CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL – USJT 2017
Lista de Exercícios
Zeros de Função
1. Dadas as equações abaixo, determine a raiz no intervalo indicado através dos métodos de Bisseção e Newton-Raphson, utilizando 3 casas decimais. Nos métodos de Bisseção, faça 4 iterações. No método de Newton-Rapshon, utilize como condição inicial o ponto médio do intervalo e faça 3 iterações ou até o erro ser inferior a 𝜀 ≤ 10%&, isto é, até que 𝑓(𝑥) ≤ 𝜀.
(a) 5 − 𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 1 = 0, no intervalo [3, 4]
(b) 𝑥𝑒2− 2 = 0, no intervalo [0, 1]
(c) 𝑥 + 𝑒2 − 3 = 0, no intervalo [0, 1]
(d) 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1, no intervalo [0, 1] (configure a calculadora para trabalhar em radianos) (e) 𝑥6− ln 𝑥 − 2 = 0, no intervalo [1, 2]
2. O aquecimento de uma caldeira obedece a equação 𝑇 𝑡 = ln 𝑡 + 1 + 5𝑡. Em quanto tempo a caldeira atingirá a temperatura de 𝑇 = 30℃? Utilize o método de Newton-Raphson com duas casas de precisão e condição inicial 𝑡< = 5.5 (obs.: o problema precisa ser transformado em um problema de zero de função antes da aplicação do método).
3. A área do segmento 𝐴? de um círculo com raio R (sombreada na figura) é dada por:
𝐴? = @6𝑅6(∅ − 𝑠𝑒𝑛 ∅ ).
Determine o ângulo ∅ sabendo que 𝐴? = 8 𝑚6 e 𝑅 = 3 𝑚.
Utilize o método de Newton-Raphson com condição inicial ∅< = 3 (radianos) e o método da Bisseção no intervalo [2, 3]. Para os dois métodos, utilize como critério de parada 𝑓(𝑥) ≤ 𝜀, sendo 𝜀 ≤ 2×10%&.
𝐴?
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4. O logaritmo natural da soma de dois números reais positivos é 1.73. Um deles é triplo da raiz quadrada do outro. Determine os dois números utilizando o método de Newton-Rapshon, com 3 casas de precisão. Realize 3 iterações e condição inicial igual a 2.
5. Dada as funções abaixo, determine o intervalo unitário que contenha a raiz através do gráfico de 𝑓(𝑥):
(a) 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 (b) 𝑓 𝑥 = 𝑒%2− 𝑥&
(c) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 − 1 −@
2
6. (Requer solução por software) Dada a função 𝑓 𝑥 = 𝑥&− 𝑒%62, determine:
(a) Um intervalo de tamanho unitário que contenha uma raiz de 𝑓(𝑥) (desenhe o gráfico no Excel para encontrar o intervalo);
(b) Aplique o método da bisseção no intervalo encontrado no item (a) usando 3 casas decimais com arredondamento e 5 iterações;
(c) Aplique o método de Newton-Raphson para refinar a raiz até a precisão de 𝑓(𝑥G) ≤
10%@<. Utilize como condição inicial a melhor aproximação da raiz obtida pelo método
da bisseção no item anterior.
