Práticas Didáticas no Ensino de Números Racionais.

Práticas Didáticas no Ensino de Números Racionais.

Irio Valdir Kichow1 Luiz Carlos Pais2

Apresentação

O trabalho tem por objetivo apresentar um recorte da pesquisa sobre os procedimentos didáticos relativos ao estudo dos números racionais utilizados por professores que atuam em nível de sexto e sétimo ano do ensino fundamental.

A pesquisa encontra-se na fase da análise dos dados coletados, fato este que nos permite fazer aqui apenas uma apresentação parcial da mesma. Seu desenvolvimento integral vai se dar com a redação da dissertação de mestrado que será apresentada no Programa de Mestrado em Educação Matemática da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. Ela justifica-se em duas dimensões: a primeira encontra-se na experiência de docência na Educação Básica do mestrando; a segunda busca sua sustentabilidade em trabalhos científicos já realizados, resultados de avaliações realizadas pelo Ministério da Educação, a exemplo do SAEB, e considerações levantadas nos documentos de referência, como por exemplo, os PCN do Ensino Fundamental.

Enquanto experiência docente, a prática de duas décadas no Ensino Fundamental e Médio, levou a percepção da existência de um número considerável de alunos que normalmente apresentam dificuldades em trabalhar com números racionais. Esta também aparece de forma evidente nos resultados dos SAEB dos anos de 2003 e 2005.

Dentre esses impedimentos, um dos mais acentuados diz respeito aos conceitos formais presentes nesse conteúdo. Eles acabam sendo muitas vezes determinantes para a compreensão e construção de outros conceitos matemáticos.

1 _{Mestrando em Educação Matemática pela UFMS e Professor de Matemática SED/MS –} contato@irio.pro.br – http://www.irio.pro.br

2 _{Professor-Orientador no Programa de Mestrado em Educação Matemática e Programa de Mestrado e}

Buscando a origem dos mesmos, através de diálogos informais com alunos e professores, percebeu-se que elas poderiam estar no modo como esse conteúdo é tratado no Ensino Fundamental, e que isso ocorre, de modo mais acentuado, no sexto e sétimo ano.

Recorrendo aos trabalhos científicos e documentos de referência, procuramos uma justificativa sustentável sobre o tratamento dado ao ensino desse conteúdo. Quanto a prática do professor de matemática do terceiro ciclo do Ensino Fundamental encontramos nos PCN que:

[...], há uma forte tendência em fazer do primeiro ano deste ciclo um ano de revisão dos conteúdos estudados em anos anteriores. De modo geral, os professores avaliam que os alunos vêm do ciclo anterior com um domínio de conhecimentos muito aquém do desejável e acreditam que, para resolver o problema, é necessário fazer uma retomada dos conteúdos.

No entanto, essa retomada é desenvolvida de forma bastante esquemática, sem uma análise de como esses conteúdos foram trabalhados no ciclo anterior e em que nível de aprofundamento foram tratados. Assim, a revisão infindável de tópicos causa grande desinteresse aos alunos e, ao final, fica a sensação de que a série inicial do terceiro ciclo é uma série ”desperdiçada”.

O estudo repetitivo da maioria dos conteúdos, paradoxalmente, contribui para o fracasso escolar comprovado pelos elevados índices de retenção que aparecem no primeiro ano desse ciclo. (PCN: 1998, p. 61/62).

Aqui temos, segundo o documento, que o modo como o professor conduz a sua prática pedagógica é fundamental para a efetiva aprendizagem dos conteúdos matemáticos. Dentre os conteúdos relacionados com essa etapa da formação escolar, esse mesmo documento indica que os professores devem levar o aluno a “identificar, interpretar e utilizar diferentes representações dos números naturais, racionais e inteiros”, supondo que esta diversificação de linguagem possa contribuir para ampliar o significado da aprendizagem dos conceitos matemáticos. Além de usar diferentes representações, as orientações fornecidas por essa fonte de referência da prática pedagógica recomendam que as diferentes notações específicas desse conteúdo devam estar vinculadas a contextos matemáticos e não-matemáticos.

Buscando então por trabalhos científicos que sinalizassem o caminho a ser percorrido, encontramos estudos que apontam para a necessidade de avançarmos sobre a temática das práticas didáticas dos professores, como a tese de doutorado de SILVA, onde encontramos:

permitam o acesso de professores a resultados de pesquisa. Embora haja resultados sobre o não-saber dos alunos e de possíveis obstáculos ao ensino e aprendizagem do tema, há necessidade de se observar as condições em que as ações formativas possibilitam mudanças nas práticas docentes desses professores.

(SILVA: 2005, p.8)

Essa reflexão levou-nos a elaborar o nosso objeto de pesquisa, pois entendemos que a prática docente é um dos fatores determinantes para o aprendizado dos números racionais e que muito pouco se tem pesquisado sobre ela.

Referencial Teórico

Sendo nosso propósito o de olhar e analisar como ocorre a prática didática do professor no momento da aula, entendemos que a Teoria Antropológica do Didático, proposta pelo professor Yves Chevallard, nos fornece um quadro teórico adequado para estudarmos essa práxis docente. E como o professor realiza essa prática em uma instituição, no caso a escola, entendemos ser oportuno o olhar sob a ótica da Cultura Escolar segundo André Chervel.

Segundo Chevallard, a Teoria Antropológica do Didático situa a atividade matemática no conjunto das atividades humanas e das instituições sociais.

Nossa compreensão do significado dessa localização da atividade matemática no conjunto de todas as atividades humanas e das instituições sociais é que as atividades humanas são ações realizadas regularmente pelas pessoas comuns no seu cotidiano, sem se preocupar com aspectos formais dessa ação. Por outro lado, essas atividades não incluem ações estritamente individuais, ou seja, aquelas que são realizadas por uma única pessoa. Na TAD a intenção é considerar atividades humanas que possam ser modeladas. Dentro dessas atividades localizamos as atividades matemáticas, quer sejam no sentido mais simples da vida cotidiana social, quer sejam nas atividades reguladas por instituições sociais, como é o caso da escola.

representar o número decimal vinte e cinco décimos na forma de fração irredutível. A realização de uma tarefa mobiliza uma ação denominada técnica, a qual está justificada por um discurso lógico denominado de tecnologia. Por sua vez a tecnologia encontra-se justificada dentro de um corpo de saberes organizados e institucionalizados denominado de Teoria.

Essa praxeologia é representada por [T, τ, θ, Θ], onde T é o tipo de tarefa, τ é a técnica utilizada para resolver o tipo de tarefa dada, θ é a tecnologia que justifica a técnica usada e

Θ é a teoria que contém a tecnologia. Assim, no exemplo: somar as frações

3 2 3 1₊ , temos: t1 (tarefa): 3 2 3 1₊

; T1 (Tipo de tarefa): somar duas frações de mesmo denominador; τ 1 (técnica): para somar duas frações de mesmo denominador, conservamos o denominador e

somamos os numeradores ( 3 3 3 2 1 3 2 3 1_{+ =} + ₌

); θ1 (tecnologia associada a τ1 – explicação, argumento racional, para validar a técnica numa instituição que pode ser um teorema, uma propriedade, um princípio, um conceito, etc.): Conceito de fração (tomar a unidade, dividi-la em partes iguais e tomar algumas dessas partes) e conceito de soma (para somar as parcelas devem ser todas de uma mesma grandeza, no exemplo citado acima todas as parcelas são “terços”). Uma tarefa pode usar mais de uma técnica e mais de uma tecnologia. Nesse exemplo a Θ (teoria) é a da aritmética.

Para a construção de uma praxeologia matemática, tanto o professor quanto o aluno, cada uma em seu nível, fazem uso das técnicas didáticas. Segundo Chevallard (2001), entende-se por didático o que é relativo ao estudo da didática. Desentende-se modo, neste contexto o autor ressalta que “O professor utiliza técnicas didáticas para reorganizar certas obras matemáticas de modo que dêem resposta às questões que os alunos apresentam; os pesquisadores utilizam técnicas de estudo que também são técnicas didáticas”.

Sendo a didática a ciência que tem como objeto o processo de estudo, e portanto a aprendizagem é entendida como conseqüência desse processo, compete nos detalhar com mais pontualidade o que é, de fato, tal processo e os momentos de estudo pelos quais ele é constituído segundo a TAD.

ocorre em sala de aula para alguns alunos, mas para outros, isso vai ocorrer posteriormente, quando estiver realizando o dever de casa, por exemplo.

Na TAD destacamos seis momentos de estudo. Temos o momento do primeiro contato com uma questão de estudo, cujo significado pessoal é extremamente importante para o desenvolvimento e para a construção do conhecimento. Aqui, no contexto teórico da abordagem antropológica, a dificuldade aumenta um pouco porque tal “momento” não é um simples espaço de tempo. A complexidade da noção decorre do seguinte aspecto: mesmo antes de se ter uma razoável compreensão do problema, na maioria das vezes, outros momentos ocorreram em paralelo. Podemos citar como exemplo o fato de uma criança que lida com números decimais no seu cotidiano ao trabalhar com moedas e dinheiro muito antes de ter um contato com os racionais enquanto conjunto numérico. Outro momento de estudo é o de exploração da técnica. É quando as estratégias pessoais de solução são colocadas em prática com os mais variados resultados. Entre o momento do primeiro contato e a exploração da técnica, ocorre uma compreensão do problema. A ação de compreender é fugaz, não sendo possível precisar o tempo exato de sua ocorrência. Pequenos ciclos de retorno acontecem entre o verdadeiro contato, a compreensão e o início da exploração da técnica. O momento do primeiro encontro com o problema não é sincronizado em relação aos alunos da classe. Cada um pode vivenciá-lo em tempo diferente, por isso a noção de momento de estudo não é estritamente cronológica. A mesma coisa acontece com o momento de trabalho da técnica, cada aluno pode vivenciá-lo em dias e horários diferentes. Após o momento do trabalho com a técnica temos o momento tecnológico teórico, onde acontece a justificação do uso da técnica. O próximo momento é o de trabalhar com a técnica, que validada, culminará com a institucionalização da mesma e o último momento de estudo é o da avaliação. Convém ressaltar que tais momentos não seguem uma delimitação cronológica e nem uma ordem pré-estabelecida, podendo um acontecer antes do outro ou até mesmo acontecerem em paralelo.

Os momentos de estudo ocorrem quando são mobilizam os objetos matemáticos, sobre os quais BOSCH e CHEVALLARD afirmam que:

e devido a este fato tal objeto pode ser apreendido pelo sujeito por ser uma realidade perceptível. Assim, um objeto ostensivo é um objeto material qualquer tal como os sons (entre os quais as palavras de uma língua) os grafismos (entre os quais os grafemas que permitem a escrita das línguas naturais ou construídas das línguas formais) e os gestos. Os objetos não ostensivos são então todos os objetos como as idéias, as intuições ou os conceitos, existentes institucionalmente, no sentido onde lhes são atribuídas existências, sem poder ser vistos, ditos, mostrados, percebidos por si mesmo3.

(BOSCH e CHEVALLARD: 1999, p.10)

Em nossa pesquisa foram observados objetos ostensivos como as escritas do número racional na forma de fração, na forma de representação decimal, na representação figural e na oralidade dos professores, presente quando os mesmos explicam aos seus alunos esse conteúdo.

Na descrição dos momentos de estudo propostos pela TAD, temos que alguns momentos podem acontecer na aula ou podem também acontecer fora da escola. Entretanto observamos que os tipos de tarefa são predominantemente elaborados para atender a demanda de uma instituição social: A escola.

Nossa pesquisa encontrou alguns tipos de tarefas cujo estudo só encontra justificativa no atendimento de uma necessidade de trabalho endógeno da escola. São tarefas cuja existência no cotidiano de estudo possui uma justificativa muito frágil e inconsistente enquanto elemento de construção de conhecimento.

A esse respeito, segundo Chervel, imagina-se que é a sociedade que impõe à escola os conteúdos que esta deve ensinar considerando a cultura e os saberes que constituem tal sociedade. Entretanto a escola ensina uma combinação de conceitos mais ou menos encadeados que muitas vezes nada tem a ver com a ciência de referência, no caso aqui a matemática. Sobre esse fato podemos usar como exemplo o estudo ainda predominante dos números racionais na representação fracionária na escola enquanto que o cotidiano vivo da sociedade é predominantemente tecnológico, havendo a primazia da utilização dos números na sua representação decimal.

Metodologia

Com esse aporte teórico fomos levados a fazer o nosso trabalho de coleta de dados. Os dados da pesquisa foram coletados por meio de observações de aulas ministradas por quatro professores colaboradores atuando em turmas de sexto e sétimo ano do Ensino

Fundamental na rede pública de ensino quando estavam trabalhando com os números racionais.

Feito o registro escrito e detalhado de todas as ações que aconteceram em sala de aula, totalizando vinte aulas, os mesmos permitiram identificar um total de cento e vinte e uma tarefas que puderam ser classificadas em treze Tipos de tarefas.

Esses dados categorizados por Tipos de tarefas estão agora sendo analisados segundo uma abordagem Fenomenológica por meio das unidades de significado ou momentos significativos.

Estamos assumindo aqui que as tarefas definidas na Teoria Antropológica do Didático são equivalentes as Unidades de Significado definidas na Fenomenologia, uma vez que as tarefas expressam o discurso descritivo do professor ao encaminhar o estudo com seus alunos. As Confluências Temáticas da Fenomenologia são aqui assumidas como o equivalente aos Tipos de Tarefa presentes na TAD.

Como nosso objeto de pesquisa são os procedimentos didáticos relativos ao estudo dos números racionais utilizados por professores que atuam em nível de sexto e sétimo ano do ensino fundamental, entendemos ser a abordagem fenomenológica a mais apropriada, pois é a que melhor explicita e revela os aspectos relacionados ao mesmo.

Para obter um resultado que traduza essa realidade com a maior fidelidade possível, definimos alguns objetivos específicos como a Identificação dos diferentes Dispositivos Didáticos e Estratégias Metodológicas utilizados pelos professores na organização do estudo, a Descrição das Atividades Matemáticas mais utilizadas nesse estudo, a Verificação de quais são as Regras, Propriedades e Teoremas relativos ao estudo dos números racionais que os professores fornecem e queremos também Caracterizar os Aspectos Conceituais e Epistemológicos relativos ao estudo dos números racionais.

Desse modo entendemos ser a Fenomenologia o método próprio para concretizar esses objetivos específicos, pois como citado por Bicudo (2000) “A descrição, como trabalhada pelo fenomenólogo, é um protocolo que se limita a descrever o visto, o sentido, a experiência como vivida pelo sujeito.”.

Exemplos Parciais de Análises

1) Tipo de Tarefa T1 – Somar frações com denominadores iguais

1.1 Comentários

Este tipo de tarefa foi trabalhado pela metade dos professores colaboradores de nossa pesquisa com uma freqüência relativamente baixa em termos de quantidades de tarefas. Supomos que isso tenha ocorrido em função de tal tipo de tarefa já ter sido trabalhado pelos professores em outros momentos da vida escolar do aluno, como por exemplo, no quinto ano do Ensino Fundamental. Esclarecemos que quando empregarmos as palavras

professores e professores colaboradores, o faremos independente de gênero.

1.2 Organização Matemática

Para fazer a análise da organização matemática do tipo de tarefa T1, estamos assumindo aqui o conceito de soma utilizado no conjunto dos números inteiros (Z), pois os professores trabalharam este conjunto numérico antes de desenvolverem o estudo dos números racionais com os seus alunos.

Para conduzir essa análise praxeológica é importante destacar que nossa intenção é descrever e analisar práticas implementadas pelo professor proponente da tarefa. Em outros termos, quando se tratar de um elemento praxeológico sugerido por nós, vamos cuidar para que isso fique claro no texto.

1.2.1 Descrição da técnica e dos elementos tecnológicos

1.2.2 – Aspectos teóricos da organização matemática

Técnica ττττ1111 Elementos tecnológicos

1) Manter o denominador das frações. Conceito de fração; Conceito de denominador 2) Somar os números nos numeradores. Conceito de numerador;

No que diz respeito à teoria correspondente aos elementos tecnológicos descritos no quadro acima, entendemos tratar-se de conteúdos da disciplina de Matemática estudada nas séries iniciais do Ensino Fundamental mais especificamente no domínio de estudo Números e Operações. Esse domínio de estudo trabalha o conceito de soma como sendo o de juntar quantidades, que é então expresso por um número que as contém. Assim, ao realizar num primeiro momento a soma de frações com denominadores iguais, utilizamos os conceitos de fração e seus termos, numerador e denominador. O conceito de fração é o de relação parte-todo, onde o denominador indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida e o numerador indica quantas dessas partes foram tomadas. O conceito de soma de números inteiros é tratado como uma ampliação do campo aditivo, podendo representar acréscimo (+) ou falta (–), orientações e posições relativas.

1.3. Organização Didática

A organização didática, no contexto desse trabalho, é compreendida segundo Chevallard (1999), como sendo o conjunto de todas as técnicas, tecnologias e teorias mobilizadas pelo professor para conduzir o estudo efetivo de um dado tipo de tarefa no quadro da instituição. O professor quando ministra sua aula não está objetivando a discussão de suas práticas didáticas com seus alunos, mas sim a discussão de um conteúdo matemático específico. Portanto a identificação de elementos praxeológicos, tais como, a explicitação dos elementos tecnológicos e teóricos, relacionados ao conteúdo estudado no desenvolvimento da aula será nossa tarefa na qualidade de pesquisadores.

Para conduzir a Organização Didática relativa ao Tipo de tarefa T1 a opção foi escolher os procedimentos conduzidos pela professora cujo nome fictício é Sandra com a intenção de conseguir um grau mais refinado de análise, pois, caso contrário, se fossemos analisar as Organizações Didáticas de cada um dos quatro professores perderíamos a profundidade da análise. Esse procedimento de escolher um professor para fazer a análise da Organização Didática será também praticado na análise dos próximos tipos de tarefa.

motivos de disponibilidade de tempo nem sempre foi possível estar presente em todas as aulas em que o professor trabalhou com números racionais.

Ao iniciar a análise das organizações didáticas, gostaríamos de esclarecer algumas dificuldades que temos no grau de refino desse tipo de análise. Pelo fato de não ser possível assistir à todas as aulas, para alguns tipo de tarefa, as análises das OD não foram realizadas com o grau de refino ideal. Mas, enfatizamos que se trata de apenas alguns tipos de tarefa, pois na maioria dos casos conseguimos obter informações importantes para descrever as práticas docentes. Essa dificuldade metodológica se deve ao fato que com base somente nos registros dos cadernos não temos condições de fazer afirmações categóricas quanto às práticas que foram efetivamente implementadas em sala de aula. Entretanto pensamos que as anotações retiradas dos cadernos fornecem, pelo menos, alguns traços da OD implementada pelo professor. Dessa maneira, quando estivermos descrevendo a Organização Didática, procuramos deixar claro os efetivos dados que temos para analisa-la.

Nesses registros percebemos que este tipo de tarefa foi desenvolvido junto aos alunos de maneira que os mesmos seguissem um exemplo dado pelo professor, onde a técnica de resolução foi a de manter o denominador e somar os numeradores. Em termos gerais, a professora Sandra utiliza a técnica usual de apresentar um modelo e levar o aluno a praticar os procedimentos contidos nesse modelo.

levado o aluno a realizar tal procedimento é o fato dessa tarefa aparecer num enunciado comum a várias tarefas de outro tipo onde se fazia necessário o cálculo do mínimo múltiplo comum.

Pelas constatações acima elencadas, somos levados a crer que esse tipo de tarefa foi tratado pelo professor como de conhecimento pleno dos alunos e que não necessitaria de nenhum tipo de correção, pois as fontes de referência, como os PCN e o livro didático, indicam que tal operação é tratada em anos anteriores na vida escolar do aluno. Entretanto é preciso observar que o próprio PCN aponta a importância do professor “conhecer a história de

vida dos alunos, seus conhecimentos informais sobre um dado assunto, [...]” (BRASIL,

1998, p. 36).

1.4 Aspectos da linguagem

Analisando as organizações matemáticas e didáticas implementadas pelo professor, por meio das tarefas registradas nos cadernos dos alunos, percebemos que os principais registros usados por esse professor para conduzir esse tipo de tarefa, foi em primeiro lugar a língua materna porque, supomos que o mesmo tenha iniciado a sua aula perguntando e explicando os conteúdos oralmente, fazendo pequenos discursos, quando apresentou aos alunos a soma de duas frações com o mesmo denominador, provavelmente remetendo o fato desse tipo de tarefa já ser do conhecimento dos mesmos. Outro recurso de linguagem que constatamos ter sido utilizado pelo professor foi o registro escrito na linguagem da notação de frações, não havendo, no entanto, nenhum tipo de evidência de tenha sido usado outro tipo de registro da representação de fração, como por exemplo, na forma de figura para trabalhar a soma de duas frações de denominadores iguais. Constatamos que o recurso do registro da figura só está presente quando o professor trabalha o conceito de que

“todo número racional pode ser representado por um número decimal.” (registro no

caderno do aluno, copiado da lousa), onde o decimal 10

4

= 0,4 é representado pelo desenho

.

Ao analisar esse tipo de tarefa, constatamos que o momento de estudo ficou centrado apenas na realização algorítmica da tarefa, sem uma interação maior entre professor e alunos. O que nos leva a tal conclusão é o fato de termos, nos dois cadernos analisados, o registro das tarefas de forma errada e com o mesmo erro para duas das três tarefas trabalhadas por esse professor. Para situar melhor a nossa observação, os registros de que falamos são os seguintes:

t253) 5 4 5 1 5 3 5 1 5 3_{− = − =−} e t256) 5 5 5 3 5 2 5 3 5 2_{− =− − =} −

2) Tipo de Tarefa T3 – Multiplicar frações

Este tipo de tarefa consiste em: Multiplicar as frações

3 3 2 2 1 1 b a , b a , b a , com ai

∈

∈

Em nossas observações sobre as práticas didáticas efetivadas pelos quatro professores, constatamos que dois deles trabalharam com esse tipo de tarefa. Isso não descarta a possibilidade de que os outros não a tenham trabalhado, pois nossa afirmação aqui se dá apenas com base nos registros que coletamos. Como não assistimos a todas as aulas de cada professor, supomos que esse tipo de tarefa também tenha sido trabalhado pelos outros professores, dado que é um tipo de tarefa freqüente em livros didático e também recomendado pelo PCN para ser desenvolvido junto aos alunos.

Visando uma análise mais refinada, neste tipo de tarefa optamos por analisar as praticas didáticas desenvolvidas pela professora cujo nome fictício é Joana, por ser a que nos forneceu a maior quantidade de informações, uma vez que tivemos acesso a sala de aula para acompanhar o desenvolvimento desse tipo de tarefa.

2.2 Organização Matemática

assumido pela professora como pré-requisito para trabalho com o produto entre racionais. No encaminhamento das tarefas também esteve presente de forma explícita a utilização da propriedade associativa da multiplicação quando as tarefas apresentavam o produto com mais de dois fatores.

2.2.1 Descrição da técnica e dos elementos tecnológicos

Em vista da maneira como definimos o tipo de tarefa T3, envolvendo a multiplicação de três frações, somos levados a fazer a seguinte observação: para multiplicar três frações, uma das maneiras possíveis é multiplicar, previamente, duas delas e depois multiplicar o resultado pela terceira. Assim, como este foi o caminho escolhido pela professora analisada, resolvemos descrever a técnica para multiplicar apenas duas frações.

2.2.2 – Aspectos teóricos da organização matemática

A resolução do tipo de tarefa T3, como muitas outras, é realizada com o uso da propriedade associativa, ou seja, quando a multiplicação envolve mais de dois fatores, opera-se com os dois primeiros e o resultado dessa operação é utilizado para realizar o produto com o próximo fator e assim sucessivamente. Esse procedimento caracteriza a utilização da propriedade associativa da multiplicação de Números Racionais.

Técnica

τ

Escreve-se o traço da fração; Conceito de fração Multiplicam-se os numeradores das duas

frações e considera-se esse produto como o novo numerador.

Multiplicação de Números Inteiros; Conceito de fração.

Multiplicam-se os denominadores das duas frações e considera-se esse produto como o novo denominador.

Multiplicação de Números Inteiros; Conceito de fração.

Multiplicam-se os sinais das duas frações e considera-se o resultado como o sinal da fração resultante.

Multiplicação de Números Inteiros; Conceito de fração.

A simplificação de frações utilizada em algumas tarefas se apresenta, quando possível, uma fração equivalente e irredutível que será a representante de toda uma classe de equivalência.

2.3. Organização Didática

Ao trabalhar a multiplicação de frações, a professora optou por iniciar a aula fazendo uma anotação na lousa da regra de sinais para a multiplicação de Números Inteiros, reproduzida a seguir:

( – ). ( – ) = + ; ( + ).( + ) = + ; ( – ).( + ) = – ; ( + ). ( – ) = – .

Entendemos que desse modo a professora julga ser necessário que os alunos tenham domínio prévio da multiplicação de inteiros para desenvolverem as tarefas propostas por ela sobre multiplicação de Números Racionais.

Após essa anotação, a professora escreve na lousa as tarefas tipo T3, isto é, a multiplicação envolvendo três frações. Ela desenvolveu esse tipo de tarefa realizando primeiramente a multiplicação das duas primeiras frações indicadas na operação. Esse resultado foi então transcrito juntamente com a terceira fração. Por fim foi multiplicado o primeiro resultado pela terceira fração.

Na descrição dos procedimentos que a professora adota para realizar esse tipo de tarefa, vemos que primeiramente ela faz a multiplicação de duas frações e escreve esse resultado. Com isso entendemos que há uma tarefa inclusa na multiplicação de frações que é especificamente a de multiplicar duas frações. Isso é feito com propriedade pela professora ao fazer a escrita dessa operação, pois ela poderia ter levado seus alunos a simplesmente realizarem as operações mentalmente e escreverem apenas o resultado final. Entretanto não foi essa sua decisão, preferindo o escrever passo a passo a técnica utilizada. Acreditamos que com isso ela proporciona ao aluno um recurso que lhe será útil quando este for retomar a tarefa em seus momentos de estudo.

professora, o fazemos comparando com outra possibilidade de condução desse tipo de tarefa, as vezes presente em alguns livros didáticos, que seria o de simplificar as frações primeiro e depois realizar a multiplicação, procedimento presente em livros didáticos como “regra do cancelamento”4.

Para ilustrar melhor o procedimento adotado pela professora, reproduzimos abaixo um trecho copiado da lousa quando estivemos coletando dados para nossa pesquisa.

a) =      + •       − •       − 2 1 7 3 9 2 21 1 3 63 3 3 2 126 2 6 2 1 63 6 ₌ ÷ ÷ = ÷ ÷ + =       + •       + 2.4 Aspectos da linguagem

As organizações matemáticas e didáticas implementadas pela professora, por meio das tarefas coletadas a partir de nossa observação “in loco” e também nos cadernos dos alunos, e que foram analisadas, apresentam de modos predominantes os registro na língua materna e o registro na notação de frações.

Na língua materna há momentos de fala discursiva por parte da professora, quando esta explica a técnica de multiplicação e a forma da realização da simplificação de resultados, e momentos de diálogos entre a docente e seus alunos. Esses diálogos estão bem presentes quando surgem perguntas por parte dos alunos, como por exemplo, quando um pergunta “o resultado de oito vezes seis é quarenta e oito?” ao que ela responde “sim”. Nesses diálogos

não observamos situações em que uma pergunta era respondida ao aluno com outra pergunta, mas sim, com respostas prontas. Nos discursos proferidos pela professora há ocasiões em que se enfatiza a importância de determinado conceito, como por exemplo, a situação registrada em sala onde ela diz “a regra de sinais da multiplicação é a mesma dos números inteiros. Isso cai na prova.”.

O outro recurso de linguagem que constatamos ter sido utilizado pela professora é o registro escrito na linguagem das frações, não sendo utilizado, no entanto, nenhum outro tipo de registro da representação de fração, como por exemplo, na forma de figura para

4 _{Livro didático da Iracema Mori e Dulce Satiko Onaga, Matemática: Idéias e Desafios, 5ª série, 14 ed.}

trabalhar a multiplicação de duas frações onde poderia ser justificada a técnica de multiplicar denominador por denominador e numerador por numerador.

2.5. Momentos de estudo

Nesse tipo de tarefa encontramos alguns momentos de estudo como propõe a Teoria Antropológica do Didático. Pelo que observamos, supomos que o momento do primeiro encontro com a Organização Didática pode ter acontecido em outra etapa da vida escolar dos alunos, ou seja, na série anterior quando os mesmos realizaram a multiplicação de frações sem a abordagem dada enquanto número racional. Essa inferência é feita tomando-se como referência a obtomando-servação das práticas didáticas de outro professor dessa mesma escola que trabalha na série anterior e que participa de nossa pesquisa. É um tanto quanto difícil precisar o momento do primeiro encontro. Estamos supondo aqui que ele possa ter acontecido em uma série anterior, entretanto existe a possibilidade de que tenha ocorrido fora do ambiente escolar, em um instante em que o aluno tenha se deparado com algum problema em que a multiplicação de frações estivesse presente.

Considerações Finais

Apresentamos dois Tipos de Tarefas presentes em nossa pesquisa e que apresentam diferentes fontes de informação. Na primeira as informações foram obtidas por meio da análise dos cadernos de alunos. Cadernos estes, que chegaram a nós por intermédio do próprio professor participante, o qual escolheu em sua sala quais os cadernos que seriam repassados para serem analisados. Na segunda as informações foram coletadas por meio de observação “in loco” e posteriormente complementadas com informações contidas nos cadernos dos alunos.

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