CONTROLE DE FORMA ¸C ˜AO BASEADO EM NMPC PARA QUADRIC ´OPTEROS
Tiago Trindade Ribeiro∗, Augusto L. da Costa∗, Andr´e Gustavo S. Concei¸c˜ao∗
∗LaR - Laborat´orio de Rob´otica
Departamento de Engenharia El´etrica Universidade Federal da Bahia
Salvador, Bahia, Brasil
ttrindade.ee@gmail.com, augusto.loureiro@ufba.br, andre.gustavo@ufba.br
Abstract— This paper presents a Nonlinear Model Predictive Formation Control for a group of Quadcopters. In this approach the controllers are distributed to the quadcopters and the coupling is done through its objective function. The path following problem is expressed through a dynamic model of the quadcopter’s state errors relative to a Serret-Frenet frame, and the coordination problem is solved through adjustments in the robots’ speeds combined with the path update rate for each robot. Control efforts saturation is implemented to solve the problem of high state and formation errors. Simulation results considering a realistic scenario are provided to demonstrate the performance of the proposed control strategy.
Keywords— Multi-Robot Coordination, Unmanned Aerial Systems, Optimal Formation Control
Resumo— Este artigo apresenta controladores preditivos baseados em modelos n˜ao lineares para um grupo de quadric´opteros. Nesta abordagem os controladores s˜ao distribu´ıdos pelos quadric´opteros e o acoplamento ´e feito atrav´es das fun¸c˜oes objetivo locais. O problema de seguimento de caminho ´e expresso atrav´es de um modelo dinˆamico dos erros de estado dos quadric´opteros com rela¸c˜ao a um sistema de Serret-Frenet e o problema de coordena¸c˜ao ´e resolvido atrav´es de ajustes nas velocidades de navega¸c˜ao e nas taxas de atualiza¸c˜ao das referˆencias de postura para cada quadric´optero. Satura¸c˜ao dos esfor¸cos de controle ´e implementada para resolver o problema de erros de estado e de forma¸c˜ao elevados. Resultados simulados considerando um cen´ario real´ıstico s˜ao fornecidos para demonstrar o desempenho da estrat´egia de controle proposta.
Keywords— Coordena¸c˜ao Multi-robˆo, Sistemas A´ereos N˜ao Tripulados; Controle de Forma¸c˜ao ´Otimo 1 Introdu¸c˜ao
Nos ´ultimos anos, existe um grande interesse em estrat´egias de controle para quadric´opteros. Este tipo de ve´ıculo, caracterizado internacionalmente como multi-rotor-craft, possui vantagens significa-tivas em rela¸c˜ao aos helic´opteros convencionais, tais como maior manobrabilidade e precis˜ao nos movimentos. Adicionalmente, a disponibilidade de plataformas de pesquisa de baixo custo possi-bilita o seu uso em v´arias aplica¸c˜oes da rob´otica, como pode ser visto em (Sa et al., 2013) e (Kim et al., 2013), se tornando uma ferramenta impor-tante tanto economicamente quanto tecnicamente. As motiva¸c˜oes para o desenvolvimento de sis-temas multi-robˆos e os fundamentos matem´aticos comuns a v´arios tipos de abordagens s˜ao apresen-tados em (Arai et al., 2002) e (Murray, 2007), res-pectivamente. O controle de forma¸c˜ao ´e um ar-ranjo especial de um certo n´umero de agentes para o cumprimento de um objetivo comum, definido pelas aplica¸c˜oes. V´arios esquemas de controle foram propostos para o controle de forma¸c˜ao de Ve´ıculos A´ereos n˜ao Tripulados (do inglˆes, UAVs), tais como controle de forma¸c˜ao descentra-lizado baseado em controle de horizonte deslizante (Turpin et al., 2012) e Controle Preditivo Baseado em Modelo N˜ao-Linear (do inglˆes, NMPC ) (Chao et al., 2011).
Controle Preditivo Baseado em Modelo e suas varia¸c˜oes s˜ao alternativas vastamente utilizadas
para o controle de forma¸c˜ao, onde o conceito de predi¸c˜ao ´e ideal para aplica¸c˜oes em que as referˆ en-cias futuras s˜ao conhecidas.
A abordagem denominada por seguimento de l´ıder se encaixa perfeitamente neste conceito, onde uma trajet´oria ´e especificada para o grupo en-quanto os ve´ıculos mant´em posi¸c˜ao e orienta¸c˜ao predefinidas com respeito ao l´ıder ou um ve´ıculo virtual (Gu et al., 2006). Adicionalmente, controle preditivo trabalha com problemas multi vari´aveis, considera explicitamente restri¸c˜oes nas entradas e nos estados al´em de possu´ırem possuem boas caracter´ısticas de robustez, adaptando-se bem a perturba¸c˜oes, n˜ao linearidades e erros de mode-lagem, devido, fundamentalmente, ao princ´ıpio do horizonte m´ovel.
Este artigo ´e dedicado ao problema de con-trole de forma¸c˜ao de um grupo de UAVs ao longo de um dado caminho. Primeiramente, o problema de seguimento de caminho ´e definido atrav´es de um modelo dinˆamico de erros de estado dos quadric´opteros, o que ´e obtido utilizando as f´ormulas de Serret-Frenet que modela a postura (combina¸c˜ao de posi¸c˜ao e orienta¸c˜ao) de ve´ıcu-los virtuais fixados ao longo dos caminhos e pela postura de cada quadric´optero. Ent˜ao, a configu-ra¸c˜ao da forma¸c˜ao e o fluxo de informa¸c˜ao entre os quadric´opteros s˜ao estabelecidos atrav´es da teoria dos grafos, onde a vizinhan¸ca de cada elemento do sistema ´e usada para determinar quais elementos necessitam se comunicar. O problema de
coor-dena¸c˜ao ´e resolvido atrav´es de ajustes nas veloci-dades de navega¸c˜ao e nas taxas de atualiza¸c˜ao das referˆencias de postura para cada quadric´optero.
A estrat´egia de controle de forma¸c˜ao pro-posta neste trabalho ´e baseada em controladores NMPC, onde os controladores s˜ao distribu´ıdos pelos agentes, e os termos de acoplamento s˜ao definidos atrav´es das fun¸c˜oes objetivo locais numa forma expl´ıcita. Uma estrat´egia de controle em cascata ´e usada, onde a malha externa usa os controladores NMPC referidos para contro-lar a posi¸c˜ao no espa¸co tridimensional e o ˆ an-gulo de guinada para cada aeronave, o que ´e um melhoramento da estrat´egia apresentada em (Trindade Ribeiro et al., 2013). Para resolver o problema de otimiza¸c˜ao quando existem eleva-dos erros iniciais para os estaeleva-dos e para a for-ma¸c˜ao, uma t´ecnica de satura¸c˜ao dos esfor¸cos de controle ´e proposta baseada numa pol´ıtica de re-laxamento das restri¸c˜oes do problema para cada quadric´optero. A malha interna utiliza contro-ladores proporcionais e derivativos cl´assicos para calcular a atitude (ˆangulos de guinada e rolagem) e compensar os efeitos da gravidade, conforme proposto em (Corke, 2011). Resultados de simula-¸
c˜ao para uma forma¸c˜ao em triˆangulo em caminhos circulares mostram a efic´acia da estrat´egia pro-posta considerando erros de estado e de forma¸c˜ao elevados gerados por dois tipos de dist´urbios.
O artigo est´a organizado como segue. A Se¸c˜ao 2 apresenta a caracteriza¸c˜ao do problema e o mo-delo dos quadric´opteros. O esquema de controle ´e descrito na Se¸c˜ao 3. Na Se¸c˜ao 4, os resultados de simula¸c˜ao s˜ao apresentados e discutidos. Fi-nalmente, as conclus˜oes s˜ao fornecidas na Se¸c˜ao 5.
2 Caracteriza¸c˜ao do problema 2.1 Seguimento de caminho
Um quadric´optero, como o utilizado neste artigo, consiste de quatro rotores conectados a um sis-tema de coordenadas r´ıgido, conforme ilustrado na Figura 1. Trata-se de um sistema mecˆanico sub atuado com seis graus de liberdade e somente quatro entradas de controle. Denota-se o sistema de coordenadas do mundo (inercial) por {W } e o sistema de coordenadas do corpo fixado no centro de massa do quadric´optero por {B}.
O vetor ξ = [x y z]T representa a posi¸c˜ao
do centro de massa do quadric´optero expresso em termos do sistema inercial {W }, e a orienta¸c˜ao do ve´ıculo ´e dada por uma matriz de rota¸c˜ao RW
B,
onde R ∈ SO(3) ´e uma matriz de rota¸c˜ao ortonor-mal (ver (Mahony et al., 2012); (Corke, 2011), Chapter 2-4). O vetor Φ = [ψ φ θ]T representa
os ˆangulos de Euller fixos nos eixos Z-X-Y (ˆangulo de guinada, ψ ; ˆangulo de rolagem, φ; e ˆangulo de arfagem, θ) usados para descrever a orienta¸c˜ao do
ve´ıculo com respeito a {W }.
Os caminhos utilizados neste trabalho s˜ao ca-racterizados por c´ırculos concˆentricos com altitude constante, o que define referˆencias nulas para ati-tude. Assim, as equa¸c˜oes cinem´aticas para os movimentos rotacionais e translacionais s˜ao:
˙x(t) = f (x(t), u(t)); x(0) = x0; ˙ x ˙ y ˙ z ˙ ψ = RTo(ψ) vx vy vz ωψ , (1)
sendo Ro(ψ) a matriz de rota¸c˜ao ortogonal, que
converte do sistema de coordenadas do mundo (xw, yw, zw) para o sistema de coordenadas do
corpo do quadric´optero (xb, yb, zb) e vice-versa, ´e
dada por: Ro(ψ) = cos(ψ) sen(ψ) 0 0 − sen(ψ) cos(ψ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 . (2)
O problema de seguimento de caminho ´e normal-mente caracterizado atrav´es de parametriza¸c˜oes em termos de um comprimento de caminho s, diferentemente do problema de rastreamento de trajet´oria, no qual o caminho ´e parametrizado pelo tempo. Nesta abordagem, uma velocidade de navega¸c˜ao uf ´e definida para cada quadric´optero
no plano XY . Estas velocidades relacionam-se com as velocidades do quadric´optero como segue:
vx vy =ufcos δ ufsen δ , (3)
sendo que δ = ϕ−ψ representa o ˆangulo da dire¸c˜ao de movimento relativo a {B} e ϕ ´e o mesmo ˆangulo relativo a {W }.
O modelo cinem´atico do quadric´optero pode ser definido em termos de um sistema de Serret-Frenet, movendo-se ao longo de um caminho de
Figura 1: Sistemas de coordenadas e represen-ta¸c˜ao do problema de seguimento de caminho.
referˆencia como mostrado na Figura 1. Nesta for-mula¸c˜ao as f´ormulas de Serret-Frenet modelam o movimento de um ve´ıculo virtual, com postura xr yr zr ψr
T
, que deveria ser seguido pelo ve´ıculo real. O vetor de erro entre a postura do quadric´optero real e as posturas de referˆencia re-lativas a {F }, ´e dado como segue:
x{F }e = Ro(ψr)x{W }e ; xe= xe ye ze ϕe = cos ψr sen ψr 0 0 − sen ψr cos ψr 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x − xr y − yr z − zr ϕ − ψr . (4)
Problemas de singularidade notados na t´ ec-nica original para seguimento de caminho foram solucionados em (Soetanto et al., 2003) atrav´es da adi¸c˜ao de um grau de liberdade ao se traba-lhar com a taxa de progress˜ao do ve´ıculo virtual ˙s. Esta vari´avel n˜ao possui sentido f´ısico, ´e uma vari´avel que tende ao valor de uf quando o erro
de seguimento de caminho tende a se anular. Uma an´alise detalhada da Figura 1 mostra que usando o modelo cinem´atico do quadric´optero e considerando o grau de liberdade para definir a altitude e a orienta¸c˜ao do quadric´optero, o pro-blema de controle de seguimento de caminho ´e definido como um problema de controle regu-lat´orio. O modelo dinˆamico do erro de estado relativo ao sistema de coordenada do caminho ´e definido como segue:
˙ xe = yek(s) ˙s − ˙s + ufcos ϕe ˙ ye = −xek(s) ˙s − ufsen ϕe (5) ˙ ze = vz− vzr ˙ ϕe = ϕ − k(s) ˙s˙ ˙ ψe = ωψ− ωψr,
sendo k(s) a curvatura da se¸c˜ao limitada pelo comprimento de caminho s. Assim, o problema de seguimento de caminho ´e resolvido atrav´es da obten¸c˜ao de valores fact´ıveis para ϕe, ˙s, vz e ωψ.
Embora isto resolva o problema de singulari-dade, esta abordagem ainda vai requerer sinais de controle elevados quando o quadric´optero estiver muito distante do caminho. Uma solu¸c˜ao para este problema ´e a satura¸c˜ao dos sinais de controle conforme proposto em (Celeste et al., 2008).
2.2 Controle de forma¸c˜ao
O problema de controlar N quadric´opteros, cada um denominado Qi, com i = 1, ..., N , pode ser
descrito pela seguinte equa¸c˜ao diferencial n˜ao li-near:
˙xi(t) = fi(xi(t), ui(t))
sujeito a: xi∈ Xi, ui∈ Ui, ∀t ≥ 0, (6)
sendo xi(t) ∈ Rnum vetor n-dimensional dos
esta-dos e ui(t) ∈ Rm, ´e um vetor m-dimensional das
entradas. ´E tamb´em considerado que Xi ⊆ Rn,
´e o conjunto de estados fact´ıveis, Ui ⊆ Rm ´e o
conjunto de entradas fact´ıveis e que a equa¸c˜ao dinˆamica dos erros de estado para cada robˆo ´e dada por (5).
Em geral, existe um conjunto de N quadric´opteros e N caminhos de referˆencia Γi,
com i = 1, ..., N , e o quadric´optero Qideve seguir
o caminho Γi. O objetivo ´e coordenar os
movi-mentos deste grupo de quadric´opteros, e isto pode ser alcan¸cado atrav´es de ajustes nas velocidades de navega¸c˜ao ufie nas taxas de de progress˜ao dos
ve´ıculos virtuais ˙si.
Neste artigo, um caminho de referˆencia base Γr ´e previamente definido e o mesmo deve ser
seguido pelo grupo de quadric´opteros. A Figura 2 ilustra este cen´ario para trˆes quadric´opteros numa forma¸c˜ao triangular.
Considerando os vetores de postura do ca-minho de referˆencia no ponto si como sendo
[xi,b, yi,b, zi,bψi,b]T, e as distˆancias transversais
qi entre este ponto e o centro de massa dos
quadric´opteros, os vetores de estado de referˆencia s˜ao: xi,r= xi,r yi,r zi,r ψi,r =
xi,b− qisen ψi,b
yi,b+ qicos ψi,b
zi,b ψi,b , (7)
sendo ψi,b o ˆangulo da tangente a curva de
refe-rˆencia no ponto si, relativo a {W }.
A velocidade de navega¸c˜ao de referˆencia para o quadric´optero Qi ´e determinada atrav´es da
re-la¸c˜ao entre o comprimento total do caminho de referˆencia base P (Γr) e o comprimento total do
caminho de referˆencia P (Γi) como segue:
ufi,r =
P (Γi)
P (Γr)
ufB,r, (8)
sendo ufB,r a velocidade de navega¸c˜ao base
previ-amente definida para a forma¸c˜ao. Tal forma¸c˜ao ´e controlada quando as velocidades relativas ao ca-minho base s˜ao as mesmas. Considerando o exem-plo da Figura 2, o quadric´optero externo deve ter uma velocidade de navega¸c˜ao maior do que a do quadric´optero interno. A velocidade angular de referˆencia ´e determinada para cada quadric´optero i como sendo:
ωi,r = ki(ζi)ufr,i, (9)
sendo ζio comprimento do caminho de referˆencia
para o i-´esimo quadric´optero e ki(ζi) ´e a curvatura
deste caminho dada como segue: ζi=
P (Γr)
P (Γi)
ki(ζi) =
kr(si)
1 − qikr(si)
, (11)
sendo kr(si) a curvatura do caminho de referˆencia
base.
A velocidade linear de referˆencia para o controle de altitude ´e definida para cada quadric´optero como segue:
vzri = Kz(zri− zi), (12)
sendo Kz constante que depende da m´axima
velocidade vertical permiss´ıvel em determinada plataforma experimental.
Como a velocidade de navega¸c˜ao para cada quadric´optero deveria ser coordenada com os ele-mentos da vizinhan¸ca, ufin˜ao pode ser constante.
Assim, uma nova vari´avel de estado ηi ´e definida,
dada por ηi = ufi − ufi,r, sendo ufi,r calculada
por (8).
Assim, tem-se que: ˙
ηi= i− γi, (13)
sendo ie γias acelera¸c˜oes, atuais e de referˆencia,
respectivamente.
Finalmente, os sinais de controle para cada quadric´optero ´e definido como segue:
ui,e = ui,1 ui,2 ui,3 ui,4 ui,5 =
− ˙ζi+ (ηi+ ufi,r) cos ϕi,e
vzi− vzi,r ˙ ϕi,e− ki(ζi) ˙ζi ωψi− ωψi,r i− γi . (14) Assim, o modelo dinˆamico dos erros de estado ´e dado como segue:
˙ xi,e= ˙ xi,e ˙ yi,e ˙ zi,e ˙ ϕi,e ˙ ψi,e ˙ ηi = yi,eki(ζi) ˙ζi+ ui,1
−xi,eki(ζi) ˙ζi+ (ηi+ ufi,r) sen ϕi,e
ui,2 ui,3 ui,4 ui,5 . (15) Considerando que as sa´ıdas s˜ao os pr´oprios estados, o problema de controlar os movimen-tos do i-´esimo quadric´optero pode ser definido da seguinte forma: Encontrar ϕi,e, ˙ζ, vzi, ωψi,r e i,
tal que ui,1, ui,2, ui,3, ui,4, ui,5, xi,e, yi,e, zi,e, ψi,e
e ηi sejam fact´ıveis.
A an´alise sobre a configura¸c˜ao da forma¸c˜ao e o fluxo de informa¸c˜ao entre os quadric´opteros s˜ao estabelecidas atrav´es da teoria dos grafos. O objetivo ´e definir a vizinhan¸ca de cada elemento do sistema para determinar quais deles necessitam se comunicar. Por exemplo, para o cen´ario da Figura 2, uma generaliza¸c˜ao sob a forma de grafos pode ser feita. Com o objetivo de resolver os problemas locais, os n´os, bordas, vetores relativos e matrizes de incidˆencia s˜ao determinadas, concluindo que a comunica¸c˜ao deve ocorrer entre os conjuntos de robˆos {1,2,3}, {2,1} e {3,1}.
A distˆancia requerida entre dois quadric´opteros i e j pode ser dada por uma fun¸c˜ao pij(si), genericamente si+ pij(si) = sj, e
como s˜ao considerados grafos n˜ao direcionados, isto implica que pij(si) = −pji(sj).
Figura 2: Representa¸c˜ao do seguimento de cami-nho coordenado.
3 Controladores NMPC
Os modelos descritos previamente s˜ao n˜ao linea-res, variantes no tempo e possuem restri¸c˜oes nas entradas e nos estados.
No controle NMPC, a sa´ıda do sistema ´e pre-dita baseada em seus valores atuais e nos modelos. Um perfil de controle em malha aberta ´e encon-trado atrav´es de otimiza¸c˜ao num´erica, aplicando somente o primeiro sinal de controle ao sistema. No pr´oximo instante de amostragem, um novo perfil ´e obtido considerando as informa¸c˜oes mais recentes. Maiores detalhes sobre esta estrat´egia podem ser encontrados em (Allg¨ower et al., 2004). Apesar das vantagens do NMPC, devido a utiliza-¸c˜ao de um horizonte de controle finito, existem limita¸c˜oes relativas `a estabilidade. Para garan-tia de estabilidade, deveria-se considerar um hori-zonte de controle suficientemente grande, o que implica em maior demanda de poder computa-cional. Contudo, um horizonte de controle pe-queno n˜ao ´e suficiente para a manuten¸c˜ao da es-tabilidade em malha fechada, mas isto ´e necess´ario para a factibilidade do controle de muitos sistemas n˜ao lineares.
Uma forma de solucionar este problema ´e pro-posta em (Mayne and J. B. Rawlings, 2000), onde um termo de penalidade terminal foi considerado. Em muitas situa¸c˜oes esta solu¸c˜ao pode incremen-tar os custos computacionais a n´ıveis proibitivos. A abordagem distribu´ıda utilizada neste ar-tigo consiste em resolver localmente o problema de seguimento de caminho para cada quadric´optero. O termo de acoplamento ´e definido na fun¸c˜ao objetivo e utiliza informa¸c˜oes da vizinhan¸ca. Neste caso, a entrada a ser aplicada ao i-´esimo
Figura 3: Estrutura de controle para cada quadric´optero.
quadric´optero ´e dada pela solu¸c˜ao, a cada per´ıodo de amostragem, do seguinte problema de controle ´
otimo em malha aberta sob um horizonte finito:
min ui(.) Z t+Tp t Fi(xi(τ ), ui(τ ), si(τ ), ufi(τ ))dτ, (16) sujeito a: x˙i(τ ) = fi(xi(τ ), ui(τ )) ui∈ Ui∀τ ∈ [t, t + Tc] (17) xi∈ Xi∀τ ∈ [t, t + Tp] com:
Fi(xi(τ ), ui(τ ), si(τ ), ufi(τ ) = xi,eT Qixi,e+ uTi,eRiui,e+
+ X (i,j)∈ε (Wi,u( P (ΓB) (P Γi) ufi−P (ΓB) P (Γj) ufj)2) + (18) + X (i,j)∈ε (Wi,s(si− sj+ pij)2), sendo: Tc: Horizonte de controle;
Tp: Horizonte de predi¸c˜ao; com Tc ≤ Tp;
j: ´Indice representativo de um elemento na vizi-nhan¸ca do quadric´optero i;
ε: Conjunto de vetores relativos entre os quadric´opteros;
pij: Distˆancia requerida (plano xy) entre os
quadric´opteros i e j;
Qi, Ri: Matrizes positivas definidas que
pon-deram os desvios dos valores desejados;
Wi,u e Wi,s: Constantes de pondera¸c˜ao dos erros
de forma¸c˜ao.
Neste trabalho, Tp= Tce depois de resolver o
problema de otimiza¸c˜ao no instante ti,k para Qi,
os valores atuais e preditos de si e ufi s˜ao
en-viados para os quadric´opteros vizinhos. As ve-locidades do centro de massa dos quadric´opteros (vx, vy, vz, ωψ), calculadas de ui(tk)´otimo, s˜ao
en-viadas para a malha interna que implementa a
estrat´egia PD cl´assica para obter as referencias do robˆo (ω1, ω2, ω3, ω4). Esta malha interna esta
embarcada nos quadric´opteros e foi proposta em (Corke, 2011). A estrutura de controle proposta para cada quadric´optero ´e mostrada na Figura 3. O tratamento explicito dos termos da for-ma¸c˜ao nas fun¸c˜oes objetivo locais juntamente com a t´ecnica de satura¸c˜ao dos esfor¸cos de controle para as sa´ıdas da malha externa, permitiu posi-cionar os quadric´opteros em pontos distantes dos caminhos e seguir em forma¸c˜ao com esfor¸cos de controle fact´ıveis. Al´em disso, ´e poss´ıvel tamb´em o tratamento de forma¸c˜oes variantes no tempo, o que ´e um melhoramento com rela¸c˜ao `a t´ ec-nica originalmente proposta para o controle de forma¸c˜ao baseado em NMPC. A principal ideia ´e relaxar as restri¸c˜oes do problema para que seja atingida factibilidade inicial do problema de otimiza¸c˜ao baseando-se num crit´erio real´ıstico e limitar as a¸c˜oes de controle a n´ıveis seguros. Esta solu¸c˜ao possibilita o desenvolvimento de outras solu¸c˜oes eficientes do ponto de vista computa-cional para garantia de estabilidade.
4 Resultados
A estrat´egia de controle proposta foi avaliada atrav´es de simula¸c˜oes que fornecem evidˆencia da t´ecnica de satura¸c˜ao dos esfor¸cos de controle. Para este fim, consideram-se altos os erros iniciais de altitude e forma¸c˜ao. O caminho base ´e definido como segue:
x(si) = 1, 5 cos(si);
y(si) = 1, 5 sen(si); (19)
z = 5.
O ˆangulo de guinada de referˆencia ´e o ˆangulo da tangente a cada caminho individual Γi.
Foram utilizados os seguintes parˆametros: p12 = −0, 5m, p13 = 0, 5m, q1 = 0m,
q2 = 1m, q3 = −1m, Tpi = 3, Tci =
3, Qi = [1000; 3000; 20; 3000; 1000; 400], Ri =
[3; 250; 3; 25, 5], Wi,s= 200 e Wi,u= 0.1.
O crit´erio utilizado para a escolha destes parˆametros baseou-se na redu¸c˜ao do tempo de res-posta dos erros de estado elevados.
A tolerˆancia para os erros lineares foram 5cm e 0, 1rad para os erros angulares. Estes valores foram adicionados `a restri¸c˜oes definidas em Xi.
As componentes de Ui foram definidas
suficien-temente altas para permitir factibilidade do pro-blema de otimiza¸c˜ao e utiliza¸c˜ao da t´ecnica de sa-tura¸c˜ao dos esfor¸cos de controle.
Resultados foram obtidos considerando um ambiente real´ıstico onde existem rajadas de vento aleat´orias atuando nos quadric´opteros. A repre-senta¸c˜ao matem´atica destas rajadas ´e baseada nas especifica¸c˜oes militares MIL-F-8785C (OH, 1982), moduladas por uma portadora em ru´ıdo branco com 1% de potˆencia. Na modelagem aerodinˆamica do sistema, as rajadas podem ser consideradas dis-t´urbios e neste caso considera-se 2m de compri-mento e 0, 5m/s de amplitude da rajada. Estes resultados foram adquiridos por 150s, com ufB,r =
0.5m/s e o per´ıodo fundamental de amostragem Ts
foi 0.05s.
Para gerar altos erros iniciais, os quadric´opteros foram posicionados distantes dos caminhos de referˆencia e sem forma¸c˜ao definida. As posi¸c˜oes iniciais neste caso s˜ao: ξ1 = [1.5, 0, 0], ξ2= [0.5, 0, 0] e ξ3= [2.5, 0, 0]. A
orienta¸c˜ao inicial para todos os i -quadric´opteros ´e: Φi= [π2, 0, 0].
As simula¸c˜oes consistem em 3 eventos prin-cipais objetivando analisar o comportamento da estrat´egia proposta em casos de caminhos e for-ma¸c˜oes variantes no tempo:
1. T1 = 25s → z1,r = z2,r = 7m; A altitude de
referˆencia para Q2e Q3s˜ao modificadas para
7m.
2. T2 = 50s → q3= 0m; O caminho de referˆ
en-cia de Q3´e modificado, o que representa um
dist´urbio de -1m de amplitude em y3,e.
3. T3 = 75s → q2 = 0m, p12 = 1m, p13 =
−1m; O caminho de referˆencia Q2 ´e
tam-b´em modificado, e o espa¸camento entre os quadric´opteros modificado para 1m, o que representa um dist´urbio de 1m de amplitude em y2,e
Adicionalmente, as mudan¸cas nos parˆametros da forma¸c˜ao adiciona perturba¸c˜oes diretamente nas fun¸c˜oes objetivos locais.
A Figura 4(a) ilustra os resultados obtidos no espa¸co tridimensional. Vistas dos planos XZ e YZ s˜ao apresentadas na Figura 4(b) e a evolu¸c˜ao temporal das posturas s˜ao apresentadas na Figura
(a) Vis˜ao 3D.
(b) Vis˜oes 2D da frente (X/Z) e do lado (Y/Z).
(c) Posturas dos quadric´opteros.
(d) Forma de onda da turbulˆencia.
Figura 4: Caminhos circulares- Forma¸c˜ao trian-gular (Variantes no tempo).
4(c). Verifica-se o atendimento dos objetivos de controle, desde que houve regula¸c˜ao ao longo dos caminhos de referˆencia em cada passo mesmo na presen¸ca dos dist´urbios causados por mudan¸cas nos parˆametros da forma¸c˜ao e turbulˆencia cau-sado pela rajadas de vento. A Figura 4(d) mostra a forma de onda desta turbulˆencia.
A Figura 5(a) apresenta os erros de segui-mento de caminho, e, verifica-se que du-rante as regula¸c˜oes, outros estados do mesmo quadric´optero s˜ao afetados, comportamento jus-tificado pela sintonia escolhida e a necessidade
(a) Erros de seguimento de caminho. (b) Erros de forma¸c˜ao.
(c) Esfor¸cos de controle - Malha externa (d) Esfor¸cos de controle - Malha interna
Figura 5: Controle de Forma¸c˜ao - Forma¸c˜oes e caminhos variantes no tempo.
(a) Compara¸c˜ao durante 5s sem satura¸c˜ao. (b) Resultado completo com satura¸c˜ao.
Figura 6: An´alise do problema de otimiza¸c˜ao.
de regular os erros de forma¸c˜ao. Este resul-tado mostra tamb´em que os estados de outros quadric´opteros n˜ao foram afetados durante a regu-la¸c˜ao dos dist´urbios em T1e T2. Em T3os estados
de Q1s˜ao afetados para regular o erro de forma¸c˜ao
aplicado. Em todos os casos ´e verificada a con-vergˆencia dos estados para as tolerˆancias especifi-cadas. O m´aximo erro de forma¸c˜ao em regime per-manente foi de 0.4m com convergˆencia para 0m, como pode ser visto na Figura 5(b), mostrando a efic´acia do acoplamento via fun¸c˜ao objetivo. O de-sempenho durante o transit´orio prova a robustez da t´ecnica, desde que dist´urbios abruptos de 2m nos erros de forma¸c˜ao foram rejeitados.
Os esfor¸cos de controle da malha externa s˜ao mostrados na Figura 5(c). Verifica-se que quando alcan¸cado o limite de satura¸c˜ao para a vari´avel perturbada, as outras permanecem em valores fac-t´ıveis, mantendo a estabilidade e demonstrando a eficiˆencia da t´ecnica. A Figura 5(d) mostra que
os esfor¸cos de controle na malha interna foram mantidos em valores compat´ıveis com as especi-fica¸c˜oes dos quadric´opteros utilizados, mesmo du-rante a regula¸c˜ao dos dist´urbios e na presen¸ca de turbulˆencia.
Para ilustrar o comportamento da fun¸c˜ao ob-jetivo, a Figura 6(a) mostra uma compara¸c˜ao sem a t´ecnica de satura¸c˜ao. Observa-se que neste caso a fun¸c˜ao objetivo n˜ao converge e o algoritmo de otimiza¸c˜ao acusa um problema de infactibilidade. A Figura 6(b) ilustra o comportamento da fun¸c˜ao objetivo ao longo de toda a simula¸c˜ao utilizando a t´ecnica de satura¸c˜ao dos esfor¸cos de controle, sendo mostrada a completa convergˆencia mesmo ap´os os dist´urbios.
5 Conclus˜oes
Este trabalho apresenta uma abordagem para o controle de forma¸c˜ao de quadric´opteros
baseando-se em controle preditivo babaseando-seado em modelo n˜ao linear. A tarefa definida para a forma¸c˜ao ´e a de seguir um caminho pr´e especificado no espa¸co.
A estrat´egia para cada quadric´optero ´e definida atrav´es de uma estrutura em cascata com-posta de um malha externa, respons´avel pela de-termina¸c˜ao de velocidades translacionais e rota-cionais ´otimas para uma malha interna que atua em cada rotor do quadric´optero atrav´es de contro-ladores cl´assicos. O acoplamento ´e feito atrav´es de fun¸c˜ao objetivo que considera a ´ultima informa¸c˜ao dos estados da vizinhan¸ca. Esta vizinhan¸ca ´e pre-viamente definida atrav´es da teoria dos grafos.
Para resolver o problema de elevados erros de estado, foi proposta a t´ecnica de satura¸c˜ao dos esfor¸cos de controle, onde as tolerˆancias s˜ao re-laxadas para a manuten¸c˜ao da factibilidade do problema e os esfor¸cos de controle s˜ao externa-mente saturados em n´ıveis seguros. Observou-se que a forma¸c˜ao foi alcan¸cada mesmo durante a regula¸c˜ao dos elevados erros de estado tamb´em mostrando a eficiˆencia do acoplamento via fun¸c˜ao objetivo.
A convergˆencia do problema de otimiza¸c˜ao mostrou a possibilidade de se encontrar novas solu¸c˜oes para garantia de estabilidade de controle de forma¸c˜ao baseado em NMPC com um baixo custo computacional.
Trabalhos futuros incluem prova de estabili-dade e avalia¸c˜ao do desempenho da t´ecnica para o controle de forma¸c˜ao com diferentes tipos de robˆos.
Agradecimentos
Os autores agradecem ao apoio financeiro da FAPESB (Funda¸c˜ao de Amparo `a Pesquisa do Es-tado da Bahia).
Referˆencias
Allg¨ower, F., Findeisen, R. and Nagy, Z. K. (2004). Nonlinear model predictive control: From theory to application, J. Chin. Inst. Chem. Engrs. 35(3): 299–315.
Arai, T., Pagello, E. and Parker, L. (2002). Guest editorial advances in multirobot systems, Robotics and Automation, IEEE Transac-tions on 18(5): 655–661.
Celeste, W. C., Filho, T. F. B. and Filho, M. S. (2008). Controle de seguimento de caminho com sinais de comando limitados aplicado a robˆos m´oveis uniciclos, Anais do Congresso Brasileiro de Autom´atica.
Chao, Z., Ming, L., Shaolei, Z. and Wenguang, Z. (2011). Collision-free uav formation flight control based on nonlinear mpc, Electron-ics, Communications and Control (ICECC),
2011 International Conference on, pp. 1951– 1956.
Corke, P. (2011). Robotics, Vision and Con-trol: Fundamental Algorithms in MAT-LAB, Springer Tracts in Advanced Robotics, Springer.
Gu, Y., Seanor, B., Campa, G., Napolitano, M., Rowe, L., Gururajan, S. and Wan, S. (2006). Design and flight testing evaluation of for-mation control laws, Control Systems Tech-nology, IEEE Transactions on 14(6): 1105– 1112.
Kim, S., Choi, S. and Kim, H. (2013). Aerial ma-nipulation using a quadrotor with a two dof robotic arm, Intelligent Robots and Systems (IROS), 2013 IEEE/RSJ International Con-ference on, pp. 4990–4995.
Mahony, R., Kumar, V. and Corke, P. (2012). Multirotor aerial vehicles: Modeling, estima-tion, and control of quadrotor, Robotics Au-tomation Magazine, IEEE 19(3): 20–32. Mayne, D. Q. and J. B. Rawlings, C. V. Rao, P. O.
M. S. (2000). Constrained model predictive control: Stability and optimality, Automatica 36(6): 789–814.
Murray, R. M. (2007). Recent research in coop-erative control of multivehicle systems, Jour-nal of Dynamic Systems, Measurement, and Control 129(5): 571–583.
OH, A. F. W. A. L. W.-P. A. (1982). Background information and user guide for mil-f-8785c, military specification - flying qualities of pi-loted airplanes, Technical report.
Sa, I., Hrabar, S. and Corke, P. (2013). Outdoor flight testing of a pole inspection uav incorpo-rating high-speed vision, The International Conference on Field and Service Robotics. Soetanto, D., Lapierre, L. and Pascoal, A. (2003).
Adaptive, non-singular path-following con-trol of dynamic wheeled robots, Decision and Control, 2003. Proceedings. 42nd IEEE Con-ference on, Vol. 2, pp. 1765–1770 Vol.2. Trindade Ribeiro, T., Ferrari, R., Santos, J.
and Conceicao, A. (2013). Formation control of mobile robots using decentral-ized nonlinear model predictive control, Ad-vanced Intelligent Mechatronics (AIM), 2013 IEEE/ASME International Conference on, pp. 32–37.
Turpin, M., Michael, N. and Kumar, V. (2012). Decentralized formation control with variable shapes for aerial robots, Robotics and Au-tomation (ICRA), 2012 IEEE International Conference on, pp. 23–30.
