Cap.IV-Torção de Peças Lineares, Notas das Aulas de Mecânica dos Sólidos

CAPÍTULO IV – TORÇÃO DE PEÇAS LINEARES 4.1. Introdução.

• Absorção ou transmissão de esforços de torção:

o Veios ou árvores de transmissão

o Barras de torção; Molas; Estruturas tubulares (veículos de transporte e aeronaves).

4.2. Veio Cilíndrico de Secção Circular

• Secções rectas do cilindro permanecem circulares e planas, após a deformação, rodando em torno do respectivo centro;

• Um raio qualquer traçado sobre uma secção recta permanece rectilíneo durante a deformação do veio;

• O ângulo entre dois quaisquer raios no plano duma secção recta permanece constante durante a deformação do veio;

• Portanto, e em consequência das condições da simetria geométrica e da solicitação, cada secção recta do veio roda em torno do respectivo centro como um disco absolutamente rígido. O ângulo de rotação θ é proporcional à distância z, isto é:

z

θ

φ

=

onde θ é o ângulo de rotação por unidade de comprimento. dz a b Φ Mt Mt B’ B A φ φ=θz O z C

• estas condições, para um determinado ponto P, na secção à distância z da base, a componente do deslocamento segundo o eixo de simetria do cilindro é nula (w=0). Quanto às componentes u e v (em coordenadas polares, no plano da secção recta):

z r v u 0

θ

= =

• As componentes do estado de deformação em coordenadas cilindricas obtêm-se por derivação:

θ

θ

γ

γ

γ

ε

ε

ε

θ θ θθ r w r z v z rz r zz rr = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = = = = = 1 0

• O estado de tensão correspondente obtém-se por aplicação das equações da lei de Hooke:

θ

γ

τ

τ

τ

σ

σ

σ

θ θ θ θθ Gr G _z z rz r zz rr = = = = = = = 0 (1)

• A tensão τ pode exprimir-se em função do momento torsor Mt: ∫ = A t z dA M r(

τ

_θ ) φ=θz v=rθz r ₎ P(r,θ,z O P’ Mt Mt O Mt dA τ_zθdA R r

ou seja, z A t G r dA G I M =

θ

∫ 2 =

θ

(2) onde I r dA A z = ∫ 2

é o momento de inércia polar da área da secção recta do veio (

2

4

R I_z =

π

).

Por eliminação de θ entre (1) e (2) obtém-se, finalmente:

z t z I r M = θ

τ

• NOTAS:

(i)-A tensão de corte máxima ocorre na periferia do veio, para r = R, isto é, 3 2 R M I R M _t z t max

_π

τ

= =

(ii)-O valor C = M_t /

θ

= GI_zé a chamada rigidez torsional do veio e a quantidade K = I_z /R =

π

R3 /2 é o módulo de torção.

4.3. Veio Circular Oco

• Os argumentos e os resultados que foram obtidos para o veio maciço mantêm-se válidos, com excepção da expressão para o momento de inércia polar da secção, Iz, que neste caso toma a forma seguinte:

) 1 ( 2 2 ) ( 4 4 2 4 1 4 2 m R R R I_z =

π

− =

π

− (onde m = R1/R2)

• O módulo de torção, K, vale, neste caso: ) 1 ( 2 4 3 2 2 m R R I K = z =

π

−

• No caso particular dum tubo de parede fina, de espessura e, (em que e = R2-R1 << R2): e R R R R R R R R R₂4 − ₁4 = ( ₂2 + ₁2)( ₂ + ₁)( ₂ − ₁) ≅ _m3 onde Rm=(R1+R2)/2 é o raio médio da secção.

• O momento de inércia polar Iz é, aproximadamente,

I_z ≅ 2

π

R_m3e≅ R_m2Ω

onde Ω = 2

π

R_me é a área da secção recta do tubo • Pode também escrever-se:

Ω ≅ ≅ m t z m t R M I R M

τ

e m m t z t GR GR M GI M

τ

θ

≅ Ω ≅ = ₂ Mt Mt R2 R1

τ

e Rm

4.4. Veio Prismático de Secção Arbitrária. 4 4.4.1. Teoria de Saint-Venant

• Na ausência de simetria circular, deixa de ser válida a condição de que as secções rectas se mantêm planas havendo, neste caso, um deslocamento axial dos pontos de cada secção.

• Hipóteses de Saint-Venant:

o w= w(x,y) (w é uma função contínua)

o

φ

=

θ

z (θ é o ângulo de torção por unidade de comprimento)

Nestas condições, o campo dos deslocamentos fica definido pelas três componentes seguintes: ) , (x y w w x z v y z u = = − =

θ

θ

z y x M_t O y x v u G θz M_t y C C’ P P’ x

O campo das deformações obtém-se por derivação. E, depois, as tensões: y w x y w z v x w y x w z u yz xz xy zz yy xx ∂ ∂ + = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = = = = 0

θ

γ

θ

γ

γ

ε

ε

ε

(1) ) ( ) ( 0 y w x G x w y G yz xz xy zz yy xx ∂ ∂ + = ∂ ∂ + − = = = = =

θ

τ

θ

τ

τ

σ

σ

σ

(2)

Equações de Equilíbrio (ausência de forças de volume):

0 0 0 = + + = + + = + + ∂ z y x z y x z y x zz yz xz zy yy xy zx yx xx

∂

∂σ

∂

∂τ

∂

∂τ

∂

∂τ

∂

∂σ

∂

∂τ

∂

∂τ

∂

∂τ

∂

σ

As duas primeiras são incondicionalmente satisfeitas, ficando reduzidos a uma única equação de equilíbrio:

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y x yz xz

τ

τ

(3) Lei de Hooke

(

_)

(

_)

Equações de Compatibilidade:       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ z x y z y x y z x y x z x y z x z y z x y x y z z y x y y x xy zy zx zz zx yx yz yy yz xz xy xx xx zz xz zz yy yz yy xx xy

γ

γ

γ

ε

γ

γ

γ

ε

γ

γ

γ

ε

ε

ε

γ

ε

ε

γ

ε

ε

γ

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(

_)

(

_)

(

_)

(

_)

Quatro das equações são incondicionalmente satisfeitas, restando a apenas duas equações de compatibilidade :

) ( ) ( x g y x y f y x xz yz xz yz = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂

γ

γ

γ

γ

que, por sua vez, representam uma única equação:

yz xz Cte y x ∂ = ∂ − ∂ ∂

γ

_γ

O valor da Cte que figura no 2º membro da equação anterior pode obter-se directamente a partir de (1):

x y w x y x w y yz xz ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ 2 2

θ

γ

θ

γ

θ

γ

γ

2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ y x xz yz

τ

θ

τ

G y x xz yz 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ (4) Continuidade

O problema da torção fica então reduzido à resolução dum sistema de duas equações de derivadas parciais nas funções

τ

_xz e

τ

_yz

[

a equação de equilíbrio (3) e a equação de

compatibilidade (4)

]:

θ

τ

τ

τ

τ

G y x y x xz yz yz xz 2 0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ (5)

Além disso, há que ter em consideração a ausência de forças ao longo da superfície lateral, o que se traduz pela seguinte condição fronteira:

(em C) m

l _yz

xz +

τ

= 0

τ

(6)

Para resolver este sistema de equações, considere-se uma função auxiliar Φ(x,y), contínua, de tal forma que:

x y yz xz ∂ Φ ∂ − = ∂ Φ ∂ =

τ

τ

[

Φ_{(x,y) é a chamada Função de Saint-Venant}

_]

As tensões

τ

_xz e

τ

_yz assim obtidas satisfazem incondicionalmente a equação de equilíbrio correspondente à primeira equação em (5). Substituindo as expressões para

τ

_xz e

τ

_yz na segunda equação, obtém-se:

θ

G y x 2 2 2 2 2 − = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ y G (C) x ) , ( ml nr = dx dy ds

O problema de torção consiste, assim, na resolução da equação anterior em Φ(x,y). As condições fronteira a ter em conta na resolução daquela equação deduzem-se directamente a partir de (6), isto é:

(em C) m x l y ∂ = 0 Φ ∂ − ∂ Φ ∂

Ou seja, tendo em conta que, l

ds dy m ds dx = − = e : (em C) ds d ds dy y ds dx x = 0 Φ = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂

Esta equação traduz que o valor da função Φ se mantém constante ao longo da linha de contorno da secção recta do veio. Por outro lado, uma vez que no cálculo das tensões de torção apenas intervêm as derivadas

da função Φ, o valor constante dessa função na periferia do veio pode ser tomado igual a zero. Donde a condição fronteira em termos de Φ:

(em C)

0

= Φ

Momento Torsor Mt em termos de Φ:

∫ Φ = ∫ Φ + ∫ Φ − Φ = = ∫ Φ + ∫ _      Φ ∂ ∂ + Φ ∂ ∂ = = ∫ ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ = ∫ − = A A C A A A A yz xz t dxdy dxdy dx y dy x dxdy dxdy y y x x dxdy y y x x dxdy y x M 2 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) (

τ

τ

Isto é: Mt = 2 x Volume y G (C) x ) , ( ml nr = dx dy ds z

Volume

(C) y ) , (x y z = Φ x

4.4.2. Veio de Secção Elíptica

Considere-se uma secção elíptica com os semi-eixos maior e menor iguais a a e b, respectivamente. O contorno elíptico da secção é definido pela seguinte equação:

1 2 2 2 2 = + b y a x

Qualquer função de tensão do tipo

      − + = Φ ₂ 1 2 2 2 b y a x

m , (onde m é uma constante)

satisfaz a condição fronteira Φ = 0 (em C). Substituindo na equação de compatibilidade

θ

G y x 2 2 2 2 2 − = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ obtém-se:

θ

G b a m 1 1 2 2 _{2 2} 2 _ = −      + = Φ ∇ ₂ 2 ₂2 b a b a G m + − =

θ

E então:       − − + = Φ ₂ 2 ₂2 1 ₂2 ₂2 b y a x b a b a G

θ

2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 2 b a b a G dxdy b y a x b a b a G M_{t A} + = ∫ − − + =

θ

π

θ

B) (em 2 ; 2 2 ; 2 2 2 max 3 2 2 2 3 2 2 2 ab M b a x M b a x b G x ab y M b a y a G y t t yz t xz

_π

τ

_π

θ

τ

π

θ

τ

= = + = ∂ Φ ∂ − = − = + − = ∂ Φ ∂ =

x

y

O

b

a

M

t _A B

x y z a b x (a) (b) dy dx O Tdx Tdy (C) p 4.5. A Analogia de Membrana. 4.5.1. Teoria de Prandtl

Membrana elástica fina, sem peso, plana e inicialmente sujeita a uma tracção uniforme, T, no plano (x,y). Fixando a membrana ao longo dum contorno (C), aplique-se uma sobre-pressão, p, também uniforme, na direcção perpendicular à superfície da membrana. Esta deforma-se, assumindo a forma duma superfície curva, que pode ser descrita por uma função apropriada, z=f(x,y).

a b d c Tdx Tdx Tdy Tdy y x z pdxdy Tdy pdxdy Tdy dx x z x x z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ z x a b x z ∂

∂ • Equação de Equilíbrio vertical da Membrana:

0 ) ( ) ( ) ( ) ( = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + y z Tdx dy y z y y z Tdx x z Tdy dx x z x x z Tdy pdxdy Donde:

0

2 2 2 2

=

∂

∂

+

∂

∂

+

dxdy

y

z

T

dxdy

x

z

T

pdxdy

T

p

y

z

x

z

₌

₋

∂

∂

+

∂

∂

2 2 2 2

z Equação da Membrana: z Função de Torção (Saint-Venant):

p

z T T dr dz p r R

_T

p

y

z

x

z

₌

₋

∂

∂

+

∂

∂

2 2 2 2

_x

_y

2

2

G

θ

2 2 2

−

=

∂

Φ

∂

+

∂

Φ

∂

n

∂

Vol

M

z

G

T

t

2

x

2

⇔

∂

⇔

⇔

τ

θ

4.5.2. Secção Circular

z Equilíbrio das forças sobre a membrana:

2

2

r

p

r

dr

dz

T

π

=

π

−

r

T

p

dr

dz

2

−

=

ANALOGIA

_τ

₌

_G

_θ

_r

z Por integração, obtém-se:

te C T pr dr T pr z = −

∫

= − + 4 2 2 T pR Cte 4 2 =

(

)

4

T

R

2

r

2

p

z

=

−

₀ 2 _{2 0} ( 2 2) _{8 T} R4 p rdr r R T p rdrz Vol =

∫

R

π

=

π

∫

R − =

π

z E da Analogia de membrana resulta:

θ

θ

π

z t Vol R G GI M = = 4 = 2 2

M =

t

GI

_z

θ

4.5.3. Secção Rectangular Fina

z Equilíbrio das forças sobre a membrana:

l

x

p

dx

dz

l

T

2

2

=

−

x

T

p

dx

dz

₌

₋

t

G

max

θ

τ

=

z Por integração, obtém-se:

te

C

T

x

p

dx

x

T

p

z

=

−

∫

=

−

+

2

2

;

_T

pt

C

te

8

2

=













₋

=

2 2

4

2

x

t

T

p

z

b

t

T

p

t

Vol

4

2

3

2

2













=

3

3

bt

G

M

C

=

t

=

θ

;

max ₂

3

bt

M

_t

=

τ

z Secções abertas e rectângulo equivalente:

z Concentração de tensões: t b x y z x y z 2x l ANALOGIA b1+ b2=b b1 t b t b2 ANALOGIA ₃ max_{/ 2} 1.74 3 _r t bt M_t = τ r _t

4.5.4. Secção Tubular de Parede Fina

MEMBRANA: TORÇÃO:

a tensão de torção é inversamente proporcional à espessura local da parede

Vol = x A h = Ah_t t

M

t

=

2 t

A

τ

;

_At M_t 2 =

τ

h A B C D t A

t

h

Declive

=

ANALOGIA

z Equilíbrio das forças sobre a membrana:

s

d

t

h

T

A

p

C

∫

=

=

_∫

C d A G 1 s 2 θ τ

=

∫

C t

t

ds

GA

M

2

4

θ

ANALOGIA 4.5.5. Secção Multicelular

∫

= = C t t ds GA M C 4 2

θ

_L

t

GA

M

C

=

t

=

4

2

θ

Espessura Constante h2 t h3 h1 A1 A2 A3 (a) (b)

z Equilíbrio da célula (i):

h

∆

ds

t

T

pA

i C i

i

=

∫

_{(n equações nas alturas hi)}

t

h

∆

=

τ

_{(atenção: p/t = 2G θ!...)}

;

i n i i

h

A

Vol

∑

=

=

1

;

n _i i i t

A

h

M

∑

=

=

1

2