CONTROLE ROBUSTO APLICADO A MOTORES MANCAIS MAGNE TICOS UTILIZANDO CONTROLE H

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CONTROLE ROBUSTO APLICADO A MOTORES MANCAIS MAGN´ETICOS UTILIZANDO CONTROLE H∞

Alex Franco∗, A. C. Del Nero Gomes†

∗_CPN

Rio de Janeiro RJ

†_{Programa de Engenharia El´}_etrica

COPPE-UFRJ Rio de Janeiro RJ

Emails: alex@cpn.mar.mi.br, afel@coep.ufrj.br

Abstract— Conventional magnetics bearings generate restoring radial forces on axes, but not torques. Self-bearing machines are magnetic devices used for spinning and positioning rotors without mechanical contact. One way of achieving this dual capability is by rearranging the windings of an electrical motor in such a way as to provide both torque and radial restoring forces. Proportional Derivative Integral (PID) and Linear Quadratic Regulator (LQR) control techniques have been applied to a prototype at the Laboratory of Applied Supercon-ductivity at the Federal University of Rio de Janeiro. This paper deals with H∞control techinques used obtain robust stability and performance. Performance criteria were stabilished, and a model of the uncertainties was derived to allow the verification of the closed loop results with the µ test.

Keywords— Self-bearing machines, Robust Control, H∞control.

Resumo— Mancais magnéticos convencionais geram for¸cas radiais de restaura¸cão em eixos, mas não geram torque. Motores mancais magnéticos são equipamentos utilizados para produzir torque e posicionar rotores sem contato mecânico. Uma solu¸cão para obter esta dupla capacidade é o rearranjo dos enrolamentos do motor elétrico em uma configura¸cão que permita a gera¸cão de torque e de for¸cas radiais de restaura¸cão. As técnicas de controle Proporcional Integral Derivativo (PID) e Regulador Linear Quadrático (LQR) tem sido usadas em um protótipo no Laboratório de Supercondutividade Aplicada (LASUP) da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). Este artigo trata da aplica¸cão da técnica de controle H∞ para obter estabilidade e robustez. Foram definidos os critérios de desempenho e um modelo para as incertezas paramétricas que permitiram verificar o atendimento aos requisitos de estabilidade e desempenho utilizando o teste µ.

Palavras-chave— Motor Mancal Magn´etico, Controle Robusto, controle H∞.

1 Introdu¸c˜ao

Uma forma de obter a dupla capacidade do motor mancal magnético em centralizar e gi-rar o eixo é pela separa¸cão dos enrolamen-tos de um motor de indu¸cão convencional, de modo a gerar for¸cas de atra¸cão em di-re¸cões ortogonais e também produzir torque (Salazar and Stephan, 1993) (Kahoo et al., 2002).

Figura 1: Prot´otipo do LASUP/UFRJ.

A literatura neste campo não é tão vasta (David, 2000) (Chiba et al., 2005) (Schob and Bichsel, 1994). A figura 1 mostra o protótipo de um motor mancal magnético desenvolvido na COPPE/UFRJ nas ´

ultimas duas décadas. No estágio atual, o posicionamento vertical do eixo é mantido por um mancal mecânico, e a posi¸cão horizontal pelo motor mancal. As técnicas de controle utilizando o controlador Pro-porcional Integral Derivativo (PID) e o Regulador Linear Quadrático (LQR) para o posicionamento

radial já foram implementadas neste protótipo, apresentando bons resultados (Gomes, 2007) (Kauss, 2008). Estes controladores possibilitam desempenho e estabilidade, porém as incertezas do modelo podem comprometer os resultados. É importante ressaltar que o tipo de motor mancal magnético aqui estudado possui modelos mais complicados que os dos mancais magnéticos con-vencionais, pela presen¸ca de distúrbios senoidais que são negligenciados para facilitar a análise (David, 2000). Para superar este problema, há a necessidade de adotar técnicas de controle robusto.

A descri¸cão matemática dos dispositivos mag-néticos lida com hipóteses e aproxima¸cões, acarre-tando discrepâncias entre o sistema real e seus mo-delos. Este trabalho utiliza a abordagem do con-trole H∞ (Jastrzebski, 2009), (Zhou and Doyle,

1997), (Namerikawa and Fujita, 2001) ,(Limebeer and Green, 1995), visando minimizar a norma in-finita da fun¸cão sensibilidade do sistema para ob-ter um desempenho robusto, levando em consi-dera¸cão as incertezas da planta. Adicionalmente, o teste do valor singular estruturado (µ) serviu para a análise da robustez. Para representar o sistema com as incertezas paramétricas conside-radas, usou-se a Transforma¸cão Linear Fracionada

(2)

(LFT).

A contribui¸cão mais importante deste traba-lho é a aplica¸cão do controle H∞ para motores

mancais magnéticos. Simula¸cões mostraram re-sultados bastante satisfatórios.

2 Modelo Matem´atico

O motor mancal magnético consiste em um mo-tor de indu¸cão modificado para 2 fases e 4 pólos. Um esbo¸co de seu estator é mostrado na figura 2. Maiores detalhes desta se¸cão podem ser visto em (David, 2000) ou (David et al., 2000). As bobinas da fase A são separadas, e as amplitudes das cor-rentes em cada uma delas podem ser controladas independentemente. As bobinas da fase B não são alteradas.

Figura 2: Estator com 4-polos, 2-fases. Elas permanecem conectadas e s˜ao percorri-das pela corrente iB(t) = I0cos ωt. A fase A ´e

ali-mentada com correntes independentes dadas por i3(t) = iA(t) − ix(t); i1(t) = iA(t) + ix(t); (1)

i2(t) = iA(t) − iy(t); i4(t) = iA(t) + iy(t), (2)

onde a corrente de base ´e iA(t) = I0sin ωt; ix(t) =

uxsin ωt e iy(t) = uysin ωt s˜ao correntes

diferen-ciais que atuam como entradas de controle. Um mancal mecânico evita movimentos na di-re¸cão vertical. O rearranjo das bobinas produz for¸cas de posicionamento horizontal (radial). Os sensores, instalados na parte superior do prot´ o-tipo, cota d da figura 3, medem os deslocamentos horizontais x e y. As for¸cas radiais geradas pelo motor mancal são

fx= 2kpx + ki[1 − cos(2ωt)]ux, (3)

fy = 2kpy + ki[1 − cos(2ωt)]uy. (4)

´

E importante salientar que os termos kpe kiacima

não são constantes, como as fórmulas sugerem. Eles dependem da frequência elétrica do rotor σω, onde σ representa o escorregamento, e assim, o modelo depende da frequência considerada. Ou-tra prática comum é negligenciar o termo cos 2ωt,

levando `a express˜ao simplificada fx= kpx + kiux.

Os controladores PID e LQR utilizados até agora são baseados nesta expressão. O uso da técnica H∞ desenvolvida neste trabalho tem como

obje-tivo superar este problema.

3 A Dinˆamica do Sistema

A figura 3 mostra o esquemático do rotor, com o sistema de referência fixado na posi¸cão inferior, onde o mancal mecânico é posicionado (Schweitzer and Traxler, 1994) and (Knosp and Collins, 1994). O desenvolvimento deste modelo detalhadamente é descrito em (Stephan et al., 2013). Os

momen-CM X Y Z a b c d Sensores de posição

α

β

Figura 3: O rotor e o sistema de referência. tos de inércia do rotor com rela¸cão aos eixos x e y são os mesmos, devido à simetria: J = Jx= Jy; o

momento de inércia com rela¸cão a z é Iz. As leis

dinˆamicas de Newton para o movimento rotacio-nal s˜ao: J ¨β − ωrIzα =˙ X py; J ¨α − ωrIzβ˙ X px, (5)

onde px,y representa o torque externo.

Reescre-vendo (5) na forma vetorial obtemos: J ¨θ +ωrIz 0 1 −1 0 ˙ θ = bKpθ +Ku ux uy , (6) onde θ = [β −α]T_{, o coeficiente do termo de}

pri-meira ordem, a matriz giroscópica, será denotada por G, e definimos: Kp = 2 kp 0 0 kp ; e Ku = (1 − cos 2ωt) ki 0 0 ki . Para expressar a equa¸cão dinâmica para os des-locamentos medidos pelos sensores (xd e yd)

(3)

β = xd/d e sin α ≈ α = −yd/d, o que equivale a

θ = d−1zd onde zd= [xd yd]T. O resultado ´e

¨

zd+ ¯Kgz˙d− ¯Kpzd= ¯Kuu (7)

onde u = [ux uy]T ´e o vetor de controle, ¯Kg =

GJ−1, ¯Kp= bKpJ−1 e ¯Ku= dKuJ−1. Definindo

o vetor de estados x = [xd yd x˙d y˙d]T, o modelo

linear no espa¸co de estados para o funcionamento do sistema de posicionamento ´e:

˙

x(t) = Ax(t) + Bu(t) − Bu(t) cos 2ωt (8) onde A = 0 I2 bdKpJ−1I2 −GJ−1 ; e (9) B = 0 dbKuJ−1I2 . (10)

Este é um modelo linear e invariante no tempo (LTI), com uma entrada de controle de varia¸cão lenta u(t), que após ser modulado por cos 2ωt, também age como um sinal de distúrbio. O dia-grama de blocos do sistema descrito em (8) é visto na figura 4. Assumindo que os distúrbios harmˆ

o-B

∫

A

+ u c o s 2ωt −

x

.

x

Figura 4: Modelo LTI para o posicionamento do sistema.

nicos são “absorvidos pela massa”, que age como um filtro passa baixa, a expressão descrita pela equa¸cão (8) pode ser substitu´ıda pela tradicional

˙

x(t) = Ax(t) + Bu(t). (11) 4 Modelo com Incertezas

As incertezas são agrupadas em três parâmetros na equa¸cão (7): ¯Kg depende da velocidade do

ro-tor; K¯p e K¯u s˜ao fun¸c˜oes de kp e ki, os quais

dependem da frequência elétrica σω. Deste modo, em strict sense, o modelo somente representa o sistema real para uma determinada velocidade do rotor. Estes parâmetros podem variar considera-velmente, porém se assume que eles variam dentro de um intervalo conhecido. Redefine-se então os parâmetros do modelo do sistema:

Kg = K¯g(1 + pgδg), (12)

Kp = K¯p(1 + ppδp), (13)

Ku = K¯u(1 + puδu), (14)

onde K¯g, K¯p e K¯u s˜ao valores nominais.

Considera-se que pg = pp = pu = 0, 2,

represen-tam a variabilidade param´etrica de 20%, e que os valores dos δ est˜ao dentro dos intervalos −1 ≤ δg ≤ 1, −1 ≤ δp≤ 1, −1 ≤ δu ≤ 1, que

represen-tam as incertezas dos parâmetros. Substituindo os valores médios dos parâmetros pelas variáveis com as incertezas em (7), pode-se reescrevê-la: ¨

zs+Kg(1+pgδg) ˙zs−Kp(1+ppδp)zs= Ku(1+puδu)u.

(15) Para representar o modelo dinˆamico como uma LFT, o diagrama em blocos na figura (5) ´e utili-zado, nomeando as entradas como yg, yp e yu e as

sa´ıdas como ug, upe uupara os blocos δ. A partir

∫

Ku Kg Kp pu pg pp u yu uu ug yg yp up Zs Zs . .. Zs u δ g δ p

δ

__ __ __

Figura 5: Diagrama de blocos com a representa¸c˜ao das incertezas.

deste diagrama, é poss´ıvel obter as equa¸cões que descrevem a planta G e a matriz ∆ das incerte-zas, estruturas básicas da técnica H∞, conforme

mostrado em (16) e (17).         ˙ x1 ˙ x2 yu yg yp z         =         −Kg Kp I I I Ku I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 puKu −pgKg 0 0 0 0 0 0 ppKp 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0                 x1 x2 uu ug up u         (16)   uu ug up  =   δu 0 0 0 δg 0 0 0 δp     yu yg yp   (17) 5 S´ıntese do Controlador

Para um controlador K, o critério de desempenho em malha fechada utiliza a abordagem da sensi-bilidade mista (Zhou and Doyle, 1997), descrita por: WuK(I + GK)−1 Wp(I + GK)−1 ∞ < 1, (18) que representa a restri¸cão da norma infinita do sis-tema com sa´ıdas z = [z1; z2]T em rela¸cão as

entra-das ex´ogenas, conforme pode ser visto na figura 6. A fun¸c˜ao S = (I +GK)−1descreve a sensibilidade do sistema nominal. O atendimento dos requisitos descrito pela desigualdade acima indica que o sis-tema em malha fechada obteve sucesso em reduzir

(4)

G

u

W

_p

z

2

W

u

z

1

+

y

+

d

-z

1

P

r

z

2

y

u

d

Figura 6: Sistema considerando os pesos de pro-jeto.

o efeito do distúrbio para um n´ıvel aceitável. A obten¸cão da fun¸cão sensibilidade do sistema em malha fechada dará uma indica¸cão de como o sis-tema é capaz de rejeitar os sinais de distúrbios. As fun¸cões pesos, descritas em (19) e (20), foram ob-tidas de forma exautiva visando obter os melhores resultados quanto a regula¸cão do sinal de posi-¸

cão do eixo e quanto ao desempenho do sistema. Foi utilizando o programa Matlab para simula¸cões numéricas e s´ıntese do controlador. O diagrama em blocos do sistema utilizado para a simula¸cão é mostrado na figura 7. Wp(s) = " _0.9(s+2282) s+456.3 0 0 0.9(s+2282)_s+456.3 # (19) Wu(s) = 10−2I2 (20) MotorxMancalxMagnético simulaçãoxconsiderandoxcosx2wr Controlador Planta Cont r ol ador XYxGraph ToxWorkspace2 xponto ToxWorkspace1 erro ToxWorkspace sout SinexWave Product1 K.C K-uvec K.B K.B-xuvec K.A K-uvec Integrator1 1 s Integrator 1 s C K-uvec B B-xuvec A K-uvec -1 K-uvec 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 8 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4

Figura 7: Diagrama em blocos do sistema contro-lado.

6 Simula¸c˜oes

A verifica¸cão do comportamento do sistema foi ob-tida utilizando simula¸cões numéricas na presen¸ca de distúrbios senoidais, que são normalmente ig-norados nos modelos simplificados usuais. A

fi-gura 8 mostra a posi¸c˜ao do rotor com um deslo-camento inicial de 0,1 mm a 3.000 rpm.

Figura 8: Posi¸cão do rotor com distúrbio senoidal. O desempenho nominal obtido para o sistema em malha fechada, medido pela fun¸cão sensibi-lidade, pode ser comparado com o objetivo de projeto para a rejei¸cão dos distúrbios descrito pela fun¸cão (19), mostrado na figura 9. Como S(s) < 1

Wp, para quase toda a faixa de frequˆencia considerada, verifica-se que o desempenho dese-jado foi obtido.

100 101 102 103 104 105 106 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 Frequência (rad/s) 2 0 lo g 1/W_P |S(jw)|

Figura 9: Fun¸c˜ao sensibilidade do sistema.

7 An´alise µ

Como as incertezas consideradas eram estrutura-das, a robustez do sistema realimentado deve ser verificada pela técnica conhecida como análise µ (Zhou and Doyle, 1997). Sendo a estabilidade no-minal (EN) garantida pela existência das solu¸cões das equa¸cões de Riccati, a estabilidade robusta (ER) é verificada se o maior valor de µ for me-nor que 1. Considerando a LFT entre o bloco ∆, definido em (17), e o bloco N, descrito como

(5)

define-se M = N11, que representa a fun¸c˜ao de

transferˆencia do bloco ∆. O teste µ verifica se ¯

σ(M (jω)) < 1, (22) para todas as frequências. Por simula¸cões, obteve-se µ = 0,625, mostrando que para a variabilidade considerada, a estabilidade robusta do sistema é garantida para ∆ ≤ _0,6261 .

8 Conclus˜oes

Foram apontados, neste artigo, alguns benef´ıcios do controle H∞aplicado a motores mancais

mag-néticos. Modelos matemáticos para dispositivos deste tipo, como pode ser visto em (David, 2000), dependem fortemente da velocidade de rota¸cão; além disto, eles mostram a existência de dist´ ur-bios harmônicos com frequência 2ω.

Técnicas tradicionais de controle, PID e LQR, são capazes de estabilizar o sistema, conforme de-mostrado em implementa¸cões anteriores. Estas técnicas, no entanto, trabalham com modelos li-neares e invariantes no tempo, onde os detalhes anteriores são desprezados. É, portanto, l´ıcito in-vestigar se a variabilidade que o sistema real apre-senta pode comprometer a estabilidade e o desem-penho obtidos.

A t´ecnica de controle robusto H∞se mostrou

adequada para estabiliza¸cão de motores mancais magnéticos na presen¸ca das incertezas do modelo considerado, tanto pela variablidade da planta, em virtude da dependência da velocidade de opera-¸

cão, como pelos negligenciamentos realizados no modelo do sistema com o propósito de lidar com um modelo linear. Verificou-se, por simula¸cão, que para a variabilidade paramétrica considerada foi poss´ıvel manter a estabilidade do sistema e ga-rantir a rejei¸cão aos ru´ıdos, pela utiliza¸cão do teste µ. A próxima etapa será a implementa¸cão destas técnicas H∞ no protótipo real.

Agradecimentos

O LASUP agradece o apoio financeiro recebido pelo CNPq e pela FAPERJ.

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