Considere a função f(x) = x

Considere a função f(x) = x

- 2 e

1. Verifique, graficamente e analiticamente, que a função tem um só zero no intervalo [0.5, 1]. Determine esse zero usando a função fzero do Matlab

2. Aproxime esse zero pelo método da bissecção, método da secante e

método de Newton-Raphson, usando como critério de paragem o valor

3. Compare as aproximações obtidas e exponha as conclusões a que chegou tendo em conta a ordem de convergência de cada método

Podemos também localizar o zero se reescrevemos a equação dada na

forma equivalente:

f(x) = x

- 2 e

= 0

⇔

x

= 2 e

Graficamente verifica-se que existe um único zero de f(x) em [0.5, 1] . Podemos também verifica-lo analiticamente

1. f(0.5) f(1) < 0

f(0.5) = -1.0880613 <0 f( 1 ) = 0.2642411 >0

2. f’(x) não mude de sinal em [0.5, 1] f’(x) = 3 x2 + 2 e-x > 0 em I=[0.5, 1]

TEOREMA:

Seja f(x) uma função contínua num intervalo I=[a , b]. Se f(a) f(b) <0 então existe pelo menos um ponto x = α entre a e b que é zero de f(x).

COROLÁRIO:

2. Aproxime esse zero pelo método da bissecção, secante e de Newton-Raphson, usando como critério de paragem o valor absoluto da diferença entre aproximações consecutivas de modo a que este não exceda, em valor absoluto, 0.5 x10-3

I.

Método da Bissecção

Requer: f ∈ C([0.5, 1]), f(0.5) x f(1) < 0

f’(x) não mude de sinal em [0.5, 1] (f’(x) >0 em [0.5, 1])

Intervalo Inicial: I1= [0.5 , 1]

Fórmula Iteradora:

2 k k k

b a

x = +

se

f

(

a

)

f

(

x

)

a

b

x

a

b

Critério de Paragem: |xk – xk-1| < ε = 0.5 x 10-3 Majorante para o erro: |ek | = |α - xk| ≤ (bk - ak) /2

(note que |xk – xk-1|=(bk - ak)/2)

Iteração Ik= [ak, bk] Ponto Médio Valor da

função no

ponto médio |xk – xk-1|

K ak bk xk=(ak+bk)/2 f(xk) (bk-ak)/2

1 0.5 1 0.75 -0.522858105 0.25

2 0.75 1 0.875 -0.163802164 0.125 3 0.875 1 0.9375 0.040763356 0.0625

4 0.875 0.9375 _{0.906250 -0.063779834 0.03125}

5 0.90625 0.9375 _{0.921875 -0.012086326} 0.015625

6 0.921875 _{0.9375 0.9296875 0.014192373 0.0078125}

7 0.921875 0.9296875 _{0.92578125 0.001016690 0.00390625}

8 0.921875 0.92578125 _{0.923828125 -0.005543875 0.001953125}

9 0.9238281250 _{0.92578125 0.9248046875 -0.002265860 0.0009765625}

II.

Método da Secante

Requer: f ∈ C2 _{([0.5, 1]) , f(0.5) x f(1) < 0}

f’ e f’’ não mudem de sinal em [0.5,1] (f’(x) >0 e f’’(x) > 0 em I

Aproximações Iniciais: x0= 0.5, x1= 1

(para convergir este método necessita que as aproximações iniciais x0 e x1 estejam próximas da raiz)

Fórmula Iteradora: ( ), 1,2,...

) ( ) (

) (

1 1

1 = − ₋ − − =

−

+ x x k

x f x f

x f x

x _{k k}

k k

k k

k

Critério de Paragem: |xk – xk-1| < ε = 0.5 x 10-3

Iteração Abcissa do ponto de intersecção da

secante com o eixo x

Valor da função em xk

|xk – xk-1| < 0.5 x 10-3 _?

k xk f(xk) |xk – xk-1|

0 0.5 -1.088061319425267

1 1 0.264241117657115 0.5

2 0.902299548380900 -0.0766694224207 0.0977004516191 3 0.924271990752940 -0.0040545188202 0.0219724423720 4 0.925498841946109 0.00000669567864 0.00122685119316 5 0.925478910731849 0.00000005722176 0.0000199312142

< 0.0005 PARAR !!!

Foram necessárias 4 iterações para aproximar o zero com a tolerância desejada

α = 0.925478927750909 x5 = 0.925478910731849

III.

Método de Newton-Raphson

Requer: f ∈ C2 ([0.5, 1])

1) f(0.5) x f(1) < 0

2) f’(x) > 0 , ∀ x ∈ [0.5, 1]

3) f’’(x) > 0 (não muda de sinal em [0.5, 1])

f’(x) = 3 x2 + 2 e-x f’’(x) = 6 x - 2 e-x

4) 0.5543 1

1.9631 1.0881 -) 5 . 0 ´( ) 5 . 0 ( < ≈ = f f

e 0.0707 1

3.7358 0.2642 ) 1 ´( ) 1 ( < ≈ = f f

Assim, para qualquer aproximação inicial xo, o método de Newton-Raphson converge

para a única raiz α≈ 0.92548928 do intervalo I=[0.5, 1].

Teorema: (condições suficientes de convergência do método de Newton-Raphson):

Sejafuma funçãoC2[a, b] . Se forem satisfeitas as condições: 1) f(a) . f(b) < 0

2) f '(x) ≠ 0 , ∀x∈ [a, b] 3) f ''(x) ≠ 0 , ∀x∈ [a, b]

4) _{( )}

) ´( ) ( a b a f a f −

< e _{( )}

) ´( ) ( a b b f b f − <

então ∀x0∈ [a, b] o método de Newton-Raphson

Método de Newton-Raphson

Aproximação Inicial: x0= 0.5

Fórmula Iteradora:

) ´(

) (

1 1 1

− −

− −

=

k k k

k

x f

x f x

x , k = 1, 2, …

Critério de Paragem: |xk – xk-1| < ε = 0.5 x 10-3

Iteração Abcissa do ponto de intersecção da tangente com

o eixo x

Valor da função em xk

Valor da 1ª derivada da função em xk

|xk – xk-1| < 0.5 x 10-3 ?

k xk f(xk) f’(xk) |xk – xk-1|

0 0.5 -1.088061319425267 1.963061319425267

1 1.054267616940169 0.474902528406195 4.031335686279924 0.554267616940169 2 0.936464842534044 0.037225782803066 3.414921624007087 0.117802774406125 3 0.925563923888835 0.000285792642138 3.362621468761014 0.010900918645209 4 0.925478932864781 0.000000017193948 3.362216870763106< 0.000084991024055

< 0.0005 PARAR !!!  

Foram necessárias 4 iterações para aproximar o zero com a tolerância desejada

α = 0.925478927750909 x4 = 0.925478932864781

Método de Newton-Raphson

Escolhendo agora outra aproximação inicial mais próxima da raiz:

Aproximação Inicial: x0= 0.9

Fórmula Iteradora:

) ´(

) (

1 1 1

− −

− −

=

k k k

k

x f

x f x

x , k = 1, 2, …

Critério de Paragem: |xk – xk-1| < ε = 0.5 x 10-3

Iteração Abcissa do ponto de intersecção

da tangente com o eixo x

Valor da função em xk

Valor da 1ª derivada da função em xk

|xk – xk-1| < 0.5 x 10-3 _?

k xk f(xk) f’(xk) |xk – xk-1|

0 0.9 -0.084139319481198 3.243139319481198

1 0.925943788160990 0.001563475942890 3.364430404427948 0.025943788160990 2 0.925479080690497 0.000000514216116 3.362217574441748 0.000464707470493

< 0.0005 PARAR !!!

Foram necessárias 2 iterações para aproximar o zero com a tolerância desejada

α = 0.925478927750909

x2 = 0.925479080690497

3. Compare as aproximações obtidas e exponha as conclusões a que chegou tendo em conta a ordem de convergência de cada método

Método Ordem de

convergência

|e k+1| ≤ C |e k|p

Nº iter

Valor aproximado xk

α=0.925478927750909

|e k |= |α - x10|

Bissecção linear (p=1) 10 x10=0.92529296875 |e 10 |< 0.5 x 10-3

3 casas decimais correctas

Secante supralinear (1<p<2) 4 x5=0.925478910731849 |e 5 | < 0.5 x 10-7

7 casas decimais correctas

Newton-Raphson

x0= 0.5

quadrática (p=2) (pois α é um zero simples)

4 x4=0.925478932864781 |e 4 | < 0.5 x 10-7

7 casas decimais correctas

Newton-Raphson

x0= 0.9

quadrática (p=2) (pois α é um zero simples)

2 x2=0.925479080690497 |e 2 | < 0.5 x 10-6

Quanto maior for p, maior é a rapidez com que a sucessão de aproximações {xk}, k

=1,2,… converge para o zero α. O método de Newton-Raphson tem ordem de