Seja S = k[x
0, x
1, ..., x
n] com k corpo infinito. Seja M um S-m´odulo graduado finitamente
gerado qualquer e considere:
F : · · ·
//F
n ϕn //· · ·
//F
1 ϕ1 //F
0 //M
//0
a resolu¸c˜ao livre minimal de M . Escreva b
jpara o grau m´aximo dos geradores de F
j.
Defini¸c˜ao 4.3.
Diremos que M ´e r-regular, onde r ´e um inteiro positivo, se r ≥ b
j− j
para todo ´ındice j que aparece na resolu¸c˜ao livre minimal de M . A regularidade de M
ser´a o menor inteiro r para o qual M ´e r-regular. Usaremos a nota¸c˜ao reg(M ) para a
regularidade de M .
Exemplo 4.2.
Seja L ∈ S polinˆomio homogˆeneo de grau 1. Ent˜ao temos a resolu¸c˜ao
livre minimal para M = (L)
0
//S(−1)
L //(x)
//0
O homomorfismo multiplica¸c˜ao por L ´e injetivo, pois L n˜ao ´e divizor de zeros, e claro,
´e sobrejetivo. Neste caso, temos b
0= 1. Portanto para todo r ≥ 1 teremos que (L) ser´a
r-regular, al´em disso reg(L) = 1.
Exemplo 4.3.
Sejam M e N S-m´odulos finitamente gerados tais que, reg(M ) = r e
reg(N ) = s. ent˜ao reg(M ⊕ N ) = max{r, s}. De fato, sejam {m
1, ...m
k} base minimal
para M e {n
1, ...n
k′} base minimal para N. Tome:
F : F
n //· · ·
//F
1 //F
0 //M
resolu¸c˜ao livre minimal para M com b
jo grau m´aximo dos geradores de F
j. Da mesma
forma seja:
F
′: F
n′ //· · ·
//F
′ 1 //F
′ 0 //N
resolu¸c˜ao livre minimal de N com b
j′
o grau m´aximo dos geradores de F
j′
. Como o con-
junto {(m
1, 0), ..., (m
k, 0), (0, n
1), ..., (0, n
k′)} forma uma base minimal para M ⊕ N e vale
grau(m
k, 0) = grau(m
k) e grau(0, n
k′) = grau(n
k′), emt˜ao o gerador de grau m´aximo de
M ⊕ N ter´a grau exatamente max{grau(m
1), ....grau(m
k), grau(n
1), ...., grau(n
′k
)} desta
forma, para a resolu¸c˜ao livre minimal
F ⊕ F‘
′: F
n⊕ F
′ n //· · ·
//F
1⊕ F
′ 1 //F
0⊕ F
′ 0 //M ⊕ N
com b
j∗o grau m´aximo dos geradores de F
j⊕ F
′
j
, analogamente como foi feito com M e
N , temos que b
j∗= max{b
j ′, b
j}. O que nos d´a reg(M ⊕ N ) = max{reg(M ), reg(N )}.
termos de cohomologia local e cohomologia de feixes. O teorema a seguir estabelece a
rela¸c˜ao entre a regularidade de um ideal e seu feixe associado.
Teorema 4.1.
Seja I um ideal homogˆeneo de S e seja eI o feixe coerente associado `a I.
Ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes.
(a) O mapa natural I
r−→ H
0(P
n, eI(r)) ´e um isomorfismo e H
i(P
n, eI(r − i)) = 0
para 0 ≤ i ≤ n.
(b) O mapa natural I
d−→ H
0(P
n, eI(d)) ´e um isomorfismo para todo d ≥ r e
H
i(P
n, eI(d)) = 0 para d + i ≥ r, i ≥ 1.
(c) O ideal I ´e r-regular.
Defini¸c˜ao 4.4.
Seja M um m´odulo finitamente gerado graduado, tome a resolu¸c˜ao mi-
nimal de M
F : · · ·
//F
n ϕn //· · ·
//F
1 ϕ1 //F
0 //M
//0
Tomando Hom(F
j, S) obtemos o complexo
F
′: F
0∗ //· · ·
//F
n−1∗ //F
n∗.
Chamamos de Ext
j(M, S) o j-´esimo grupo de cohomologia de F
′.
A defini¸c˜ao de regularidade nos diz que, se M ´e m-regular ent˜ao em particular M
´e gerado por elementos de grau ≤ m. Podemos definir regularidade de M como o menor
inteiro m tal que para todo j, o j-´esimo grupo de sizigias de M ´e gerado por elementos
de grau ≤ m + j. Se M ´e m-regular, ent˜ao F
jn˜ao possui geradores de grau ≥ m + j + 1,
assim, F
j∗= Hom(M, S) ´e zero em grau ≤ −m − j − 1. Em particular Ext
j(M, S)
tamb´em ´e zero em grau ≤ −m − j − 1
Proposi¸c˜ao 4.2.
M ´e m-regular se, e somente se, Ext
j(M, S)
n
= 0 para todo j e para
todo n ≤ −m − j − 1
Prova
Se M for m-regular ´e imediato pela defini¸c˜ao que vale Ext
j(M, S)
n
= 0. Reci-
procamente, seja m
′a regularidade de M , provaremos que m ≥ m
′. Seja j o maior inteiro
tal que, b
j− j = m
′
(onde b
j´e o grau m´aximo dos geradores de F
j). Pela hip´otese em j
temo que F
∗j
possui S(m
′+j) como um somando, ao passo que, F
∗j+1
n˜ao possui somandos
da forma S(n) com n ≥ m + j + 1. Como a resolu¸c˜ao livre tomada ´e minimal, S(m
′+ j)
´e levado no 0 em F
∗j+1
. Novamente por minimalidade nenhum elemento de F
j−1∗pode ser
levado no gerador de S(m
′+ j), logo temos uma classe diferente de zero em Ext(M, S)
de grau −m
′− j, assim −m
′− j ≥ −m − j logo m
′Proposi¸c˜ao 4.3.
Sejam A, B e C S-m´odulos finitamente gerados graduados e sejam
0
//A
//B
//C
//0
uma sequˆencia exata. Emt˜ao
(a) reg(A) ≤ max{reg(B), reg(C) + 1}
(b) reg(B) ≤ max{reg(A), reg(C)}
(c) reg(C) ≤ max{reg(A) − 1, reg(B)}
Veja [Eisenbud 1995, corol´ario 20.19].
Proposi¸c˜ao 4.4.
Seja S = k[x
0, ...x
n] onde k ´e um corpo qualquer, seja I um ideal gerado
por polinˆomios homogˆeneos de grau um. Ent˜ao a regularidade de I ´e igual `a 1.
Prova Usaremos indu¸c˜ao nos geradores de I. No caso I = (L) temos reg(L) = 1
pelo exemplo 3.1. Supondo que o resultado vale para n, vamos mostrar que o resultado
vale para n + 1. Considere a sequˆencia exata:
0
//(L
0
)
//I
//I
//0
Onde estamos tomando a classe m´odulo L
0e o ideal I ´e gerado pelos polinˆomios ho-
mogˆeneos de grau um L
0, ..., L
n. Como L
item grau um em
(LS0), pela hip´otese de indu¸c˜ao
(I possui regularidade igual `a 1. Portanto, pela proposi¸c˜ao 3.1.1 reg(I) ≤ 1. Por outro
lado, reg(I) ≥ grau(L
i) = 1. Isto nos d´a o resultado desejado.
O lema a seguir ´e a base para o m´etodo de trabalhar indutivamente com regula-
ridade e desempenha um papel central na prova do resultado principal deste trabalho.
Lema 4.1.
Seja I ⊂ k[x
0, ...., x
n] ideal homogˆeneo, e suponha que x e uma forma linear
que n˜ao ´e divizor de zero m´odulo I
sat. Ent˜ao
reg(I) = max{reg(I + (x)), sat(I)}
.
Prova Observe que o resultado seguir´a se mostrarmos que que I ´e r-regular se, e
somente se, I ´e saturado em grau maior ou igual `a r e I + (x) ´e r-regular. Afirmo que
I ∩ (x) = (I : x)x. De fato, se y ∈ I ∩ (x) ent˜ao y = ax ∈ I vamos mostrar que a ∈ (I : x),
para z ∈ (x) ent˜ao, az = a(cx) = c(ax) ∈ I. Portanto, y = ax ∈ (I : x)x. a inclus˜ao
(I : x) ⊂ I ∩ (x) ´e imediata. Esta igualdade ser´a muito importante a seguir. Se I
k= I
ksatpara k ≥ r ent˜ao I
k= (I : x)
k. Como I ⊂ (I : x) temos I
l⊂ (I : x)
lpara todo l. Tome
z ∈ (I : x)
k= (I : x) ∩ S
kcom k ≥ r ent˜ao zx ∈ I ⊂ I
sat, como x n˜ao ´e divisor de zero
m´odulo I
satent˜ao z ∈ I
sat. Do fato de z j´a pertencer `a S
Assuma que I ´e r-regular, como Γ
∗(eI) = I
satpela parte (b) do teorema 4.2 temos
que I
k´e isomorfo `a H
0(P
n, eI(d)) = Γ(P
n, eI(d)) para todo d ≥ r ou seja, I ´e saturado em
grau maior ou igual `a r. Para ver que I + (x) ´e r-regular, considere a sequˆencia exata
curta
0
//I ∩ (x)
//I ⊕ (x)
//I + (x)
//Como (I : x) ´e igual `a I em grau maior ou igual `a r, temos (I : x) ´e r-regular
donde, (I : x)x ´e (r + 1)-regular, pois seja
F
j ϕj //. . .
//F
0 ϕ0 //(I : x)
A resolu¸c˜ao livre minimal de (I : x), se {a
1, ..., a
n} ´e o conjunto gerador minimal escolhido
para gerar a resolu¸c˜ao, ent˜ao {a
1x, ...., a
nx} ser´a uma base minimal para (I : x)x logo
podemos construir uma resolu¸c˜ao livre minimal para (I : x)x a partir da resolu¸c˜ao de
(I : x) da seguinte maneira.
F
jx
(ϕj)x //. . .
//F
0x
(ϕ0)x //(I : x)x
Desta forma o grau dos geradores aumenta sempre uma unidade, portanto a regularidade
de (I : x)x aumenta uma unidade em rela¸c˜ao `a regularidade de (I : x). Como a regulari-
dade de I ⊕ (x) ´e o m´aximo entre {r, 1} e o ideal I ´e pr´oprio (pois x pertence `a S
1e n˜ao
pertence `a I), isto ´e, I n˜ao possui geradores de grau zero, logo r ≥ 1. A regularidade de
I + (x) segue do ´ıtem (c) da proposi¸c˜ao 4.2.
Supondo agora I + (x) r-regular e I saturado em grau maior ou igual `a r. Pelo
teorema 4.2 a parte de grau r de I + (x) ´e isomorfa `a H
0(P
n, ^I + (x)(r)). Al´em disso, a
parte de grau r de I ⊕(x) vai injetivamente em H
0(P
n, ^I ⊕ (x)(r)) e sobrejeta em (I +(x))
r.
Assim
H
0(P
n, ^I ⊕ (x)(r)) −→ H
0(P
n, ^I + (x)(r))
Tamb´em ´e uma sobreje¸c˜ao. Este sobreje¸c˜ao e a r regularidade de I + (x) implicam que
temos isomorfismos
H
i(P
n, eI(k − 1)) −→ H
i(P
n, eI(k)) ⊕ H
i(P
n, ex(k))
cohomologias
0 −→
H
0(P
n, ^(I : x)x(k))
−→
H
0(P
n, ^I ⊕ (x)(k))
−→
H
0(P
n, ^I + (x)(k))
−→
−→
H
1(P
n, ^(I : x)x(k))
−→
H
1(P
n, ^I ⊕ (x)(k))
−→
H
1(P
n, ^I + (x)(k))
−→ . . .
−→
H
i(P
n, ^(I : x)x(k))
−→
H
i(P
n, ^I ⊕ (x)(k))
−→
H
i(P
n, ^I + (x)(k))
−→
−→ H
i+1(P
n, ^(I : x)x(k)) −→ H
i+1(P
n, ^I ⊕ (x)(k)) −→ H
i+1(P
n, ^I + (x)(k)) −→ · · ·
Teremos isomorfimos entre H
i(P
n, ^(I : x)x(k)) −→ H
i(P
n, ^I ⊕ (x)(k)) pois
H
i(P
n, ^I + (x)(k)) = 0 para todo k ≥ r − i − 1 para i ≥ 1. O caso i = 0 se-
gue tamb´em da sobreje¸c˜ao nas cohomologias de ordem 0. Para chegar nos isomorfismos
desejados basta notar que, H
i(P
n, ^(I : x)x(k)) ´e isomorfo `a H
i(P
n, ^(I : x)(k − 1)) e que
cohomologia preserva soma direta. Agora, como a cohomologia se anula para k suficien-
temente grande, temos que, H
i(P
⋉, eI(r − i)) = 0 para todo i > 0, como I ´e saturado em
grau maior ou igual `a r por hip´otese, a condi¸c˜ao (a) do teorema 4.2 ´e satisfeita, portanto
I ´e r-regular.
No documento
Sobre a regularidade de CastelnuovoMumford de arranjos de subespaços lineares no espaço projetivo ndimensional
(páginas 35-40)