DEPARTAMENTO DE MATEM ´
ATICA
PROGRAMA DE P ´
OS-GRADUAC
¸ ˜
AO EM MATEM ´
ATICA
ROGER OLIVEIRA SOUSA
SOBRE A REGULARIDADE DE CASTELNUOVO-MUMFORD DE
ARRANJOS DE SUBESPAC
¸ OS LINEARES NO ESPAC
¸ O PROJETIVO
SOBRE A REGULARIDADE DE CASTELNUOVO-MUMFORD DE ARRANJOS
DE SUBESPAC
¸ OS LINEARES NO ESPAC
¸ O PROJETIVO
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada
ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em
Matem´atica do Departamento de
Ma-tem´atica da Universidade Federal do
Cear´a, como parte dos requisitos
ne-cess´arios para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de
Mestre em Matem´atica. ´
Area de
con-centra¸c˜ao: ´
Algebra.
Orientador: Prof. Dr. Jos´e Alberto
Du-arte Maia.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará
Biblioteca do Curso de Matemática
S698s Sousa, Roger Oliveira
Sobre a regularidade de Castelnuovo-Mumford de arranjos de subespaços lineares no espaço proje- tivo n-dimensional / Roger Oliveira Sousa. – 2015.
38 f. : enc. ; 31 cm
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2015.
Área de Concentração: Álgebra.
Orientação: Prof. Dr. José Alberto Duarte Maia.
1. Álgebra. 2. Mumford. 3. Regularidade. 4. Limitação I. Título.
Agrade¸co a minha m˜ae Maria Pereira Oliveria Sousa, pela a boa educa¸c˜ao, que
sempre me norteou na minha caminhada at´e aqui. Obrigado por tudo!
Agrade¸co aos meus colegas de mestrado, pelos momentos valiosos de estudo e
por todas as conversas sobre variados assuntos, men¸c˜ao para meus irm˜aos de orienta¸c˜ao
Renan ”o s´obrio”, Gilson, Z´e Eduardo, Ravik e Jo˜ao Luiz, este ultimo que me ajudou a
colocar minha disserta¸c˜ao no padr˜ao fifa da biblioteca. Obrigado a todos.
Agrade¸co a todos os professores que contribuiram para minha forma¸c˜ao, em
espe-cial ao professor Alberto Maia, pela orienta¸c˜ao, ao professor Francisco R´egis Vieira Alves
que me orientou na minha gradua¸c˜ao e me direcionou para o mestrado, ao CNPQ pelo
apoio financeiro.
O objetivo deste trabalho ´e estudar o comportamento da regularidade de
Castelnuovo-Mumford em arranjos de subespa¸cos lineares no espa¸co projetivo, para isto, nos
norte-aremospelo artigo de t´ıtulo ”Uma limita¸c˜ao sharp para a regularidade de
Castelnuovo-Munford de arranjos de subespacos”, dos autores Harm Derksen e Jessica Sidman. Em
um primeiro momento, daremos algumas no¸c˜oes preliminares a apresentaremos resultados
auxiliares. Num segundo momento, definiremos os principais objetos deste trabalho,
de-monstraremos os resultados principais e daremos um exemplo que mostra que a limita¸c˜ao
encontrada ´e a melhor poss´ıvel.
The objetive of this work is study the behavior of the Castelnuovo-Mumford regularity in
arrangements of linear subspces in projetive spaces, for this, we use Jessica Sidman and
Harm Derksen article of title ”A sharp bound for the Castelnuovo-Mumford regularity of
subspace arrangements”. At first, we give some preliminary notions and present auxiliary
results. In a second moment, we define the main objects of this work, proof the main
results and give a example which show that the bound found is sharp.
SUM ´
ARIO
1
INTRODUC
¸ ˜
AO . . . .
8
2
FEIXE ASSOCIADO `
A M ´
ODULOS . . . .
9
2.1
Aneis e m´
odulos de fra¸
c˜
oes . . . .
9
2.2
Espectro de um anel e a topologia de Zariski . . . .
11
2.3
Feixes . . . .
14
2.4
O feixe
M
f
. . . .
16
3
COHOMOLOGIA E RESOLUC
¸ ˜
AO LIVRE . . . .
22
3.1
Homologia e Cohomologia . . . .
22
3.1.1
Homologia
. . . .
22
3.1.2
Cohomologia
. . . .
26
3.2
Cohomologia de
Cech . . . .
ˇ
27
3.3
Resolu¸
c˜
ao livre . . . .
28
3.3.1
Resolu¸
c˜
ao livre minimal
. . . .
28
4
REGULARIDADE
. . . .
31
4.1
Satura¸
c˜
ao . . . .
31
4.2
Regularidade . . . .
33
4.3
Arranjos de subespa¸
cos lineares . . . .
38
5
CONCLUS ˜
AO . . . .
40
1 INTRODUC
¸ ˜
AO
Ao longo dos ultimos anos os avan¸cos computacionais em geometria alg´ebrica tem gerado
um forte interesse em quantificar a ”complexidade” de ideais e m´odulos. Para um m´odulo
finitamente gerado
M
sobre um o anel de polinˆomios
S
=
k
[
x
0, ..., x
n] com
k
um corpo
2 FEIXE ASSOCIADO `
A M ´
ODULOS
2.1 Aneis e m´
odulos de fra¸
c˜
oes
Defini¸
c˜
ao 2.1.
Seja
S
um subconjunto de um anel
A. diremos que
T
´e um conjunto
multiplicativo se,
1
∈
T
e para todos
s, t
∈
T
ent˜ao
st
∈
T
.
Definiremos a rela¸c˜ao de equivalˆencia em
A
×
T
da seguinte forma :
(
a, s
) (
b, t
)
⇔
(
at
−
bs
)
u
= 0
para algum u
∈
T
Seja
as
a classe de equivalˆencia de (
a, s
), e seja
T
−1
A
o conjunto das classes de equivalˆencia.
Colocaremos uma estrutura de anel em
T
−1A
definindo as opera¸c˜oes:
a
s
+
b
t
=
(
at
+
bs
)
st
a
s
b
t
=
ab
st
Existe um homomorfismo canˆonico
f
:
A
−→
T
−1A
definido por
f
(
x
) =
x1
(mais
geral-mente
f
(
x
) =
xss
para algum
s
∈
T
, que n˜ao necessariamente ´e injetivo ).
Defini¸
c˜
ao 2.2.
O anel
T
−1A
´e chamado o anel de fra¸c˜oes de
A
com respeito ao conjunto
multiplicativo
T
.
Proposi¸
c˜
ao 2.1.
(Propriedade universal) Seja
g
:
A
−→
B
um homomorfismo de aneis
tal que,
g
(
s
) ´e uma unidade em
B
para todo
s
∈
T
. Ent˜ao existe um ´
unico homomorfismo
h
:
T
−1A
−→
B
tal que
g
=
h
◦
f
.
Prova 2.1.
i) Unicidade: Se
h
satisfaz a condi¸c˜ao, ent˜ao
h
(
x1
) = (
h
◦
f
)(
x
) =
g
(
x
)
para
todo
x
∈
A: assim, se
s
∈
T
h
(
1
s
) =
h
((
s
1
)
−1
) = (
h
(
s
1
))
−1
=
g
(
s
)
−1e portanto,
h
(
a s) =
h
(
a
1
)
h
(
1s
) =
g
(
a
)
g
(
s
)
−1
isto ´e,
h
´e unicamente determinada por
g.
ii) Existˆencia: Basta definir
h
(
as
) =
g
(
a
)
g
(
s
)
−1
. Ent˜ao
h
´e claramente o
homo-morfismo que procuramos. vamos mostrar que
h
est´a bem definido desta forma. Suponha
que,
as=
btent˜ao, existe
v
∈
T
tal que
(
at
−
bs
)
v
= 0
logo,
(
g
(
a
)
g
(
t
)
−
g
(
b
)
g
(
s
))
g
(
v
) = 0
como
g
(
t
)
´e uma unidade em
B, temos
g
(
a
)
g
(
t
) =
g
(
b
)
g
(
s
)
que implica
g
(
a
)
g
(
s
)
−1=
g
(
b
)
g
(
t
)
−1.
Exemplo 2.1.
Seja
p
um ideal primo de
A, ent˜ao
T
=
A
−
p
´e multiplicativo. Neste
caso escreveremos
A
pno lugar de
T
−1A. Os elementos
ascom
a
∈
p
formam um ideal
m
em
A
p. Se
bt6∈
m
ent˜ao
b
6∈
p, logo
b
∈
T
desta forma
bt´e uma unidade em
A
p. Segue
que, se
I
´e um ideal em
A
pent˜ao se
I
6⊂
m
existe um elemento que pertence `a
I
e n˜ao
pertence `a
m, donde
I
deve necessariamente conter uma unidade, da´ı
I
=
A
p. Portanto
Exemplo 2.2.
Seja
∈
A
e seja
T
=
{
f
n}
n>0
. Escreveremos neste caso
A
fno lugar de
T
−1A.
A constru¸c˜ao feita de
T
−1A
pode ser feita trocando o anel
A
por um
A
-m´odulo
M
. Defna a rela¸c˜ao em
M
×
T
da seguinte maneira:
(
m, s
) (
m
′, s
′)
⇔
(
ms
′,
−
m
′s
)
u
= 0
para algum u
∈
T
Seja
ms
a classe de equivalˆencia do par (
m, s
), como antes seja
T
−1
M
o conjunto das
classes de equivalˆencia. ´
E claro que
T
−1M
´e um
T
−1A
m´odulo.
Defini¸
c˜
ao 2.3.
T
−1M
´e chamado o m´odulo de fra¸c˜oes do
A-m´odulo
M
com respeito ao
conjunto multiplicativo
T
.
Como nos exemplos acima podemos construir o
M
p=
T
−1M A
p-m´odulo, onde
p
´e um ideal primo de
A
e
T
=
A
−
p
. Do mesmo modo temos
M
f=
T
−1M
o
A
f-m´odulo,
2.2 Espectro de um anel e a topologia de Zariski
Defini¸
c˜
ao 2.4.
Chamaremos de espectro de um anel comutativo
A
o conjunto de todos
os ideais primos de
A. E o denotaremos por
Spec
(
A
)
.
Um elemento do
Spec
(
A
), ou seja, um ideal primo ser´a chamado um ponto do
Spec
(
A
),
Exemplo 2.3.
Um ideal primo no anel
Z
dos inteiros ´e
(0)
ou
(
p
)
com
p
primo, logo
Spec
(Z) =
{
(0)
,
(2)
,
(3)
, ....,
(
p
)
, ...
}
. Como esxistem infinitos primos, o conjunto
Spec
(Z)
´e infinito.
Nosso objetivo ´e transformar
Spec
(
A
) em um espa¸co topol´ogico, logo precisamos
definir uma topologia neste conjunto. Para isto, precisamos da seguinte defini¸c˜ao.
Defini¸
c˜
ao 2.5.
Seja
I
um ideal de
A. Definimos
V
(
I
) =
{
p
∈
Spec
(
A
)
|
I
⊂
p
}
.
Note que
V
(
I
)
⊂
Spec
(
A
). Se
x
∈
A
denotaremos
V
((
x
)) =
V
(
x
). De posse
desta defini¸c˜ao temos a proposi¸c˜ao que caracteriza estes conjuntos como os fechados da
topologia que tornar´a
Spec
(
A
) um espa¸co topol´ogico.
Proposi¸
c˜
ao 2.2.
Sejam
I, J
e
I
λideais de
A
com
λ
∈
Λ
, sendo
Λ
um conjunto de ´ındices
qualquer. Ent˜ao
i)
V
(0) =
Spec
(
A
)
e
V
(
A
) =
∅
ii)
V
(
I
)
∪
V
(
J
) =
V
(
I
∩
J
)
iii)
T
λ∈ΛV
(
I
λ) =
V
(
P
I
λ)
Prova 2.2.
i) Como o elemento zero pertence `a todo ideal, em particular pertence `a todo
ideal primo, logo
V
(0) =
Spec
(
A
)
. Pela defini¸c˜ao de ideal primo, este n˜ao pode conter o
anel todo. Portanto, se
p
´e ideal primo,
p
+
A
ou seja,
V
(
A
) =
∅
.
ii) Se
p
∈
V
(
I
)
ent˜ao
p
⊃
I
isto implica que
p
⊃
I
∩
J
, ou seja,
V
(
I
)
⊂
V
(
I
∩
J
)
.
Da mesma forma vemos que
V
(
J
)
⊂
V
(
I
∩
J
)
donde,
V
(
I
)
∪
V
(
J
)
⊂
V
(
I
∩
J
)
. Se
p
∈
V
(
I
∩
J
)
por defini¸c˜ao,
p
⊃
I
∩
J. Se
p
+
I
ent˜ao existe um elemento
a
∈
I
tal que
a
6∈
P
. Para um elemento arbitr´ario
r
∈
J
temos que,
ar
∈
I
∩
J
⊂
p
logo,
ar
∈
p
como
a
6∈
p
e
p
´e primo, temos
r
∈
p. Como tomamos
r
arbitr´ario segue que,
J
⊂
p. Assim
p
∈
V
(
J
)
⊂
V
(
I
)
∪
V
(
J
)
e temos
V
(
I
∩
J
)
⊂
V
(
I
)
∪
V
(
J
)
.
iii) Se
p
∈
T
λ∈ΛV
(
I
λ)
ent˜ao
p
⊃
I
λpara todo
λ
∈
Λ
, assim
p
⊃
P
I
λque
implica
p
∈
V
(
P
I
λ)
. Se
p
∈
V
(
P
I
λ)
por defini¸c˜ao
p
⊃
P
I
λ⊃
I
λpara todo
λ
∈
Λ
, isto
Se chamarmos
Spec
(
A
) =
X
e se
I
´e um ideal de
A
denotarmos por
X
(
I
) =
Spec
(
A
)
−
V
(
I
). No caso de
f
∈
A
escreveremos
X
f=
X
(
f
) =
{
p
∈
Spec
(
A
)
|
f
6∈
p
}
. ´
E
claro que os complementares dos conjuntos
V
(
I
) com
I
ideal de
A
satisfazem as condi¸c˜oes
de abertos para a topologia onde os conjuntos
V
(
I
) atuam como fechados.
Defini¸
c˜
ao 2.6.
Chamamos de topologia de Zariski para
Spec
(
A
)
. A topologia onde os
abertos s˜ao os conjuntos
X
(
I
) =
V
(
I
)
c.
Proposi¸
c˜
ao 2.3.
Mostre que para todo ideal
I
de
A
temos
X
(
I
) =
S
f∈IX
f.
Prova 2.3.
Observe que para todo
f
∈
I, se
f
6∈
I
ent˜ao
I
*
p
ou seja, se
p
∈
X
fent˜ao
p
∈
X
(
I
)
logo,
S
f∈IX
f⊂
X
(
I
)
. Reciprocamente, se
p
∈
X
(
I
)
ent˜ao
I
+
p
assim existe
f
∈
I
tal que,
f
6∈
p
logo
p
∈
X
f⊂
S
f∈IX
f.
Se o anel
A
for noetheriano, todo ideal ´e finitamente gerado, logo podemos assumir
que,
I
=
{
f
1, ..., f
n}
, ent˜ao
X
(
I
) =
S
ni=1X
fi. De fato, analogamente ao que foi feito na
proposi¸c˜ao acima temos,
S
ni=1X
fi⊂
X
(
I
). Por outro lado, se
p
∈
X
(
I
) ent˜ao
I
*
p
, logo
f
i6∈
p
para algum
i
∈ {
1
, ..., n
}
, pois se todos os geradores de
I
pertencesse `a
p
o ideal
I
estaria contido em
p
. Portanto,
X
(
I
)
⊂
S
ni=1X
fi. A proposi¸c˜ao acima nos mosrta que os
abertos
X
fcom
f
∈
A
formam uma base para a topologia de Zariski.
Lema 2.1.
Seja
X
=
Spec
(
A
)
, para uma fam´ılia
{
f
λ}
λ∈Λde elementos de
A. A igualdade
X
=
[
λ
X
fλvale se, e somente se, o ideal
(
f
λ)
λ∈Λgerado pelos
f
λgerar o anel todo.
Prova 2.4.
Se a igualdade vale, ent˜ao para todo
p
∈
X
temos que
p
∈
S
λ∈ΛX
fλlogo,
f
λ6∈
p
para algum
λ. Isto ´e, todo ideal primo n˜ao cont´em o ideal gerado pelos
f
λassim,
A
= (
f
λ)
λ∈Λ. Por outro lado, se
(
f
λ)
λ∈Λ=
A, se
p
´e um ideal primo de
A. Existe
f
λtal
que,
f
λ6∈
p, implicando que,
p
∈
X
fλ. Portando
X
⊂
S
λ∈ΛX
fλ. A inclus˜ao contr´aria ´e
trivial.
J´a sabemos que todo aberto do espa¸co topol´ogico
X
=
Spec
(
A
) ´e uma uni˜ao de
abertos do tipo
X
fcom
f
∈
A
. Se (
f
λ)
λ∈Λ=
A
podemos escolher um n´
umero finito de
elementos
f
λ1, ..., f
λjtal que,
j
X
i=1
g
λif
λi= 1
,
satisfazendo (
f
λ)
λ∈Λ= (
f
λ1, ..., f
λj). Assim obtemos o seguinte resultado.
Lema 2.2.
O espa¸co topol´ogico
X
=
Spec
(
A
)
´e quasi-compacto. Isto ´e, para uma
cober-tura aberta
X
=
[
λ
ent˜ao existem finitos
U
λjtal que,
X
=
j
[
i=1
U
λi.
Lema 2.3.
Seja
X
=
Spec
(
A
)
. Ent˜ao, para
f
e
g
∈
A
temos:
i)
X
f∩
X
g=
X
fg
ii)
X
f⊃
X
gse, e somente se,
g
∈
p
(
f
)
Prova 2.5.
i) Seja
p
∈
X
f∩
X
gent˜ao
f
6∈
p
e
g
6∈
p
logo,
f g
6∈
p
desta forma
p
∈
X
f g.
Assim obtemos
X
f∩
X
g⊂
X
f g. Se
p
∈
X
f gpor defini¸c˜ao,
f g
6∈
p
logo
f
e
g
n˜ao
podem pertencer `a
p, pois se ao menos um deles pertencer o produto pertencer´a `a
p. Logo
p
∈
X
f∩
X
g, e portanto vale i.
2.3 Feixes
Defini¸
c˜
ao 2.7.
Seja
X
um espa¸co topol´ogico. Um pr´e-feixe
F
de grupos ablianos com
espa¸co base X consiste dos seguintes dados:
1)
Para cada aberto
U
⊂
X
associamos um grupo abeliano
F
(
U
)
2)
Para cada inclus˜ao
V
⊂
U
de abertos de
X
associamos um homomorfismo de
grupos abelianos
ρ
V U:
F
(
U
)
−→ F
(
V
)
,
satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes.
i
F
(
∅
) = 0
ii
ρ
U U:
F
(
U
)
−→ F
(
U
)
´e o homomorfismo identidade.
iii Se
W
⊂
V
⊂
U
s˜ao abertos de
X, ent˜ao
ρ
W U=
ρ
W V◦
ρ
V UOs elementos de
F
(
U
) onde
U
´e um aberto de
X
s˜ao chamados de se¸c˜oes do
pr´e-feixe
F
sobre
U
. Os homomorfismos
ρ
V Us˜ao chamados morfismos de restri¸c˜ao. Da mesma
maneira podemos definir pr´e-feixes
F
de an´eis, basta para isso fazer corresponder a cada
aberto
U
o anel
F
(
U
) e os morfismos de restri¸c˜oes agora ser˜ao homomorfismos de aneis.
As condi¸c˜oes para ser um pr´e-feixe de aneis s˜ao an´alogas as apresentadas acima para o
caso de grupos abelianos. Para fixar ideias, quando falarmos em pr´e-feixes estaremos nos
referindo a feixes de grupos abelianos, caso contr´ario especificaremos que tipo de
pr´e-feixe que iremos manipular. Para simplificar a nota¸c˜ao, a imagem de uma se¸c˜ao
s
∈ F
(
U
)
por meio de
ρ
V User´a denotado por
s
|
V, ou seja,
s
|
V=
ρ
V U(
s
)
∈ F
(
V
)
Defini¸
c˜
ao 2.8.
Seja
F
um pr´e-feixe num espa¸co topol´ogico
X. Diremos que
F
´e um
feixe em
X
se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
1) Para todo aberto
U
e toda cobertura aberta
{
V
i}
i∈Ide
U
, se
s
∈ F
(
U
)
´e tal
que
s
|
Vi= 0
para todo
i, ent˜ao
s
= 0
.
2) Se para um aberto
U
munido de uma cobertura aberta
{
V
i}
i∈Iexistirem se¸c˜oes
s
i∈ F
(
V
i)
tais que, para quaisquer
i,
j
∈
I
tenhamos
s
i|
Vi∩Vj=
s
j|
Vi∩Vj, ent˜ao existe uma
se¸c˜ao
s
∈ F
(
U
)
tal que
s
|
Vi=
s
ipara todo
i
∈
I.
Exemplo 2.4.
Seja
U
um aberto do espa¸co topol´ogico
X
e
C
(
U
)
o conjunto das fun¸c˜oes
cont´ınuas definidas em
U
tomando valores num corpo
k. Definimos a soma e o produto
de fun¸c˜oes
f
,
g
∈
C
(
U
)
da seguinte maneira, para cada
x
∈
U
.
(
f
+
g
)(
x
) =
f
(
x
) +
g
(
x
) (
f g
)(
x
) =
f
(
x
)
g
(
x
)
ρ
V U:
C
(
U
)
−→
C
(
V
)
da seguinte forma
ρ
V U(
f
) =
f
|
V. Tornamos assim
C
um feixe de
aneis.
Exemplo 2.5.
Se
F
´e um pr´e-feixe em um espa¸co topol´ogico
X
e
U
´e um aberto de
X.
F
junto com a topologia induzida em
U
induzem um pr´e-feixe
F|
Uem
U
. Dado um
aberto
V
⊂
U
definimos
F|
U(
V
) :=
F
(
V
)
. Os morfismos de restri¸c˜ao s˜ao os mesmos do
pr´e-feixe
F
. Desta forma ´e f´acil ver que
F|
U´e um pr´e-feixe.
Defini¸
c˜
ao 2.9.
Seja
F
um feixe em um espa¸co topol´ogico
X. Ent˜ao o talo
F
x´e definido
como
F
x= lim
−→
F
(
U
)
onde o limite direto ´e sobre as vizinhan¸cas abertas de
x. O conjunto
das vizinhan¸cas abertas de
x
´e um conjunto direto, basta orden´a-lo com a inclus˜ao inversa,
ou seja,
V < U
se
V
⊃
U.
Se
U
e
V
s˜ao vizinhan¸cas de
x
ent˜ao
U
∩
V
tamb´em ´e um
vizinhan¸ca de
x
tal que,
U
∩
V > V
e
U
∩
V > U
. Como
F
´e um feixe, os morsimos de
restri¸c˜ao satisfazem os axiomas que tornam o conjunto das vizinhan¸cas de
x
um conjunto
direto dirigido, o que garante a existˆencia de
lim
2.4 O feixe
M
f
Defini¸
c˜
ao 2.10.
Sejam
X
=
SpecA
e
M
um
A- m´odulo. Definimos o feixe associado
`a
M
, que denotaremos por
M
f
, do seguinte modo:
Para um aberto principal
X
f⊂
X, onde
f
∈
A
fazemos.
f
M
(
X
f) =
M
fTeremos como consequˆencia que
f
M
(
X
) =
M.
Para um aberto qualquer
U ⊂
X, faremos
f
M
(
U
) = lim
←−
M
f Xf⊂ U.
Para ver que
M
f
´e de fato um feixe, note que, quando
X
g⊂
X
f, teremos
g
∈
p
(
f
)
(pelo
lema
1
.
2
.
3
), ou seja, existem
k >
0
e
a
∈
A
tais que
g
k=
af. Assim, podemos definir
o morfismo de restri¸c˜ao entre
M
fe
M
gda seguinte maneira.
ρ
:
M
f→
M
g;
ρ
(
m
f
r) =
a
rm
g
krObserve que
M
f
(
X
f)
n˜ao depende de
X
f, ou seja, se
X
f=
X
g, ent˜ao
M
f
(
X
f) =
f
M
(
X
g)
.
De fato, novamente pelo lema
1
.
2
.
3
vale,
p
(
f
) =
p
(
g
)
. Assim,
f
m=
ag
e
g
n=
bf
. Defina
F
:
M
f→
M
g;
x/f
p7→
xb
p/g
np. Vamos mostrar que este mapa est´a bem
definido. Se
x/f
p=
y/f
k, ent˜ao existe
f
ttal que,
f
t(
f
kx
−
f
py
) = 0
. Assim, usando
que
g
n=
bf
podemos substituir
f
tpor
gntbt
,
f
kpor
gnkbk
e por fim,
f
ppor
gnpbp
. Desta forma
obtemos a igualdade,
g
tn(
b
pg
nkx
−
b
kg
npy
) = 0
, ou seja,
F
(
xfp
) =
xb
p/g
np=
yb
k/g
nk=
F
(
fyp)
. Portanto,
F
est´a bem definida. Agora definimos
G
:
M
g→
M
f;
x/g
p7→
xa
p/f
mp.
Analogamente,
G
est´a bem definida. ´
E claro que
F
e
G
s˜ao homomorfismos. Agora vamos
verificar que
G
=
F
−1.
(
F
◦
G
)(
xgk
) =
F
(
xak fmk) =
xakbmk
gnmk
.
Afirmamos que,
x gk=
xakbmk gnmk
em
M
g, com efeito
xg
nmk−
xg
ka
kb
mk=
xg
nmk−
xf
mkb
mk=
xg
nmk−
xg
nmk= 0
, portanto,
g
s(
xg
nmk−
xg
ka
kb
mk) = 0
para qualquer
s. O que mostra que
F
◦
G
=
Id
Mg
. De maneira
semelhante se verifica que
G
◦
F
=
Id
Mf. Logo
M
f=
M
g.
Dados
V ⊂ U
abertos, como
M
f
(
U
) = lim
←−
M
f
(
X
f)
Xf⊂ Uuma aplica¸c˜ao
ϕ
:
M
f
(
U
) = lim
←−
M
f
(
X
f)
Xf⊂ U−→
lim
←−
M
f
(
X
g)
Xg⊂ V
=
M
f
(
V
)
.
S´o precisamos demonstrar as condi¸c˜oes de feixe na base
X
fi. ´
E claro que
ρ
Xf,Xf=
id. Sejam
X
f⊃
X
g⊃
X
hent˜ao teremos,
g
n1=
af
e
h
n2=
bg
ent˜ao,
h
n1n2=
ab
n1f
.
Vamos mostrar que,
ρ
XhXg◦
ρ
XgXf=
ρ
XhXf. Por defini¸c˜ao
ρ
XhXf(
fyk) =
yakbn1k
hn1n2k
. Por
outro lado,
ρ
XgXf(
fyk) =
yakgn1k
agora calculando
ρ
XhXg(
ya kgn1k
) =
yakbn1k
hn1n2k
. Portando, vale a
igualdade, o que mostra que
M
f
´e um pr´e-feixe. Para mostrarmos que
M
f
´e feixe precisamos
mostrar as condi¸c˜oes
1
e
2
da defini¸c˜ao de feixe. Para simplificar a nota¸c˜ao escreveremos
ρ
i,ij=
ρ
XfiXfifje
ρ
i,f=
ρ
XfiXfSe
X
f=
∪
i∈IX
fie para
s
∈
M
fρ
i,f(
s
) = 0
,
∀
i
∈
I,
ent˜ao
s
= 0
.
De fato, podemos escrever
s
=
fgmcom
g
∈
M
, ent˜ao
s
ser igual `a zero
implica que,
f
kg
= 0
para algum
k
inteiro positivo. Seja
(0 :
g
) =
{
h
∈
A
|
f g
= 0
}
o anulador de
g. Desta forma,
s
= 0
implica
f
∈
p
(0 :
g
)
, ent˜ao se
p
⊂
A
´e um ideal
primo tal que,
(0 :
g
)
⊂
p
teremos
f
∈
p. Suponha que
s
6
= 0
em
M
f.Ent˜ao existe um
primo
p
⊃
(0 :
g
)
tal que
f
6∈
p
e o diagrama abaixo ´e comutativo
M
f //!
!
M
fi
M
p.
Como
ρ
i,f(
s
) = 0
, a imagem de
s
em
M
ptamb´em ´e zero. Portanto a imagem de
g
=
f
ms
= 0
em
M
p
, logo existe
b
∈
A
−
p
tal que
bg
= 0
, isto ´e,
b
∈
(0 :
g
)
⊂
p
absurdo.
Assim
s
= 0
.
Se
X
f=
∪
i∈IX
fie para
s
i∈
M
fie
s
j∈
M
fjcom
i
e
j
arbitr´arios tais que,
ρ
ij,i(
s
i) =
ρ
ij,j(
s
j)
.
Ent˜ao existe
s
∈
M
ftal que,
ρ
if(
s
) =
s
i. Com efeito, podemos assumir
f
= 1
(veja Kenji
Ueno-Algebraic Geometry 1) isto ´e,
Pelo lem
1
.
2
.
2
podemos escolher um n´
umero finito de ´ındices, ou seja,
X
=
∪
l i=1X
fi.
Com isto, podemos escrever
s
i=
faimi
pertencente `a
M
fipara todo
i
= 1
, ..., l
usando a
mesma potˆencia no denominador. Por hip´otese temos
ρ
ij,i(
s
i) =
fmj ai
(fifj)m
=
ρ
ij,j(
s
j) =
fmi aj
(fifj)m
. Por defini¸c˜ao existe um inteiro
n
ijtal que,
(
f
if
j)(
f
ja
i−
f
ia
j) = 0
1
≤
i < j
≤
l.
Ent˜ao seja
N > m
+
n
ijpara todo
1
≤
i < j
≤
l. Como para um
k
arbitr´ario podemos
escrever
s
k=
fakmk
=
akfkp fN
k
=
a′k fN
k
onde
p
+
m
=
N
. Obtemos
a
′
i
f
jN−
a
′
j
f
iN= 0
, para todo
1
≤
i < j
≤
l. Por outro lado, como
X
f=
X
fNtemo,
X
=
∪
li=1X
N fi
.
Pelo lema
1
.
2
.
1
existem
b
j∈
A
satisfazendo
l
X
j=1
b
jf
jN= 1
Defina
s
=
l
X
j=1
b
ja
′
j
∈
M
ent˜ao
f
iNs
=
lX
j=1
b
jf
iNa
′
j
=
lX
i=1
b
jf
jNa
′
i
=
a
′
i
.
A saber
ρ
XfiX(
s
) =
a′i fNi
=
s
i.
Unicidade: Seja
t
∈
M
;
t/
1 =
s
j,
∀
j. Dado
P
∈
SpecA
=
∪
X
fi, existe
X
fcontendo
P
. Da´ı,
s/
1
−
t/
1 = 0
∈
M
f. Ent˜ao
s
−
t/
1 = 0
∈
M
P,
∀
P
∈
SpecA. Portanto,
s
−
t
= 0
.
Concluimos que
M
f
´e um feixe. Tamb´em temos que, para todo
P
∈
SpecA, vale
(
M
f
)
P=
M
P, ou seja, o talo no ponto
P
´e isomorfo `a localiza¸c˜ao do m´odulo
M
no primo
P
. Com efeito, mostraremos que
M
Ppossui a propriedade universal do limite direto.
Primeiro defina:
f
≤
g
⇔
X
f⊃
X
g. Assim,
µ
f g:
M
f→
M
g, x/f
r7→
xb
r/g
rm, onde
g
m=
bf
. Note que
f.g
≥
f, g. Defina
v
f
:
M
f→
M
P, x/f
7→
x/f
pois
P
∈
X
f⇔
f /
∈
P
.
´
E claro que
v
g◦
µ
f g=
v
f,
∀
f
≤
g.
Defina
α
:
M
P→
B, x/s
7→
α
s(
x/s
)
. Mostraremos que
α
est´a bem definida. Seja
y/t
=
x/s, ou seja,
s
′(
ys
−
xt
) = 0
. Como
ts
≥
t, s, teremos que existe
r, d
∈
N
e
c, d
∈
A
tal que
(
st
)
r=
cs
e
(
st
)
n=
dt. Note que
µ
s,ts
(
x/s
) =
xc/
(
st
)
re
µ
t,ts(
y/t
) =
yd/
(
ts
)
n.
Logo,
s
′t
′((
st
)
ryd
−
(
st
)
nxc
) =
s
′t
′(
csyd
−
dtxc
) =
t
′cds
′(
ys
−
tx
) = 0
Logo,
µ
s,st(
x/s
) =
µ
t,ts(
y/t
)
. Assim,
α
s(
x/s
) =
α
ts◦
µ
s,ts(
x/s
) =
α
ts◦
µ
s,ts(
y/t
) =
α
t(
y/t
)
.
Portanto,
α
est´a bem definida. ´
E claro que
α
f=
α
◦
v
f.
Seja
β
:
M
P→
B
tal que
α
f=
β
◦
v
f. Logo,
β
(
x/s
) =
β
◦
v
s(
a/s
) =
α
s(
a/s
) =
α
s.
Logo,
α
´e ´
unica e assim,
M
Ppossui a propriedade universal. Portanto,
lim
−→
P∈XfM
f
(
X
f)
≃
M
P.
No caso em que
M
=
A
chamaremos
M
f
=
O
Ao feixe sobre o
Spes
(
A
).
Defini¸
c˜
ao 2.11.
Seja
G
um semigrupo abeliano com elemento identidade
0
(isto ´e,
G
´e um
conjunto que possui uma lei de adi¸c˜ao
+
satisfazendo: associatividade e comutatividade).
Um anel graduado (ou
G-graduado)
R
´e um anel que se decomp˜oe em soma direta de
subgrupos aditivos
R
=
M
n∈G
R
nsatisfazendo
R
iR
j⊂
R
i+jExemplo 2.6.
Como principal exemplo de anel graduado, temos o anel de polinˆomios com
coeficientes em um corpo
k. Assim o anel
k
[
x
0, ..., x
r] =
M
n≥0
R
nonde
R
n´e o conjunto dos
polinˆomios homogˆeneos de grau
n.
Defini¸
c˜
ao 2.12.
Um
R-m´odulo graduado de um anel graduado
R, ´e um
R-m´odulo
M
munido de uma decomposi¸c˜ao em soma direta de subgrupos
M
n, isto ´e,
M
=
M
n∈G
M
nsatisfazendo,
R
iM
j⊂
M
i+j.
Um elemento
x
∈
M
´e homogˆeneo se
x
∈
M
ipara algum
i
∈
G
, onde
i
´e
chamado o grau de
x
. Um elemento qualquer
x
∈
M
pode ser expresso unicamente da
forma
x
=
X
i∈G
x
icom
x
i∈
M
i, e apenas uma quantidade finita de
x
is˜ao diferentes de
zero. Cada
x
i´e chamado o termo homogˆeneo de
x
de grau
i
. Um subm´odulo
N
⊂
M
´e um
subm´odulo homogˆeneo se
N
pode ser gerado por elementos homogˆeneos. Para qualquer
R
-m´odulo graduado
M
denote por
M
(
a
) o m´odulo
M
deslocado por
a
. Cuja gradua¸c˜ao
´e:
M
(
a
)
d=
M
d+aSe
S
=
k
[
x
0, ...., x
r] e
x
∈
S
´e homogˆeneo de grau
a
, ent˜ao
Sx
´e isomorfo como
S
-m´odulo
`a
S
(
−
a
). De fato, defina o homorfismo de
S
-m´odulos
ϕ
:
S
(
−
a
)
−→
S
multiplica¸c˜ao por
x
.
Defini¸
c˜
ao 2.13.
Seja
S
um anel graduado e
I
um ideal. Seja
I
d=
I
∩
S
dse
I
=
M
d≥0
Ent˜ao
I
´e um ideal homogˆeneo.
Assim, um ideal
I
´e homogˆeneo se, e somente se, para todo elemento
f
∈
I
,
escrevendo
f
=
f
i1+
...
+
f
inent˜ao cada
f
ij∈
I
para
j
= 1
, ..., n
. Se
S
´e um anel
graduado, denotaremos por
S
+=
M
d>0
S
d.
Defini¸
c˜
ao 2.14.
Seja
P roj
(
S
) :=
{
p
|
p
´
e ideal primo homog
ˆ
eneo de Sp
+
M
d>0
S
d}
o
espectro homogˆeneo de
S.
Novamente, nosso objetivo ´e transformar
P roj
(
S
) em um espa¸co topol´ogico. Para
isto de modo similar ao que foi feito no caso do
Spec
(
S
) definiremos a topologia de Zariski.
Os fechados da topologia de Zariski para o
P roj
(
S
) s˜ao da seguinte forma.
Defini¸
c˜
ao 2.15.
Seja
I
um ideal homogˆeneo de
S.
V
(
I
) :=
{
p
|
p
∈
P roj
(
S
)
, p
⊃
I
}
Para estes conjuntos vale que,
V
(
IJ
) =
V
(
I
)
∪
V
(
J
) e
V
(
P
I
i) =
∩
V
(
I
i). Os
abertos
X
+(
f
) =
{
P
∈
P rojS
|
f /
∈
P
}
(com
f
homogˆeneo com grau estritamente maior
que zero) cobrem
P rojS
e formam uma base para a topologia de Zariski.
Defini¸
c˜
ao 2.16.
Seja
M
um
S-m´odulo graduado, definiremos o feixe
M
f
nos abertos
b´asicos
X
+(
f
)
da seguinte maneira.
M
f
(
X
+(
f
)) =
M
(f). Onde
M
(f)denota o subm´odulo
de
M
fdos elementos de grau zero, ou seja elementos da forma
fxnonde
x
´e um elemento
homogˆeneo de
M
de grau
ngrau
(
f
)
. E vale
M
]
(
d
) =
M
f
(
d
)
onde
M
]
(
d
)(
X
+(
f
))
´e igual oa
subm´odulo de
M
fconsistindo dos elemntos de grau
d, isto ´e,
fancom
grau
(
a
)
−
ngrau
(
f
) =
d.
No caso em que
S
=
k
[
x
0, x
1, ...x
n] onde
k
´e um corpo qualquer. Diremos que
P roj
(
S
) =
P
n=
X
.
Defini¸
c˜
ao 2.17.
Γ
∗(
M
f
) :=
M
d∈Z
Γ(
X,
M
]
(
d
))
onde
M
´e um
S-m´odulo graduado.
Γ
∗(
M
f
) ´e um
S
-m´odulo, cuja a estrutura de m´odulo ´e dada pelo mapa,
Γ(
X, O
X(
p
))
⊗
Γ(
X,
M
]
(
q
))
−→
Γ(
X,
M
^
(
q
+
p
))
Observa¸
c˜
ao 2.1.
Existe um mapa canˆonico
τ
d:
M
d−→
Γ
∗(
X
f,
M
]
(
d
))
para cada
d
que
associa
x
∈
M
d`a
x1∈
M
(f)(
d
)
. Note que essas se¸c˜oes colam e formam uma se¸c˜ao global,
portanto temos um homomorfismo de grau zero;
τ
:
M
−→
Γ
∗(
X,
M
]
(
q
))
. Nem sempre
τ
´e injetiva e sobrejetiva, no entanto, quando
M
for de tipo finito
τ
d´e um isomorfismo
para
d
suficientemente grande. Ou seja o feixe
M
f
depende apenas dos termos de grau
suficientemente grande de
M
( lembrando que estamos supondo
M
graduado).
Teorema 2.1.
Seja
S
do espa¸co vetorial dos polinˆomos homogˆeneos de grau
d. Ent˜ao
Γ(P
nEm particular
Γ(P
n, O
Pn
) =
k.
Prova
Considere
f
∈
Γ(P
n, O
Pn
(
d
)),
f
6
= 0. Por defini¸c˜ao a restri¸c˜ao de
f
ao aberto
X
+(
x
i) ´e uma fun¸c˜ao racional da forma
Pixri
onde
P
i´e homogˆeneo de grau
d
+
r
. A menos
de simplifica¸c˜ao se necess´ario, podemos supor que
x
in˜ao dividi
P
i. Do mesmo modo a
restri¸c˜ao de
f
ao aberto
X
+(
x
j) ´e a fun¸c˜ao racional,
Pj xsj
onde
P
j´e homogˆeneo de grau
d
+
s
e
x
jn˜ao divide
P
j. Como estes elementos s˜ao restri¸c˜oes de
f
eles coincidem na interse¸c˜ao
X
+(
x
ix
j). Logo s˜ao iguais em
k
[
x
0, ..., x
n]
(xixj)ou no corpo de fra¸c˜oes
k
(
x
0, ..., x
n). Da´ı
segue que,
x
sj
P
i=
x
riP
jmas, como
x
in˜ao divide
P
ia igualdade s´o ´e poss´ıvel se
d
= 0 e
da mesma forma
s
= 0, ent˜ao
P
i=
P
j. Assim, a se¸c˜ao
f
´e dada por um polinˆomio
P
ide
3 COHOMOLOGIA E RESOLUC
¸ ˜
AO LIVRE
3.1 Homologia e Cohomologia
3.1.1
Homologia
Defini¸
c˜
ao 3.1.
Seja
A
um anel comutativo com unidade. Um complexo de cadeias
com coeficientes em
A
´e uma sequˆencia
C
=(
C
p, ∂
p) de
A
-m´odulos
C
p,
p
≥
0, inteiro, e
homomorfismos
∂
p:
C
p−→
C
p−1tais que
∂
p◦
∂
p+1= 0. Escreve-se:
C
:
. . .
//C
p+1 ∂p+1 / /
C
p ∂p / /C
p−1 //
· · ·
//C
1∂1 /
/
C
0
Cada elemento
x
∈
C
p´e chamado um
p
-cadeia ou uma cadeia de dimens˜ao
p
. Se
∂
px
= 0, diz-se que
x
´e um
p
-c´ıclo ou simplesmente um c´ıclo.
O conjunto
Z
pdos
p
-c´ıclos ´e um subm´odulo de
C
p, pois
Z
p=
Ker∂
p.
Se
y
=
∂
p+1x
, diz-se que a
p
-cadeia
y
´e o bordo da (
p
+ 1)-cadeia
x
. O conjunto
B
pdas
p
-cadeias que s˜ao bordos de uma (
p
+ 1)-cadeia ´e um subm´odulo de
C
p, pois
B
p=
Im∂
p+1.
Cada homomorfismo
∂
p:
C
p−→
C
p−1´e chamdo operador bordo. A menos que seja
necess´ario ser mais expl´ıcito, escreve-se
∂
em vez de
∂
p, de modo que
∂
◦
∂
= 0 para toda
cadeia
x
∈
C
p.
Temos que
B
p⊂
Z
p, pois para
y
∈
B
pent˜ao
y
=
∂
p+1x
para
x
∈
C
p+1. Aplicando
∂
pem
y
temos
∂
py
=
∂
p◦
∂
p+1x
= 0
logo
y
∈
Z
p.
Defini¸
c˜
ao 3.2.
O
A
-m´odulo
H
p=
ZpBpchama-se o grupo de homologia
p
-dimensional do
complexo
C
com coeficientes em
A
. Seus elementos s˜ao chamados classes de homologia
dos c´ıclos
z
∈
Z
p.
[
z
] =
z
+
B
p=
{
z
+
∂x
;
x
∈
C
p+1}
.
Se
z
e
z
′s˜ao c´ıclos
p
-dimensionais tem-se [
z
] = [
z
′] se, e somente se,
z
−
z
′=
∂x
para algum
x
∈
C
p+1. Diz-se ent˜ao que
z
e
z
′s˜ao c´ıclos hom´ologos.
Se para cada
p
≥
0 o
A
-m´odulo
C
ppossuir subm´odulo
C
′
p
tal que,
∂
p+1C
′p+1
⊂
C
′p
ent˜ao,
pondo
∂
′p
=
∂
p|
Cp, a sequˆencia
C
′
= (
C
′p
, ∂
′
p
) ´e um complexo de cadeias, chamado um
subcomplexo de
C
.
Considerando agora para todo
p
≥
0, o
A
-m´odulo quociente ¯
C
p=
Cphomomorfismo ¯
∂
p: ¯
C
p−→
C
¯
p−1que torna comutativo o diagrama abaixo.
C
p ∂p / / jC
p−1j
¯
C
p ¯ ∂p //
C
¯
p
Onde
j
´e a aplica¸c˜ao quociente. Por defini¸c˜ao ¯
∂
(
jx
) =
j
(
∂x
). Assim
¯
∂
◦
∂
¯
([
x
]) = ¯
∂
◦
∂
¯
(
jx
) = ¯
∂
◦
j
(
∂x
) =
j
◦
(
∂
◦
∂
)(
x
) = 0
pois
∂
◦
∂
= 0. A sequˆencia ¯
C
= ( ¯
C
p∂
¯
p) ´e um complexo de cadeias, chamado o quociente
de
C
por
C
′.
Sejam
X
= (
X
p, ∂
p) e
Y
= (
Y
p, ∂
p) complexos de cadeias cujos operadores-bordo
indica-remos com o mesmo s´ımbolo
∂
p=
∂
. Um morfismo
f
:
X −→ Y
´e uma sequˆencia de
homomorfismos
f
p:
X
p−→
Y
ptais que
f
p(
∂x
) =
∂f
p+1x
para todo
x
∈
X
p. Isto significa
que no diagrama abaixo todos os retˆangulos s˜ao comutativos.
. . .
//X
p+1 ∂ //
fp+1
X
p ∂ // fpX
p−1 //fp−1
. . .
//X
0
fo
. . .
//Y
p+1 ∂ //
Y
p∂ //
Y
p−1 //
