T´ecnicas de Modelagem Matem´atica para um Problema Real na Ind ´ustria de
Produc¸˜ao de Ampolas e Potes
Magna Paulina de Souza Ferreira Claudio Fabiano Motta Toledo
Universidade de S˜ao Paulo
Instituto de Ciˆencias Matem´atica e de Computac¸˜ao (USP–ICMC) 13566-590 – S˜ao Carlos, SP – Brasil
magnasouza@usp.br claudio@icmc.usp.br Flaviana Moreira de Souza Amorim Universidade Federal Rural do Semi- ´Arido-UFERSA
59625-900 – Mossor´o, RN – Brasil joflaviana@yahoo.com.br
Marcio da Silva Arantes
Instituto de Ciˆencias Matem´aticas e de Computac¸˜ao Instituto SENAI de Inovac¸˜ao em Sistemas Embarcados
marcio.arantes@sc.senai.br RESUMO
O presente trabalho visa apresentar os estudos desenvolvidos sobre problemas de di-mensionamento de lotes e planejamento de produc¸˜ao em ind´ustrias de recipientes de vidro. Essa abordagem representa a realidade da Ind´ustria de Produc¸˜ao de Ampolas e Potes (IPAP), cuja de-cis˜ao a ser tomada consiste em dimensionar a quantidade de potes e ampolas produzida ao longo do tempo para atender uma demanda. Considerando a realidade da f´abrica, foi desenvolvido um modelo matem´atico pra tratar o problema e elaboradas restric¸˜oes adicionais para melhorar o desem-penho computacional do modelo. As instˆancias foram geradas atrav´es de dados reais, dessa forma as soluc¸˜oes foram analisados e comparados utilizando os solvers CPLEX e Gurobi. Para validar a inclus˜ao das restric¸˜oes adicionais, foram analisadas as soluc¸˜oes considerando o modelo com e sem tais restric¸˜oes. Os resultados mostram que ambos os solvers possuem um bom desempenho. PALAVRAS CHAVE. Modelagem Matem´atica, Ind ´ustrias de Recipientes de Vidro, Planeja-mento da Produc¸˜ao.
T´opicos (IND - PO na Ind ´ustria, PM - Programac¸˜ao Matem´atica, OC - Otimizac¸˜ao Combi-nat´oria)
ABSTRACT
This current work aims to present the studies developed on lot sizing and scheduling problems in glass container industries. This approach represents the reality of the Pot and Ampoule Production Industry (PAPI), whose decision to be taken is to measure the quantity of pots and ampoules produced over time to meet demand. Considering the reality of the plant, a mathematical
model was developed to treat the problem and additional constraints have been developed in order to improve the computational performance of the model. The instances were generated through real data, in this way the solutions were analyzed and compared using the solvers CPLEX and Gurobi. In order to validate the inclusion of additional constraints, the solutions were analyzed considering the model with and without those restrictions. The results show that both solvers have a good performance.
KEYWORDS. Mathematical Modeling, Glass Container Industries, Production Planning. Paper topics (IND - OR in the industry, PM - Mathematical Programming, OC - Combinato-rial Optmization)
1. Introduc¸˜ao
O planejamento da produc¸˜ao e dimensionamento de lotes tem sido uma ´area de interesse de v´arios pesquisadores. A modelagem matem´atica aplicada aos problemas industriais tem se tor-nado cada vez mais eficaz e capaz de definir sequˆencias de produc¸˜ao, visando minimizar custos e garantindo atendimento da demanda. Um dos prop´ositos do planejamento da produc¸˜ao ´e obter uma ligac¸˜ao entre suprimento e demanda, garantindo que os processos produtivos ocorram eficaz e
efici-entemente, produzindo produtos e servic¸os requeridos pelos consumidores
[Slack et al., 2009].
A recente conjuntura econˆomica mundial tem passado por crises que deixam consequˆencias s´erias para os pa´ıses, principalmente aqueles em desenvolvimento. Na tentativa de se adaptar a essa nova fase e continuar no mercado, as ind´ustrias de recipientes de vidro tiveram que readaptar suas instalac¸˜oes, reduzindo os custos e mantendo a qualidade do servic¸o prestado aos seus clientes [Industry, 2018]. As ind´ustrias de recipientes de vidro lidam com a produc¸˜ao de determinados produtos em um horizonte de tempo. Um dos maiores desafios enfrentados por essas ind´ustrias ´e manter a eficiˆencia produtiva e atendimento a demanda, associados a uma reduc¸˜ao de custos.
Considerando este cen´ario de ind´ustrias de recipientes de vidro, estamos lidando com sis-tema de produc¸˜ao em uma Ind´ustria de Produc¸˜ao de Potes e Ampolas (IPPA) localizada em Minas Gerais. O problema estudado neste trabalho considera dados reais fornecidos pela IPPA mencio-nada. Nessa empresa, h´a um ´unico forno ligado a trˆes m´aquinas, na qual duas dessas m´aquinas fabricam em conjunto apenas ampolas e a terceira fabrica potes.
No presente trabalho estamos lidando com a produc¸˜ao de potes juntamente com a produc¸˜ao de ampolas. A principal decis˜ao a ser tomada consiste em dimensionar a quantidade de potes e am-polas que devem ser produzidas ao longo de um horizonte de tempo para atender a certa demanda. O problema abordado ser´a chamado Problema na Ind´ustria de Vidro - Produc¸˜ao de Potes e Ampolas (PIV-PPA).
Com o objetivo de melhorar o desempenho computacional do modelo, foram adiciona-das restric¸˜oes auxiliares na abordagem considerada. Portanto esse trabalho tem duas principais contribuic¸˜oes: A primeira ´e a proposta de um modelo matem´atico de Programac¸˜ao Linear Inteira Mista para o PIV-PPA, voltado especificamente para a realidade e objetivos da IPPA considerada. A segunda contribuic¸˜ao se baseia na comparac¸˜ao das soluc¸˜oes obtidas atrav´es de dois solvers, CPLEX e Gurobi, ambos sendo os mais utilizados para resolver problemas de otimizac¸˜ao. Comparac¸˜oes levando em considerac¸˜ao o modelo com e sem as restric¸˜oes adicionais tamb´em s˜ao analisadas.
Este artigo est´a organizado da seguinte forma: a sec¸˜ao 2 revisa trabalhos relacionados. Detalhes sobre o problema estudado s˜ao apresentados na sec¸˜ao 3 e a sec¸˜ao 4 introduz o modelo matem´atico. O m´etodo as instˆancias e os resultados computacionais s˜ao reportados na sec¸˜ao 5. As conclus˜oes seguem na sec¸˜ao 6.
2. Revis˜ao da Literatura
Considerando propostas que abrangem os estudos de problemas de dimensionamentos de lotes em ind´ustrias de recipientes de vidro, em [Almada-Lobo et al., 2008] os autores estudam o planejamento da produc¸˜ao a curto prazo, onde o objetivo ´e satisfazer as ordens di´arias de produc¸˜ao e atender a demanda sem atrasos. Um estudo a respeito da variac¸˜ao de aquecimento e de extrac¸˜ao do forno ´e introduzido em [Fachini et al., 2017], onde os autores relatam esses impactos na produc¸˜ao. Os est´agios do processo de formac¸˜ao de gobs foram modelados em [Hyre et al., 2004] com a finalidade de prever a espessura final das garrafas. Ao modelar todo o processo envolvido, as informac¸˜oes obtidas foram usadas para desenvolver novos equipamentos e controlar algoritmos para aumentar as taxas de produc¸˜ao e embalagem. Um problema de longo prazo na produc¸˜ao de garrafas de bebidas ´e estudado em [Guimar˜aes et al., 2012]. A modelagem abordada consiste em atribuir e programar lotes de produc¸˜ao em um ambiente com diversas plantas, onde a transferˆencia de produtos finais entre plantas ´e considerada.
Motivados em resolver problemas gerais de dimensionamento de lotes e sequenciamento nas linhas de produc¸˜ao, os autores em [Seeanner et al., 2013] prop˜oem uma combinac¸˜ao da meta-heur´ıstica Variable Neighborhood Decomposition Search (VNDS) com a heur´ıstica Fix-and-Optmize(F&O). O novo procedimento ´e capaz de determinar simultaneamente tamanhos de lotes e sequˆencias para linhas paralelas e m´ultiplos est´agios de produc¸˜ao.
Os autores em [Toledo et al., 2016], discutem o planejamento da produc¸˜ao e distribuic¸˜ao de recipientes de vidro com m´ultiplas instalac¸˜oes. Um modelo de programac¸˜ao linear inteiro misto ´e proposto para descrever e solucionar de forma exata o problema, assim como heur´ısticas e meta-heur´ısticas combinadas a t´ecnicas de programac¸˜ao matem´atica s˜ao utilizadas.
Uma metodologia que consiste na aplicac¸˜ao de um m´etodo exato e duas heur´ısticas, sendo uma construtiva e outra de melhoria, s˜ao apresentadas em [Amorim et al., 2018]. Trata-se da proposta de um modelo que combina restric¸˜oes capazes de definir a configurac¸˜ao das linhas de produc¸˜ao e o atendimento da demanda, dentro de um planejamento de curto e longo prazo em apenas uma planta.
Com o objetivo de avanc¸ar o estado da arte, o modelo apresentado nesse artigo ´e uma extens˜ao da proposta apresentada em [Amorim, 2018]. Os autores estudam o problema de di-mensionamento de lotes em uma Ind´ustria de Produc¸˜ao de Potes e Ampolas (IPPA), localizada em Minas Gerais, mas apenas a produc¸˜ao de potes foi considerada. O presente artigo passa a tratar a produc¸˜ao de potes juntamente com a de ampolas. Novas vari´aveis s˜ao introduzidas a fim de obter cen´arios que representem cada vez melhor a realidade da IPPA estudada.
3. Problema na Ind ´ustria de Recipientes de Vidro - Produc¸˜ao de Potes e Ampolas
O processo de produc¸˜ao em uma IPPA em geral ´e composto por duas etapas principais. Na primeira etapa, os componentes que constituem o vidro como s´ılica, barrilha, calc´ario e vidros recicl´aveis (cacos) s˜ao derretidos no forno. Na segunda etapa, os recipientes s˜ao produzidos em m´aquinas de moldagem.
A empresa que forneceu os dados para o estudo de caso apresenta um ´unico forno rege-nerativo com porta traseira ligado a trˆes m´aquinas para a produc¸˜ao de dois tipos de produtos: potes e ampolas. Duas dessas m´aquinas, como visto na Figura 1, trabalham em conjunto para a produc¸˜ao de um mesmo tipo de ampola. As m´aquinas possuem a mesma configurac¸˜ao de quatro sec¸˜oes gota dupla, onde uma se concentra em fazer a parte externa do produto, enquanto a outra se dedica a parte interna do produto. A terceira m´aquina tem por objetivo realizar somente a produc¸˜ao de po-tes, utilizando seis sec¸˜oes que podem ser ativadas para produc¸˜ao di´aria do produto. Dessa forma, a m´aquina de potes n˜ao produz ampolas e as m´aquinas de ampolas n˜ao produzem potes.
Figura 1: Ilustrac¸˜ao da planta real. 1 2 3 4 5 678 1 10 2 3 456789 1 10 2 3 4 56789
Fonte: Adaptada de [Amorim, 2018] .
Os recipientes de potes e ampolas produzidos pela empresa variam de acordo com o peso e o custo de produc¸˜ao. Para cada tipo de ampola e de pote, h´a uma extrac¸˜ao di´aria prevista em um dia de produc¸˜ao em que o setup n˜ao ocorre. Dois outros aspectos tamb´em s˜ao considerados: demanda empurrada, avaliac¸˜ao do desperd´ıcio e ramp-up. Na demanda empurrada, h´a uma incerteza que ´e tratada atualmente com o uso de um estoque de seguranc¸a baseado em previs˜oes. A avaliac¸˜ao do desperd´ıcio considera o impacto do refugo (scrap) na produtividade, ou seja, itens produzidos que ser˜ao descartados por m´a qualidade. A durac¸˜ao de um set-up ´e de aproximadamente 8 horas. Ap´os o set-up, a produc¸˜ao dos produtos nos primeiros horizonte de tempo ´e inst´avel, acarretando uma perda maior na produc¸˜ao. Tal variac¸˜ao na produc¸˜ao ´e chamada de ramp-up . A durac¸˜ao de um ramp-up´e de aproximadamente 72 horas, ap´os esse per´ıodo ser´a atingida a produc¸˜ao di´aria normal. A Figura 2 ilustra a relac¸˜ao entre a meta de produc¸˜ao e o produzido para potes em um determinado mˆes. Notamos que a produc¸˜ao varia em torno da meta, sendo produzido em alguns dias menos do que o planejado.
Figura 2: Variac¸˜ao da produc¸˜ao de potes durante um mˆes.
0 5,000 10,000 15,000 20,000 25,000 30,000 35,000 40,000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 Q ua n ti da de de P ot es Dias de Planejamento Planejado x Produzido
Fonte: Elaborada pela autora.
A Figura 3 representa a produc¸˜ao de ampolas durante um determinado mˆes. Podemos notar que nesse cen´ario n˜ao ´e alcanc¸ada a meta di´aria de produc¸˜ao na maioria dos dias. Uma observac¸˜ao importante ´e que entre os dias 9 e 11 houve uma queda na produc¸˜ao, devido a troca de produto (set-up) e ao efeito do ramp-up. Em um ambiente fabril, alguns aspectos devem ser levados em considerac¸˜ao como, por exemplo, um mal funcionamento das m´aquinas que pode acarretar
menor quantidade de produc¸˜ao. Nesse sentido, um dos maiores desafios da ind´ustria ´e manter o atendimento da demanda, produzir produtos com qualidade e minimizar os seus custos.
Figura 3: Variac¸˜ao da produc¸˜ao de ampolas durante um mˆes.
0 5,000 10,000 15,000 20,000 25,000 30,000 35,000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 Q uan ti dade de A m po la s Dias de produção Planejado x Produzido
Fonte: Elaborada pela autora.
Considerando todos os aspectos relatados at´e o presente momento, um modelo modelo matem´atico baseado na realidade da ind´ustria foi proposto. O modelo visa proporcionar meios para que as ind´ustrias tenham seus planejamentos sendo executados com efic´acia, considerando os requisitos da f´abrica.
4. Modelagem Matem´atica
Esta sec¸˜ao descreve o modelo matem´atico desenvolvido para tratar o PIV-PPA. Inicial-mente s˜ao definidos os conjuntos, parˆametros e vari´aveis.
Conjuntos:
• i: Ampolas a serem fabricadas i ∈ ΩI.
• j: Potes a serem fabricados j ∈ ΩJ.
• p: Produtos a serem fabricados p ∈ ΩI∪ ΩJ.
• t: Horizonte de tempo t ∈ {1, ..., T }. • s: Dias de ramp-up s ∈ {1, ..., S}.
• e: Extrac¸˜ao de potes por sess˜ao e ∈ {1, ..., E}. Parˆametros:
• C: Capacidade do forno. (kg) • Cp: Custo real do produto p.
• Dpt: Demanda do produto p no per´ıodo t.
• Ip0: Estoque inicial do produto p no per´ıodo t = 0.
• Pp: Peso do produto p. (kg)
• Qi: Quantidade de extrac¸˜ao de ampolas i em um dia normal, sem set-up.
• Pje: Quantidade de extrac¸˜ao de potes j na sess˜ao e em um dia normal, sem set-up.
• Rp: Refugo do produto p.
• Lps: Taxa de ramp-up do produto p no dia s ap´os ocorrer o set-up.
• ESp: Estoque de seguranc¸a do produto p.
• M : Big M, um valor positivo grande. Vari´aveis:
• Ypt: 1 se h´a produc¸˜ao do produto p no per´ıodo t, 0 caso contr´ario. • P Lpt: Produc¸˜ao l´ıquida do produto p no per´ıodo t.
• P Tpt: Produc¸˜ao total do produto p no per´ıodo t.
• Spt: 1 se iniciou a produc¸˜ao do produto p no per´ıodo t, 0 caso contr´ario.
• Wpts: 1 se o ramp-up do produto p no per´ıodo t est´a no s-´esimo dia, 0 caso contr´ario. • Vpts: Vari´avel auxiliar para linearizac¸˜ao.
• Zjte: 1 se h´a ativac¸˜ao do pote j no per´ıodo t configurado para utilizar e sess˜oes.
• Cjtse: Vari´avel auxiliar para linearizac¸˜ao.
• B: O maior n´umero de vezes que o estoque de seguranc¸a foi ultrapassado.
As primeiras partes da func¸˜ao objetivo (1) minimizam os custos de set-up e ramp-up para ampolas e potes, enquantoP
pB ∗ ESp∗ Cp∗ 0.01 ´e um recurso matem´atico para evitar a produc¸˜ao
exagerada de um determinado produto.
M in X i X t X s Wits∗ Qi∗ (1 − Lis) ∗ Ci+ X j X t X s X e Cjtse∗ Pje∗ (1 − Ljs) ∗ Cj+ X p B ∗ ESp∗ Cp∗ 0.01 (1)
As restric¸˜oes (3) e (2) representam as equac¸˜oes de balanceamento de estoque.
Ipt= Ip0+ P Lpt− Dpt ∀(p, t = 1) (2)
Ipt= Ipt−1+ P Lpt− Dpt ∀(p, t > 1) (3)
A restric¸˜ao (4) equilibra o estoque de seguranc¸a. Ipt
ESp
≤ B ∀(p, t) (4)
A vari´avel Vptsfoi utilizada para representar o produto de Vpts= Wpts∗ P Tpt.
Vpts≥ P Tpt− M ∗ (1 − Wpts) ∀(p, t, s) (5)
Vpts≤ P Tpt+ M ∗ (1 − Wpts) ∀(p, t, s) (6)
Wpts∗ M ≥ Vpts ∀(p, t, s) (7)
−Wpts∗ M ≤ Vpts ∀(p, t, s) (8)
A restric¸˜ao (9) obt´em a produc¸˜ao l´ıquida de potes e ampolas da seguinte forma: se houver set-up do produto, ent˜ao h´a influˆencia do ramp-up durante aproximadamente trˆes dias. Caso n˜ao haja set-up, temos apenas a influˆencia do refugo na produc¸˜ao dos itens.
P Lpt = X s Vpts∗ Lps+ (P Tpt− X s Vpts) ∗ (1 − Rp) ∀(p, t) (9)
A restric¸˜ao (10) afirma que a produc¸˜ao total deve ser igual a capacidade produtiva da m´aquina em um dia normal, somente se o produto estiver ativado.
A restric¸˜ao (11) permite que se tenha apenas uma ampola ativada na m´aquina por vez. X
p∈ΩI
Ypt= 1 ∀(t) (11)
As restric¸˜oes (12) e (13) representam o set-up, onde a diferenc¸a entre o produto ativo no per´ıodo atual e no per´ıodo anterior determinam se ocorre ou n˜ao o set-up.
Spt≥ Ypt− Yp(t−1) ∀(p, t > 1) (12)
Spt= Ypt ∀(p, t = 1) (13)
A restric¸˜ao (14) determina os est´agios do ramp-up ap´os a ocorrˆencia de set-up do produto.
Spt= Wp(t+s)s ∀(p, s, t < T − s) (14)
A restric¸˜ao (15) limita a produc¸˜ao total de acordo com a capacidade di´aria de derretimento do forno.
X
p
P Tpt∗ Pp ≤ C ∀(p) (15)
A vari´avel Cjtsefoi utilizada para representar o produto Cjtse = Zjte∗ Wjts n˜ao linear.
Portanto a restric¸˜ao (16) representam uma linearizac¸˜ao para esse caso.
Cjtse≥ Wjts+ Zjte− 1 ∀(j, t, s, e) (16)
A restric¸˜ao (17) afirma que a produc¸˜ao total de potes dever ser igual a capacidade produ-tiva da sec¸˜ao aprodu-tiva na m´aquina em um dia normal, enquanto a restric¸˜ao (18) garante que a sec¸˜ao da m´aquina esteja ativa apenas se o pote estiver sendo produzido.
P Tjt = X e Pje∗ Zjte ∀(j, t) (17) X e Zjte= Yjt ∀(j, t) (18)
A restric¸˜ao (19) garante que se tenha um pote por vez sendo fabricada na m´aquina. X
p∈ΩJ
Ypt= 1 ∀(t) (19)
As restric¸˜oes (20) e (21) representam os dom´ınios bin´arios e cont´ınuos, respectivamente, das vari´aveis.
Ypt, Spt, Wpts, Zjte ∈ {0, 1} (20)
Ipt, P Lpt, P Tpt, Vpts, B, Cjtse≥ 0 (21)
No intuito de melhorar o desempenho computacional ao se resolver o PIV-PPA, atrav´es de t´ecnicas de modelagem matem´atica, algumas restric¸˜oes foram acopladas ao modelo proposto. Assim, a restric¸˜ao (22) limita a quantidade de set-up para potes. Esse recurso diminuiu o n´umero de combinac¸˜oes a serem exploradas pelos m´etodos de soluc¸˜ao.
X j X t Sjt ≤ J ∗ T 7 (22)
As restric¸˜oes (23) e (24) juntamente com as restric¸˜oes (12) e (13) garantem que, se foi realizado set-up, ent˜ao o produto est´a ativo no per´ıodo atual e ele n˜ao estava ativo no per´ıodo anterior. Neste caso, estamos limitando a regi˜ao de factibilidade das vari´aveis de set-up.
Sit ≤ yit (23)
Sit≤ 1 − yit−1 (24)
5. Resultados
Os modelos foram codificados em linguagem java atrav´es da ferramenta Professional Op-timization Framework (ProOF) [Arantes, 2013] e solucionados pelos solvers CPLEX e Gurobi. O tempo de execuc¸˜ao de cada instˆancia foi de 10 minutos.
Foram criados 3 conjuntos de instˆancias, baseados em dados reais da f´abrica, cada con-junto possui um total de 10 instˆancias. O primeiro concon-junto, definido como Small, cont´em 2 tipos ampolas (A) e 3 tipos de potes (P) com o horizonte de planejamento (T) de 14 dias (A2P3T14). O segundo grupo, definido como Medium, cont´em 3 tipos de ampolas e 4 tipos de potes com o horizonte de planejamento de 31 dias (A3P4T31). O terceiro grupo, definido como Large, cont´em 4 tipos de ampolas e 6 tipos de potes com o horizonte de planejamento de 91 dias. As instˆancias do grupo Large, possui dimens˜oes compat´ıveis com a planta real, enquanto as instˆancias Medium e Small representam a variabilidade da planta real em um espac¸o menor de tempo, com a produc¸˜ao de poucos produtos.
5.1. Comparac¸˜ao das soluc¸˜oes obtidas atrav´es dos solves CPLEX e Gurobi.
Os resultados apresentados nesta sec¸˜ao consideram a formulac¸˜ao do problema com as restric¸˜oes adicionais propostas. A Figura 4 apresenta o tempo de execuc¸˜ao entre as ferramentas para o grupo de instˆancias Small. Os dois solvers encontram todos os ´otimos, onde o tempo m´edio de execuc¸˜ao do CPLEX foi de 0.7150 segundos, enquanto o tempo m´edio de Gurobi foi de 0.7507. Podemos notar que nesta an´alise os dois solvers s˜ao competitivos.
Figura 4: Instˆancias A2P3T14. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Te mpo de ex ecu çã o (se g) Grupo Small CPLEX Gurobi
Fonte: Elaborada pela autora.
No grupo de instˆancias Medium, o Gurobi encontrou 4 ´otimos enquanto o CPLEX en-controu 3 ´otimos nesse grupo. A figura 5 apresenta o Gap(%) obtido atrav´es das duas ferramentas. Como podemos notar, os solvers tamb´em se mostraram bem competitivos, por´em, em metade das instˆancias o Gurobi retorna um Gap melhor.
Figura 5: Instˆancias A3P4T31.
0.00% 0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gap (%) Grupo Medium
Gap Gurobi Gap CPLEX
Fonte: Elaborada pela autora.
No grupo de instˆancias Large, ambas as ferramentas n˜ao conseguiram encontrar soluc¸˜oes fact´ıveis para as instˆancias. Neste caso, foram comparados os limitantes inferiores obtidos por cada solver. A figura 6 apresenta os limitantes obtidos por cada uma das ferramentas. Neste cen´ario, o CPLEX foi capaz de obter limitantes duais melhores que o Gurobi em todas as instˆancias deste grupo.
Figura 6: Instˆancias A3P4T31. 0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Li mit an tes Grupo Large
Limitante Cplex Limitante Gurobi
Fonte: Elaborada pela autora.
Os resultados apresentados nesta an´alise mostraram que tanto o Gurobi quanto CPLEX s˜ao ferramentas eficazes na soluc¸˜oes das instˆancias deste problema, considerando instˆancias de pequeno e m´edio porte. No conjunto de instˆancias mais complexas de serem resolvidas, notamos um melhor desempenho do CPLEX em obter limitantes duais para o problema.
5.2. An´alise do Modelo com Restric¸˜oes auxiliares
Nesta sec¸˜ao, ser˜ao comparados as soluc¸˜oes obtidas atrav´es dos solvers, considerando o modelo com e sem o uso das restric¸˜oes adicionais (22)-(24). Foram usadas para comparac¸˜ao as instˆancias do grupo Small, contendo 2 tipos de ampolas, 3 tipos de potes e um horizonte de plane-jamento de 14 dias.
A figura 7 compara o tempo de execuc¸˜ao da instˆancia A2P3T14 utilizando a ferramenta CPLEX. Ao considerar o modelo sem as restric¸˜oes auxiliares, o tempo computacional para se en-contrar o ´otimo ´e razoavelmente maior. Essa quest˜ao se torna importante para o tratamento do problema, pois se tratando de instˆancias com horizonte de tempo maiores, se torna complexo a obtenc¸˜ao de soluc¸˜oes vi´aveis por meio dessa ferramenta.
Figura 7: Instˆancias A2P3T14. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Te mp o d e ex ec u çã o (seg) Grupo Small
CPLEX
Sem restrição Com restrição
Fonte: Elaborada pela autora.
A figurao 8 compara o tempo de execuc¸˜ao da instˆancia A2P3T14 obtido atrav´es da ferra-menta Gurobi. Neste caso, podemos notar que essa ferraferra-menta n˜ao apresenta grande dificuldades em lidar com o modelo sem as restric¸˜oes auxiliares. Desta forma temos evidencias que o Gurobi possui certa robustez ao solucionar os problemas propostos, sendo menos dependente da aplicac¸˜ao das restric¸˜oes extras para fortalecimento do modelo.
Figura 8: Instˆancias A3P4T31.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Te mp o d e ex ec u çã o ( seg) Grupo Small
Gurobi
Sem restrição Com restrição
Fonte: Elaborada pela autora. 6. Conclus˜ao
Este trabalho introduziu um modelo desenvolvido especificamente para a realidade de uma ind´ustria de recipientes de vidro, com a aplicac¸˜oes de um m´etodo exato para resolver o PIV-PPA. Primeiro, uma formulac¸˜ao de programac¸˜ao linear inteira mista ´e introduzida e o conjunto de instˆancias ´e gerado com base em dados reais.
O estudo do modelo foi conduzido considerando restric¸˜oes auxiliares que tem por fina-lidade melhorar o desempenho computacional na obtenc¸˜ao de soluc¸˜ao vi´aveis. Al´em disso, foram resolvidas as instˆancias atrav´es de dois solvers, CPLEX e Gurobi, que s˜ao os mais utilizados na literatura. Os resultados mostraram um bom desempenho entre ambos, por´em o Gurobi se mostrou menos dependente de restric¸˜oes auxiliares nas instˆancias propostas.
Considerando a complexidade do modelo ao se tratar de planejamentos longos, pretende-se depretende-senvolver como trabalhos futuros uma meta-heur´ıstica para obter as soluc¸˜oes do problema. Tamb´em ser´a considerado a proposic¸˜ao de um modelo com tratamento estoc´asticos, devido `as variac¸˜oes produtivas tanto para potes como para ampolas.
Referˆencias
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