© UNESP 6 Agosto 2008
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
Limeira, 07 de Novembro 2014
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS
LISTA 4
–
RESOLUÇÃO PARCIAL
2
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TEORIA DE FILAS
QUESTÃO 1: A administração da seguridade social está considerando duas das seguintes opções para processar pedidos de cartão de assistência social:
OPÇÃO 1: Três funcionários processa m em paralelo os pedidos de uma fila única. Cada funcionário preenche o formulário de pedido na presença do requerente. O tempo de processamento é exponencial com média de 15 minuto s. Os tempos entre as chegadas são exponenciais.
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Se o tempo entre a s chega das de requerentes é exponencial e é, em média, de 4 ,8 requerentes por hora. Em qual opção o requerente gastará menos tempo? As opções anteriores podem ser representadas pelas Figuras dadas a seguir.
Estágio 1
Taxa = 4,8
S1 servidores
Taxa 1
OPÇÃO 1
= 4, pois:
1 req.
–
15 min
req.
–
60 min
4
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Estágio 1 Estágio 2
Taxa = 4,8
Saída 1 = Entrada 2
S1 servidores
Taxa 1
S2 servidores
Taxa 2
OPÇÃO 2
TEORIA DE FILAS
= 15
= 9,23, pois:
1 req.
–
6,5 min
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Em qual opção o requerente gastará menos tempo?
Estágio 1
Taxa = 4,8
S1 servidores
Taxa 1
OPÇÃO 1
= 4, pois:
1 req.
–
15 min
req.
–
60 min
6
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TEORIA DE FILAS
Tem-se = /3 = 4,8/3(4) = 0,40. Usa-se o modelo M/M/s/GD//:
O tempo médio na fila para a opção 1:
)
4
,
0
1
(
!
3
)
4
,
0
*
3
(
!
2
)
4
,
0
*
3
(
!
1
)
4
,
0
*
3
(
!
0
)
4
,
0
*
3
(
1
)
1
(
!
)
(
!
)
(
1
3 2 1 0 1 0 0
s i s is
s
i
s
3012
,
0
32
,
3
1
4
,
0
72
,
0
2
,
1
1
1
0
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0
,
0802
clientes
40
,
0
1
40
,
0
*
1204
,
0
1
)
(
s
j
P
L
qO tempo total médio que o requerente gasta no sistema é:
0
,
0167
horas
8
,
4
0802
,
0
q q
L
W
O tempo médio na fila para a opção 1:
8
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TEORIA DE FILAS
Estágio 1 Estágio 2
Taxa = 4,8
Saída 1 = Entrada 2
S1 servidores
Taxa 1
S2 servidores
Taxa 2
OPÇÃO 2
= 15
= 9,23, pois:
1 req.
–
6,5 min
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Primeiro observa-se que = 4,8 requerentes por hora, s1 = 1, 1 = 9,2 req. por hora, s2 = 3 e 2 = 15 req. por hora.
Como < 1 e < 32 , então, nenhuma fila irá “explodir” e
o TEOREMA de Jackson é aplicável. Para o estágio 1,
tem-se = / = 4,8/9,2 = 0,52. Usa-se o modelo M/M/1/GD//:
Achar o número médio de requerentes na fila em cada estágio.
requerentes
horas
O tempo total médio que o requerente gasto na fila do estágio 1.
11
,
0
8
,
4
56
,
0
11
q q
L
W
56
,
0
52
,
0
1
)
52
,
0
(
1
2 2 1
qL
Já é maior que o tempo da
opção 1. Logo, não precisaria
calcular o tempo do estágio 2!
10
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TEORIA DE FILAS
Para o estágio 2 (rodas), tem-se = /3 = 4,8/3(15) = 0,10. Usa-se o modelo M/M/s/GD//:
O tempo médio gasto no estágio 2.
)
1
,
0
1
(
!
3
)
1
,
0
*
3
(
!
2
)
1
,
0
*
3
(
!
1
)
1
,
0
*
3
(
!
0
)
1
,
0
*
3
(
1
)
1
(
!
)
(
!
)
(
1
3 2 1 0 1 0 0
s i s is
s
i
s
7407
,
0
35
,
1
1
005
,
0
045
,
0
3
,
0
1
1
0
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O tamanho médio da fila no estágio 2.
0
,
00041
requerentes
10
,
0
1
10
,
0
*
0037
,
0
1
)
(
2
s
j
P
L
qO tempo médio do requerente na fila do estágio 2.
0
,
000085
horas
8
,
4
00041
,
0
2
2
q q
L
W
O tempo médio total gasto na fila dos dois estágios é:
Wq = Wq1 + Wq2 = 0,11 + 0,000085 = 0,110085
horas
Portanto, a opção 1 é melhor do que a opção 2!12
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TEORIA DE FILAS
Instalação
do motor
1= 60
carros/hora
Estágio 1Carros
esperam
instalar
o motor
Carros
esperam
instalar
as rodas
Estágio 2
Instalador 1
2 = 20
carros/hora
Rodas
Instalador 2
2 = 20
carros/hora
Instalador 3
2 = 20
carros/hora
Carros
prontos
0,15 horas
+
0,138 horas= 0,288 horas = 17,28 minutos
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QUESTÃO 2: Considere uma linha de montagem na qual cada carro deve passar por dois tipo s de serviço: pintura, e depois a instalação do motor. Por hora, uma média de 22,4 chassis sem pintura chega ao sistema. Leva , em média, 2,4 minutos para se pintar um carro e em média 3,75 minutos para se instalar um motor. A linha de montagem possui um pintor e dois instaladores de motor como ilustrado na figura a seguir. Assumindo que o intervalo entre as chegada s e o tempo dos serviços são exponenciais:
Item (A): Na média, existem quantos carros pintados estão no sistema sem que estes tenham tido o motor instalado?
Item (B): Na média , quanto tempo um carro pintado deverá esperar antes de que a instalação do motor comece?
14
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TEORIA DE FILAS
Pintura
do carro
2,4 min
1 carro
Estágio 1Carros
esperam
instalar
o motor
Carros
esperam
instalar
as rodas
Estágio 2
Instalador 1
3,75 min 1 carro
Instalação
o motor
Carros
prontos
Instalador 2
3,75 min 1 carro
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Pintura
do carro
1= 25
carros/hora
Estágio 1Carros
esperam
instalar
o motor
Carros
esperam
instalar
as rodas
Estágio 2
Instalador 1
2 = 16
carros/hora
Instalação
o motor
Carros
prontos
Instalador 2
2 = 16
carros/hora
= 22,4 carros / hora
16
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TEORIA DE FILAS
Primeiro observa-se que = 22,4 carros por hora, s1 = 1, 1 = 25 carros por hora, s2 = 2 e 2 = 16 carros por hora.
Como < 1 e < 22 , então, nenhuma fila irá “explodir” e
o TEOREMA de Jackson é aplicável. Para o estágio 1 (pintura), tem-se = / = 22,4/25 = 0,90. Usa-se M/M/1/GD//:
(A) O tamanho médio da fila em cada estágio.
carros
horas
(B) O tempo total médio que o carro espera atendimento.
36
,
0
4
,
22
1
,
8
1
1
q q
L
W
1
,
8
90
,
0
1
)
90
,
0
(
1
2 2
1
1
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Para o estágio 2 (motor), tem-se = /2 = 22,4/2(16) = 0,70. Usa-se o modelo M/M/s/GD//:
(A) O tamanho médio da fila em cada estágio.
)
7
,
0
1
(
!
2
)
7
,
0
*
2
(
!
1
)
7
,
0
*
2
(
!
0
)
7
,
0
*
2
(
1
)
1
(
!
)
(
!
)
(
1
2 1 0 1 0 0
s i s is
s
i
s
1831
,
0
46
,
5
1
26
,
3
4
,
1
1
1
0
)
1
(
!
)
(
)
(
0
s
s
s
j
P
s5969
,
0
)
7
,
0
1
(
!
2
1831
,
0
*
)
7
,
0
*
2
(
)
2
(
3
j
P
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TEORIA DE FILAS
(A) O tamanho médio da fila em cada estágio.
1
,
39
clientes
70
,
0
1
70
,
0
*
5969
,
0
1
)
(
2
s
j
P
L
q(B) O tempo total médio que o carro espera atendimento.
0
,
062
horas
4
,
22
39
,
1
22
q q
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Estágio 1
Carros
esperam
instalar
o motor
Carros
esperam
instalar
as rodas
Estágio 2
Carros
prontos
0,36 horas
+
0,062 horas= 0,422 horas = 25,32 minutos
8,1 carros 1,39 carros
Pintura
do carro
1= 25
carros/hora
Instalador 1
2 = 16
carros/hora
Instalação
o motor
Instalador 2
2 = 16
carros/hora
20
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TEORIA DE FILAS
QUESTÃO 4: Em média 10 trabalhos chegam por hora em uma estação de trabalho. O tempo entre as chegadas dos trabalhos é uma distribuição exponencial e leva, em média, 10/3 minutos (distribuição exponencial) para se completar o trabalho. Infelizmente, 1/3 de to dos o s trabalhos de todos os trabalhos completos precisa m ser refeitos. Então, com probabilidade 1/3, um trabalho deve aguardar na fila para ser refeito.
Item (A): No estado atual, quantos trabalhos, em média, poderão ser encontrados na estação de trabalho?
Item (B): Qual será a resposta se a finalização do trabalho levar em média 5 minutos?
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Servidor 1
1= 18
trab/hora
Estágio 1trabalhos
esperam
serviço
em 1
trabalhos
prontos
2/3
1/3
Taxa r1 = 10
1 trab
–
10/3 min
1trab
–
60 min
22
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TEORIA DE FILAS
Servidor 1
1= 18
trab/hora
Estágio 1trabalhos
esperam
serviço
em 1
trabalhos
prontos
2/3
1/3
Taxa r1 = 10
Estágio 2
Servidor 2
2= ??
trab/hora
1Criação de servidor fantasma cuja taxa
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Servidor 1
1 = 18
trab/hora Estágio 1
Trab. esperam
serviço em 1
Trab. prontas
Taxa 1
O modelo anterior será transformado em 2 estágios independentes nos quais podem ser aplicados o modelo M/M/1 :
Servidor 2
2 = ???
trab/hora Estágio 2
Trab. esperam
serviço em 2
Trab. prontos
Taxa 2
24
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TEORIA DE FILAS
Primeiro observa-se que tem-se uma rede de filas abertas com r1 = 10 clientes por hora e r2 = 0 clientes por hora. Além
disso, p12 = 1/3 p21 = 1, p11 = p22 = 0. Para encontrar
1 e 2 basta resolver o sistema de equações dado pela seguinte
equação:
(A) Quantos trabalhos são encontrados na estação de trabalho?
(j=1,2,...,K)
K
j
i
i
i
ij
j
j
r
p
,
1
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Primeiro observa-se que tem-se uma rede de filas abertas com r1 = 10 clientes por hora e r2 = 0 clientes por hora. Além
disso, p12 = 1/3 p21 = 1, p11 = p22 = 0. Para encontrar 1 e 2 basta resolver o seguinte sistema:
Isto é:
(j=1,2,...,K)
2 21 1
1
r
p
1 12 2
2
r
p
Kj i i
i ij j
j
r
p
, 1
2 1
10
1
1 2
0
1
/
3
15
1
cli/h
5
2
cli/h
(A) Quantos trabalhos são encontrados na estação de trabalho?26
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TEORIA DE FILAS
(A.1) Achar o número esperado de trabalhos no servidor 1.
O primeiro servidor pode ser tratado como um modelo
M/M/1/GD// com 1 = 15 clientes por hora e = 18 clientes
por hora. Se = 1/ = 15/18 = 5/6 = 0,83, então:
88
,
4
)
83
,
0
1
(
83
,
0
)
1
(
1
L
(A.2) Achar o número esperado de clientes no servidor 2.
O número esperado de clientes no servidor 2 é zero, pois na verdade o tempo de processamento é zero. Logo, L1 já é o número de trabalhos na máquina.
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Servidor 1
1= 12
trab/hora
Estágio 1trabalhos
esperam
serviço
em 1
trabalhos
prontos
2/3
1/3
Taxa r1 = 10
1 trab
–
5 min
1trab
–
60 min
28
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TEORIA DE FILAS
(A.1) Achar o número esperado de clientes no servidor 1.
Se o primeiro servidor pode ser tratado como um modelo
M/M/1/GD// com 1 = 15 clientes por hora e = 12 clientes
por hora. Se = 1/ = 15/12 > 1, então, não há estado
estacionário !!
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QUESTÃO 5: Considere um sistema de fila que consiste em 3 estágios em série. Cada estágio consiste de um servidor simples e cada um pode processar, em média, 20 trabalhos por hora (os tempos de processamento de cada está gio são exponenciais). Em média , 10 peças por hora chegam (os tempos entre as chegadas são exponenciais) no estágio 1. Quando uma peça é completa da no está gio 2, existe 0,1 de chance que a peça volta ao estágio 1 e 0,9 de chance de ir para o estágio 3 . Quando a peça co mpleta o serviço no estágio 3, existe 0 ,2 de chance da peça retornar ao estágio 2 e 0,8 de chance de sair do sistema. Todo s as peça s que são completadas no estágio 1 vão do estágio 1 para o estágio 2. O sistema é representado na figura dada a seguir. Determinar:
Item (A): A fração de tempo que cada servidor estão ocupado. Item (B): O número esperado de peças no sistema.
Item (C): O tempo médio que uma peça gasta no sistema.
30
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Servidor 1
1= 20
peças/hora
Estágio 1 Estágio 3
Peças
prontas
0,1
0,2
Taxa
r
1= 10
Servidor 2
1= 20
peças/hora
Estágio 2Servidor 3
1= 20
peças/hora
0,90,8 1,0
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Servidor 1
1 = 20
cli/hora Estágio 1
Peças esperam
serviço em 1
Peças prontas
Taxa 1
O modelo anterior será transformado em 3 estágios independentes nos quais podem ser aplicados o modelo M/M/1 :
Servidor 2
2 = 20
cli/hora Estágio 2
Peças esperam
serviço em 2
Peças prontas
Taxa 2
Servidor 3
3 = 20
cli/hora Estágio 3
Peças esperam
serviço em 3
Peças prontas
Taxa 3
32
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TEORIA DE FILAS
Primeiro observa-se que tem-se uma rede de filas abertas com r1 = 10 peças por hora. Além disso, p12 = 1,0; p21 = 0,1;
p23 = 0,9 e p32 = 0,2; p13 = p31 = 0. Para encontrar 1 e 2
basta resolver o sistema de equações dado pela seguinte equação:
Item (A): A fração de tempo que cada servidor estão ocupado.
(j=1,2,...,K)
K
j
i
i
i
ij
j
j
r
p
,
1
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Isto é, sejam: r1 = 10; p12 = 1,0; p21 = 0,1; p23 = 0,9 e p32 = 0,2;
p13 = p31 = 0.
Fixando o valor da equação para cada j específico.
(j=1,2,...,K)
3 31 2 21 1
1
r
p
p
Kj i i
i ij j
j
r
p
, 1
J = 1:
2 1
10
0
,
1
(1)
3 32 1 12 2
2
r
p
p
J = 2:
3 1
2
0
,
2
(2)
2 23 1 13 3
3
r
p
p
J = 3:
3
0
,
9
2 (3)34
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TEORIA DE FILAS
Aplicando (1) e (3) em (2):
3 1
2
0
,
2
2 1
10
0
,
1
2 3
0
,
9
)
9
,
0
(
2
,
0
)
1
,
0
10
(
2 22
2 2
2
10
0
,
1
0
,
18
(
1
0
,
28
)
2
10
2
13
,
88
Aplicando o valor 2 de em (1) e (3), obtém-se 1 e 3:
2 1
10
0
,
1
1
10
0
,
1
*
13
,
88
11
,
38
2 3
0
,
9
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Item (B): O número esperado de peças no sistema.
(B.1) Achar o número esperado de clientes no servidor 1.
Se o primeiro servidor pode ser tratado como um modelo
M/M/1/GD// com 1 = 11,38 peças por hora e 1 = 20 peças
por hora. Se = 1/ 1 = 11,38/20 = 0,569, então:
32
,
1
)
569
,
0
1
(
569
,
0
)
1
(
1
L
36
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TEORIA DE FILAS
Item (B): O número esperado de peças no sistema.
(B.2) Achar o número esperado de clientes no servidor 2.
Se o segundo servidor pode ser tratado como um modelo
M/M/1/GD// com 2 = 13,88 peças por hora e 2 = 20 peças
por hora. Se = 2/ 2 = 13,88/20 = 0,694, então:
26
,
2
)
694
,
0
1
(
694
,
0
)
1
(
2
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(B) Achar o número esperado de clientes no sistema.
(B.3) Achar o número esperado de clientes no servidor 3.
Para o segundo servidor pode-se usar o modelo M/M/1/GD// com 3 = 12,49 clientes por hora e = 20 clientes
por hora. Se = 3/ 3 = 12,49/20 = 0,62, então:
63
,
1
)
62
,
0
1
(
62
,
0
)
1
(
3
L
(B) Achar o número esperado de clientes no sistema.
O número médio de clientes no sistema é a soma do número médio de clientes em cada estágio, isto é: L = L1 + L2 + L3 =
1,32 + 2,26 + 1,63 = 5,21 peças em média estarão no sistema.
38
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(C) Encontrar o tempo médio que um cliente gasta no sistema.
TEORIA DE FILAS
Para calcular o tempo médio gasto no sistema usa-se que:
= r
1+ r
2+ ... + r
K= 10 = 10
clientes/horahoras= 60 minutos = 31,2 min
10
21
,
5
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