FGV/EPGE Escola Brasileira de Economia e Finanças
Macroeconomia I / 2017 Professor: Rubens Penha Cysne
Lista de Exercícios 6
I- Crescimento Endógeno com Externalidades II - Modelo Neoclássico com Moeda
III - Função de Reação Fiscal
Para entrega: 1b, 3a, 4b, 5
Obs: Na ausência de de…nição de alguma variável, utilize aquela vista em sala de aula.
1- (Crescimento Endógeno com Externalidades, Romer, 1986) Em uma economia o consumidor otimiza
Z 1 0
c1
1 e
tdt (1)
Há um contínuo de …rmas i em [0; 1]. Tais …rmas são todas idênticas e têm função de produção:
Yi = F (Ki; ALi)
F tem as propriedades usuais das funções de produção, incluindo as condições de Inada e homogeneidade do primeiro grau.
A população L é constante e dada por: L =
Z 1 0
Lidi
O estoque de capital agregado se escreve como: K =
Z 1 0
Kidi
As …rmas otimizam lucro tomando os preços dos insumos como dados, o que implica que todos tenham a mesma relação ki = Ki=ALi:
Hipótese de Romer: Embora cada …rma tome A como dado, A = K; sendo K o estoque total de capital da economia.
Temos então a função de produção para cada …rma i: Yi = F (Ki; KLi)
Os produtores maximizam:
F (Ki; KLi) wLi (r + )Ki (2)
daí determinando-se w = FL(Ki; KLi) e R = FKi(Ki; KLi):
Como a ação de cada …rma i será a mesma, podemo sub-índice i e escrever apenas:
Y = F (K; KL)
Observe que Y pode também ser escrito sob a forma:
Y = F (K; KL) = KF (K=K; KL=K) = KF (1; L) := Kf (L) (3) a) Usando a de…nição de f em (3), mostre que o salário w e a remuneração bruta do capital físico R podem ser escritos sob a forma:
w = Kf0(L)
R = f (L) Lf0(L) (4)
Sugestão: Para a expressão do salário, use diretamente o fato de que F (K; KL) = Kf (L), derivando em relação a L. Para a expressão de R, lembre que ape-nas a derivada de F em relação à primeira variável deve ser considerada na otimização de cada …rma.
A- Solução Descentralizada:
Do processo usual de otimização, obtemos: _c c = 1 (r ) (5) onde r = R : Usando (4) e (5): _c c = 1 (f (L) Lf0(L) ) (6)
B - Solução do Planejador Central
O planejador central benevolente leva em consideração na solução de (1) a restrição de recursos reais:
_
b ) Como se modi…ca a taxa de crescimento de consumo em relação à solução dada por (6)? O crescimento com base na solução do planejador central é maior, igual ou menor?
c) Visualizando a possiblidade um maior crescimento desta economia obtenível através da ação governamental (no caso, por exemplo, pela pos-sível implantação de um sistema de subsídios à compra de bem de capital), um economista a…rma que a ação de um planejador central neste caso é de-fensável. Outro economista discorda, a…rmando que, através de um processo de aprendizado, a economia evoluirá naturalmente para uma situação equiv-alente àquela determinada pela ação do planejador, sem a necessidade de intervenção governamental. Como você se coloca frente a estas a…rmativas? Explique como poderia se dar, na prática, a convergência ao maior cresci-mento a qual se refere o segundo economista.
2- Particularize o exercício acima para o caso de uma função de produção Cobb-Douglas. Faça:
F (K; AL) = F (K; KL) = (K)a(KL)1 a; 0 < a < 1
II- Moeda e In‡ação no Modelo Neoclássico
3- (Lucas, In‡ation and Welfare, 2000, Modelo "Shopping Time"): Seja r a taxa de juros, a taxa de in‡ação, s a fração da dotação de tempo gasta com "shopping time", (o tempo total do consumidor sendo igual à unidade), y o produto real, m os encaixes reais como fração do produto, c o consumo como fração do produto, U (cy) uma função crescente, e estritamente côncava do consumo (satisfazendo às condições de Inada), uma taxação "lump sum", > 0o fator de desconto intertemporal e > 0a taxa exógena de crescimento do produto (de tal forma que y(t) = y0e t:1
O consumidor maximiza: Z 1 0 e gt U (cy)dt (7) sujeito a: _ m = 1 (c + s) ( + )m (8) c + F (m; s) = c + mf (s) = 0 (9) A equação (9) representa a restrição de que shopping time seja necessário para consumo. Tem-se que f0(s) > 0 e f00s) 0:
1Neste modelo o produto real potencial se obtém quando s=0. O produto real efetivo é igual a y(1-s).
A função utilidade é dada por: U (cy) = (cy)
1
1 ; 6= 1 (10)
Pede-se:
a )- Mostre que, no estado estacionário, vale
Fm(m; s) = rFs(m; s) (11)
onde r = + + :
Sugestão: Lucas resolve este problema usando programação dinâmica (equações de Bellman). Voce pode usar controle ótimo ou equações de Euler, mas este último método exige um pouco mais de cálculos.
b)- Interprete (11) economicamente.
4- (Stanley Fischer, 1979, Econometrica, Modelo de Sidrauski). Um con-sumidor representativo maximiza R0+1e tu (c; m) dtsujeito a
_k + nk + _m + ( + n) m = f (k) + x c (12) onde c é consumo per capita, m é moeda per capita, k é o estoque de capital per capita, x são transferências lump sum, é a taxa de in‡ação e n é a taxa de crescimento populacional. A utilidade u é côncava, com u1; u2 > 0,
u11; u22< 0, J1 := (u2=u1)1 > 0 and J2 := (u2=u1)2 < 0. A função f é tal que
f0 > 0, f00< 0: As condições de Inada são satisfeitas para u(.) e f(.).
a) Obtenha as equações:
u1(f0(k) + ) = u2, (13)
u1( + + n) u2 = u11_c + u12m._ (14)
Sugestão: Uma alternativa é fazer, em (12), a = k + m. Neste caso, a única variável de estado (ou seja, determinada no problema inicial por uma equação diferencial de primeira ordem) passar a ser a, e m passa a ser variável de controle.
b ) O governo expande a oferta monetária a uma taxa …xa : Mostre que isto implica:
_ m
c) O governo tem o orçamento equilibrado, de tal forma que x = _
m + ( + n) m (= m). Mostre que isto implica que a equação orçamentária do governo se leia:
_k + nk = f (k) c. (16)
d) (Opcional) As equações (14), (15) e (16) formam um sistema de equações diferenciais de primeira ordem em (c; m; k). Denote por (c ; m ; k ) os valores estacionários. Mostre que:
f0(k ) = + n, (17)
c = f (k ) nk , (18)
u2(c ; m )
u1(c ; m )
= + . (19)
As equações (17) and (18) implicam alguma propriedade da moeda?
e) (Opcional) Linearize o sistema em torno do estado estacionário para obter: 2 4 _c _ m _k 3 5 = 2 4 mJ1uu12 11 mJ2 u12 u11 f 00 u1+mu12 u11 mJ1 mJ2 mf00 1 0 3 5 c ;m ;k 2 4 c c m m k k 3 5 . (20) onde J1 = (um=uc)c e J2 = (um=uc)m
5 ) (Função de Reação Fiscal) Considere a equação diferencial vista nas lista 3 do curso. Tal equação mostra a como evolui a razão líquida / PIB b, em função do diferencial entre juro real e crescimento do produto, bem como do superávit primário s:
_b = (r )b s (21)
Suponha que s reage ao valor de d da forma abaixo:
e = b; > 0 (22)
Qaul o valor mínimo assumido por d de tal forma que não se tenha a relação dívida / PIB b ! 1?
Obs. Aqueles interessados em estudos empíricos relativos à solvência da dívida pública podem consultar os trabalhos de Bohn (1998 e 2007) apensados ao sítio do curso.
