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SIMULAÇÃO DE SISTEMAS LISTA 4 – RESOLUÇÃO PARCIAL

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(1)

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 07 de Novembro 2014

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

LISTA 4

RESOLUÇÃO PARCIAL

2

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

QUESTÃO 1: A administração da seguridade social está considerando duas das seguintes opções para processar pedidos de cartão de assistência social:

OPÇÃO 1: Três funcionários processa m em paralelo os pedidos de uma fila única. Cada funcionário preenche o formulário de pedido na presença do requerente. O tempo de processamento é exponencial com média de 15 minuto s. Os tempos entre as chegadas são exponenciais.

(2)

© UNESP 6 Agosto 2008

Se o tempo entre a s chega das de requerentes é exponencial e é, em média, de 4 ,8 requerentes por hora. Em qual opção o requerente gastará menos tempo? As opções anteriores podem ser representadas pelas Figuras dadas a seguir.

Estágio 1

Taxa = 4,8

S1 servidores

Taxa 1

OPÇÃO 1

= 4, pois:

1 req.

15 min

req.

60 min

4

© UNESP 6 Agosto 2008

Estágio 1 Estágio 2

Taxa = 4,8

Saída 1 = Entrada 2

S1 servidores

Taxa 1

S2 servidores

Taxa 2

OPÇÃO 2

TEORIA DE FILAS

= 15

= 9,23, pois:

1 req.

6,5 min

(3)

© UNESP 6 Agosto 2008

Em qual opção o requerente gastará menos tempo?

Estágio 1

Taxa = 4,8

S1 servidores

Taxa 1

OPÇÃO 1

= 4, pois:

1 req.

15 min

req.

60 min

6

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

Tem-se = /3 = 4,8/3(4) = 0,40. Usa-se o modelo M/M/s/GD//:

O tempo médio na fila para a opção 1:

)

4

,

0

1

(

!

3

)

4

,

0

*

3

(

!

2

)

4

,

0

*

3

(

!

1

)

4

,

0

*

3

(

!

0

)

4

,

0

*

3

(

1

)

1

(

!

)

(

!

)

(

1

3 2 1 0 1 0 0

  s i s i

s

s

i

s

3012

,

0

32

,

3

1

4

,

0

72

,

0

2

,

1

1

1

0

(4)

© UNESP 6 Agosto 2008

0

,

0802

clientes

40

,

0

1

40

,

0

*

1204

,

0

1

)

(

s

j

P

L

q

O tempo total médio que o requerente gasta no sistema é:

0

,

0167

horas

8

,

4

0802

,

0

q q

L

W

O tempo médio na fila para a opção 1:

8

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

Estágio 1 Estágio 2

Taxa = 4,8

Saída 1 = Entrada 2

S1 servidores

Taxa 1

S2 servidores

Taxa 2

OPÇÃO 2

= 15

= 9,23, pois:

1 req.

6,5 min

(5)

© UNESP 6 Agosto 2008

Primeiro observa-se que = 4,8 requerentes por hora, s1 = 1, 1 = 9,2 req. por hora, s2 = 3 e 2 = 15 req. por hora.

Como < 1 e < 32 , então, nenhuma fila irá “explodir” e

o TEOREMA de Jackson é aplicável. Para o estágio 1,

tem-se = / = 4,8/9,2 = 0,52. Usa-se o modelo M/M/1/GD//:

Achar o número médio de requerentes na fila em cada estágio.

requerentes

horas

O tempo total médio que o requerente gasto na fila do estágio 1.

11

,

0

8

,

4

56

,

0

1

1

q q

L

W

56

,

0

52

,

0

1

)

52

,

0

(

1

2 2 1

q

L

Já é maior que o tempo da

opção 1. Logo, não precisaria

calcular o tempo do estágio 2!

10

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

Para o estágio 2 (rodas), tem-se = /3 = 4,8/3(15) = 0,10. Usa-se o modelo M/M/s/GD//:

O tempo médio gasto no estágio 2.

)

1

,

0

1

(

!

3

)

1

,

0

*

3

(

!

2

)

1

,

0

*

3

(

!

1

)

1

,

0

*

3

(

!

0

)

1

,

0

*

3

(

1

)

1

(

!

)

(

!

)

(

1

3 2 1 0 1 0 0

  s i s i

s

s

i

s

7407

,

0

35

,

1

1

005

,

0

045

,

0

3

,

0

1

1

0

(6)

© UNESP 6 Agosto 2008

O tamanho médio da fila no estágio 2.

0

,

00041

requerentes

10

,

0

1

10

,

0

*

0037

,

0

1

)

(

2

s

j

P

L

q

O tempo médio do requerente na fila do estágio 2.

0

,

000085

horas

8

,

4

00041

,

0

2

2

q q

L

W

O tempo médio total gasto na fila dos dois estágios é:

Wq = Wq1 + Wq2 = 0,11 + 0,000085 = 0,110085

horas

Portanto, a opção 1 é melhor do que a opção 2!

12

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

Instalação

do motor

1

= 60

carros/hora

Estágio 1

Carros

esperam

instalar

o motor

Carros

esperam

instalar

as rodas

Estágio 2

Instalador 1

2 = 20

carros/hora

Rodas

Instalador 2

2 = 20

carros/hora

Instalador 3

2 = 20

carros/hora

Carros

prontos

0,15 horas

+

0,138 horas

= 0,288 horas = 17,28 minutos

(7)

© UNESP 6 Agosto 2008

QUESTÃO 2: Considere uma linha de montagem na qual cada carro deve passar por dois tipo s de serviço: pintura, e depois a instalação do motor. Por hora, uma média de 22,4 chassis sem pintura chega ao sistema. Leva , em média, 2,4 minutos para se pintar um carro e em média 3,75 minutos para se instalar um motor. A linha de montagem possui um pintor e dois instaladores de motor como ilustrado na figura a seguir. Assumindo que o intervalo entre as chegada s e o tempo dos serviços são exponenciais:

Item (A): Na média, existem quantos carros pintados estão no sistema sem que estes tenham tido o motor instalado?

Item (B): Na média , quanto tempo um carro pintado deverá esperar antes de que a instalação do motor comece?

14

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

Pintura

do carro

2,4 min

1 carro

Estágio 1

Carros

esperam

instalar

o motor

Carros

esperam

instalar

as rodas

Estágio 2

Instalador 1

3,75 min 1 carro

Instalação

o motor

Carros

prontos

Instalador 2

3,75 min 1 carro

(8)

© UNESP 6 Agosto 2008

Pintura

do carro

1

= 25

carros/hora

Estágio 1

Carros

esperam

instalar

o motor

Carros

esperam

instalar

as rodas

Estágio 2

Instalador 1

2 = 16

carros/hora

Instalação

o motor

Carros

prontos

Instalador 2

2 = 16

carros/hora

= 22,4 carros / hora

16

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

Primeiro observa-se que = 22,4 carros por hora, s1 = 1, 1 = 25 carros por hora, s2 = 2 e 2 = 16 carros por hora.

Como < 1 e < 22 , então, nenhuma fila irá “explodir” e

o TEOREMA de Jackson é aplicável. Para o estágio 1 (pintura), tem-se = / = 22,4/25 = 0,90. Usa-se M/M/1/GD//:

(A) O tamanho médio da fila em cada estágio.

carros

horas

(B) O tempo total médio que o carro espera atendimento.

36

,

0

4

,

22

1

,

8

1

1

q q

L

W

1

,

8

90

,

0

1

)

90

,

0

(

1

2 2

1

1

(9)

© UNESP 6 Agosto 2008

Para o estágio 2 (motor), tem-se = /2 = 22,4/2(16) = 0,70. Usa-se o modelo M/M/s/GD//:

(A) O tamanho médio da fila em cada estágio.

)

7

,

0

1

(

!

2

)

7

,

0

*

2

(

!

1

)

7

,

0

*

2

(

!

0

)

7

,

0

*

2

(

1

)

1

(

!

)

(

!

)

(

1

2 1 0 1 0 0

  s i s i

s

s

i

s

1831

,

0

46

,

5

1

26

,

3

4

,

1

1

1

0

)

1

(

!

)

(

)

(

0

s

s

s

j

P

s

5969

,

0

)

7

,

0

1

(

!

2

1831

,

0

*

)

7

,

0

*

2

(

)

2

(

3

j

P

18

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

(A) O tamanho médio da fila em cada estágio.

1

,

39

clientes

70

,

0

1

70

,

0

*

5969

,

0

1

)

(

2

s

j

P

L

q

(B) O tempo total médio que o carro espera atendimento.

0

,

062

horas

4

,

22

39

,

1

2

2

q q

(10)

© UNESP 6 Agosto 2008

Estágio 1

Carros

esperam

instalar

o motor

Carros

esperam

instalar

as rodas

Estágio 2

Carros

prontos

0,36 horas

+

0,062 horas

= 0,422 horas = 25,32 minutos

8,1 carros 1,39 carros

Pintura

do carro

1

= 25

carros/hora

Instalador 1

2 = 16

carros/hora

Instalação

o motor

Instalador 2

2 = 16

carros/hora

20

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

QUESTÃO 4: Em média 10 trabalhos chegam por hora em uma estação de trabalho. O tempo entre as chegadas dos trabalhos é uma distribuição exponencial e leva, em média, 10/3 minutos (distribuição exponencial) para se completar o trabalho. Infelizmente, 1/3 de to dos o s trabalhos de todos os trabalhos completos precisa m ser refeitos. Então, com probabilidade 1/3, um trabalho deve aguardar na fila para ser refeito.

Item (A): No estado atual, quantos trabalhos, em média, poderão ser encontrados na estação de trabalho?

Item (B): Qual será a resposta se a finalização do trabalho levar em média 5 minutos?

(11)

© UNESP 6 Agosto 2008

Servidor 1

1

= 18

trab/hora

Estágio 1

trabalhos

esperam

serviço

em 1

trabalhos

prontos

2/3

1/3

Taxa r1 = 10

1 trab

10/3 min

1

trab

60 min

22

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

Servidor 1

1

= 18

trab/hora

Estágio 1

trabalhos

esperam

serviço

em 1

trabalhos

prontos

2/3

1/3

Taxa r1 = 10

Estágio 2

Servidor 2

2

= ??

trab/hora

1

Criação de servidor fantasma cuja taxa

(12)

© UNESP 6 Agosto 2008

Servidor 1

1 = 18

trab/hora Estágio 1

Trab. esperam

serviço em 1

Trab. prontas

Taxa 1

O modelo anterior será transformado em 2 estágios independentes nos quais podem ser aplicados o modelo M/M/1 :

Servidor 2

2 = ???

trab/hora Estágio 2

Trab. esperam

serviço em 2

Trab. prontos

Taxa 2

24

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

Primeiro observa-se que tem-se uma rede de filas abertas com r1 = 10 clientes por hora e r2 = 0 clientes por hora. Além

disso, p12 = 1/3 p21 = 1, p11 = p22 = 0. Para encontrar

1 e 2 basta resolver o sistema de equações dado pela seguinte

equação:

(A) Quantos trabalhos são encontrados na estação de trabalho?

(j=1,2,...,K)

K

j

i

i

i

ij

j

j

r

p

,

1

(13)

© UNESP 6 Agosto 2008

Primeiro observa-se que tem-se uma rede de filas abertas com r1 = 10 clientes por hora e r2 = 0 clientes por hora. Além

disso, p12 = 1/3 p21 = 1, p11 = p22 = 0. Para encontrar 1 e 2 basta resolver o seguinte sistema:

Isto é:

(j=1,2,...,K)

2 21 1

1

r

p

1 12 2

2

r

p

 

K

j i i

i ij j

j

r

p

, 1

2 1

10

1

1 2

0

1

/

3

15

1

cli/h

5

2

cli/h

(A) Quantos trabalhos são encontrados na estação de trabalho?

26

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

(A.1) Achar o número esperado de trabalhos no servidor 1.

O primeiro servidor pode ser tratado como um modelo

M/M/1/GD// com 1 = 15 clientes por hora e = 18 clientes

por hora. Se = 1/ = 15/18 = 5/6 = 0,83, então:

88

,

4

)

83

,

0

1

(

83

,

0

)

1

(

1

L

(A.2) Achar o número esperado de clientes no servidor 2.

O número esperado de clientes no servidor 2 é zero, pois na verdade o tempo de processamento é zero. Logo, L1 já é o número de trabalhos na máquina.

(14)

© UNESP 6 Agosto 2008

Servidor 1

1

= 12

trab/hora

Estágio 1

trabalhos

esperam

serviço

em 1

trabalhos

prontos

2/3

1/3

Taxa r1 = 10

1 trab

5 min

1

trab

60 min

28

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

(A.1) Achar o número esperado de clientes no servidor 1.

Se o primeiro servidor pode ser tratado como um modelo

M/M/1/GD// com 1 = 15 clientes por hora e = 12 clientes

por hora. Se = 1/ = 15/12 > 1, então, não há estado

estacionário !!

(15)

© UNESP 6 Agosto 2008

QUESTÃO 5: Considere um sistema de fila que consiste em 3 estágios em série. Cada estágio consiste de um servidor simples e cada um pode processar, em média, 20 trabalhos por hora (os tempos de processamento de cada está gio são exponenciais). Em média , 10 peças por hora chegam (os tempos entre as chegadas são exponenciais) no estágio 1. Quando uma peça é completa da no está gio 2, existe 0,1 de chance que a peça volta ao estágio 1 e 0,9 de chance de ir para o estágio 3 . Quando a peça co mpleta o serviço no estágio 3, existe 0 ,2 de chance da peça retornar ao estágio 2 e 0,8 de chance de sair do sistema. Todo s as peça s que são completadas no estágio 1 vão do estágio 1 para o estágio 2. O sistema é representado na figura dada a seguir. Determinar:

Item (A): A fração de tempo que cada servidor estão ocupado. Item (B): O número esperado de peças no sistema.

Item (C): O tempo médio que uma peça gasta no sistema.

30

© UNESP 6 Agosto 2008

Servidor 1

1

= 20

peças/hora

Estágio 1 Estágio 3

Peças

prontas

0,1

0,2

Taxa

r

1

= 10

Servidor 2

1

= 20

peças/hora

Estágio 2

Servidor 3

1

= 20

peças/hora

0,9

0,8 1,0

(16)

© UNESP 6 Agosto 2008

Servidor 1

1 = 20

cli/hora Estágio 1

Peças esperam

serviço em 1

Peças prontas

Taxa 1

O modelo anterior será transformado em 3 estágios independentes nos quais podem ser aplicados o modelo M/M/1 :

Servidor 2

2 = 20

cli/hora Estágio 2

Peças esperam

serviço em 2

Peças prontas

Taxa 2

Servidor 3

3 = 20

cli/hora Estágio 3

Peças esperam

serviço em 3

Peças prontas

Taxa 3

32

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

Primeiro observa-se que tem-se uma rede de filas abertas com r1 = 10 peças por hora. Além disso, p12 = 1,0; p21 = 0,1;

p23 = 0,9 e p32 = 0,2; p13 = p31 = 0. Para encontrar 1 e 2

basta resolver o sistema de equações dado pela seguinte equação:

Item (A): A fração de tempo que cada servidor estão ocupado.

(j=1,2,...,K)

K

j

i

i

i

ij

j

j

r

p

,

1

(17)

© UNESP 6 Agosto 2008

Isto é, sejam: r1 = 10; p12 = 1,0; p21 = 0,1; p23 = 0,9 e p32 = 0,2;

p13 = p31 = 0.

Fixando o valor da equação para cada j específico.

(j=1,2,...,K)

3 31 2 21 1

1

r

p

p

 

K

j i i

i ij j

j

r

p

, 1

J = 1:

2 1

10

0

,

1

(1)

3 32 1 12 2

2

r

p

p

J = 2:

3 1

2

0

,

2

(2)

2 23 1 13 3

3

r

p

p

J = 3:

3

0

,

9

2 (3)

34

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

Aplicando (1) e (3) em (2):

3 1

2

0

,

2

2 1

10

0

,

1

2 3

0

,

9

)

9

,

0

(

2

,

0

)

1

,

0

10

(

2 2

2

2 2

2

10

0

,

1

0

,

18

(

1

0

,

28

)

2

10

2

13

,

88

Aplicando o valor 2 de em (1) e (3), obtém-se 1 e 3:

2 1

10

0

,

1

1

10

0

,

1

*

13

,

88

11

,

38

2 3

0

,

9

(18)

© UNESP 6 Agosto 2008

Item (B): O número esperado de peças no sistema.

(B.1) Achar o número esperado de clientes no servidor 1.

Se o primeiro servidor pode ser tratado como um modelo

M/M/1/GD// com 1 = 11,38 peças por hora e 1 = 20 peças

por hora. Se = 1/ 1 = 11,38/20 = 0,569, então:

32

,

1

)

569

,

0

1

(

569

,

0

)

1

(

1

L

36

© UNESP 6 Agosto 2008

TEORIA DE FILAS

Item (B): O número esperado de peças no sistema.

(B.2) Achar o número esperado de clientes no servidor 2.

Se o segundo servidor pode ser tratado como um modelo

M/M/1/GD// com 2 = 13,88 peças por hora e 2 = 20 peças

por hora. Se = 2/ 2 = 13,88/20 = 0,694, então:

26

,

2

)

694

,

0

1

(

694

,

0

)

1

(

2

(19)

© UNESP 6 Agosto 2008

(B) Achar o número esperado de clientes no sistema.

(B.3) Achar o número esperado de clientes no servidor 3.

Para o segundo servidor pode-se usar o modelo M/M/1/GD// com 3 = 12,49 clientes por hora e = 20 clientes

por hora. Se = 3/ 3 = 12,49/20 = 0,62, então:

63

,

1

)

62

,

0

1

(

62

,

0

)

1

(

3

L

(B) Achar o número esperado de clientes no sistema.

O número médio de clientes no sistema é a soma do número médio de clientes em cada estágio, isto é: L = L1 + L2 + L3 =

1,32 + 2,26 + 1,63 = 5,21 peças em média estarão no sistema.

38

© UNESP 6 Agosto 2008

(C) Encontrar o tempo médio que um cliente gasta no sistema.

TEORIA DE FILAS

Para calcular o tempo médio gasto no sistema usa-se que:

= r

1

+ r

2

+ ... + r

K

= 10 = 10

clientes/hora

horas= 60 minutos = 31,2 min

10

21

,

5

(20)

© UNESP 6 Agosto 2008

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