Ângulo com vértice no interior da circunferência

Estabelecer a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência

No estudo do tópico ângulo com vértice no interior da circunferência, os alunos começaram por explorar uma tarefa que, segundo Ponte (2005), tem um grau de desafio reduzido e grau de estrutura aberto. A tarefa tinha como objetivo relacionar a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência com a amplitude dos arcos associados. Com esta finalidade, foi proposto aos alunos a realização de uma tarefa exploratória com recurso ao GeoGebra (Anexo 4).

No preenchimento da tabela com os valores recolhidos no GeoGebra, pretendia-se que os alunos registassem algumas amplitudes do ângulo com vértice no interior da circunferência, as amplitudes dos arcos associados, assim como a sua soma, para que conjeturassem a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência. Os alunos puderam recolher dados e identificar regularidades entre as amplitudes registadas. Circulando pela sala de aula e observando a atividade dos alunos foi possível verificar que não foram notadas dificuldades no preenchimento da tabela, pois conseguiram, através do arrastamento de um dos pontos, B ou C, ou do vértice do ângulo BAC, interno à circunferência, registar as amplitudes do ângulo BAC, assim como dos correspondentes arcos CB e DE. A observação de casos particulares permitiu à maioria dos alunos o estabelecimento da conjetura que estabelece

a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência. Dos quinze pares de alunos, doze pares estabeleceram a relação pretendida, um par deu uma resposta errada e dois não responderam. Os pares que conseguiram estabelecer a relação apresentaram respostas similares à do par P1 (Figura 13).

Figura 13: Conjetura sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P1.

Enquanto alguns alunos descreveram por linguagem corrente a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior de uma circunferência, em função das amplitudes dos arcos correspondentes, houve alunos que estabeleceram formalmente essa relação, como exemplifica a resposta do par P2 (Figura 14).

Figura 14: Conjetura sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P2.

Outros alunos estabeleceram a relação referindo que a soma das amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus lados e os seus prolongamentos era o dobro da amplitude do ângulo interno, tal como fez o par P3 (Figura 15).

Figura 15: Conjetura sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P3.

O par P4 apresentou uma resposta errada mencionando que a relação se obtém aumentando o ângulo (Figura 16).

Figura 16: Conjetura errada sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P4.

Este erro deveu-se ao facto de os alunos deste par não terem calculado a soma das amplitudes dos arcos CB e DE. Desta forma, não puderam identificar nenhuma relação entre a amplitude do ângulo interior à circunferência e a soma das amplitudes dos correspondentes arcos.

Figura 17: Registo das amplitudes do ângulo interno BAC e dos correspondentes arcos CB e DE pelo par P4.

Após o registo na tabela dos valores obtidos e da conjetura que se retira da análise desses valores, seguiu-se a apresentação dos resultados à turma, que serviu para elucidar que a conjetura se verifica para qualquer ângulo interno da circunferência.

Professora: Qual a relação que obtiveram da amplitude do ângulo interno à circunferência?

A1: O ângulo  é metade da soma das amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus lados e os seus prolongamentos. Professora: Como é que podemos escrever a relação?

A1:  é igual ao arco CB mais o arco DE a dividir por dois. A2: Podíamos só dividir o arco….

Professora: Qual arco?

A2: O arco CB e já tínhamos a amplitude do ângulo. Professora: O que observaste através dos registos que efetuaste?

Professora: A amplitude do ângulo  é metade da amplitude do arco CB? Ou é metade da soma das amplitudes dos arcos?

A2: Pois…. é metade da soma das amplitudes dos arcos.

Professora: Mais alguém tem dúvidas em relação à amplitude do ângulo ?

Com este diálogo, procurei orientar o trabalho na sala de aula de acordo com a orientação curricular que destaca o desenvolvimento da capacidade de comunicação dos alunos. Pretendi, como refere o programa de Matemática do ensino básico (Ministério da Educação, 2007), que os alunos fossem capazes de expressar as suas ideias, interpretar e compreender as que lhes eram apresentadas e que participassem de forma construtiva na discussão de ideias, processos e resultados matemáticos. Apesar da tentativa de envolver o maior número de alunos, apenas dois participaram na discussão da aula. Os alunos A1 e A2 intervenientes no diálogo estabeleceram corretamente a relação. No entanto, o aluno A2 revelou ter algumas dúvidas que

parecem que foram elucidadas através da discussão com a turma. Como refere o NCTM (2007), através da comunicação as ideias tornam-se objetos de reflexão, discussão e correção, contribuindo para a consolidação de ideias.

Prova da relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência

Depois de estabelecida a relação que permite determinar a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência, os alunos foram desafiados a provar a conjetura obtida (Anexo 4). Durante a realização desta atividade, a maior parte dos alunos manifestou dificuldade na sua concretização. Na expetativa da prova ser realizada por um maior número possível de alunos, optei por desenhar no quadro um ângulo com vértice no interior de uma circunferência. De seguida, desenhando o triângulo [BAE] e marcando os ângulos a e b (Figura 18), pedi aos alunos que relacionassem a amplitude do ângulo , externo ao triângulo, com as amplitudes dos ângulos internos não adjacentes a e b.

Figura 18: Ângulo com vértice no interior da circunferência.

Uma vez que a atividade tinha um grau de complexidade elevado, esta apenas foi realizada por um par de alunos (Figura 19), os quais tinham um bom desempenho à disciplina de Matemática. Apesar de conseguirem provar a relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência é de salientar que os alunos não procuraram justificar os passos efetuados.

Figura 19: Prova da relação sobre a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P5.

Posteriormente, desenvolveu-se no quadro a prova da conjetura anteriormente estabelecida, questionando os alunos de modo a envolvê-los nesta atividade.

Professora: Como é que podemos relacionar a amplitude do ângulo  com as amplitudes dos ângulos internos do triângulo?

A3:  é igual a+b.

Professora: Porquê? O ângulo  não é um ângulo externo ao triângulo? Alunos: É.

Professora: Então porque é que esta igualdade é verdadeira? Turma: (Silêncio).

Professora: Porque a amplitude de um ângulo externo a um triângulo é igual à soma dos seus ângulos internos não adjacentes. Será?

Professora: Então agora podemos relacionar os ângulos a e b com os arcos AB e DE?

A4: Sim.

A3: a é igual ao AB a dividir por dois e b é igual a DE a dividir por dois. Professora: Porquê?

A4: Porque são ângulos inscritos.

A3: Assim  é igual a AB mais DE a dividir por dois.

Professora: Alguém tem alguma dúvida relativamente a esta questão? Alunos: Não.

Com a realização da prova da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência, pretendi questionar os alunos na tentativa que estes expressassem os seus raciocínios e desenvolvessem a “capacidade de argumentação apoiada em procedimentos,

propriedades e conceitos matemáticos” (Ministério da Educação, 2007, p. 63). Pela observação do diálogo é possível verificar que os alunos revelam dificuldades em argumentar e em expor as suas ideias, aguardando que o professor partilhe a informação.

Outro aspeto no qual os alunos revelam dificuldades é no rigor da linguagem utilizada, verificando-se, por exemplo, quando o aluno A3 conclui que “ é igual a AB mais DE a dividir por dois”, não esclarecendo que é a amplitude dos arcos AB e DE. É também de salientar a falta de envolvimento dos alunos na discussão, estes limitavam-se a responder às questões colocadas pela professora de forma breve e sem justificações. Sublinha-se que a dificuldade de provar a conjetura continua a manifestar-se, uma vez que os alunos intervenientes no diálogo são os que conseguiram provar a relação estabelecida.

Depois de determinadaa relação que estabelecia a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência em função das amplitudes dos seus arcos associados e da respetiva prova, houve tempo para que os alunos aplicassem essa relação na resolução de tarefas práticas. Estas tarefas (Anexo 7), realizadas individualmente pelos alunos, foram selecionadas do manual escolar e tinham como objetivo aplicar e consolidar os conhecimentos adquiridos. Observando as resoluções dos alunos não se verificaram dificuldades de aplicação da relação estabelecida. No entanto, alguns alunos manifestaram dificuldade em justificar a aplicação dessa relação. Apenas oito pares procederam à respetiva justificação. Nesta tarefa, todos os alunos aplicaram corretamente a relação obtida, verificando-se apenas erros de cálculo em quatro alunos, como exemplifica os que foram cometido pelo aluno A2 (Figura 20).

Figura 20: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência do aluno A2 com erros de cálculo.

Os erros de cálculo verificaram-se nas alíneas b e c. Por exemplo, na expressão da alínea b, o aluno A2 terá calculado a soma de 121 com , em vez de . Como os alunos

utilizavam a calculadora científica, este erro poderá ter ocorrido por o aluno ter colocado de forma errada a expressão, o que também parece justificar o erro da alínea c.

Relativamente às respostas corretas dos alunos, a maior parte dos alunos aplicou somente a fórmula que relaciona a amplitude de um ângulo interior à circunferência com a amplitude dos arcos associados, como exemplifica a resolução do aluno A5 (Figura 21), enquanto outros justificaram a aplicação dessa fórmula, como ilustra a resposta do aluno A1 (Figura 22).

Figura 21: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência sem justificação do aluno A5.

Figura 22: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência com justificação do aluno A1.

Na primeira resolução, o aluno aplica a relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência diretamente, não especifica o caso geral, usando diretamente o caso particular. De forma a não cometer erros de cálculo, o aluno tem o cuidado de calcular a soma dos ângulos e só depois efetuar a divisão. A resolução indicia que o aluno terá compreendido a relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência.

Na segunda resolução, na primeira alínea, o aluno escreve o caso genérico da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência e depois concretiza o caso particular do enunciado. Nas alíneas seguintes, aplica de imediato o caso particular. Por fim, mostrando que os conteúdos abordados na aula foram compreendidos, justifica a sua resolução. É notado, neste aluno, rigor e organização na execução da tarefa.

3.2.3. Área de polígonos regulares inscritos numa circunferência