomeado.

Em Londres, Stirling publicou seu mais importante trabalho Methodus Differentialis em 1730. Esse livro trata sobre s´eries infinitas, somat´orios, interpola¸c˜oes e quadraturas. A f´ormula assint´otica para n! pela qual Stirling ´

e mais conhecido aparece como Exemplo 2 da Proposi¸c˜ao 28 do Methodus Differentialis .

5.4

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)

6

Referˆ

encias

1. ANGLIN, W. S. Mathematics: A Concise History and Philosophy. Edi-tora Springer-Verlag, New York, 1994.

2. APOSTOL, Tom M. A Century of Calculus. v. 1. The Mathematical Association of America, 1969.

3. LIMA, Elon L. Curso de An´alise. v. 1. Editora Edgard Bl¨ucher Ltda., S˜ao Paulo, 1976.

4. LAX, Peter D. Calculus with Applications and Computing. v. 1. Edi-tora Springer-Verlag, New York, 1976.

5. ´AVILA, Geraldo. C´alculo. Fun¸c˜oes de Uma Vari´avel. v. 1. Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora , Rio de Janeiro, 1981.

6. ´AVILA, Geraldo. C´alculo. Fun¸c˜oes de Uma Vari´avel. v. 2. Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora , Rio de Janeiro, 1995.

7. GRAHAM, R. L., KNUTH, D. E., PATASHNIK, O. Matem´atica Con-creta. Fundamentos para a Ciˆencia da Computa¸c˜ao Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora, Rio de Janeiro, 1995.

8. http://www.wikipedia.com