Universidade de Cabo Verde

(1)

Universidade de Cabo Verde

Departamento Ciˆencia & Tecnologia

Texto teórico de Análise Matemática III

Prof. Narciso Resende Gomes

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[email protected]

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[email protected]

Ano lectivo: 2012/2013

• Aten¸cão: Este texto é apenas uma guia que poderá ajudar o aluno nas aulas teóricas. Para apoio complementar, o aluno tem a obriga¸cão de consultar outros textos/manuais principalmente a biblio-grafia indicada pelo professor!!

(2)

1.1 Revis˜ao . . . 2

1.2 Derivada da Fun¸c˜ao Inversa . . . 4

1.3 Teorema da Fun¸c˜ao Inversa . . . 4

1.4 Exemplos . . . 5

2 Fun¸c˜oes impl´ıcitas . . . 6

2.1 Exemplos . . . 6

2.2 Condi¸c˜oes para fun¸c˜oes do tipo F(x, y) definidas implicitamente . . . 7

2.3 Exerc´ıcios Propostos . . . 8

2.4 Condi¸c˜oes para fun¸c˜oes do tipo F(x, y, z) definidas implicitamente . . . . 8

2.5 Exerc´ıcios Propostos . . . 10

3 Matriz Jacobiana . . . 10

4 Matriz Hessiana . . . 11

5 Teorema de fun¸c˜oes impl´ıcitas para sistemas de equa¸c˜oes . . . 12

Referˆ

encias

[1] A. Breda e J. Costa,Cálculo com fun¸cões de várias variáveis. McGraw Hill-Portugal, Lisboa, 1996.

[2] E. Lima, An´alise Real - Vol. 2. Rio de Janeiro, Brasil, 2004.

[3] H. Bertolossi, Cálculo diferencial a várias variáveis. Edi¸cões Loyola e editora PUC-Rio, São Paulo, Brasil, 2002.

[4] S. Lang, Calculus of Several Variables. Adison-Wesley, 1973.

[5] T. Apostol, C´alculo (Vol. 2). Editora Revert´e, 1996.

(3)

1 Fun¸

c˜

oes Inversas

1.1 Revis˜

ao

Sejam A _⊆Re B _⊆R para as defini¸c˜oes seguintes.

Defini¸c˜ao 1: Uma fun¸c˜ao f :A_→B diz-se injectiva se

∀x1, x2 ∈A;x1 6=x2 ⇒f(x1)6=f(x2).

ou aplicando a regra de convers˜ao da implica¸c˜ao tem-se

∀x1, x2 ∈A;f(x1) = f(x2)⇒x1 =x2.

Sef for injectiva ent˜ao existe uma fun¸c˜ao inversa de f, designada porf−1

:f(A)_→A

dada por

f−₁

(y) = xsef(x) =y.

Defini¸c˜ao 2: A fun¸c˜ao f :A_→B diz-se sobrejectiva se ∀y_∈B,_∃x_∈A:y=f(x)

Corolário 1: Uma fun¸cão diz-se bijectiva se é injectiva e sobrejectiva.

Defini¸c˜ao 3: Uma fun¸c˜ao f :A_→B diz-se estritamente crescente se ∀x1, x2 ∈A :x1 < x2 ⇔f(x1)< f(x2).

Defini¸c˜ao 4: Uma fun¸c˜ao f :A_→B diz-se estritamente decrescente se ∀x1, x2 ∈A :x1 < x2 ⇔f(x1)> f(x2).

Defini¸cão 5: Uma fun¸cãof :A_→Bdiz-semonótonase e só se for estritamente crescente ou for estritamente decrescente no seu dom´ınio.

Corolário 2: As afirma¸cões seguintes são equivalentes: 1. a fun¸cão f(x) :A_→B é monótona;

2. a fun¸c˜ao f(x) :A_→B ´e bijectiva.

Defini¸c˜ao 6: Diz-se que uma fun¸c˜ao, denotada por x = f−₁

(y), ´e inversa da fun¸c˜ao

y=f(x) e tem-se:

1. o dom´ınio de f−1

e o contradom´ınio de f s˜ao coincidentes, ou seja,

Df−1 =D

′

f.

2. o dom´ınio de f e o contradom´ınio de f−1

s˜ao coincidentes, ou seja,

Df =D′

f−1.

3. x=f−1

(4)

Salienta-se que nem sempre é fácil determinar analiticamente a inversa de uma fun¸cão. Para os casos mais fáceis, seria apenas resolver a equa¸cão f(x) = y. O Teo-rema da Fun¸cão Inversa garante, a injectividade local de fun¸cões de classeC1 _recorrendo apenas à análise da respectiva derivada. Ademais, fica também garantido que a fun¸cão inversa é de classe C1_{. De seguida, analisar-se-á alguns casos mais simples.}

1. Considere a equa¸cão linear ax = y. Desde que a ₆= 0, a solu¸cão de tal equa¸cão existe e á dada por x = y/a. Assim, a fun¸cão f : R → R dada por f(x) = ax

´e injectiva desde que a ₆= 0 e a respectiva inversa f−1

: _R _→ _R ´e dada por

f−₁

(y) =y/a.

2. Seja f : R → R dada por f(x) = x2_{. Trata-se de uma fun¸cão não injectiva, por} ser par: f(₋x) = f(x). No entanto, a restri¸cão de f ao conjunto em que x > 0 é invert´ıvel e temos f−₁

(y) = √y. Note-se que a derivada f′

(x) = 2x anula-se apenas emx= 0 e que a fun¸cão f não é invert´ıvel em torno da origem.

3. Seja a fun¸c˜ao f : R → R dada por f(x) = x3_{. Facilmente se verifica que} _f _´e injectiva em Re que a derivada f′

(x) = 3x2 _{anula-se apenas em} _x_{= 0.}

4. O dom´ınio fun¸c˜ao f(x) = x2 ₋ ₄_x _´e

R, isto ´e, Df = _R. Verifique que y =

x2₋₄_x₌ _x2₋₄_x_{+ 4}₋_{4 = (}_x₋₂₎2₋_{4 conclu´ımos que o contradom´ınio de} _f_,

D′

f = [−4,+∞[. Na base das propriedades da fun¸c˜ao quadr´atica conclui-se que

a fun¸cão é decrescente no intervalo ]_{− ∞},2] e é crescente no intervalo ]2,+_∞]. Portanto a fun¸cão y=x2₋₄_x _{não é invert´ıvel em}_R_{. Partindo o dom´ınio dela em} dois intervalos ]_{− ∞},2] e [2,+_∞[ e considerando as restri¸cões da fun¸cão:

(a) y=f1(x) =x2₋₄_x_,_Df

1 =]− ∞,2] e D

′

f1 = [−4,+∞[.

(b) y=f2(x) = x2−4x, Df2 = [2,+∞[ e D

′

f2 = [−4,+∞[.

conclu´ımos que em cada um deles a fun¸c˜ao ´e invert´ıvel.

5. A fun¸c˜ao y = f(x) = x+ex _{tem dom´ınio e contradom´ınio}

R, é crescente e é invert´ıvel . A fun¸cão tem inversa, mas porque é imposs´ıvel resolver analiticamente em rela¸cão à variável x a equa¸cão y = x+ex_{. Não se sabe qual é a expressão}

anal´ıtica. Mas pode ser representada graficamente.

6. Seja f : Rn _→ _Rn _{uma aplica¸c˜ao linear, ou seja, existe uma matriz} _An

×n tal que f(x) = Ax. Esta fun¸cão é injectiva desde que detA ₆= 0 e a respectiva inversa é dada por f−₁

(y) = A−₁

y em que A−₁

representa a matriz inversa de A. Note-se que uma aplica¸cão linear é uma fun¸cão de classe C1 _{e a respectiva derivada é} representada pela matriz A, ou seja,

Df(x) =A.

7. Seja f :R2 →R2 a fun¸c˜ao dada por

f(x, y) = (2xy, x2 +y2).

(5)

u = 2xy

v = x2₊_y2 de onde obtemos

x+y = √v+u x₋y = √v₋u

desde que se tenha x+y _≥0 e x₋y_≥0. Portanto, a restri¸c˜ao de f ao conjunto

X =_{(x, y)_∈R2 :x+y _≥0;x₋y_≥0_}

´e invert´ıvel e a respectiva inversa, definida no conjunto

W =_{(u, v)_∈_R2 _:_v₊_u_≥_0;_v₋_u_≥₀_}

´e dada por

f−1

(u, v) = (x, y) =

1 2(

√

v+u+√v₋u,1

2( √

v+u₋√v₋u

.

1.2 Derivada da Fun¸

c˜

ao Inversa

O teorema seguinte permite calcular a derivada da fun¸c˜ao inversa x =f−₁

(y) num ponto gen´erico y=f(x), com x_{∈ D}, sem conhecer a express˜ao anal´ıtica da mesma.

Teorema 1.1: Seja:

(a) y=f(x) ´e invert´ıvel num intervalo I;

(b) a fun¸cão real de variável real y = f(x) é de classe C1 _{e seja} _x

0 um ponto tal que

f′

(x0) 6= 0 numa vizinhan¸ca Vx0 em que f é injectiva. Então a fun¸cão inversa

x=f−₁

(y) ´e de classe C1 _e_x_∈_Vx

0:

(f−1

)′

(y) = 1

f′

(x).

Demonstra¸cão: A demonstra¸cão de (b) é trivial.

1.3 Teorema da Fun¸

c˜

ao Inversa

Teorema 1.2: SejaF :T _→Rn uma fun¸c˜ao de classe C1 _{, definida num aberto} _T _⊂_Rn

tal que

detDF(x0)₆= 0 em algum ponto x0 ∈T. Ent˜ao,

(a) Existem dois abertosU eV, com x0 ∈U ey0 =F(x0)∈V , e tais queF ´e injectiva em U eF(U) =V.

(b) A fun¸c˜ao inversa F−₁

:V _→U ´e de classe C1_.

Corol´ario 3: Sendo a inversa de classe C1_{, derivando a equa¸c˜ao}

F−₁

(F(x)) =x; x_∈U,

obt´em-se, para y=F(x),

DF−₁

(y) = [DF(x)]−₁

Portanto, nas condi¸cões do teorema da fun¸cão inversa, a derivada da fun¸cão inversaF−1

(6)

1.4 Exemplos

Exemplo 1.

Seja a fun¸c˜ao definida por

F(x, y) = (x2₋y2, xy).

(a) Verifique se F ´e injectiva no seu dom´ınio.

(b) Determine um conjunto de pontos em que F ´e localmente invert´ıvel.

(c) Determine a derivada DF−₁

(0,1), sabendo que F(1,1) = (0,1).

Resolu¸c˜ao:

(a) Considere os pontos de _R2 _{da forma (}_{x, x}_{) com} _x₆_{= 0. Então,} _F₍_{x, x}_{) = (0}_{, x}2₎ e, portanto, F(₋x,₋x) = F(x, x) donde se conclui que a fun¸cão f não é injectiva em

R2.

(b) A fun¸cão f é de classe C1 _{no seu dom´ınio.} _{Pelo Teorema da Fun¸cão} In-versa, a fun¸cão F será localmente invert´ıvel nos pontos (x, y) que verificam a condi¸cão detDF(x, y)₆= 0.

Portanto,

DF(x, y) =

2x ₋2y

y x

e detDF(x, y) = 2(x2+y2), a fun¸c˜ao F tem inversa local em cada ponto deR2\{(0,0)_}. (c) Note-se que

detDF(1,1) = det

2 ₋2 1 1

= 4.

e, portanto, existem vizinhan¸cas U de (1,1) e V deF(1,1) = (0,1) tais que F :U _→V

´e invert´ıvel,F−1

:V _→U ´e de classe C1 _e

DF(0,1) = [DF(1,1)]−₁

= 1 4

1 1 −1 2

=

₁

4 1 2 −14

1 2

.

Exemplo 2.

Seja a fun¸c˜ao vectorialF :R3 →R3 definida por

F(x, y, z) = (x+xyz, y+xy, z+ 2x+ 3z2₎_.

Verifique se F ´e invert´ıvel numa vizinhan¸ca do ponto (0,0,0).

Resolu¸c˜ao: De facto, F ´e de classe C1 _e

detDF(0,0,0) = det 



1 0 0 0 1 0 2 0 1



= 1.

A derivada da fun¸c˜ao inversa no ponto F(0,0,0) = (0,0,0) ´e dada por

DF−₁

(0,0,0) = [DF(0,0,0)]−₁

⇒DF−₁

(0,0,0) = 



1 0 0 0 1 0 −2 0 1



(7)

Exerc´ıcio 1: Consideremos o sistema de equa¸c˜oes _x4

+y4

x = u

sinx+ cosx = v.

Recorra ao Teorema da Fun¸c˜ao Inversa para determinar os pontos (x, y) para o qual o sistema seja invert´ıvel.

Exerc´ıcio 2: Considere a fun¸c˜ao definida por

f(x, y) =

lnx

y, y−arctanx+ π

4

.

(a) Determine um conjunto de pontos (x, y) em quef ´e localmente invert´ıvel.

(b) Seja f−₁

a inversa local de f em torno do ponto (1,1). Fazendo (x, y) =f−₁

(u, v), calcule ∂x

∂u(0,1).

2 Fun¸

c˜

oes impl´ıcitas

Em certas condi¸cões, mesmo não sendo poss´ıvel explicitar a fun¸cãof, poderemos cal-cular as respectivas derivadas. Isto é partical-cularmente notável porque podemos calcal-cular as derivadas de uma fun¸cão desconhecida.

Os exemplos seguintes encontram-se fun¸cões que são definidas implicitamente através de solu¸cões de equa¸cões em que intervêm duas variáveis.

2.1 Exemplos

Exemplo 1:

A equa¸c˜ao y₋x2_{+ 1 = 0 define a fun¸c˜ao} _y₌_x2₋_{1(Ver Fig. 1).}

Fig. 1: Par´abola da fun¸c˜ao y=x2₋₁

Observe-se que

y₋x2+ 1 = 0_⇔y=x2₋1,

(8)

(i) Como o conjunto de n´ıvel zero da fun¸c˜aoF :R2 →Rdefinida porF(x, y) =y₋x2_+1, ou seja, o subconjunto de R2 em que F(x, y) = 0.

(ii) Como o gráfico da fun¸cão f : R → R dada por f(x) = x2 ₋_{1, ou seja, como o} subconjunto de R2 em que y = f(x). Por outro lado, podemos afirmar que a equa¸cão F(x, y) = 0 define uma das variáveis como fun¸cão da outra y=f(x).

Exemplo 2:

A equa¸cão x2₊_y2 _{= 4 não define uma fun¸cão já que dela resulta(Ver Fig. 2):}

(i) y=√4₋x2 _para ₋₂_{< x <}_{2 e} _{y >}_{0, ou}

(ii) y=₋√4₋x2 _para ₋₂_{< x <}_{2 e} _{y <}₀_.

Fig. 2: Circunferˆencia resultante da equa¸c˜ao x2₊_y2 _{= 4}_.

No entanto x2₊_y2 _{= 4 e} _{y <}_{0 j´a definem implicitamente uma equa¸c˜ao. Qual?}

Para cada uma das fun¸c˜oes pode ser descrita de duas formas diferentes. Por exemplo, para o caso y >0 :

(i) Como o conjunto de n´ıvel zero da fun¸c˜ao F : _R2 _→

R definida por F(x, y) =

x2₊_y2₋_{4, ou seja, o subconjunto de} _R2 _{em que} _F₍_{x, y}_{) = 0.}

(ii) Como o gr´afico da fun¸c˜ao f :]₋2,2[_→ R dada por f(x) = √4₋x2_{, ou seja, como} o subconjunto de R2 em que y=f(x).

Paray _≥0, a equa¸cão F(x, y) = 0 define uma das variáveis como fun¸cão da outra

y = f(x). Portanto, se verifica localmente, em torno de cada um dos pontos, a equivalˆencia

F(x, y) = 0 _⇔y =f(x).

2.2 Condi¸

c˜

oes para fun¸

c˜

oes do tipo

F

(

x, y

)

definidas

implicitamente

SejaF(x, y) = 0 uma fun¸c˜ao nas vari´aveis x e y e (x0, y0) um elemento pertencente ao dom´ınio de F, tal que:

(9)

(ii) F possui derivadas parciais cont´ınuas numa vizinhan¸ca do ponto (x0, y0);

(iii) ∂F_∂y(x0, y0)6= 0.

Então,F(x, y) = 0 define implicitamente ycomo fun¸cão dexnuma vizinhan¸ca do ponto (x0, y0). Além disso, a derivada da fun¸cão y de xno ponto x0 é dada por:

dy

dx(x0) = − ∂F

∂x(x0, y0) ∂F

∂y(x0, y0) .

Exemplo 3: Considere a equa¸c˜ao 1 +y=x2₋_ln_y_.

(a) Mostre que a equa¸c˜ao dada define y como fun¸c˜ao impl´ıcita de x numa vizinhan¸ca do ponto P = (√2,1).

(b) Calcule dy_dx(√2) e d_dx2y2(

√ 2).

Resolvido na sala de aula te´orica

2.3 Exerc´ıcios Propostos

Exerc´ıcio 3: Determine dy_dx e _dxd2y2 das fun¸c˜oes dadas implicitamente pelas equa¸c˜oes:

(a) x2_y2₊_x₋₂_y3 _{= 0}_.

(b) x2₋_yx₊_y2 _{= 1}_.

2.4 Condi¸

c˜

oes para fun¸

c˜

oes do tipo

F

(

x, y, z

)

definidas

implicitamente

Considere agora a equa¸c˜ao

F(x, y, z) = 0 (1)

uma fun¸cão nas variáveis x, y e z e (x0, y0, z0) um elemento pertencente ao dom´ınio de F. A equa¸cão (1) define implicitamente z como fun¸cão de x e y, z = f(x, y) numa vizinhan¸ca de um ponto (x0, y0, z0) pertencente ao dom´ınio de F nas mesmas condi¸cões anteriores, ou seja:

(i) F(x0, y0, z0) = 0;

(ii) F possui derivadas parciais cont´ınuas numa vizinhan¸ca do ponto (x0, y0, z0);

(iii) ∂F

∂z(x0, y0, z0)6= 0.

Assim, as derivadas parciais da fun¸c˜ao z em ordem a x e y, respectivamente, s˜ao dadas por:

∂z

∂x(x0, y0) = − ∂F

∂x(x0, y0, z0) ∂F

∂z(x0, y0, z0)

e

∂z

∂y(x0, y0) =− ∂F

∂y(x0, y0, z0) ∂F

(10)

Assim, ser´a de forma an´aloga paraF(x1, x2, . . . , xn, y) = 0, pondof(x1, x2, . . . , xn) =

y, com f de classeC1_{. Desta forma,}

∂f

∂xi(x1, . . . , xn) = − ∂F

∂xi(x1, . . . , xn, f(x))

∂F

∂y(x1, . . . , xn, f(x)) .

Exemplo 4: Mostre que as seguintes equa¸c˜oes definemz como fun¸c˜ao impl´ıcita de x e y

numa vizinhan¸ca dos pontos mencionados. Calcule ∂z ∂x e

∂z

∂y nesses pontos.

(a) ₋cos(x+ 2y+z) = 2x+y₋3z₋1 na vizinhan¸ca de (0,0,0).

(b) x+y+z = sin(xyz) na vizinhan¸ca de (0,0,0).

Nota 1: SejaF :R2 →Ruma fun¸c˜ao de classeC1_{e (}_x

0, y0) um ponto tal queF(x0, y0) = 0. Suponhamos que, em alguma bola centrada no ponto (x0, y0) se tem

F(x, y) = 0 _⇔y=f(x),

sendo f uma fun¸c˜ao real de vari´avel real de classe C1 _{e definida em algum intervalo} contendo o ponto x0. Assim, teremos F(x, f(x)) = 0 e derivando obtemos

∂F

∂x(x0, y0) + ∂F

∂y(x0, y0)f

′

(x0) = 0.

Assim,

f′

(x0) = ₋

∂F

∂x(x0, y0) ∂F

∂y(x0, y0) ,

com

∂F

∂y(x0, y0)6= 0.

Conclui-se então que, em certas condi¸cões, é poss´ıvel calcular a derivada f′

(x0) mesmo n˜ao sendo poss´ıvel determinar f a partir da equa¸c˜ao F(x, y) = 0.

Teorema 2.1: (Fun¸c˜ao Impl´ıcita em _R2) Seja F :R2 →R uma fun¸c˜ao de classeC1 _e (x0, y0) um ponto tal que

F(x0, y0) = 0;

∂F

∂y(x0, y0)6= 0.

Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao f, de classe C1_{, tal que, localmente em torno de (}_x

0, y0), se tem

F(x, y) = 0 _⇔y=f(x).

(11)

Teorema 2.2: (Fun¸c˜ao Impl´ıcita em _Rn+1_{) Seja} _D _{um aberto de} _Rn+1_{, (}_x0_{, y}0_{) =} (x0

1, . . . , x0n, y0)∈D,F ∈C1, F(x0, y0) = 0 e ∂F∂y 6= 0; ent˜ao:

1. existem α > 0 e β > 0 tais que a cada x = (x1, . . . , xn) ∈ I =]x01 −α, x01 +

α[_{× · · · ×}]x0

n−α, x0n+α[ corresponde um e um s´o yx ∈ J =]y0 −β, y0 +β[ por

forma que se tenha F(x, yx) =F(x1, . . . , xn, yx) = 0;

2. pondo f(x) = f(x1, . . . , xn) = yx para cada x ∈ I, a fun¸c˜ao f ´e de classe C1 e tem-se, para cadax_∈I e cada i_∈1, . . . , n:

∂f

∂xi(x1, . . . , xn) =− ∂F

∂xi(x1, . . . , xn, f(x))

∂F

∂y(x1, . . . , xn, f(x)) .

Nota 2: E de real¸car tamb´em que o n˜ao anulamento da derivada´ ∂F

∂y no ponto (x0, y0)

não é condi¸cão necessária para a existência de uma fun¸cão y = f(x) univocamente definida, nalguma vizinhan¸ca deste ponto, pela equa¸cãoF(x, y) = 0. Por exemplo, sendo

F(x, y) = x₋y3_{, tem-se} ∂F

∂y(0,0) = 0, embora a equa¸c˜ao defina - at´e globalmente, em

todo o conjuntoR - a fun¸c˜aoy =√3

x(pode notar-se que esta fun¸cão não é diferenciável no ponto 0, mas basta considerar o caso da fun¸cãoF(x, y) =x3₋_y3 _{para se reconhecer} que o anulamento de ∂F

∂y(0,0) não é incompat´ıvel com o facto de a fun¸cão definida pela

equa¸c˜ao F(x, y) = 0 ser diferenci´avel no ponto considerado).

Uma aplica¸cão simples do teorema das fun¸cões impl´ıcitas permite obter outro teo-rema importante, habitualmente designado por teoteo-rema da fun¸cão inversa, já abordado.

2.5 Exerc´ıcios Propostos

Exerc´ıcio 4: Considere a igualdade zcosx2₊_ex _{= 2}_zy_{. Mostre que esta igualdade define} z como fun¸c˜ao impl´ıcita dexeynuma vizinhan¸ca de (0,1, c). Calcule ∂z

∂x(0,1) e ∂z ∂y(0,1)

Exerc´ıcio 5: Considere a equa¸c˜ao x+ 2yx+ 3z2₊_x2_z _{= 1.}

(a) Diga para que valores dek esta equa¸c˜ao define z implicitamente como fun¸c˜ao de x

ey na vizinhan¸ca do ponto (1,0, k).

(b) Calcule as derivadas parciais da fun¸c˜ao impl´ıcita nos pontos referidos.

(c) Calcule ainda ∂2

z

∂x∂y nos pontos considerados.

3 Matriz Jacobiana

Dado uma fun¸cão vetorial de várias variáveisF :Rn→RmcomF(x) = (F1(x), . . . , Fm(x)), (com x = (x1, x2, . . . , xn)) a representa¸cão matricial da derivada, quando existe, é de-nominada dematriz Jacobiana é definido como sendo

JF(x1, x2, . . . , xn) = 

 

F1 ...

Fm



 

′

= 

 

∂F1

∂x1 · · ·

∂F1

∂xn

... . .. ...

∂Fm

∂x1 · · ·

∂Fm

∂xn



 .

(12)

Exemplo 5: Obter a matriz jacobiana deF(x, y) =

x2_y,x y, x−y

.

Solu¸c˜ao: _JF(x, y) =    ∂F1 ∂x ∂F1 ∂y ∂F2 ∂x ∂F2 ∂y ∂F3 ∂x ∂F3 ∂y   =  

2xy x2 1

y

−x y2

1 ₋1 

.

Exemplo 6: Obter o jacobiano de F(x, y) =

xy,x y

.

Solu¸c˜ao: _JF(x, y) = " _∂F 1 ∂x ∂F1 ∂y ∂F2 ∂x ∂F2 ∂y # = y x 1 y −x y2

.Assim, o jacobiano ´e

det_JF(x, y) = det y x 1 y −_x y2

= −x

y −

x

y =−

2x y .

Exerc´ıcio 6: Determine a matriz Jacobianae o jacobianoda transforma¸c˜ao

~

f(ρ, θ, φ) = (ρcosθsinφ, ρsinθsinφ, ρcosφ),

com ρ_≥0, 0_≤θ _≤2π e 0 _≤φ_≤π ((ρ, θ, φ) s˜ao coordenadas esf´ericas em R3).

4 Matriz Hessiana

Dada uma fun¸cão real de várias variáveis, f : Rn → R, a matriz jacobinana (deri-vada) do gradiente (que é fun¸cão vectorial) é denominado de matriz hessiana de f. Assim,

Hessf(x1, x2, . . . , xn) =    ∂f ∂x1 ... ∂f ∂xn    ′ =   

∂2_f

∂x1∂x1 · · ·

∂2_f

∂xn∂x1

... . .. ...

∂2_f

∂x1∂xn · · ·

∂2_f

∂xn∂xn



 .

A matriz hessiana sempre é uma matriz quadrada. O determinante da matriz hessiana é denominado de fun¸cão hessiana ou simplesmente hessiana.

Exemplo 7: Obter a matriz e a fun¸cão hessiana da fun¸cão f(x, y) = x2_y3_. Solu¸cão:

∇f(x, y) = (2xy3,3x2y2) =

2xy3 3x2_y2

e a matriz hessiana ´e Hessf(x, y) = _J

2xy3 3x2_y2

=

2y3 ₆_xy2 6xy2 ₆_x2_y

.

A fun¸c˜ao hessiana ´e det(Hessf(x, y)) = det

2y3 ₆_xy2 6xy2 ₆_x2_y

= 12x2_y4 ₋₃₆_x2_y4 ₌

−24x2_y4_.

Corolário 4: Como conseqüência doTeorema de Schwarz, quando a matriz hessiana for cont´ınua, ela será uma matriz simétrica.

Exerc´ıcio 7: Determine a matriz hessiana e a hessiana da fun¸c˜ao de duas vari´aveis

(13)

5 Teorema de fun¸

c˜

oes impl´ıcitas para sistemas de equa¸

c˜

oes

Na formula¸cão mais geral do teorema das fun¸cões impl´ıcitas que estudaremos na sequência tratar-se-á de determinar condi¸cões para que um sistema de m equa¸cões da forma:     

F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0 ...

Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0,

onde F1, . . . , Fm são fun¸cões definidas num aberto D de Rm+n, possa ser resolvido em ordem às m variáveis y1, . . . , ym, por forma que cada uma destas fique expressa (local-mente) como fun¸cão das restantes variáveis, x1, . . . , xn. Para esse efeito, tratar-se-á do caso em _{D ⊆}Rn+2 como t´ıtulo de exemplo. Assim, derivem-se em ordem axi ambos os membros de cada uma das equa¸cões

F(x1, . . . , xn, f(x), g(x)) = 0 e G(x1, . . . , xn, f(x), g(x)) = 0

o que conduz ao sistema:

( _∂F

∂xi +

∂F ∂y

∂f ∂xi +

∂F ∂z

∂g

∂xi = 0

∂G ∂xi +

∂G ∂y

∂f ∂xi +

∂G ∂z

∂g

∂xi = 0.

Particularmente se o sistema é de duas equa¸cões a três incógnitas, obtemos:

F(x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0,

em que as fun¸cões F : R3 → R e G: R3 → R são de classe C1_{. Em que condi¸cões este} sistema de equa¸cões define duas das variáveis como fun¸cões da terceira variável, como por exemploy =f(x) e z =g(x). Assim, obtemos o sistema equivalente:

F(x, f(x), g(x)) = 0

G(x, f(x), g(x)) = 0. (2)

Derivando o sistema de equa¸c˜ao (2) a ordem ax, em torno de um ponto (a, b, c) tal que

F(a, b, c) = 0 eG(a, b, c) = 0, teremos

         ∂F

∂x(a, b, c) + ∂F

∂y(a, b, c)f

′

(a) + ∂F

∂z(a, b, c)g

′

(a) = 0

∂G

∂x(a, b, c) + ∂G

∂y(a, b, c)f

′

(a) + ∂G

∂z(a, b, c)g

′

(a) = 0.

Na forma matricial, obtemos

     ∂F

∂y(a, b, c) ∂F

∂z (a, b, c)

∂G

∂y(a, b, c) ∂G

∂z (a, b, c)

       f′

(a)

g′

(a)  =−      ∂F

∂x(a, b, c)

∂G

∂x(a, b, c)



(14)

e podendo determinar as derivadas f′

(a) e g′

(a):





f′

(a)

g′

(a)  =−      ∂F

∂y(a, b, c) ∂F

∂z (a, b, c)

∂G

∂y(a, b, c) ∂G

∂z (a, b, c)

     −₁      ∂F

∂x(a, b, c)

∂G

∂x(a, b, c)

     com det      ∂F

∂y(a, b, c) ∂F

∂z(a, b, c)

∂G

∂y(a, b, c) ∂G

∂z(a, b, c)

     6

= 0.

Teorema 5.1: (Fun¸c˜ao Impl´ıcita - caso geral) Seja F :_{D ⊂}Rn×Rm →Rm, tal que

F(x,y) = F1(x,y), F2(x,y), . . . , Fm(x,y) comx∈Rn e y∈Rm. O sistema

  

 

F1(x,y) = 0 ...

Fm(x,y) = 0,

define implicitamentemfun¸c˜oesyi =f(x), comi= 1, . . . , m, numa vizinhan¸ca do ponto (x0,y0)∈ D se:

1. F(x0,y0) = 0.

2. Existem e s˜ao cont´ınuas as derivadas

(a) ∂F

∂xi

, com i= 1, . . . , n.

(b) ∂F

∂yj

, com j = 1, . . . , m.

numa vizinhan¸ca do ponto (x0,y0)∈ D.

3. O determinante

det

∂(F1, . . . , Fm)

∂(y1, . . . ,ym)

(x0,y0) = det       ∂F1

∂y1 · · ·

∂F1

∂ym

... . .. ...

∂Fm ∂y1 · · ·

∂Fm ∂ym

     

(x0,y0)

6

= 0.

O c´alculo das derivadas ∂yj

∂xi|x0 com j = 1, . . . , m e i= 1, . . . , n pode obter-se derivando o sistema em rela¸cão a xi sabendo que os yj são fun¸cão dos xi :

                 ∂F1

∂xi

+

m

X

j=1

∂F1

∂yj

∂xi

= 0

...

∂Fm ∂xi

+

m

X

j=1

∂Fm ∂yj

∂yj

∂xi

(15)

Exemplo 8: Verifique que o sistema de equa¸c˜oes

x2₊_y2₊_z2₊_w _{= 0} 2x2₋_w2_{+ 7} _{= 0}_.

define implicitamente as fun¸c˜oes z = f1(x, y), w = f2(x, y) numa vizinhan¸ca do ponto

P = (1,1,1,₋3).

Determine, se poss´ıvel ∂z

∂x|(1,1) e

∂w ∂x|(1,1).

Resolu¸c˜ao:

Seja F : R2 → R2 definida por F = (F1, F2) = (x2 +y2 +z2 +w,2x2 −w2 + 7). Verifiquemos as condi¸c˜oes do teorema:

1. _





F1(P) = (x2₊_y2₊_z2₊_w₎_|

P = 0

F2(P) = (2x2₋_w2 _{+ 7)}_|

P = 0.

2. As derivadas em rela¸cão às variáveis independentes

∂F1

∂x = 2x; ∂F1

∂y = 2y ∂F2

∂x = 4x; ∂F2

∂y = 0.

As derivadas em rela¸cão às variáveis dependentes

∂F1

∂z = 2z; ∂F1

∂w = 1 ∂F2

∂z = 0; ∂F2

∂w =−2w.

As derivadas existem e s˜ao cont´ınuas em R4.

3.

det

∂(F1, F2

∂(z, w) P = det      ∂F1 ∂z ∂F1 ∂w ∂F2 ∂z ∂F2 ∂w      P = det 2 1 0 6

= 12₆= 0.

Logo o sistema dado define implicitamentezewcomo fun¸c˜oes dexeynuma vizinhan¸ca do ponto P.

Derivando o sistema em rela¸cão a x, sabendo que z ew são fun¸cões de x

        

2x+ 2z∂z ∂x +

∂w

∂x = 0

4x₋2w∂w

∂x = 0

⇔          ∂z ∂x =−

x wz − x z ∂w ∂x = 2x w. Portanto, ∂z

∂x |P=−

2 3;

∂w

∂x |P=−

2 3.

Exerc´ıcio 8: Verifique que o sistema de equa¸c˜oes

xu+yvu2 _{= 2}

xu3 ₊_y2_v4 _{= 2}_.