Universidade do Minho
Instituto de Educação
outubro de 2015
A aprendizagem de tópicos da circunferência
com recurso ao GeoGebra: uma experiência
com alunos do 9.º ano de escolaridade
Rosa Maria Barbosa Capa
A aprendizagem de tópicos da circunferência com recur
so ao GeoGebra: uma e
xperiência com alunos do 9.º ano de escolaridade
UMinho|20
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Rosa Maria Barbosa Capa
A aprendizagem de tópicos da circunferência
com recurso ao GeoGebra: uma experiência
com alunos do 9.º ano de escolaridade
Trabalho efetuado sob a orientação do
Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu
Relatório de Estágio
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do
Ensino Básico e no Ensino Secundário
Universidade do Minho
Instituto de Educação
DECLARAÇÃO
Nome: Rosa Maria Barbosa Capa
Endereço eletrónico: [email protected] Telefone: 936602047
Número do Bilhete de Identidade: 9921392
Título do Relatório:
A aprendizagem de tópicos da circunferência com recurso ao GeoGebra: uma experiência com alunos do 9.º ano de escolaridade
Supervisor:
Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu Ano de conclusão: 2015
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO INTEGRAL DESTE RELATÓRIO APENAS PARA EFEITOS DE INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE COMPROMETE.
Universidade do Minho, ____ / ____ / ____
AGRADECIMENTOS
Foram várias as pessoas que ao longo deste meu percurso contribuíram, de forma direta ou indireta, para a concretização deste trabalho.
Ao Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu pelo seu apoio, principalmente nos momentos mais difíceis, disponibilidade e interesse demonstrado ao longo do projeto, pelos seus comentários e sugestões que se revelaram sempre muito importantes.
Ao meu orientador, Dr. Marco Pereira, pelos seus concelhos, sugestões e apoio prestado ao longo da intervenção pedagógica.
À escola por permitir a realização e concretização do projeto, e pela disponibilidade de recursos colocados à disposição.
Aos alunos da turma pela sua disponibilidade e colaboração, na implementação do projeto.
À Manuela, minha amiga e colega de estágio, pela sua amizade e apoio concedido em todos os momentos difíceis deste percurso.
À minha família, mãe, irmãos e sobrinhos, por todo o carinho, força, incentivo e apoio prestado nos momentos mais críticos desta fase da minha vida profissional.
A APRENDIZAGEM DE TÓPICOS DA CIRCUNFERÊNCIA COM RECURSO AO GEOGEBRA: UMA EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO 9.º ANO DE ESCOLARIDADE.
Rosa Maria Barbosa Capa
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário Universidade do Minho, 2015
RESUMO
Este estudo teve como principal objetivo identificar as vantagens e as desvantagens da utilização do GeoGebra na aprendizagem de alunos do 9.º ano de escolaridade no estudo de tópicos da circunferência, através da resolução de tarefas de natureza exploratória. Com este objetivo, formularam-se as seguintes questões de investigação: (1) Que atividades desenvolvem os alunos no estudo sobre a circunferência com recurso ao GeoGebra? (2) Que dificuldades manifestam os alunos na aprendizagem do estudo da circunferência? Qual o contributo do GeoGebra na clarificação dessas dificuldades? (3) Que perceções têm os alunos sobre a utilização do GeoGebra na aprendizagem do estudo da circunferência? Para responder a estas questões, recorreu-se a diferentes métodos de recolha de dados: análise documental (planos de aula, reflexões, projeto educativo da escola, registo dos diálogos da aula), dois questionários (um no início e outro no final da intervenção pedagógica), questões de aula e produções dos alunos. Da análise dos dados recolhidos constatou-se que a utilização do GeoGebra permitiu aos alunos desenvolveram atividades de exploração, discussão de processos e resultados, o que contribuiu para estabelecerem conjeturas e o envolvimento da maior parte dos alunos na formalização de conceitos e no estabelecimento de relações de tópicos da circunferência. Constatou-se que os alunos manifestaram maior dificuldade na prova de resultados matemáticos que obtiveram, assim como na justificação e argumentação de ideias. Os alunos mencionaram que o GeoGebra foi um recurso facilitador na superação de algumas das suas dificuldades, uma vez que puderam praticar, explorar e construir elementos geométricos. Destacaram o GeoGebra como um recurso vantajoso para a compreensão de conceitos, que contribuiu para uma melhor aprendizagem dos tópicos estudados e para despertar um maior interesse pela Geometria. Apesar das vantagens apresentadas, a utilização do GeoGebra requer, por parte dos alunos, uma maior concentração na realização das tarefas, e mais tempo para a sua execução. A realização de tarefas exploratórias com recurso ao GeoGebra favoreceu um maior envolvimento dos alunos na formalização de conceitos e relações.
THE LEARNING OF CIRCUMFERENCE TOPICS USING GEOGEBRA: AN EXPERIENCE WITH STUDENTS OF THE 9th YEAR.
Rosa Maria Barbosa Capa
Master's in Mathematics teaching in the third cycle of Basic Education and on the Secondary Education
University of Minho, 2015
ABSTRACT
This study aimed to identify the advantages and disadvantages of using GeoGebra learning in students of the 9th grade in studying circumference topics, by solving exploratory tasks. With this objective, we formulated the following research questions: (1) what activities do students develop in the study on the circumference using the GeoGebra? (2) What difficulties do students manifest in the study of the circumference? What is the contribution of GeoGebra in clarifying these difficulties? (3) What perceptions do students have on the use of GeoGebra in the study of the circumference? To answer these questions, we used different methods of data collection: document analysis (lesson plans, reflections, school educational program, registration of the class dialogues), two questionnaires (one at the beginning and one at the end of the teaching intervention), school issues and student productions.
From the analysis of the data collected we concluded that the use of GeoGebra allowed students to develop exploration activities, discussion processes and results, which helped to establish conjectures and involvement of most students to formulate concepts and establishing relations topics of the circle. It was found that students showed greater difficulty in the proof of mathematical results obtained, as well as in the justification and reasoning mind. Students mentioned that GeoGebra was a facilitating resource to overcome some of its difficulties since it allowed them to practice, explore and build geometric elements. They highlighted the GeoGebra as a useful resource for understanding concepts, which contributed to a better learning of the studied topics and to arouse greater interest in geometry. Despite the advantages presented, using the GeoGebra requires, on the part of students, a higher concentration in the tasks, and more time for its implementation. Conducting exploratory tasks using the GeoGebra favored greater involvement of students in the formalization of concepts and relationships.
ÍNDICE DECLARAÇÃO ... ii AGRADECIMENTOS ... iii RESUMO ... v ABSTRACT... vii ÍNDICE ... ix ÍNDICE DE TABELAS... xi
ÍNDICE DE FIGURAS ... xiii
CAPÍTULO 1 ... 1
INTRODUÇÃO ... 1
1.1.Tema, objetivo e questões do estudo... 1
1.2. Pertinência do estudo ... 5
1.3. Estrutura do relatório ... 8
CAPÍTULO 2 ... 11
ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO ... 11
2.1. Enquadramento Contextual ... 11
2.1.1. Caracterização da Escola... 11
2.1.2. Caracterização da turma ... 14
2.2.Enquadramento Teórico ... 16
2.2.1. O estudo da circunferência no Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007... 16
2.2.2. Teoria da atividade ... 18
2.2.3. Atividade matemática... 20
2.2.4. Contributo das novas tecnologias na aprendizagem da matemática ... 34
2.3.Estratégias de intervenção ... 42
2.3.1. Metodologias de ensino e de aprendizagem ... 43
2.3.2. Estratégias de avaliação ... 48
CAPÍTULO 3 ... 51
INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA ... 51
3.1.Tópicos, tarefas e atividades desenvolvidos na intervenção pedagógica ... 51
3.2. Ensino e aprendizagem de tópicos da Circunferência ... 52
3.2.1. Ângulo inscrito num arco de circunferência ... 52
3.2.2. Ângulo com vértice no interior da circunferência ... 57
3.2.3. Área de polígonos regulares inscritos numa circunferência ... 64
3.3.Perceção dos alunos sobre a estratégia de ensino ... 68
3.3.1. Perceção dos alunos sobre as estratégias de ensino no final de algumas aulas... 68
3.3.2. Perceção dos alunos sobre as estratégias de ensino após a intervenção pedagógica .. 73
CAPÍTULO 4 ... 81
CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES E RECOMENDAÇÕES ... 81
4.1.1. Que atividades desenvolvem os alunos no estudo sobre a circunferência com recurso
ao GeoGebra? ... 81
4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos na aprendizagem do estudo da circunferência? Qual o contributo do GeoGebra na clarificação dessas dificuldades? ... 83
4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a utilização do GeoGebra na aprendizagem do estudo da circunferência? ... 84
4.2.A prática pedagógica à luz da teoria da atividade ... 85
4.3.Limitações e recomendações ... 86
BIBLIOGRAFIA ... 89
ANEXOS ... 95
ANEXO 1 – Questionário inicial ... 96
ANEXO 2 – Questionário final... 98
ANEXO 3 – Plano de lição: Ângulo inscrito num arco de circunferência ... 100
ANEXO 4 – Plano de lição: Ângulo com vértice no interior da circunferência ... 104
ANEXO 5 – Plano de lição: Área de polígonos regulares ... 107
ANEXO 6 – Questões de aula ... 109
ANEXO 7 – Aplicações práticas: Ângulo com vértice no interior da circunferência ... 110
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1: Escolaridade dos Pais e Encarregados de Educação (Projeto Educativo da Escola) ...12
Tabela 2: Distribuição das idades dos alunos (n 30) ..……….14
Tabela 3: Métodos para aprender Geometria …..……….15
Tabela 4: Tópico da circunferência nos três ciclos ..………..16
Tabela 5: Momentos na realização de uma investigação (Ponte et al., 2003, p. 21) ………..32
Tabela 6: Fases de uma aula de ensino exploratório .………..45
Tabela 7: Tópicos lecionados ……..………...51
Tabela 8: Distribuição das respostas dos alunos à primeira tarefa (n=14) ..………...65
Tabela 9: Respostas dos alunos sobre os conceitos abordados na aula do tópico ângulo ao centro ..………...69
Tabela 10: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra na aula do tópico ângulo ao centro……….70
Tabela 11: Respostas dos alunos sobre as dificuldades sentidas na aula do tópico ângulo a centro ..……….70
Tabela 12: Respostas dos alunos sobre os conceitos abordados na aula do tópico ângulos com vértice no interior da circunferência ..………..71
Tabela 13: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra na aula do tópico ângulos com vértice no interior da circunferência ..………..72
Tabela 14: Respostas dos alunos sobre as dificuldades sentidas na aula do tópico ângulos com vértice no interior da circunferência ……….72
Tabela 15: Percentagem de respostas dos alunos sobre a perceção da utilização do GeoGebra na aprendizagem do estudo da circunferência ………73
Tabela 16: Percentagem das respostas dos alunos sobre atitudes e capacidades desenvolvidas na aprendizagem do estudo da circunferência ……….………74
Tabela 17: Percentagem de respostas dos alunos sobre as atividades desenvolvidas na aprendizagem do estudo da circunferência ………..………75
Tabela 18: Percentagem de respostas dos alunos sobre a dificuldade do estudo do tópico da circunferência ..………..76
Tabela 19: Respostas dos alunos sobre o que mais gostaram nas aulas em que utilizaram o GeoGebra ..………..76
Tabela 20: Respostas dos alunos sobre o que menos gostaram nas aulas em que utilizaram o GeoGebra ……….77
Tabela 21: Respostas dos alunos sobre as dificuldades sentidas no estudo do tópico da circunferência ……….77
Tabela 22: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra no esclarecimento das dificuldades sentidas no tópico da circunferência ………..78
Tabela 23: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra na aprendizagem dos conceitos e propriedades relacionadas com a circunferência ………78
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Modelo da 1ª Geração (Engeström 2001) ………..18 Figura 2: Modelo da 2.ª geração. Estrutura de um sistema de atividade humana (Engeström 2001) ……….19 Figura 3: Modelo da 3.ª geração. Interação de dois sistemas de atividade (Engeström, 2001) ..19 Figura 4: Tipologia das tarefas relativamente ao grau de desafio e abertura (Ponte, 2005) …….23 Figura 5: Modelo para o ensino do raciocínio (Hirschhorn & Thompson, 1996) ………36 Figura 7: Diferença entre um ângulo ao centro e um ângulo inscrito numa circunferência segundo o par P5 ……….53 Figura 8: Diferença entre um ângulo ao centro e um ângulo inscrito numa circunferência segundo o par P9 ……….54 Figura 9: Justificação do par P10 sobre a amplitude de um arco com ângulo ao centro ……….54 Figura 10: Determinação no GeoGebra da amplitude de um ângulo inscrito num arco de circunferência …………..………..54 Figura 11: Conjetura sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo inscrito num arco de circunferência apresentada pelo par P10 ………55 Figura 12: Prova da relação que determina a amplitude de um ângulo inscrito num arco de circunferência apresentada pelo par P2 ……….56 Figura 13: Conjetura sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P1 ………58 Figura 14: Conjetura sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P2 ………58 Figura 15: Conjetura sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P3 ………58 Figura 16: Conjetura errada sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P4 ………..58 Figura 17: Registo das amplitudes do ângulo interno BAC e dos correspondentes arcos CB e DE pelo par P4 ……….59 Figura 18: Ângulo com vértice no interior da circunferência ………..60 Figura 19: Prova da relação sobre a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P5 ……….61 Figura 20: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência do aluno A2 com erros de cálculo ………...62 Figura 21: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência sem justificação do aluno A5 ……….63 Figura 22: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência com justificação do aluno A1 ……….63 Figura 23: Expressão errada do perímetro do hexágono apresentada pelo par P10 ………65
Figura 24: Expressão da área de cada triângulo em função do apótema apresentada pelo par P6
………..65
Figura 25: Expressão incorreta da área de cada triângulo apresentada pelo par P7 ………..65
Figura 26: Expressão da área de um hexágono regular apresentada pelo par P7 ………66
Figura 27: Expressão da área de um hexágono regular apresentada pelo par P8 ………66
Figura 28: Expressão da área de um polígono regular apresentada pelo par P5 ………….……….68
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO
Este capítulo está dividido em três secções: Na primeira, apresenta-se o tema, o objetivo e as questões de investigação do projeto. É ainda referida a pertinência do estudo e uma breve descrição da estrutura do relatório.
1.1. Tema, objetivo e questões do estudo
A Matemática é a disciplina na qual, ao longo dos tempos, os alunos têm demonstrado maior dificuldade. De forma generalizada, ouvimos falar de uma grande percentagem de alunos com insucesso nesta disciplina. Em Portugal, assim como em outros países, esta questão tem merecido a atenção de vários estudos na procura de analisar e compreender as razões para o insucesso dos alunos em Matemática. Ponte (1994a) refere que o insucesso é uma realidade complexa, com múltiplas causas, todas interrelacionadas, em que cada um dos intervenientes no processo de ensino-aprendizagem tem uma visão própria sobre esta questão. São várias as causas do insucesso apresentadas ao longo dos tempos. Os professores responsabilizam os alunos, as famílias, os currículos e as características próprias da disciplina. Nesta perspetiva, Ponte (1994a) menciona que “as causas apontadas andam todas à volta dos mesmos pontos, muito embora com ênfases diferentes: a disciplina, o currículo, o professor, o aluno, razões de ordem social e cultural” (p. 2). Outros fatores que levam ao insucesso desta disciplina são: os currículos, que impõem um nível de abstração precoce dando privilégio à quantidade de assuntos abordados em relação à qualidade de aprendizagem; e a instrumentalização da Matemática na seleção dos alunos (Ponte, 1994a). A nível curricular, Ponte (2002) menciona três fatores que contribuem para os problemas de aprendizagem: “(I) Tradição pobre de desenvolvimento curricular em Matemática; (II) Insuficiente concretização prática das orientações curriculares dos programas em vigor; (III) Carácter difuso das finalidades do ensino na Matemática e das expectativas de desempenho dos alunos” (p. 19). Atendendo a todos estes fatores, o que poderá ser feito para atenuar o insucesso dos alunos nesta disciplina? Considerando o insucesso desta disciplina Ponte (1994a, p. 4) declara que “a conceção que se tem da Matemática e os objetivos que se perseguem no seu ensino surgem deste modo como os
elos fundamentais por onde se pode agir em relação ao problema do insucesso”. Reorientando o ensino da Matemática é possível tornar esta disciplina uma experiência de sucesso, através de uma intervenção nos diversos níveis abrangendo as práticas pedagógicas, o currículo, o sistema educativo e a sociedade em geral (Ponte, 1994a). O autor menciona que para conduzir esta disciplina ao sucesso é necessário: (I) Criar uma imagem diferente da Matemática, como atividade humana multifacetada, capaz de oferecer experiências desafiantes; (II) Divulgar uma visão ampla dos processos de pensamentos e das competências da matemática; (III) A formação dos professores deve promover uma nova visão da matemática e das formas de trabalho, valorizando o trabalho de grupo, a execução de projetos, as atividades exploratórias e de investigação, a resolução de problemas, a discussão e a reflexão crítica; (IV) Reformular os currículos, valorizando a componente metodológica, e uma diferenciação dos programas de diversas áreas no ensino secundário; (V) Diversificar as formas e instrumentos de avaliação; (VI) Alterar os critérios de acesso ao ensino superior, diversificando os indicadores de seleção.
Fernandes e Silva (s.d) salientam que se o professor não adequar as suas práticas pedagógicas aos interesses e à realidade dos seus alunos, poderá contribuir para aumentar o desinteresse e desmotivação do aluno pela Matemática. Tendo em consideração estes aspetos, um dos objetivos para combater o insucesso será o de fomentar o interesse do aluno pela Matemática. Fernandes e Silva (s.d) salientam que, no sentido de promover o sucesso, os professores devem explorar a componente lúdica da Matemática e sempre que possível relacioná-la com o quotidiano dos alunos, envolvendo-os em atividades diversificadas, interessantes e motivadoras. Os autores referem igualmente que a existência de materiais didáticos, entre os quais a tecnologia, permite aos professores satisfazer os interesses dos alunos oferecendo-lhes aulas mais divertidas e mais práticas, constituindo também uma forma de cativar os alunos mais desmotivados alargando os horizontes das suas aprendizagens. Desta forma, é essencial que os professores estejam cientes de que o ensino da Matemática deve ser algo mais do que mera transmissão da matéria, ou memorização, que é importante selecionar o que é indispensável para desenvolver a capacidade de raciocínio dos alunos, e que interajam com eles criando momentos para a discussão (Chagas, 2004). Assim, uma tarefa desafiante para o professor será conquistar o interesse dos alunos, através de aulas que promovam a sua autonomia e a mobilização de conhecimento.
A Matemática é, por vezes, considerada a ciência dos números e dos cálculos, das formas e padrões, desde sempre utilizada pelo homem para facilitar a sua vida na sociedade, e
que está presente em tudo o que nos rodeia, na arquitetura, nos computadores, nos meios de comunicação social através de, por exemplo, evidências estatísticas (Ponte, Boavida & Abrantes 1997). Numa perspetiva utilitarista, a Matemática está também presente em várias disciplinas escolares, como por exemplo na Economia, Informática, Física e Química, Educação Visual particularmente através da Geometria, entre outras. Por estas razões, o NCTM (2007) considera que nunca foi tão importante e indispensável compreender a Matemática e ser capaz de a usar no quotidiano e no local de trabalho. Por vezes, os alunos questionam o professor sobre as razões do estudo desta disciplina. Relativamente a esta questão, a APM (1988) aponta que alguns dos objetivos do seu estudo advêm da sua aplicação a uma diversidade de problemas práticos e à sua crescente utilização em áreas de conhecimento, às próprias características da Matemática enquanto ciência e disciplina que lhe confere um importante valor formativo. Esta combinação permite promover o desenvolvimento de capacidades e hábitos intelectuais, forma de raciocínio e comunicação, assim como estratégias de resolução de problemas (APM, 1998).
Ao analisar os programas do ensino da Matemática de 1991 e de 2007 constatei que a Geometria é um tema sempre presente, tendo continuamente como objetivos o desenvolvimento do raciocínio, da comunicação e da intuição geométrica. Para o desenvolvimento da intuição geométrica os alunos devem usar modelos físicos, assim como objetos do mundo real de forma a trabalhar ideias abstratas apoiando-se em experiências concretas (NCTM, 1991). O Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007 dá particular importância ao raciocínio, à formulação de conjeturas e à comunicação. Particularmente, no tema da Geometria do 3.º ciclo, este programa refere a importância de os alunos realizarem experiências, elaborarem estratégias, formularem conjeturas, descreverem processos e justificá-los, permitindo-lhes desta forma familiarizarem-se com o processo de demonstração e iniciar o raciocínio geométrico dedutivo. A brochura de apoio ao Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2011) para o ensino da Geometria e Medida menciona que “a geometria propicia um contexto favorável para que os alunos se envolvam em atividade matemática e desenvolvam a comunicação matemática” (p. 13). A aprendizagem dos factos e dos procedimentos de Geometria proporciona, segundo o NCTM (2007), “um meio de descrição, análise e compreensão do mundo e da beleza visual das suas estruturas” (p. 365), podendo as ideias geométricas serem vantajosas em diferentes áreas da Matemática. Os alunos desenvolvem, a partir dos primeiros anos de escolaridade, a capacidade de visualização através da realização de experiências
concretas utilizando uma diversidade de objetos geométricos e através da utilização de recursos tecnológicos (NCTM, 2007).
No programa de Matemática do ensino básico (Ministério da Educação, 2007), o estudo da Geometria encontra-se presente nos três ciclos tendo como ideia central o desenvolvimento do sentido espacial dos alunos. Para o seu estudo ao longo do 2.º e 3.º ciclos, este artefacto curricular recomenda o recurso a programas computacionais de geometria dinâmica, os quais favorecem a compreensão dos conceitos e relações geométricas, principalmente na realização de tarefas exploratórias e de investigação. Relativamente ao 1.º ciclo, apesar de não fazer referência à sua utilização, refere a importância de utilizar o computador na sala de aula de forma a proporcionar explorações que podem enriquecer as aprendizagens realizadas no âmbito deste tema. O uso das novas tecnologias na educação proporcionam ao aluno a possibilidade de novas experiências na aquisição de conhecimento permitindo envolver-se no processo de ensino-aprendizagem. Para o NCTM (2007) os recursos tecnológicos são essenciais no ensino e na aprendizagem da matemática, porque “influencia a matemática que é ensinada e melhora a aprendizagem dos alunos; (…) as possibilidades de envolver os alunos em desafios matemáticos aumentam de forma acentuada, com a utilização de tecnologias especiais” (pp. 26-27).
As recomendações do Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007) e do NCTM (2007) apontam para um papel mais interventivo do aluno no processo de ensino aprendizagem, assim como para a realização de uma variedade de tarefas, incluindo as de carácter exploratório. O estudo da circunferência é um dos conteúdos com destaque no tema da Geometria, mantendo-se nas reformulações atuais dos programas de matemática do ensino básico. O seu estudo tem como objetivos específicos o estabelecimento de relações entre os ângulos, arcos e cordas, de forma a estabelecer propriedades, assim como a resolução de problemas envolvendo a circunferência e outros lugares geométricos. O Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007) pretende que os alunos sejam capazes de estabelecer e formar propriedades e relações que encontram através da realização de tarefas de exploração. Para a concretização destes objetivos, o programa propõe a utilização de softwares de geometria dinâmica nas construções geométricas. Tendo em consideração estes pressupostos, neste estudo recorreu-se à utilização do software de geometria dinâmica GeoGebra, por permitir apresentar simultaneamente diversas representações de um mesmo objeto, que interagem entre si. Para contemplar estas orientações na prática pedagógica foram apresentadas tarefas que permitissem aos alunos envolverem-se na exploração das propriedades
relacionadas com o estudo da circunferência, dando-lhes oportunidade de estabelecer as suas relações.
Com base nestes pressupostos, este estudo pretende identificar as vantagens e as desvantagens da utilização do GeoGebra na aprendizagem de alunos do 9.º ano de escolaridade no estudo da circunferência. Com este objetivo, pretendo responder às seguintes questões de investigação:
– Que atividades desenvolvem os alunos no estudo sobre a circunferência com recurso ao GeoGebra?
– Que dificuldades manifestam os alunos na aprendizagem do estudo da circunferência? Qual o contributo do GeoGebra na clarificação dessas dificuldades? – Que perceções têm os alunos sobre a utilização do GeoGebra na aprendizagem do
estudo da circunferência?
O Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007) e o NCTM (2007) recomendam a utilização de programas de geometria dinâmica para os alunos explorarem relações, formularem e testarem conjeturas. Neste sentido, com a utilização do GeoGebra pretendeu-se proporcionar um ambiente de aprendizagem favorável para a obtenção de relações da circunferência. Como refere Ponte (2005), as novas tecnologias possibilitam o envolvimento dos alunos em atividades matemáticas intensas e significativas, promovendo atitudes positivas e uma visão mais completa desta disciplina.
1.2. Pertinência do estudo
A Geometria é uma componente importante do currículo de Matemática porque o conhecimento, as relações e as ideias geométricas, para além se serem úteis em situações de todos os dias, estão relacionados com diversos tópicos matemáticos e outras matérias escolares (NCTM, 1991). Este tema é há muito considerado como o tema do currículo da matemática onde os alunos aprendem a raciocinar e a compreender a estrutura axiomática da Matemática (NCTM, 2007). As ideias geométricas revelam-se muito úteis na representação e resolução de problemas. Com o estudo da Geometria os alunos poderão aprender as formas e estruturas geométricas e o modo de analisar as suas características e relações (NCTM, 2007). Para o NCTM (2007), a Geometria é um tema importante no currículo, pois favorece o desenvolvimento da capacidade de visualização espacial, de raciocínio e de argumentação dos alunos. Para Matos
e Serrazina (1996), a aprendizagem do estudo da Geometria proporciona aos alunos “uma das formas privilegiadas de adquirir uma intuição e uma orientação espacial crucial para o mundo moderno” (p. 265). A visualização espacial facilita a aprendizagem da Geometria, é desenvolvida através de experiências geométricas em contexto de sala de aula, e engloba a forma como os alunos percecionam o mundo que os rodeia e a capacidade de interpretar, modificar e antecipar transformações de objetos (Matos & Gordo, 1993).
O Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007 refere como capacidades transversais a desenvolver o raciocínio, a comunicação e a argumentação, as quais podem ser desenvolvidas com o estudo da Geometria através da partilha de ideias, nomeadamente na realização de trabalhos de pares e de grupo, assim como na sistematização e institucionalização de conhecimentos e ideias matemáticas com a turma. Matos e Serrazina (1996) referem que a Geometria, para além do desenvolvimento da capacidade de visualização, permite também desenvolver a verbalização, a construção e manipulação de objetos geométricos, assim como a capacidade de aplicar os conhecimentos geométricos noutras situações.
A Geometria, ao longo de todos os ciclos, proporciona aos alunos oportunidades de desenvolverem o gosto por investigar propriedades e relações geométricas, aptidão para formular argumentos válidos recorrendo à visualização e ao raciocínio espacial, assim como sensibilidade para apreciar a Geometria no mundo real (Ministério da Educação, 2001). Como corrobora o NCTM (1991), "o estudo da geometria ajuda os alunos a representar e a dar significado ao mundo” (p. 133). Para desenvolver a intuição e a orientação espacial, Matos e Serrazina (1996) referem que é fundamental uma metodologia que assente na visão do aluno, proporcionando-lhe os meios e o ambiente no qual possa desenvolver o seu próprio conhecimento. Para os autores o estudo da Geometria deve passar por um reforço da intuição, pelo recurso à utilização de computadores, e pela manipulação de figuras elementares e consequentemente a investigação de algumas das suas propriedades. No que respeita às tarefas e recursos o Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007) advoga que os alunos na resolução de problemas geométricos, nas tarefas exploratórias e de investigação devem ter um tempo adequado para a realização de experiências, elaboração de estratégias, formulação de conjetura, descrição de processos e respetiva justificação. A importância desta abordagem advém do facto que os alunos “ao elaborarem justificações, produzindo pequenas cadeias dedutivas, familiarizam-se com o processo de demonstração e iniciam o processo geométrico dedutivo” (Ministério da Educação, 2007, p. 51).
As atuais indicações metodológicas para o ensino da Matemática recomendam o uso das novas tecnologias. Os alunos ao longo de todos os ciclos devem usar entre outros recursos tecnológicos os computadores na realização de cálculos complexos, na representação de informação e na representação de objetos geométricos (Ministério da Educação, 2007). De acordo com o NCTM (2007) “as possibilidades de envolver os alunos em desafios matemáticos aumentam de forma acentuada, com a utilização de tecnologias especiais” (p. 27). As novas tecnologias são um recurso que, segundo Ponte, Oliveira e Varandas (2003), podem promover nos alunos o desenvolvimento de importantes competências, assim como atitudes mais positivas em relação à Matemática e uma perspetiva mais completa desta ciência.
No estudo da Geometria, as Competências Essenciais da Matemática (Ministério da Educação, 2001) consideram que os alunos devem desenvolver “aptidão para realizar construções geométricas e para reconhecer e analisar propriedades de figuras geométricas, nomeadamente recorrendo a materiais manipuláveis e a software geométrico” (p. 62). Relativamente ao uso das novas tecnologias, o Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007) para o 3.º ciclo, recomenda o uso de softwares de geometria dinâmica nas construções geométricas, sobretudo na realização de tarefas exploratórias e de investigação. Relativamente a este tipo de tarefas Fernandes e Viseu (2011) mencionam que estas associadas a ambientes de geometria dinâmica tendem a favorecer a descoberta de propriedades e a produção de prova. Os alunos ao envolverem-se ativamente em conceitos geométricos, com a utilização de modelos concretos e de software de geometria dinâmica, através de atividades bem concebidas e apoiados pelo professor, poderão formular conjeturas e aprender a raciocinar cuidadosamente sobre noções geométricas (NCTM, 2007).
Oliveira e Domingos (2008) num debate sobre o tema Software no ensino e
aprendizagem da Matemática, destacam a importância que os ambientes de geometria dinâmica
adquiriram nas práticas profissionais dos professores, aparentemente por serem de fácil integração e articularem-se com uma certa facilidade às orientações curriculares dos vários níveis de escolaridade. Os autores referem que existem evidências de modos de utilização muito variados, porém destacam como elementos comuns a possibilidade de favorecer a integração de várias representações e o estabelecimento de conexões matemáticas. Os softwares de geometria dinâmica, através da construção e manipulação de objetos, são um recurso favorável à descoberta de propriedades e de relações geométricas, promovendo a aprendizagem do aluno, auxiliando-o na obtenção de conhecimentos assim como na construção de provas (Healy &
Hoyles, 2001). Para Ponte, Matos e Abrantes (1998) o ensino da Geometria com a utilização de
software dinâmico cria um ambiente de trabalho em que a motivação e atitudes, relativamente à
disciplina de Matemática, tendem a progredir. Proporcionam ao aluno um papel mais interventivo no processo de ensino aprendizagem, significa que segundo Viseu, Nogueira e Santos (2009), no estudo da Geometria, aprender relações e propriedades recorrendo a software de geometria dinâmica liberta o aluno de atividades mecânicas proporcionando-lhe espaço para um trabalho mais dinâmico e ativo.
Um processo de ensino e aprendizagem inovador concebe situações de aprendizagem estimulantes e que desafiem os alunos a pensar, apoiando-os no seu trabalho, favorecendo a divergência e a diversificação dos percursos de aprendizagem (Ponte, Oliveira & Varandas, 2002).
1.3. Estrutura do relatório
O presente relatório está estruturado em quatro capítulos. O primeiro capítulo – Introdução – apresenta o tema, o objetivo e as questões de investigação que orientaram a minha prática pedagógica. É também mencionada a pertinência do estudo, e com base na literatura, as razões que estiveram na origem desta escolha e, por fim, a estrutura do relatório.
O segundo capítulo -- Enquadramento contextual e teórico – dividido em três secções. Na primeira seção é descrito a escola e a turma onde realizei a minha prática pedagógica. Na seção seguinte é analisado o estudo da circunferência, ao longo dos três ciclos, no programa de Matemática do ensino básico de 2007. É também feita uma breve abordagem à Teoria da Atividade, de forma a compreender os objetivos e motivações da atividade humana. Seguindo-se uma análise da atividade Matemática, onde são focadas algumas recomendações de autores, sobre o que poderá o professor fazer para provocar a atividade Matemática dos alunos.
O terceiro capítulo – Intervenção pedagógica – Numa primeira fase são apresentados os tópicos lecionados sobre o estudo da Circunferência na intervenção pedagógica, é realizada uma análise dos dados resultantes de algumas atividades desenvolvidas pelos alunos. No final são analisadas as perceções dos alunos relativamente à estratégia delineada.
No quarto capítulo – Conclusões, Limitações e Recomendações – apresentam-se as conclusões e os resultados relativos às questões de investigação formuladas. Segue-se uma breve análise da prática pedagógica à luz da teoria da atividade. Por último, refere-se as
dificuldades e limitações na concretização deste estudo, assim como algumas recomendações para trabalhos futuros.
CAPÍTULO 2
ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO
Este capítulo começa por caraterizar a escola e a turma onde foi desenvolvido o projeto de intervenção pedagógica, tendo como referência os princípios orientadores do Projeto Educativo e as atividades relacionadas com a Matemática no Projeto Curricular da Escola. De seguida, efetua-se o enquadramento teórico deste estudo, tendo como referência a análise do programa do 3º ciclo em relação ao estudo da circunferência e atendendo à natureza do objetivo trabalho, a concetualização da teoria da atividade e a atividade matemática. Na fase seguinte, referem-se as estratégias utilizadas para a concretização do projeto, assim como a fundamentação das mesmas.
2.1. Enquadramento Contextual
Esta seção trata da caraterização da Escola e da Turma onde foi desenvolvido o Projeto de Intervenção Pedagógica Supervisionada.
2.1.1. Caracterização da Escola
A intervenção pedagógica decorreu numa Escola do 3.º Ciclo e Secundária do distrito de Braga. A mesma entrou em funcionamento em 1984 e atualmente pertence a um Agrupamento de Escolas do concelho, que foi constituído em 2012 e resultou da fusão entre um Agrupamento de Escolas euma Escola Secundária. A sua área de influência pedagógica abrange as freguesias que constituem o concelho.
A escola está inserida numa zona com amplos espaços verdes, é constituída por 4 pavilhões, edifício de serviços, bloco I, bloco II e pavilhão polidesportivo. Os espaços são, de um modo geral, adequados às necessidades educativas dos alunos. Possui salas de informática, laboratórios de Física e Química e Biologia/Geologia, Biblioteca e um Centro de Recursos Escolares. O serviço prestado pela Biblioteca e Centro de Recursos Escolares é direcionado, como refere o Projeto Educativo da Escola, para a promoção da informação e do conhecimento do processo formativo dos membros da comunidade educativa, numa perspetiva de aprendizagem ao longo da vida,
Os alunos encontram-se distribuídos pelo 3.º ciclo do Ensino Básico, Ensino Secundário, cursos Científico-Humanísticos, Cursos de Educação e Formação para Jovens, Cursos Profissionais e Cursos de Educação e Formação de Adultos. Além do corpo estudantil, fazem parte dos recursos humanos da mesma cerca de 120 professores, 39 funcionários não docentes. Os níveis salariais dos pais e encarregados de educação são muito baixos o que pode ser constatado pelo número de alunos com apoio da Ação Social Escolar. Mais de 60% dos alunos do 3º ciclo e ensino profissional têm escalão A ou B. No ensino secundário, a percentagem é menor, mas continua acima dos 50%. Relativamente às habilitações literárias dos encarregados de educação, os dados apontam para 37% com o 1.º ciclo, 18,4 % com o 3.º ciclo, 9,3% com o ensino secundário e 2,9% com o ensino superior, verifica-se também, pela leitura da tabela 1 que os níveis são ainda mais baixos nos dos alunos dos Cursos de Educação e Formação e Ensino Profissional.
Tabela 1: Escolaridade dos Pais e Encarregados de Educação (Projeto Educativo da Escola).
Os níveis de escolarização e formação dos pais e encarregados de educação são muito reduzidos, o que, segundo o Projeto Educativo da Escola, não favorece o acompanhamento dos seus educandos relativamente ao contexto escolar.
Na avaliação externa efetuada pela Inspeção Geral da Educação, a escola obteve a classificação de “Bom” em todos os domínios: resultados dos alunos, prestação do serviço educativo, organização e gestão escolar, liderança e capacidade de autorregulação. Foram ainda identificados como pontos fortes a evolução positiva da percentagem de alunos que transitam com sucesso pleno, as taxas de transição e conclusão superiores às nacionais, a eliminação do abandono escolar no 3.º ciclo, como também a redução das desistências no ensino secundário.
O Projeto Educativo da escola tem como princípios promover a emergência de práticas educativas inovadoras e a melhoria da qualidade educativa, favorecendo a aprendizagem integrada de todos os saberes disciplinares, numa perspetiva cultural transversal. Tais princípios têm como finalidade assegurar a formação escolar e profissional tendo em consideração os interesses e aptidões dos alunos no seu contexto sociocultural. Neste sentido, o Plano Anual de Atividades contempla ações promotoras de interdisciplinaridade e participação das turmas em atividades curriculares e extracurriculares, entre elas, visitas de estudo, apoios, exposições, comemorações de efemérides, campanhas de solidariedade e desporto escolar.
A escola, ao longo do ano letivo, desenvolveu alguns projetos, entre os quais, o Plano Anual da Matemática e o Plano Tecnológico da Educação. O primeiro visou desenvolver no aluno atitudes positivas face à disciplina, à capacidade de apreciar esta ciência, permitindo ainda promover competências a nível da resolução de problemas, da comunicação matemática e do raciocínio matemático. Constituiu a equipa de trabalho, todos os professores de Matemática. O segundo visou promover a utilização das TIC nas atividades letivas e não letivas, rentabilizando os meios informáticos disponíveis, generalizando a sua utilização por todos os elementos da comunidade educativa, e apoiar a sua integração no ensino, na aprendizagem, na gestão e na segurança ao nível da Escola (Projeto Curricular da Escola).
De forma a promover a evolução dos alunos relativamente às competências previstas para a Matemática, no âmbito do Projeto Curricular de Escola, foram desenvolvidas diversas atividades. Assim, decorreu ao longo do ano o Campeonato de Jogos, tendo como destinatários todos os alunos do agrupamento, e com os seguintes objetivos: desenvolver o raciocínio lógico – abstrato; aumentar o gosto pela Matemática; adquirir métodos/estratégias de resolução de problemas; desenvolver a capacidade de atenção/concentração; usar as TIC. Foi também desenvolvida a atividade “Problema do mês”, destinada a alunos do 5.º e 6.º anos, que pretendeu promover o desenvolvimento do raciocínio lógico – abstrato; da capacidade de resolução de problemas, da capacidade de comunicação matemática e da capacidade de leitura e/ou interpretação/compreensão de enunciados (Plano Anual de Atividades).
Analisando os princípios e objetivos da educação presentes no Projeto Educativo é possível constatar que a escola pretende promover o desenvolvimento de uma pedagogia inovadora e de qualidade. Através do Plano Tecnológico da Educação, referenciado no Projeto Curricular de Escola, a escola pretende difundir a utilização das novas tecnologias no ensino e na aprendizagem dos seus alunos.
2.1.2. Caracterização da turma
A turma interveniente neste projeto é uma turma do 9.º de escolaridade do ensino básico, constituída por 30 alunos, sendo 14 do sexo feminino e 16 do sexo masculino, com idades compreendidas entre os 13 e os 15 anos e uma média da faixa etária aproximadamente de 14 anos (Tabela 2).
Tabela 2: Distribuição das idades dos alunos (n 30).
Idades Rapazes Raparigas Total Percentagem de alunos
13 - 1 1 3,3%
14 13 10 23 76,7 %
15 3 3 6 20 %
Dos alunos da turma, sete tinham retenções, seis dos quais em anos anteriores, apenas um estava a repetir o 9.º ano tendo já obtido uma retenção no 7.º ano. No final do ano letivo, dos 30 alunos 53% reprovaram à disciplina de Matemática, estando as classificações distribuídas da seguinte forma: 1 aluno obteve nível um, 15 alunos obtiveram nível dois, 6 alunos alcançaram nível três, 7 alunos obtiveram nível quatro e 1 aluno atingiu nível cinco.
Da análise do plano de turma, apenas dois alunos referiram a Matemática como a disciplina preferida. As restantes preferência distribuíram-se pelas disciplinas de Educação Física e Ciências da Natureza, ambas com oito alunos, seguiu-se o Inglês com duas preferências e por fim a História, Francês e Educação Visual, todas com uma preferência. É de salientar ainda que sete alunos não mencionaram qualquer preferência. Relativamente à disciplina com mais dificuldade, dezoito alunos consideraram a Matemática como sendo a mais complicada, apontando como justificações a falta de empenho, a complexidade dos conteúdos, e a rapidez com que as matérias são lecionadas.
Questionados sobre quais os temas mais apreciados na disciplina de Matemática, sete alunos manifestaram preferência pela Geometria, os restantes mencionaram outros temas, tais como as Probabilidades e Funções, referindo ser uma matéria mais simples. Relativamente aos temas menos preferidos, cinco alunos assinalaram a Geometria, por ser uma matéria de difícil compreensão. Em relação ao entendimento que tinham da Geometria, referiram que este tema consistia no estudo das figuras geométricas. Quanto ao uso do computador para o estudo da Matemática apenas dois indicaram usar as novas tecnologias, porém nenhum aluno tinha usado
Quando questionados sobre os diferentes métodos de aprendizagem da Geometria, a maioria dos alunos mencionou preferir a transmissão da matéria pelo professor, passar a matéria para o caderno o que é feito no quadro e a realização de trabalhos com colegas em pares ou em grupo. Apenas um aluno referiu preferir estabelecer as definições, as regras e as propriedades (Tabela 3).
Tabela 3: Métodos para aprender Geometria.
Métodos para aprender Geometria Nº de alunos
Transmissão da matéria pelo professor 15
Resolver problemas relacionados com situações do quotidiano 5
Realizar trabalhos com colegas em pares ou em grupo 10
Resolver exercícios do manual escolar 8
Passar para o caderno o que é feito no quadro 12
Ser o aluno a estabelecer as definições, regras e propriedades 1
Resolver exercícios/problemas com recurso a softwares de geometria dinâmica 8
Ao longo do 1.º período, pela observação em contexto de sala de aula, pude verificar que alguns alunos mostravam ter dificuldades à disciplina de Matemática, embora revelassem empenho para as colmatar. Um número reduzido de alunos não mostrava interesse pela disciplina. No geral, os alunos da turma eram empenhados e participativos nas atividades das aulas. Porém, no decorrer do 2.º e 3.º períodos, devido à avaliação do final de cada período, pude verificar um aumento do número de alunos com falta de interesse e empenho o que originou um decréscimo no desempenho escolar dos mesmos. Relativamente ao seu comportamento em contexto de sala de aula estavam inúmeras vezes distraídos e pouco empenhados nas tarefas propostas. É de salientar ainda que na reunião de início de ano, o Plano de Turma, mencionava que estes alunos apresentavam graves lacunas a nível das competências básicas, que se prendem com fragilidades na análise e interpretação de documentos de diversa natureza, as quais se refletiam na aplicação e relacionamento das ideias. Contudo, verifiquei um maior empenho e vontade de alcançar melhores resultados por parte dos alunos mais interessados e participativos. Os alunos menos interessados não participavam nas atividades propostas na aula limitavam-se a passar para o caderno o que o professor escrevia no quadro, e a maioria não dedicava tempo ao estudo dos conteúdos matemáticos.
Devido às características dos alunos, as condições para a realização das tarefas propostas, assim como o envolvimento da turma nas atividades de aprendizagem, não eram as
mais adequadas ao desenvolvimento dos objetivos delineados para cada aula. Desta forma, a falta de empenho e de gosto pela Matemática, por parte dos alunos, foi a maior dificuldade com que me defrontei ao longo de cada aula.
2.2. Enquadramento Teórico
Esta seção trata da fundamentação teórica do projeto desenvolvido com base na literatura e apresenta as metodologias e as estratégias de avaliação da ação desenvolvidas ao longo do mesmo.
2.2.1. O estudo da circunferência no Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007
O Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007 propõe o estudo da circunferência como um ensino progressivo. A tabela seguinte (Tabela 4) descreve o tópico da circunferência e os objetivos específicos ao longo dos três ciclos.
Tabela 4: Tópico da circunferência nos três ciclos.
Tópicos Objetivos específicos
1º Ciclo Círculo e circunferência Distinguir círculo de circunferência e relacionar o raio e o diâmetro
2º Ciclo Círculo e circunferência: propriedades
e construção
Identificar as propriedades da circunferência e distinguir círculo de circunferência
3º Ciclo
Circunferência
Ângulos ao centro, inscrito e excêntrico.
Lugares geométricos.
Circunferência inscrita/circunscrita a um triângulo.
Polígono regular inscrito numa circunferência.
Relacionar a amplitude de um ângulo ao centro com a do arco correspondente e determinar a área de um sector circular.
Relacionar a amplitude de um ângulo inscrito e de um ângulo excêntrico com a dos arcos associados.
Identificar e construir circunferência e círculo. Construir a circunferência inscrita e a
circunferência circunscrita a um triângulo dado.
Inscrever um polígono regular numa
circunferência (conhecidos o centro da circunferência e um vértice do polígono). Determinar a amplitude de um ângulo interno e
de um ângulo externo de um polígono regular. Estabelecer relações entre ângulos, arcos,
cordas e tangentes.
Resolver problemas envolvendo a circunferência e outros lugares geométricos.
Analisando o Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007) verificamos que o estudo da circunferência se inicia no 1º ciclo, começando por identificar e representar círculos, no 1.º e 2.º ano. Nesta fase, é sugerido que os alunos desenhem círculos e
contornem figuras planas de modelos sólidos geométricos. No 3.º e 4.º ano, pretende-se que os alunos distingam círculo de circunferência, que relacionem o raio e o diâmetro da mesma, e utilizem o compasso para a realização de algumas tarefas. Ponte e Serrazina (2000) referem que “a aprendizagem da Geometria neste nível deve ser feita de um modo informal partindo de modelos concretos do mundo real das crianças, de modo a que elas possam formar os conceitos essenciais” (p. 165). Os alunos devem realizar tarefas que lhes possibilitem fazer observações, descrições e representações de objetos, assim como identificar propriedades que as caracterizam, desenvolvendo, gradualmente, a capacidade de raciocínio através de representações mentais (Ministério da Educação, 2007). É ainda fundamental que os alunos registem o trabalho realizado com os materiais e que reflitam sobre ele, permitindo-lhes uma melhor consolidação das aprendizagens (Ministério da Educação, 2007). Relativamente aos recursos utilizados para o tema da Geometria, nomeadamente para o estudo da circunferência, é recomendado o uso de materiais manipuláveis, pois “permitem estabelecer relações e tirar conclusões, facilitando a compreensão dos conceitos” (Ministério da Educação, 2007, p. 21).
No 2.º ciclo, o estudo do círculo e circunferência prossegue com a construção e identificação das suas propriedades, é sugerido a realização de tarefas experimentais para descobrir as fórmulas do perímetro e da área do círculo. Os alunos devem igualmente resolver problemas envolvendo propriedades do círculo, do perímetro e da área. Neste ciclo, o programa refere que o raciocínio e a visualização devem ser aprofundados através da utilização de instrumentos e materiais manipuláveis – régua, esquadro, compasso e transferidor, geoplanos, tangrans, peças poligonais encaixáveis – que são considerados importantes para a exploração, análise e resolução de problemas, assim como no desenho e construções com algum rigor. Os
softwares de geometria dinâmica são aconselhados a serem utilizados pois favorecem a
compreensão dos conceitos e relações.
No 3.º ciclo, aprofunda-se o estudo da circunferência e do círculo tendo como objetivo estudar as suas propriedades e relações, relacionando os elementos que lhe estão diretamente associados, tais como ângulos ao centro e excêntricos, arcos, cordas, tangentes, polígonos inscritos. As recomendações metodológicas do programa sugerem o envolvimento dos alunos na construção do conhecimento, visto que se acredita que a aprendizagem da Matemática resulta do trabalho realizado pelo aluno nas tarefas propostas pelo professor. Os alunos devem ter a possibilidade de explorar conceitos e propriedades geométricas através de diversas atividades, tais como a resolução de problemas geométricos, tarefas exploratórias e de investigação. Estas
atividades possibilitam elaborar estratégias, formular conjeturas, descrever processos e justificá-los com rigor progressivo. O programa aponta para uma maior intervenção dos alunos no processo de ensino-aprendizagem, o que pode acontecer no estudo das relações da circunferência, através da elaboração de construções geométricas com recurso a softwares de geometria dinâmica, por permitir desenvolver a intuição geométrica e a capacidade de visualização. Na construção de representações geométricas, estes softwares permitem aos alunos determinar as medidas dos arcos, ângulos e segmentos, proporcionando um ambiente favorável à investigação das propriedades e relações, como também possibilita efetuar conjeturas e explorar diversas figuras com a finalidade de validarem o seu raciocínio (NCTM, 1991).
Subjacente a essas construções emerge a atividade que os alunos realizam na sala de aula, através da realização das tarefas propostas pelo professor. Poderemos ser levados a questionarmo-nos sobre o que motiva e como pode ser estimulada a atividade de qualquer pessoa, em particular a dos alunos.
2.2.2. Teoria da atividade
A teoria da atividade, iniciada por Vygotsky e posteriormente desenvolvida por Leontiev, evoluiu ao longo de três gerações. Numa primeira fase, Vygotsky introduziu a ideia de mediação, geralmente expressa pelo modelo triangular sujeito, objeto e artefacto mediador (Figura 1), abandonando a separação entre o meio social envolvente e o indivíduo. Vygotsky defendeu que o ser humano não podia ser entendido sem ter em conta o seu meio cultural, assim como a sociedade não podia ser compreendida sem considerar a atividade dos indivíduos que usam e produzem artefactos (Engeström, 2001).
Figura 1: Modelo da 1ª Geração (Engeström 2001).
Para Engeström (2001), este primeiro modelo apresentava limitações, uma vez que a unidade de análise era o indivíduo. Para o autor a segunda geração desta teoria centrou-se em Leontiev, que deixou para trás a análise individual e passou a agregar ações individuais e de grupo num sistema de atividade coletiva (Figura 2).
Figura 2: Modelo da 2.ª geração. Estrutura de um sistema de atividade humana (Engeström 2001).
O sistema de atividade passa então a apresentar as relações entre o sujeito e o objeto da atividade, mediado pela utilização de artefactos, pela comunidade que partilha o objeto, pela divisão do trabalho e pelas regras que intervêm nas relações entre o sujeito e a comunidade (Engeström, 2001). Relativamente ao modelo da segunda geração, este autor refere que:
O sub-triângulo superior (...) pode ser visto como ‘a ponta do iceberg’ representando ações individuais e de grupo agregadas num sistema de atividades coletivo. O objeto é representado com a ajuda de uma figura circular, indicando que ações orientadas para o objeto são sempre, explicita ou implicitamente, caracterizadas por ambiguidade, surpresa, interpretação, produção de sentido e potencial para a mudança. (Engeström, 2001, p. 134)
Para Engeström (2001), a necessidade de desenvolver ferramentas concetuais para compreender o diálogo, as múltiplas perspetivas, e a noção de redes de atividades interagindo entre sistemas, levaram à emergência da terceira geração, cujo modelo se centra no mínimo em dois sistemas de atividade (Figura 3).
Figura 3: Modelo da 3.ª geração. Interação de dois sistemas de atividade (Engeström, 2001).
O autor salienta que o objeto se move de um estado inicial não refletido (objeto 1), para um objeto coletivamente significativo construído pelo sistema de atividade (objeto 2), e para um objeto potencialmente partilhado ou construído conjuntamente (objeto 3). O objeto da atividade é portanto um alvo em movimento, não redutível a metas conscientes de curto prazo (Engeström, 2001).
O conceito de atividade, segundo Leontiev (1978), ocorreu quando o ser humano passou a viver em sociedade. Resultante da divisão do trabalho, esta distribuição originou o aparecimento de processos ou ações. A mais simples divisão de trabalho leva necessariamente à obtenção de resultados parciais, que por si só não conseguem satisfazer as necessidades individuais. Assim, a ligação entre uma necessidade e a sua satisfação deixou de ser direta (Leontiev, 1978). A atividade dos participantes no trabalho coletivo é evocada pelo resultado final, que inicialmente responde diretamente à necessidade de cada um. Desta forma, as necessidades são satisfeitas através da ligação dos resultados parciais, adquiridos pelos diferentes participantes da atividade coletiva, isto é, através de ações coletivas de um grupo em interação social (Leontiev, 1978). Para este autor, as atividades são diferentes entre si de acordo com a sua forma, métodos de realização, necessidades de tempo e de espaço. O que distingue uma atividade de outra é a diferença dos seus objetos, são eles que lhe dão uma determinada direção. O objeto é o verdadeiro motivo de uma atividade, seja material ou ideal.
Leontiev (1978) refere que a atividade humana só é concretizada através da realização de ações ou conjunto de ações, subordinadas a objetivos específicos provenientes do objetivo geral. As ações têm um aspeto intencional, o que deve ser alcançado, e um aspeto operacional, como e por que meios, isto é, como se realizam as operações (Leontiev, 1978). Ações e operações têm várias origens dinâmicas e destinos, cada operação resulta de uma ação que por sua vez tem como resultado o seu envolvimento noutra ação. Desta forma, cada ação inclui diferentes operações (Leontiev, 1978). Atividade e motivação são conceitos que estão necessariamente relacionados, uma atividade não existe sem um motivo, assim como as ações se relacionam com os objetivos a alcançar (Leontiev, 1978).
2.2.3. Atividade matemática
A questão central no ensino da matemática é a natureza das atividades que os alunos realizam na sala de aula (APM, 1988). O ensino da Matemática aponta para a construção de um conjunto individual de informação – factos, rotinas, procedimentos e formulações em símbolos e linguagem – assim como para a construção de critérios da natureza do tema tratado, do conhecimento e aplicabilidade da Matemática, de formas de trabalho e procedimentos gerais no processo matemático (Christiansen & Walther, 1986).
Estes autores reforçam que estes dois tipos de conhecimento, aquisição de um repertório de informação e tomada de consciência sobre a aplicação da mesma deverão ser
acessíveis em relações apropriadas. Assim, uma diversidade de atividades deverá interagir no aluno para que o ensino da Matemática produza resultados. A aprendizagem ocupa níveis cognitivos diferentes na realização de qualquer atividade matemática. Como exemplo, os autores mencionam que, se é pedido a um aluno para desenvolver uma determinada prova, este estará preocupado com o conteúdo matemático, assim como com os processos gerais de provar e ler um texto matemático, isto é, com o contexto de aprendizagem. Para os autores, estas considerações apresentam uma grande amplitude da aprendizagem com que o professor tem de se preocupar. Nesta perspetiva, a contribuição básica da teoria da atividade, é que um indivíduo que está motivado para agir sobre um objeto, aprende através da sua atividade, ações e reflexões, havendo assim uma relação de controlo entre o objeto e atividade.
Para Christiansen e Walther (1986) aprender não pode unicamente ser assegurado pelas tarefas, uma vez que a dependência recíproca entre tarefa e atividade é de natureza indireta. Através de várias tarefas dadas pelo professor, os alunos podem ser envolvidos em atividades matemáticas, no entanto é necessário um conjunto de ações da parte do professor para assegurar que a atividade educacional em causa resulte na aprendizagem pretendida (Christiansen & Walther, 1986). Assim, os autores referem que:
1. Qualquer atividade deriva diretamente das finalidades de ações dirigidas que lhe são ‘inerentes’, mas não ‘dadas pela’ tarefa;
2. Tarefas específicas são necessárias para motivar tipos específicos de atividades (exploração ou resolução de problemas);
3. Qualquer atividade contribui para aprender de maneiras diferente e em níveis cognitivos diferentes;
4. As ações específicas do professor são necessárias para assegurar que o conhecimento pessoal é desenvolvido num grau apropriado dentro do conhecimento partilhado (p. 14).
Neste sentido, é fundamental que a estrutura de qualquer atividade seja clara quanto à sua intencionalidade e aos meios adequados para atingir os objetivos pretendidos, possibilitando mudanças de rumos consoante as interações que vão surgindo entre os alunos, o professor e o novo objeto da aprendizagem.
Em contexto de sala de aula, os alunos podem resolver uma série de atividades matemáticas, relacionadas com a resolução de exercícios, problemas, explorações e investigações. Ponte (2005) e APM (1988) defendem que a aprendizagem dos alunos decorre da atividade que realizam e da reflexão que efetuam sobre ela. Por outro lado, o envolvimento numa atividade pressupõe a realização de uma tarefa (Ponte, 2005). Stein e Smith (1998) definem
tarefa “como um segmento da atividade da sala de aula dedicada ao desenvolvimento de uma ideia matemática particular” (p. 269). Desta forma, as tarefas estão relacionadas com o modo de construção do conhecimento, o que leva a distinguir tarefa de atividade. Para Christiansen e Walther (1986), a “tarefa é interpretada sob a influência de muitos fatores e a atividade é condicionada pelas ações do professor, que são uma vez mais feitas e interpretadas sob a influência de atitudes e conceções do professor e do aluno respetivamente” (p. 10). Numa perspetiva educacional os autores identificam a tarefa com o trabalho proposto pelo professor, tornando-se desta forma no objeto da atividade do aluno. A atividade é, assim o que o aluno faz para realizar uma determinada tarefa. Os autores distinguem ainda a atividade como atividade educacional, sendo esta o resultado do planeamento educacional, e atividade de aprendizagem, quando a atividade educacional resulta na aprendizagem intencionada. Ponte (2005) define tarefa como o objetivo de uma ação e descreve a atividade do aluno como aquilo que espera que este desenvolva, o que faz e a forma como se envolve na aula, num determinado contexto e período de tempo estabelecido pelo professor. Bispo, Ramalho e Henriques (2008) consideram que as tarefas “são pretextos de interação e colaboração entre alunos e professor, funcionando, por isso, como ‘motores’ que promovem a aprendizagem e o desenvolvimento do conhecimento matemático” (p. 4).
O envolvimento dos alunos no processo de ensino-aprendizagem depende, entre outros aspetos, do interesse pela disciplina de Matemática, das capacidades e motivações de cada um. Ponte (2005) refere que estabelecendo uma estratégia adequada, com uma diversidade de tipos de tarefa e criando momentos que permitam explorar, refletir e discutir, o professor concebe oportunidades que favorecem a aprendizagem dos alunos. Assim, o modo de construção do conhecimento está ligado ao desempenho realizado pelo aluno, quando procura aprender ou explorar e descobrir o que é proposto, apoiado pelo professor e em negociação com a turma (Ponte, 2005). Este autor sugere ainda que o professor para suscitar a atividade do aluno, além de ter de selecionar boas tarefas, precisa de ter atenção à forma como as propõe e à condução da sua realização na sala de aula.
Na caracterização de qualquer currículo as tarefas são um elemento fundamental, determinam em grande medida as oportunidades de aprendizagem proporcionadas aos alunos, pelo que o professor deverá estabelecer uma estratégia que contemple diversos tipos de tarefas, criando momentos próprios de exploração, reflexão e discussão (Ponte 2005). O autor classifica as tarefas em quatro tipos de acordo com o grau de desafio e o grau de estrutura (Figura 4).
Figura 4: Tipologia das tarefas relativamente ao grau de desafio e abertura (Ponte, 2005).
De acordo com esta tipologia, uma tarefa é fechada quando é mencionado claramente o que é dado e o que é pedido; é aberta quando admite um grau de indeterminação significativo no que é dado, no que é pedido, ou em ambas as coisas (Ponte 2005). Relativamente ao grau de desafio, este varia entre “reduzido” e “elevado”, o que se relaciona com a perceção da dificuldade de uma questão sugerida aos alunos, tanto na sala de aula como em momentos de avaliação (Ponte, 2005). Segundo Stein e Smith (1998), tarefas que pedem aos alunos a execução de procedimentos memorizados, de forma rotineira, e tarefas que exigem que os alunos pensem conceptualmente e que os estimulem a fazer conexões representam diferentes tipos de oportunidade para os alunos pensarem. O NCTM (2007) recomenda a utilização de tarefas significativas para introduzir conceitos matemáticos, para envolver e desafiar intelectualmente os alunos. De forma a suscitar diferentes atividades matemáticas é essencial realizar diferentes tipos de tarefas. Ponte (2005) menciona que é necessário diversificar as tarefas. Esta diversificação é necessária, pois cada tipo de tarefa desempenha um papel importante para atingir determinados objetivos curriculares. Relativamente à importância da natureza das tarefas o autor refere que:
As tarefas de natureza mais fechada (exercícios, problemas) são importantes para o desenvolvimento do raciocínio matemático nos alunos, uma vez que este raciocínio se baseia numa relação estreita e rigorosa entre dados e resultados. As tarefas de natureza mais acessível (explorações, exercícios), pelo seu lado, possibilitam a todos os alunos um elevado grau de sucesso, contribuindo para o desenvolvimento da sua autoconfiança.
As tarefas de natureza mais desafiante (investigações, problemas), pela sua parte, são indispensáveis para que os alunos tenham uma efetiva experiência matemática.
