MODELAGEM MATEMÁTICA DO AQUECIMENTO GLOBAL: UM ESTUDO À LUZ DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E DO PENSAMENTO MATEMÁTICO AVANÇADO

MODELAGEM MATEMÁTICA DO AQUECIMENTO GLOBAL: UM ESTUDO À LUZ DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E DO

PENSAMENTO MATEMÁTICO AVANÇADO

Bárbara Nivalda Palharini Alvim Sousa, gabi.granada@gmail.com Universidade Estadual de Londrina – UEL Karina Alessandra Pessôa Da Silva karinapessoa@gmail.com Universidade Estadual de Londrina – UEL Gabriele Granada Veleda gabi.granada@gmail.com Universidade Estadual De Londrina – UEL

Lourdes Maria Werle De Almeida lourdes@uel.br Universidade Estadual de Londrina – UEL

Resumo

Neste trabalho abordamos o estudo de uma atividade de Modelagem Matemática que tem como tema o aquecimento global na cidade de Londrina. A partir da compreensão do objeto matemático ‘função cosseno’, por meio da coordenação entre os diferentes registros de representação abordados por Raymond Duval, é possível visualizar processos que envolvem o pensamento matemático avançado citado por David Tall, presente no mundo axiomático formal do pensamento matemático. Uma atividade de Modelagem Matemática pode propiciar um ambiente para que, por meio da coordenação dos diferentes registros de representação, os alunos consigam desenvolver o pensamento matemático avançado.

Palavras-chave: Modelagem Matemática. Registros de Representação. Pensamento

matemático.

1. INTRODUÇÃO

Neste artigo apresentamos um estudo referente a uma atividade de Modelagem Matemática que tem como tema o aquecimento global, com ênfase na quantidade média de chuvas e temperaturas na cidade de Londrina, no estado do Paraná. A análise da atividade é feita à luz dos registros de representação semiótica e do pensamento matemático.

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A Modelagem Matemática é uma perspectiva da Educação Matemática que estuda situações com dados baseados na realidade e que possibilita realizar previsões de fenômenos. Assim, sendo o foco da análise no ensino e na aprendizagem da Matemática, usamos como alternativa pedagógica a Modelagem Matemática.

Segundo Vertuan (2007), atividades de Modelagem Matemática proporcionam o uso de diferentes registros de representação semiótica. Isso ocorre, pois os objetos matemáticos são inacessíveis à percepção, necessitando de uma representação para se tornarem acessíveis. O pensamento matemático avançado, de acordo com Costa (2002), desenvolve-se na pessoa a partir de vários processos que interagem entre si, ou seja, a partir da coordenação de vários processos, nos quais se pode incluir o ato de representar objetos matemáticos.

Ao utilizar o referencial teórico dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval, o sentido do pensamento matemático avançado citado por Costa (2002) e Tall (2005) e a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem da Matemática, abordamos uma atividade de Modelagem Matemática e a analisamos, a fim de verificar a disposição dos diferentes registros de representação semiótica e a coordenação do pensamento matemático envolvido na mesma.

2. QUADRO TEÓRICO QUE FUNDAMENTA O TRABALHO

2.1 Sobre o conceito de Função e seus diferentes registros de representação semiótica

“Função” é um conceito matemático muito utilizado em diferentes áreas do conhecimento e pode ser associado à descrição de diversos fenômenos físicos e sociais.

No âmbito da Educação Matemática, como está explicitado nos PCNEM (BRASIL, 1998), “é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de idéias e permite modelar a realidade e interpretá-la”(p. 40).

Segundo Dominoni (2005), a função é caracterizada como um instrumento na busca de regularidades, estabelecendo relações entre duas ou mais variáveis.

Para Zuffi (2001), parece não existir consenso entre os diversos autores, sobre a origem do conceito de função. Alguns deles consideram que os babilônios já possuíam um

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instinto do que é função, desde cerca de 2000 a.C., em seus cálculos com tabelas sexagesimais de quadrados e de raízes quadradas, as quais podiam ser tomadas como “funções tabuladas”, e que eram destinadas a um fim prático. Os gregos também possuíam tabelas que faziam uma conexão entre Matemática e Astronomia, mostrando que percebiam a idéia de dependência entre variáveis. Os franceses demonstraram indícios de idéias primárias de função anteriores a 1361, quando Nicole Oresme descreveu graficamente o movimento de um corpo com aceleração uniforme.

Segundo Youschkevitch (1976, apud ZUFFI, 2001), há três fases principais do desenvolvimento da noção de função:

a Antigüidade, na qual o estudo de casos de dependência entre duas quantidades ainda não havia isolado as noções de variável e de função;

a Idade Média, quando as noções eram expressas sobre uma forma geométrica e mecânica, mas em que ainda prevaleciam, em cada caso concreto, as descrições verbais ou gráficas;

o período Moderno, a partir do século XVII, quando começam a prevalecer as expressões analíticas de função.

De acordo com Zuffi (2001), foi Leibniz quem, na década de 1670, usou o termo ‘função’ para se referir a “certos segmentos de reta cujos comprimentos dependiam de retas relacionadas a curvas”. Jean Bernoulli em 1673 utilizou o termo função para designar quantidades que dependem de uma variável e utilizou várias notações para uma função de x, das quais a que mais se aproxima da notação atualmente em uso é ‘ fx ’.

Segundo Sierpinska (1992, apud ZUFFI, 2001), outra definição foi dada por Leonard Euler,

uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica, composta de alguma maneira desta mesma quantidade e de números ou quantidades constantes. Assim, qualquer expressão analítica a qual, além da variável z, contém também quantidades constantes, é uma função de z (p. 12).

Euler trouxe grandes contribuições para a linguagem simbólica e as notações que utilizamos hoje para denotar uma função de x, entre elas, f(x).

Segundo Sierpinska (1992, apud ZUFFI, 2001), função, também foi definida pelo matemático francês Jean-Louis Lagrange,

Chama-se função de uma, ou várias quantidades, toda expressão de cálculo nas quais estas quantidades entram de uma maneira qualquer, misturadas ou não com outras quantidades, que se vêem como valores dados e invariáveis, de modo que

419 as quantidades da função podem receber todos os valores possíveis. Assim, nas funções consideram-se somente as quantidades que sejam variáveis, sem consideração às constantes que podem estar aí misturadas (p. 12).

Ainda como apresentado em SIERPINSKA (1992, apud ZUFFI, 2001), para o matemático francês Augustin Cauchy, “chamam-se funções de uma ou várias quantidades variáveis às quantidades que se apresentam, no cálculo, como resultados de operações feitas sobre uma ou várias outras quantidades constantes ou variáveis” (p. 13).

Zuffi (2001) relata que em 1837, Peter Gustav Lejeune-Dirichlet, propôs a seguinte definição geral de função, que foi amplamente aceita até meados do século XX.

Se uma variável y está relacionada a uma variável x de modo que, ao se atribuir qualquer valor numérico a x, existe uma regra de acordo com a qual um único valor de y é determinado, então y é dito ser uma função da variável independente x (p. 13).

Neste trabalho consideramos a definição de função dada por Iezzi et all (2002). “Se x e y são duas variáveis reais tais que para cada valor atribuído a x existe, em correspondência, um único valor para y , dizemos que y é função de x” (p. 40).

A definição da Função Cosseno que utilizamos neste trabalho é aquela apresentada por Iezzi (1993): “Denominamos função cosseno a função f :ℜ→ℜ que associa a cada real x o real y=cosx, isto é, f

( )

x =cosx” (p. 103).

A função cosseno é um objeto matemático que apresenta diferentes registros de representação. A coordenação entre esses diferentes registros é importante para que ocorra a conceitualização do objeto matemático em estudo.

2.1.1 Os diferentes registros de representação da função cosseno

Para comunicar e ensinar conceitos, propriedades, estruturas e relações associados aos objetos matemáticos, é preciso levar em consideração as diferentes formas de representação desse objeto. O que se estuda e se ensina são as representações dos objetos matemáticos e não os próprios objetos matemáticos.

Para Duval (2003), o acesso aos objetos matemáticos passa necessariamente por representações semióticas. As representações semióticas são externas e conscientes da pessoa. Elas realizam uma função de tratamento intencional, fundamental para a aprendizagem humana.

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Entre os exemplos de representações semióticas, podemos destacar a escrita em língua natural, a escrita algébrica e os gráficos cartesianos. Esses diferentes registros1 são perceptíveis no estudo de função. No entanto, ao trabalhar com funções, por exemplo, os gráficos, as tabelas e as equações são registros parciais do objeto matemático em questão (funções). Para Dominoni (2005), sendo parcial, um registro pode complementar o outro. No entanto, é preciso relacionar os diferentes registros de representação, com suas próprias especificidades para que se possa conceitualizar o objeto matemático.

Para que um sistema de representação semiótico seja considerado um registro de representação semiótica, Duval (2003) afirma que é preciso que esse sistema permita três atividades cognitivas:

a formação de uma representação identificável, ou seja, a partir de um registro de representação, saber qual é o objeto matemático que está sendo representado;

o tratamento de um registro de representação, ou seja, transformações de representações dentro de um mesmo sistema de registros;

a conversão de um registro de representação, ou seja, transformações de representações onde há mudanças de sistemas de registros, conservando os objetos estudados.

É importante transitar entre os diferentes tipos de representação, fazendo a conversão de um registro para outro. Para Damm (1999), “quanto maior for a mobilidade com registros de representação diferentes do mesmo objeto matemático, maior será a possibilidade de apreensão deste objeto” (p. 144).

No entanto, para que ocorra a conceitualização do objeto matemático em estudo, além de se realizar conversões de um registro para outro, é necessário que exista uma coordenação entre os registros, ou seja, é preciso compreender que os diferentes registros referem-se ao mesmo objeto matemático e podem se complementar no sentido de que um registro pode expressar características ou propriedades do objeto matemático que não são expressas com clareza em outro registro.

O conceito ‘função’ é utilizado em várias áreas do conhecimento e, levando em consideração a importância do estudo da Função Cosseno, encaminhamos nossa proposta pedagógica para o estudo dos diferentes registros de representação desta função.

_____________

1

Em alguns momentos, utilizamos registros ou registros de representação para nos referirmos aos registros de representação semiótica, a fim de evitar repetição.

421

A Função Cosseno pode ser representada por meio de diferentes registros que transparecem suas propriedades. O estudo desses diferentes registros pode contribuir para a construção da conceitualização desse objeto matemático. No desenvolvimento do estudo de Função Cosseno, podem-se destacar registros de representação, como: o língua natural, o tabular, o gráfico e o algébrico.

A língua natural corresponde à linguagem materna com a qual o ser humano se comunica. O registro de representação tabular usa de uma disposição espacial, em forma de tabela, que contém elementos de dois conjuntos. Para que uma tabela represente uma Função Cosseno, ela deve incorporar as propriedades desta função. No registro gráfico existe o plano cartesiano, onde estão dispostos dois eixos ortogonais 0x e y0 , que têm a mesma origem 0. Esse plano é utilizado para localizar pontos, realizar construções geométricas como linhas e curvas, que representam a função. A representação algébrica utiliza-se de um conjunto de operações entre coeficientes numéricos e variáveis, geralmente expressas por letras, de tal maneira que possa representar a relação entre as variáveis.

Estudando a função cosseno por meio de diferentes registros de representação e realizando as atividades de tratamento e conversão, além da coordenação entre esses diferentes registros, visualizamos o que Costa (2002) coloca sobre o sentido do pensamento matemático avançado. Na próxima seção apresentamos um panorama do que corresponde ao pensamento matemático avançado.

2.2 Sobre o pensamento matemático avançado

Segundo Costa (2002), o pensamento matemático avançado ocorre quando uma grande série de processos interage entre si. Segundo esse autor, para que ocorra a compreensão da matemática, tais processos são, por exemplo, “os processos de representar, visualizar, generalizar, ou ainda tais como classificar, conjecturar, induzir, analisar sintetizar, abstrair ou formalizar” (p. 257). O pensamento matemático avançado é mais caracterizado no sentido dos matemáticos que criam, fazem conjecturas e provam teoremas, mas os alunos, assim como os matemáticos, podem se envolver com situações que lhes são dadas e desenvolver diferentes registros de representações, fazendo conjecturas para o objeto matemático apresentado e, assim, desenvolvendo o pensamento

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matemático.

De acordo com Gray et. al (1999) o crescimento matemático da pessoa se dá do pensamento matemático elementar para o pensamento matemático avançado. A transição ao pensamento matemático avançado se dá “da descrição à definição, do convencimento à prova” de uma maneira lógica baseada em definições e teoremas. A transição do modo de pensar do aluno está relacionada com a coerência da matemática elementar para a conseqüência da matemática avançada.

Por meio dos diferentes registros de representação feitos pelos alunos podemos ter uma “imagem” do pensamento matemático avançado, e observar se os alunos desenvolvem uma habilidade de raciocinar de uma maneira lógica.

Segundo Gray et. al (1999), a noção de pensamento matemático avançado é mais sutil do que a do pensamento matemático elementar; ela envolve a criação de novos mundos mentais na mente do aluno que podem ser inteiramente hipotéticos para que este consiga, por meio das definições formais, chegar à prova matemática. Para Tall (2004), o pensamento matemático avançado ocorre no mundo axiomático formal, definido por ele em sua teoria dos três mundos da matemática. Segundo Tall (2004), o mundo axiomático formal é baseado em propriedades lógicas deduzidas a partir de axiomas, expresso em termos formais que são usados como axiomas, como o conceito da função cosseno.

Segundo Costa (2002) as características do pensamento matemático avançado existem na pessoa “desde o ato criativo de considerar um contexto problema em pesquisa matemática que conduz a formulação criativa de conjecturas até ao estágio de refinamento e prova” (p. 259). Para que o aluno chegue a este estágio têm-se a necessidade de começar com conjecturas e debates, construindo significados para os objetos matemáticos.

Segundo Costa (2002) um dos aspectos que define o pensamento matemático avançado e o difere do pensamento matemático elementar é a “possibilidade de definição formal e dedução”. De acordo com Tall (1995) o que separa o pensamento matemático elementar do pensamento matemático avançado é o que caracteriza a mudança ocorrida com a introdução do método axiomático, nos quais os objetos têm um estado cognitivo como conceitos definidos e construídos a partir de definições verbais.

A partir do momento em que os alunos fazem conjecturas sobre o objeto matemático, coordenam os diferentes registros de representação do mesmo, partem de percepções do mesmo para o ato de agir sobre eles, há um encaminhamento para desenvolver um pensamento matemático avançado.

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Uma alternativa pedagógica que faz com que o aluno faça conjecturas, generalizações, utilize meios de representar o objeto matemático para que possa fazer generalizações entre os diferentes processos e dados da realidade é a Modelagem Matemática, que pode assim propiciar o desenvolvimento do pensamento matemático.

2.3 Modelagem Matemática na Educação Matemática

A Modelagem Matemática no âmbito da Educação Matemática tem sido encarada por muitos pesquisadores como um processo que procura entender e explicar os fenômenos da realidade, ou seja, que trata por meio da Matemática assuntos não-matemáticos.

Assumimos neste trabalho a Modelagem Matemática enquanto alternativa pedagógica caracterizada por Almeida & Brito (2005), como sendo uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da matemática, de um problema não essencialmente matemático, no qual a Modelagem2 pode proporcionar ao aluno a possibilidade de atribuir sentido e construir significados para os conceitos matemáticos com que se defronta nas aulas de matemática.

Na Modelagem Matemática, o modelo matemático, segundo Almeida (2005), pode ser definido como um conjunto consistente de estruturas e relações matemáticas que descreve um fenômeno ou uma situação real. O modelo matemático é assim uma representação da realidade. A Modelagem Matemática consiste na obtenção, aplicação e validação deste modelo.

Segundo Bassanezi (2002), a Modelagem Matemática consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual, que é uma representação da situação que está sendo estudada. Vertuan & Almeida (2007) perceberam que as atividades de Modelagem viabilizam a utilização e exploração de diferentes registros de representação semiótica bem como o tratamento, a conversão e a coordenação entre os registros.

Neste trabalho associamos os diferentes registros de representação aos processos citados por Costa (2002) que definem o pensamento matemático avançado, atentos ao que cita Niss (1992) de que as atividades de Modelagem ajudam a motivar e a apoiar a _____________

2

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aquisição e a compreensão de conceitos, métodos e resultados matemáticos, ou seja, que ajudam na compreensão e aquisição de saberes desenvolvendo assim o pensamento matemático.

Assim, encaramos a Modelagem Matemática como um processo que procura entender e explicar os fenômenos da realidade, ou seja, que trata por meio da matemática de assuntos não-matemáticos e que pode proporcionar o desenvolvimento do pensamento matemático por meio dos diferentes registros de representação.

Levando em consideração algumas das contribuições da Modelagem apontadas na literatura, apresentamos uma situação de Modelagem Matemática por meio da qual é possível desenvolver o estudo da função cosseno. A situação apresentada é oriunda de um trabalho final apresentado à disciplina de Modelagem Matemática do curso de Licenciatura em Matemática desenvolvida por uma das autoras deste artigo.

3. UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA

A atividade de Modelagem Matemática desenvolvida refere-se ao aquecimento global, um fenômeno climático de grande proporção econômica, política e social.

O aquecimento global refere-se ao aumento da temperatura média dos oceanos e do ar próximo à superfície terrestre que tem se verificado nas décadas mais recentes, e à possibilidade da sua continuação durante o corrente século.

Muito se fala sobre as causas deste fenômeno e como poderíamos salvar o planeta de suas conseqüências. A principal evidência do aquecimento global diz respeito às altas temperaturas registradas em todo o mundo e à mudança brusca de temperatura em algumas regiões do planeta.

As altas temperaturas e os baixos níveis de chuva são geralmente citados na mídia como conseqüências de que o aquecimento da Terra está afetando nosso dia-a-dia, deixando nossos invernos mais amenos e nossos verões mais quentes. Por meio da Matemática é possível fazer previsões de como esses fenômenos podem se comportar nos próximos anos. Assim, percebemos a aplicação da Matemática em nosso cotidiano.

A atividade tem que apresentamos tem como tema “Chuvas e Temperatura em uma região do norte do Paraná” e possibilita problematizar e investigar, por meio da Matemática, uma situação com referência na realidade por meio do estudo do índice médio de chuvas e temperaturas na cidade de Londrina, no estado do Paraná.

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O objetivo do trabalho foi analisar a variação de temperaturas e chuvas na cidade de Londrina, baseada nos dados de 1999 a 2005, para em seguida, por meio do modelo, prever a temperatura e quantidade de chuvas para os próximos anos.

Os dados para o desenvolvimento da atividade foram coletados no Instituto Agronômico do Estado do Paraná (IAPAR), no período de 1999 a 2005 na cidade de Londrina e estão dispostos na tabela 1.

Tabela 1: Índice médio de chuvas (ml) e temperaturas (ºC) no

município de Londrina. Ano Quantidade média

de chuvas (em ml) Temperatura média (em ºC) 1 1999 108,88 21,4 2 2000 126,00 21,1 3 2001 142,95 21,3 4 2002 122,46 21,1 5 2003 105,37 21,0 6 2004 128,29 21,1 7 2005 118,80 21,4 Fonte: Iapar – PR.

A partir desses dados, pretendemos estudar a variação da quantidade média de chuvas e a temperatura média do município de Londrina no decorrer dos anos.

A partir dos dados apresentados selecionamos as variáveis: variável independente: n→ tempo em anos; (com n≥1999) variáveis dependentes: C→ quantidade média de chuvas (em ml)

T → temperatura média (em ºC)

A partir de um programa computacional, o software Curve Expert, fizemos uma conversão do registro tabular para o registro gráfico, conforme apresentado nos Gráficos 1 e 2. O software foi utilizado para identificar qual função melhor se ajusta aos dados obtidos, bem como a plotagem dos respectivos gráficos.

426 Ano (tn) P re c ip it a ç ã o ( m m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 100 108 116 124 132 140 148 Ano (tn) P reci p it a ç ã o ( m m ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 20.0 20.5 21.0 21.5 22.0

De acordo com os dados e os gráficos obtidos o software apontou duas expressões que melhor se ajustam aos dados abordados. Dessa forma, utilizando um programa computacional foram feitas conversões dos registros gráficos para os registros algébricos. Os registros algébricos que correspondem à quantidade média de chuvas e à temperatura média de Londrina nos anos de 1999 a 2005 são, respectivamente,

(

8,1399331. 0,840.64089

)

cos . 567197 , 14 04477 , 122 ) (n = + n+ C , onde n∈IN,n>0 e

(

8,2946895. 1,0423764

)

cos . 17915916 , 0 170073 , 21 ) (n = + n− T , onde n∈IN,n>0.

É notável que ambas as expressões envolvam a função cosseno devido ao fato de que o intervalo de dados obtidos foi em anos e não em décadas, que seria o necessário para se avaliar os efeitos do aquecimento global.

Para entendermos o que o modelo representa fizemos um estudo dos parâmetros das funções, que são responsáveis por onde a curva se localiza no plano.

De modo geral, a função cosseno é escrita como: y=a+b⋅cos

(

cx+d

)

, sendo a,

b, c e d os parâmetros responsáveis por onde a curva se localiza no plano.

a – influência no deslocamento vertical da curva;

b – amplitude da curva;

c – período

( )

p da função, sendo calculado da seguinte forma: c p = 2π ;

d – translação no eixo horizontal.

Primeiramente vamos analisar o modelo encontrado que descreve a quantidade

Gráfico 1: Índice médio de chuvas em

função do tempo.

Gráfico 2 Índice médio de temperaturas

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média de chuvas que é dado por

(

8,1399331. 0,840.64089

)

cos . 567197 , 14 04477 , 122 ) (n = + n+ C , onde n∈IN,n>0.

Para o estudo de tal modelo, realizamos a conversão do registro algébrico para o registro gráfico que representa a função C(n). Esse registro está representado no Gráfico 3.

Gráfico 3: Quantidade média de chuvas em Londrina em função do tempo.

Ao analisar o registro algébrico e o registro gráfico podemos observar, de acordo com o estudo dos parâmetros da função C(n), que

122,04477, representa a influência deslocamento vertical da curva 14,567197, indica a amplitude da curva

8,1399331, determina o período da função

0,84064089, responsável pela translação do eixo horizontal.

Analisando o modelo encontrado que descreve a temperatura média dado por

(

8,2946895. 1,0423764

)

cos . 17915916 , 0 170073 , 21 ) (n = + n− T , onde n∈IN,n>0,

também podemos fazer um estudo referente aos parâmetros da função.

No entanto, da mesma forma que no estudo da quantidade de chuvas, para o estudo do modelo referente à temperatura média, realizamos a conversão do registro algébrico para o registro gráfico que representa a função T(n). Esse registro está

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Gráfico 4: Temperatura média em Londrina em função do tempo.

Ao analisar o registro algébrico e o registro gráfico podemos observar, de acordo com o estudo dos parâmetros da função T(n), que

21,170073 que representa o deslocamento vertical da curva, ou seja, o quanto a temperatura pode aumentar em determinado período.Primeiramente vamos analisar o modelo encontrado que descreve a quantidade média de temperaturas.

0,17915916 que representa a amplitude da curva. 8,2946895 que determina o período da função

-1,0423764 responsável pela translação no eixo horizontal.

Quando fazemos a análise do modelo obtido, estamos fazendo classificações a partir do pensamento matemático elementar de que dispomos para avançarmos nos processos do pensamento matemático avançado, indo da descrição dos modelos às suas definições, visualizando o que cada um de seus parâmetros representa na situação como um todo. É no momento da análise do modelo obtido, que os alunos podem abstrair e representar o conceito matemático de Função Cosseno.

Para tanto, é preciso entender que os registros algébricos e os registros gráficos correspondem ao objeto matemático ‘função cosseno’ abordado em cada um dos modelos estudados. A conversão em diferentes registros de representação possibilita ao aluno coordenar o pensamento e assim desenvolver o pensamento matemático avançado. Nessa atividade, é possível perceber a abordagem dos registros tabular, algébrico e gráfico da função cosseno.

Observe que quando os alunos executam a coordenação entre os diferentes registros de representação, primeiro do tabular para o algébrico e, em seguida, do algébrico para o gráfico, fica evidente os processos representar, visualizar e em seguida generalizar citados por Costa (2002) que caracterizam o pensamento matemático avançado. Quando os alunos percebem o mesmo objeto matemático em diferentes representações e as utilizam

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para melhor compreender a situação temos um desenvolvimento do pensamento matemático em busca da solução e generalização do problema.

Após a conversão do registro algébrico para o registro gráfico, é preciso verificar se os modelos correspondem à realidade. Para isso, é preciso realizar a validação de tais modelos, ou seja, o processo de generalização, de análise e síntese do modelo. Para tanto, utiliza-se um registro tabular que apresenta a porcentagem de erro entre os valores obtidos pelos modelos e os valores reais. Essa validação é expressa nas Tabelas 3 e 4.

Tabela 3 Diferença do valor obtido CE e os dados iniciais C com a respectiva

porcentagem de erro.

Ano n CE(n) C(n) CE(n) – C(n) % do Erro

1999 1 108,89128 108,88 0,01128 0,01 2000 2 119,74908 126,00 -6,25092 5,22 2001 3 136,49335 142,95 -6,45665 4,73 2002 4 116,18942 122,46 -6,27058 5,40 2003 5 110,89943 105,37 5,52943 4,99 2004 6 134,18766 128,29 5,89766 4,40 2005 7 126,33981 118,80 7,53981 5,97

Tabela 4 Diferença do valor obtido TE e os dados iniciais T com a respectiva

porcentagem de erro.

Ano n TE(n) T(n) TE(n) – T(n) % do Erro

1999 1 21,27148 21,4 -0,12852 0,60 2000 2 20,99323 21,1 -0,10677 0,51 2001 3 21,21954 21,3 -0,08046 0,38 2002 4 21,30471 21,1 0,20471 0,96 2003 5 21,00574 21,0 0,00574 0,03 2004 6 21,17564 21,1 0,07564 0,36 2005 7 21,32966 21,4 -0,07034 0,33

Após a validação dos modelos, com a construção de gráficos comparando a situação modelada com a realidade é possível perceber que, em um curto período de tempo, os modelos obtidos são satisfatórios, como mostra os Gráficos 5 e 6.

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Gráfico 5: Índice médio de chuvas Gráfico 6: Índice médio de temperaturas

Nesse caso, houve uma conversão dos registros algébricos para os registros gráficos. E um desenvolvimento do pensamento caracterizado pelos processos de abstrair a partir da coordenação de representações e informações e de conjecturas baseadas nos dados iniciais uma possível solução para a situação levantada.

Comparando os dados observados e os dados estimados pelos modelos obtidos, podemos concluir que os modelos são satisfatórios para descrever a situação em estudo em um intervalo pequeno de dados, visto que os efeitos no clima são notáveis apenas com intervalos maiores, assim para um estudo visando o aquecimento global faz-se necessário a renovação do modelo com um intervalo maior de dados.

Ao fazer a previsão dos valores médios futuros para o índice de chuvas e a temperatura média, é preciso realizar tratamentos nos modelos. Formalizando assim a situação apresentada para os anos seguintes. Para isso, basta atribuir valores naturais para

n maiores do que sete, o que pode ser observado na Tabela 5.

Tabela 5: Previsões futuras

Ano n CE(n) TE(n)

2006 8 107,48 21,03 2007 9 125,98 21,13 2008 10 134,40 21,34 2015 17 130,05 21,05

A atividade de Modelagem desenvolvida permite ajustar aos dados uma função cosseno em função do tempo dado em anos. Além de encontrar a função que melhor se ajusta aos dados, é possível realizar a coordenação entre o registro gráfico e o algébrico da função em estudo desenvolvendo assim o pensamento matemático avançado que permite visualizar em diferentes representações o mesmo objeto matemático e associá-lo à

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realidade. No processo de validação do modelo faz-se o cálculo da diferença entre os dados obtidos e os dados reais coletados, é possível plotarmos um gráfico que nos mostra a comparação do modelo matemático com os dados da realidade. Após a validação dos modelos, podemos então fazer uma previsão dos valores futuros referentes a quantidade média de chuvas e temperaturas, formalizando assim o problema inicial.

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste trabalho, a Modelagem Matemática enquanto alternativa pedagógica pôde proporcionar um ambiente para o ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos.

A Modelagem Matemática enquanto alternativa pedagógica possibilita ao aluno coordenar diferentes registros de representação, fazer conjecturas a partir de dados da realidade para chegar a uma solução matemática do problema, desenvolvendo assim o pensamento matemático avançado. Tal desenvolvimento pode ser observado quando os alunos encontram a função, verificam se tal função é a que melhor se ajusta ao problema e validam o problema, propondo previsões futuras.

Observando as características de cada registro de representação, percebemos que um complementa o outro, e percebemos sua relevância no ensino e aprendizagem do conceito da Função Cosseno, pois é no reconhecimento, na conversão e na coordenação entre os diferentes registros que é possível manipular o objeto matemático abstrato, tornando-o significativo.

O desenvolvimento do pensamento matemático avançado é uma conseqüência de atividades bem desenvolvidas, nas quais o aluno pode por meio da coordenação de diferentes registros de representação fazer conjecturas, representar conceitos matemáticos, generalizar, ou seja, abstrair a partir de uma situação real um conceito matemático como o da função cosseno.

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Agradecemos ao Grupo de Pesquisas sobre Modelagem Matemática e Educação Matemática (GRUPEMMAT) pelas sugestões e críticas que possibilitaram a finalização deste trabalho.