IRENE DA CONCEIÇÃO RODRIGUES PRESTES

IRENE DA CONCEIÇÃO RODRIGUES PRESTES

GEOMETRIA ESFÉRICA:

Uma conexão com a Geografia

Mestrado Profissional em Ensino de Matemática

PUC/SP

São Paulo

IRENE DA CONCEIÇÃO RODRIGUES PRESTES

GEOMETRIA ESFÉRICA

Uma conexão com a Geografia

Mestrado Profissional em Ensino de Matemática

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni.

PUC/SP

São Paulo

Dedicatória

Minha Mãe, Esmeralda, que pelo estímulo carinho e exemplo de perseverança não me deixou esmorecer.

Agradecimentos

É com muita alegria que, ao final deste estudo, eu tenha uma lista extensa de pessoas que contribuíram para a sua realização. Desde já, desculpo-me se, porventura, minha memória falhar num momento tão importante.

Ao meu orientador, Professor Doutor Vincenzo Bongiovanni, pelo exemplo de responsabilidade e dedicação e ainda, pela confiança, amizade e companheirismo, que propiciaram a tranqüilidade necessária para a elaboração deste trabalho.

Aos Professores Doutores, Paulo Roberto de Oliveira e Marcos Antonio Santos de Jesus pelas sugestões oferecidas na qualificação.

Aos meus pais, João e Esmeralda, pelo dom da vida...

Aos alunos Allan, Augusto, Bianca, Bruno, Diego, Julia, Juliana, Mariana, Munique, Priscila, Rádila , Rodrigo, Thaís e Vinicius que se prontificaram a participar da pesquisa, pela disposição e colaboração, fundamentais para a Investigação . Aos seus pais, por permitirem que os filhos participassem do projeto.

Aos amigos e “Professores Observadores”: Ana Alice, Fernanda, Giane, Helena, Luciana e Rogério, por deixarem suas casas e seus familiares, nas manhãs de sábado, para auxiliarem neste projeto, por todo apoio dispensado, antes, durante e depois da aplicação das atividades.

Ao meu sobrinho Lucas, que se prontificou a desenvolver as atividades, auxiliando na análise a priori e por dispensar seu tempo aos sábados para efetuar a filmagem.

À direção da EE Sidrônia Nunes Pires, por permitir a utilização da escola para o desenvolvimento das atividades.

Ao amigo Aristides, pela confecção das esferas de arame.

À amiga Profª. Lia, pelas correções ortográficas, empréstimo de gravador e todo apoio dispensado para a realização deste trabalho.

Aos meus irmãos, Ana, Beto, Carlos, Cláudia e Naninha, que de uma forma ou outra, contribuíram no desenvolvimento deste trabalho.

Aos meus sobrinhos, pelo carinho dispensado durante toda esta trajetória.

Aos amigos Gilberto, Nanci, Shilene, Sueli, que dispensaram seu tempo auxiliando na busca e organização do material, empréstimo de gravadores, entre outros.

Aos professores de geografia por se prontificarem a responder ao questionário e, aos professores de geografia Cleusa, Elaine, Fernando e Mara, da EE Sidrônia Nunes Pires por auxiliarem com o empréstimo de material.

Às amigas Profª. Elvira e Profª. Miriam, por auxiliarem na correção final do texto.

Ao “meus” alunos, pela paciência e respeito ao meu trabalho.

Aos colegas do Mestrado e do Doutorado em Educação Matemática, pelos bons momentos e trocas de saberes.

Aos professores do programa de pós-graduação da PUC-SP, pelo apoio, de forma direta ou indireta.

Aos funcionários da PUC-SP, pelo acolhimento e carinho demonstrados por seus serviços.

À Secretaria de Estado da Educação, pelo apoio financeiro.

Enfim, a todos que, de uma forma ou de outra, contribuíram para a concretização deste projeto.

Se a Terra

tivesse apenas alguns metros de diâmetro e flutuasse acima de um campo qualquer, as pessoas viriam de toda parte para admirá-la. Caminhariam ao seu redor, maravilhadas com suas grandes poças d’água, suas pequenas poças e a água que flui entre elas. As pessoas admirariam suas protuberâncias e seus buracos. Admirariam a camada de gás muito fina que a envolve e a água suspensa nesse gás. Admirariam todos os animais caminhando na superfície da bola e os animais na água. As pessoas declarariam aquela bola sagrada, porque seria única, e elas a protegeriam para que nunca fosse danificada. A bola

seria a maior maravilha conhecida e as pessoas viriam rezar para ela, para serem curadas, para adquirir conhecimento,

para conhecer a beleza e para se maravilhar de como aquilo podia existir. As pessoas a amariam e defenderiam

com suas vidas, porque de algum modo saberiam que suas vidas não seriam nada sem ela.

Se a Terra tivesse apenas alguns metros de diâmetro.

Resumo

Este trabalho pretende contribuir com o processo de ensino e aprendizagem da Geometria da Esfera, procurando subsidiar a implementação de propostas que visam a interação entre Matemática e Geografia.

Procurou-se responder à questão de Pesquisa: “Uma introdução à Geometria Esférica pode favorecer o estudo da Geografia do Globo Terrestre e em particular o estudo de mapas?”.

Para auxiliar no delineamento desta proposta realizou-se um estudo experimental, partindo de uma seqüência de ensino que teve como intuito investigar as possíveis relações que os alunos estabelecem quando solicitados a resolver situações envolvendo noções de geometria esférica.

Para tanto foi utilizada como metodologia de pesquisa a Engenharia Didática e o referencial teórico foi baseado na formação de conceitos das teorias de Vergnaud e Vygotsky.

As produções e interações dos alunos, durante o desenvolvimento da seqüência de ensino, apontam que um trabalho integrando conteúdos de Geometria Esférica contribui para o processo de compreensão de conteúdos específicos de geografia, em particular do estudo dos mapas.

Abstract

This work intends to help the teaching-learning process of geometry, mainly the sphere geometry, in order to help the implementation of the purposes that has as a goal the interaction of Math and Geography.

It tried to answer the question of the research: Will the study of the contents of the Sphere Geometry help the comprehension of the Earth geometry?

In order to clear this up it was done an experimental study, starting with a teaching sequence which could investigate possible relations made by the pupils when they needed i to solve situations involving the notions of the Sphere Geometry.

It was used as a research methodology the ¨Teaching Engeneering¨ and the theoric reference was based on the ideas od Vergnaud’s and Vygotsky’s theories.

The results of the experiments made with the students during the sequence development point to the importance of a work which integrates more than one subject matter.

Sumário

Introdução

Capítulo 1 – A problemática

1.1. Uma pesquisa com professores de geografia 5

1.2. O que dizem os livros didáticos de geografia 11

1.3. O que dizem a proposta curricular de matemática e o PCN 13

1.4. Trabalhos acadêmicos ligados ao tema 15

1.5. Referencial teórico 17

1.5.1. Interdisciplinaridade 17

1.5.2. Vygotsky 21

1.5.3. Vergnaud 24

Capítulo 2 – O Estudo do objeto matemático: A Esfera.

2.2. A geometria esférica 32

2.3. O globo terrestre 39

2.4. Mapas e projeções cartográficas 51

2.4.1. Mapas 51

2.4.2. Escalas 52

2.4.3. Projeções cartográficas 53

2.5. Aspectos históricos da geografia 55

Capítulo 3 – Sujeitos, método e material

3.1. Sujeitos 60

3.2. Método 60

3.2.1. Questão de Pesquisa 62

3.2.2. Procedimentos 63

3.2.3. Organização da experimentação 66

3.2.4. Coleta dos dados 67

3.3. Material 69

Capítulo 4 – Análise a posteriori

4.1. Parte I – A Esfera 92

4.2. Resumo das Conclusões da Parte I 114

4.3. Parte II – O globo terrestre 116

4.4. Resumo das Conclusões da Parte II 137

4.5. Parte III – O Mapa 138

4.6. Resumo das Conclusões da Parte III 148

Capítulo 5 – Considerações Finais

Referências

Introdução

“Abrir uma janela é uma condição necessária para que a luz solar ilumine uma sala, mas essa necessidade é apenas uma condição, e não a causa suficiente da iluminação solar.” (Humberto Rohden)

Desde que iniciei minha carreira como professora, uma das minhas preocupações tem sido buscar caminhos para facilitar a aprendizagem dos alunos.

Professora, onde vamos usar isto?

Quem, como professor, não ouviu esta pergunta ou semelhante? Esta pergunta sempre foi uma constante em todas as séries em que lecionei.

A resposta: “Se não puder aplicar em nada de sua vida, pelo menos terá aprendido algo” ou “O importante é que você está aprendendo a pensar”

Eu havia recebido esta resposta inúmeras vezes enquanto aluna. Não custava nada repeti-la.

Mas a pergunta me incomodava, e passei a procurar em livros, revistas, cursos..., formas de relacionar o conteúdo ensinado com o dia-a-dia do aluno, buscando a aplicação dos conteúdos trabalhados.

Ao iniciar o curso de Mestrado, tinha em mente um trabalho ligado à informática, queria desenvolver uma pesquisa relacionada a softwares educacionais.

Ao cursar a disciplina Tópicos de Geometria, um dos temas sugeridos pelo professor Vincenzo, para seminário, era a Geometria Esférica. O tema me atraía, e no momento em que vi a sugestão para desenvolver um trabalho, não tive dúvidas, seria uma oportunidade para aprofundar o estudo desta geometria.

que li na RPM (Revista do Professor de Matemática) e um capítulo do livro “Meu Professor de Matemática e outras histórias” onde o autor cita “... por causa da Geometria Esférica. Ela é tão bonita e singela que dá pena ver como foi relegada ao esquecimento...” (LIMA, 2001).

Ao desenvolver o tema para o seminário, surgiu a idéia de trabalhar a Geometria Esférica com os alunos da escola básica. A aplicação desta geometria no ensino de Geografia, buscando um trabalho interdisciplinar, iria ao encontro de uma das minhas aspirações como professora, mostrar aos alunos onde a matemática pode ser aplicada.

O estudo da Geometria Esférica não faz parte do currículo de matemática do Ensino Fundamental ou Médio inclusive pela sua complexidade. Em matemática, no Ensino Fundamental e Médio, a única geometria com que os alunos têm contato formal é a Geometria Plana e a Espacial, porém, quando estudam o Globo Terrestre, em Geografia, trabalham com pontos, linhas e ângulos sobre a esfera e no seu interior.

Surgiu então a pergunta: não seria interessante mostrar aos alunos a existência de uma outra geometria? Será que um estudo, mesmo que superficial, sobre a esfera não seria importante para a criação de significados em relação às linhas traçadas sobre o Globo Terrestre? Será que o estudo da esfera ajudaria na compreensão da latitude e da longitude?

Talvez, o intuito seja ainda maior. Quando o aluno estuda os elementos do globo está preparado para isto? Tem elementos matemáticos suficientes para compreender o que o professor de geografia fala?

Partindo-se do pressuposto de que a realidade do mundo é muito mais ampla do que a possibilidade teórica de qualquer área do conhecimento para dar conta de sua explicação e compreensão isoladamente, e de que isso não pode ser feito de forma fragmentada, a prática didática e pedagógica da interdisciplinaridade torna-se um recurso para impedir o ensino fragmentado do mundo. (PCN DE GEOGRAFIA, 1998, p. 37)

geometria é provavelmente a mais antiga das três áreas e surgiu, sem dúvida, da necessidade dos povos de medir terras, construir moradias, templos, monumentos, etc”.

Mas hoje, percebe-se que na escola a matemática é ensinada de forma desvinculada das outras disciplinas, não existem pontes de ligação entre a matemática da sala de aula e a geografia, por exemplo.

Este estudo objetivou investigar possíveis contribuições da matemática no desenvolvimento de tópicos de geografia, com o interesse de contribuir para a melhoria do ensino e com o desenvolvimento de propostas de trabalhos interdisciplinares.

No primeiro capítulo, denominado “A problemática” apresenta-se o resultado de uma pesquisa realizada com professores de geografia, a análise de livros didáticos de geografia e das propostas curriculares e parâmetros curriculares de matemática e geografia, de modo a delimitar a questão de pesquisa e justificar a pertinência de se buscar relações entre as duas disciplinas.

No segundo capítulo , intitulado “O estudo do objeto matemático: A Esfera”, apresentam-se objetos ligados ao estudo da geometria esférica bem como da parte da geografia que trata do estudo do globo e dos mapas. São apresentados, ainda, alguns fatos históricos relacionados à geografia do Globo Terrestre.

No terceiro capítulo, ”Sujeitos, método e material” são descritos a trajetória de pesquisa, os sujeitos, métodos e materiais que foram utilizados no encaminhamento e execução deste estudo. Na parte final, análise a priori, descrevem-se as atividades destacando-se seus objetivos e soluções bem como as estratégias esperadas em suas resoluções.

Capitulo 1

A Problemática

1.1. UMA PESQUISA COM PROFESSORES DE GEOGRAFIA

Ao decidir-se por desenvolver um trabalho relacionando tópicos de geometria esférica com a geografia, pensou-se em ouvir a opinião de professores de geografia em relação aos conteúdos de matemática necessários para o desenvolvimento de conteúdos inerentes à geografia.

Amadurecendo a idéia inicial, objetivando buscar elementos entre os profissionais que no contexto interessavam, foi elaborado um questionário dividido em duas partes: na primeira com o objetivo de caracterizar o perfil do professor pesquisado, e na segunda direcionar o trabalho com perguntas dissertativas.

Pensando em atingir professores de diferentes regiões utilizou-se como meio uma comunidade do orkut intitulada “Professores de Geografia”, com mais de três mil membros. Foi quando colocou-se no fórum da comunidade a seguinte mensagem:

“Pesquisa (29/09/2005 18h36)

Olá, sou professora de Matemática e estou cursando o mestrado em Educação Matemática. Pretendo fazer o meu trabalho final de curso, relacionando a Geografia e a Matemática. Para isso precisarei de opiniões de professores de Geografia.

Quem tiver interesse em conhecer um pouco mais de meu projeto e responder um questionário, por favor entre em contato comigo através do orkut ou pelo endereço: [email protected].

Foram 27questionários respondidos pelos colegas professores do orkut. Além do orkut, foi solicitado aos colegas de curso e amigos que conseguissem professores para responder ao questionário.

Foram, no total, 43 questionários respondidos.

Numa breve análise do Perfil dos professores que responderam as questões, observa-se que:

• Os professores entrevistados têm entre 26 e 52 anos.

• a média das idades é de 37,5 anos com desvio padrão de 7,04. • 60% dos entrevistados são do sexo feminino e 40% masculino

• As respostas vieram de 31 cidades, de 11 estados diferentes, sendo: BA(2), CE(1), GO(2), MG(4), MT(1), PB(1), PR(2), RJ(5), RS(2), SC(1), SP(22).

• O tempo de magistério variou de 1 a 27 anos na ativa, sendo que a média foi de 12,5 anos, com desvio padrão de 6,91 e a mediana, também de 12,5 anos.

• Dos 43 professores, 21 atuam apenas em escola pública, 10 apenas na rede privada e o restante (12) leciona em ambas.

• A Carga horária semanal esteve entre 10 e 74 aulas semanais, sendo que os professores em média dão 29,76 aulas por semana, com desvio padrão de 11,75 e tendo como mediana, 29 aulas semanais.

Na segunda parte da pesquisa, as questões apresentadas para os professores de geografia foram as listadas abaixo:

1) A falta de conteúdo de algum assunto da matemática prejudica o ensino de algum tema de Geografia?

2) Quais os conteúdos de geografia que estão relacionados com a matemática? (por favor, especifique por série)

Será feito, agora, um breve resumo das respostas dos professores, para cada uma das questões, serão identificados os questionários por uma seqüência que vai de 1 a 43, introduzida aleatoriamente nos questionários preenchidos pelos 43 professores participantes da pesquisa:

1) A falta de conteúdo de algum assunto da matemática prejudica o ensino de algum tema de Geografia?

Os professores, com exceção de dois, responderam sim a esta pergunta, muitos fizeram referência aos conteúdos e suas respostas serão adicionadas ao quadro da questão 2.

O professor 22 respondeu que o problema não é a falta de conteúdo, mas como ele é abordado pelos professores de matemática e o professor 14 respondeu que falta uma fundamentação na interpretação e elaboração de conceitos.

Seguem, abaixo, algumas das respostas dos professores:

Prof. 8 – sim, no estudo das Coordenadas Geográficas (latitude e longitude) dos círculos da Terra ou linhas imaginárias (paralelos e meridianos), as zonas térmicas da Terra, enfim, necessitamos da utilização do grau (unidade de medida de ângulo) e alguns alunos confundem muito 10º (décimo) que é um numeral ordinal com 10º (dez graus) que é a medida de um ângulo. Acredito que, se fosse visto com a matemática seria mais fácil para o aluno entender. Outro exemplo: os múltiplos e os submúltiplos do metro, que utilizamos na escala, assim como para transformar “centímetros em metros” ou “centímetros em quilômetros”. Noções de gráficos e tabelas também e cartografia: construindo mapas – projeções cartográficas.

Prof. 28 – Sim, na quinta série por exemplo, é notória a falta de conhecimento básico matemático para a compreensão dos conteúdos: projeções, escalas, fusos horários, climogramas, etc.

Prof. 31 – Sim, pois a falta de compreensão desde as quatro operações, até noções de geometria, prejudica o andamento de alguns conteúdos o que compromete o aprendizado da disciplina como um todo. Como exemplo posso citar o da minha cidade: os alunos chegam ao Ensino Médio e não sabem o que é um transferidor, compasso ou esquadro, não sabem trabalhar com calculadora e não entendem regra de três, muito menos fração.

Prof. 37 – Os alunos não entendem a medida em graus sobre o globo, de onde vêm as medidas de longitude e latitude, talvez por só estudarem ângulo em matemática após terem visto em geografia. Outro problema também é a localização no plano, talvez se vissem coordenadas cartesianas juntamente com as coordenadas geográficas...

Prof. 43 – Acho que o professor de matemática poderia estar em sintonia com o professor de geografia em diversos momentos, quando do ensino de coordenadas geográficas, no estudo de escalas e na leitura de gráficos durante todo o ensino fundamental e médio.

Após tomar conhecimento das respostas dos professores, veio a seguinte pergunta: Será que o currículo está de acordo com as necessidades das diferentes disciplinas? O aluno aprende na hora certa um determinado conteúdo de matemática e de geografia? (Não vamos fazer referência às outras áreas do conhecimento).

2) Quais os conteúdos de geografia que estão relacionados com a matemática? (por favor, especifique por série)

Na tabela abaixo, estão relacionados os temas sugeridos com maior freqüência, pelos professores de geografia; não serão indicadas as séries por faltar em diversas respostas a sua referência:

Conteúdo Questionário respondido nº _{referências Percentual}Total de

Escala de um mapa. 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16,18, 20, 21, 24, 25, 26, 28, 29,

32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41e 43 32 74,4 %

Estatística; gráficos e tabelas; coleta de dados.

1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42 e 43

35 81,4 %

Fuso horário; latitude e longitude; coordenadas geográficas; estudo da Terra.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 25, 26, 28, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42 e 43

31 72,0 %

Cartografia; projeção cartográfica.

6, 7, 9, 10, 11, 14, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 28, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 41 e 42

24 55,8 %

Densidade demográfica; porcentagem; regra de três.

1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 15, 16, 22,

25, 26, 29, 32, 33, 36, 37, 38 e 41 21 48,8 %

Transformação de unidades de medida.

2, 5, 8, 10, 15, 16, 18, 34, 36, 38, 41,

42 e 43 13 30,2 %

Analisando a tabela, tem-se uma visão geral dos temas sugeridos para um trabalho integrado, matemática-geografia.

Os temas, fuso horário, latitude e longitude, coordenadas geográficas ou estudo da Terra, são sugeridos por 31, o que equivale a 72% do total, sendo este número significante para este trabalho, tendo em vista a idéia inicial de trabalhar-se a Geometria esférica.

O tema escala de um mapa é também indicado por um número significativo de professores (74,4%), bem como a cartografia (alguns se referiram à projeção cartográfica) que aparecem como referência em mais de 50% dos questionários.

Econômica. Os PCN de Matemática do Ensino Fundamental I e II (1998) trazem o bloco TI (tratamento da informação) onde, acredita-se já ter sido iniciado um trabalho com a implantação de atividades voltadas para o estudo de estatística nos livros didáticos de matemática do Ensino fundamental I e II.

Tais respostas deram subsídios para a concepção de uma seqüência de ensino, que será apresentada posteriormente. Decidiu-se escolher o estudo do Globo Terrestre e da cartografia, bem como a passagem de um para o outro, como parte deste trabalho.

3) Como o professor de Matemática poderia contribuir para o melhor desenvolvimento dos conteúdos de Geografia relacionados com a matemática?

Ao responder esta questão foi unânime a alusão à interdisciplinaridade e, na maioria dos questionários, foi sugerido um planejamento integrado.

Alguns professores sugerem a revisão da ordem dos conteúdos de cada série, tendo em vista que, em muitos casos, o aluno não tem o pré-requisito necessário para atingir os objetivos.

Muitos apontam a falta de comunicação entre os professores como um problema que deve ser sanado e sugerem o uso dos HTPC (Horário de Trabalho Pedagógico Coletivo) para abertura de um espaço para este tipo de discussão.

Alguns apontaram a necessidade de produção de material que provoque esta conexão entre as áreas.

Após ter tomado conhecimento da opinião dos professores de Geografia, concluiu-se estar no caminho certo ao buscar uma conexão da matemática com o estudo do Globo Terrestre, através da geometria esférica.

bem como procurar vestígios da passagem de um deles para o outro. O segundo passo seria a busca de trabalhos acadêmicos ligados ao tema.

1.2. O QUE DIZEM OS LIVROS DIDÁTICOS DE GEOGRAFIA.

Foram analisadas três coleções de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental, relacionadas a seguir como obra 1, 2 e 3, das quais, as duas primeiras fazem parte do PNLD de 2005, a terceira do PNLD de 2002 e 7 livros do Ensino Médio (volumes únicos), relacionados a seguir como obra de 4 a 10.

Obra Título Autor(es) Editora Ano

01 Trilhas da Geografia, 5ª, 6ª,

7ª e 8ª Sene, E e Moreira, J. C. Scipione 2005

02 Geografia - Espaço e Vivência 5ª, 6ª, 7ª e 8ª

Boligian, L.; Martinez, R. ; Garcia, W e Alves, A.

Atual 2005

Obra Título Autor(es) Editora Ano

03 Geografia, vol 1, 2, 3 e 4 Adas, M. Moderna 2002

04 Geografia – O homem no

espaço global Lucci, E. A. Saraiva 1999

05 Sociedade e espaço –

Geografia Geral e do Brasil Vesentini, J. W. Ática 2000

06 Geografia – A natureza

humanizada Pitte, J. R. (coordenação Geral) FTD 1998

07 Geografia no Ensino Médio Piffer, O. IBEP 2000

08 Geografia Geral Nakata, H. e Coelho, M. A. Moderna 1985

09 Geografia – Paisagem e

território Magnoli, D. e Araújo, R. Moderna 2001

10 Novo Ensino Médio:

Geografia Almeida, L.M.A. e Rigolin, T Ática 2002

solstícios e equinócios, estações do ano e estudo dos mapas nos exemplares destinados à 5ª ou 6ª série. As projeções cartográficas são apresentadas nos exemplares destinados à 7ª ou 8ª séries.

Em (1) no exemplar destinado à 5ª série, os autores dedicam um capítulo ao estudo dos mapas. Intitulado “A linguagem Cartográfica” eles partem de um trabalho de mapeamento da sala de aula, do prédio da escola, até como são feitos os mapas através da imagem de satélites e, no exemplar da 6ª série, os autores dedicam um capítulo à história da cartografia, das grandes navegações e às coordenadas geográficas. Sugerem uma atividade na qual os alunos, com uma laranja, dois palitos e barbante, marcam os pólos, traçam as linhas do Equador, meridianos e paralelos.

Em (2) ao estudar as coordenadas geográficas, na 5ª série, os autores sugerem um jogo de coordenadas, semelhante à batalha naval.

Das obras destinadas ao Ensino Médio, a obra (5) não apresenta nenhum tópico relacionado ao estudo do globo ou da cartografia, as obras (6), (7) e (9) fazem referência à cartografia, sendo que as obras (7) e (9) de uma forma superficial. As obras (4), (8) e (9) trabalham as coordenadas geográficas, fuso horário, solstícios e equinócios, projeções cartográficas e escalas dos mapas além de apresentarem referencial histórico.

Na obra (10) os autores apresentam um quadro denominado “geografia e matemática” onde sugerem um trabalho interdisciplinar:

A construção de coordenadas não é de uso exclusivo da geografia. Procure aplicar o que você aprendeu em matemática e as noções deste capítulo, estabelecendo relações entre as coordenadas geográficas e as coordenadas cartesianas. Se necessário converse com os professores das duas disciplinas. (ALMEIDA E RIGOLIN, 2002, p. 13)

na 5ª série, volta-se à pergunta: O aluno está preparado para absorver estes conceitos?

1.3. O QUE DIZEM AS PROPOSTAS CURRICULARES DE MATEMÁTICA E O PCN.

Na proposta curricular para o ensino de matemática do 1º grau, 4ª edição, de 1991, encontra-se entre os conteúdos a serem desenvolvidos na 5ª série o estudo dos elementos de uma superfície esférica : centro, raio, corda, diâmetro, arco e circunferência máxima:

Através de cortes diversos em bolas de isopor ou de colagem de tiras estreitas de fitas adesivas, e cores diversas, na superfície dessas bolas, concretizar as noções de círculos máximos e circunferências máximas, respectivamente, em esferas e superfícies esféricas, e o fato de que nem todas as circunferências que podem ser traçadas numa superfície esférica, são máximas. É útil que, nesse momento, se mostre aos alunos como esses elementos são aplicados em Geografia na determinação de linhas imaginárias na superfície terrestre (paralelos e meridianos). Nessa perspectiva, e como já definimos o segmento de reta como o menor caminho entre dois pontos de um plano, a noção de arco de circunferência pode ser introduzida através das seguintes etapas.... (PROPOSTA CURRICULAR DE MATEMÁTICA,1991, p. 88)

Entre os conteúdos a serem desenvolvidos na 6ª série encontra-se uma atividade para o estudo da bissetriz onde, através de algumas marcas e medições, os alunos determinam o meridiano do lugar.

Nos PCN de Geografia para o 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental, os conteúdos ligados ao estudo do Globo Terrestre e da cartografia estão concentrados nas sugestões para o 3º ciclo (5ª e 6ª série), já para o 4º ciclo foi encontrada a seguinte referência:

Nos PCN de Matemática para o 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental encontrou-se a seguinte referência:

A respeito do desenvolvimento das habilidades de percepção espacial, a leitura e a utilização efetiva de mapas e de plantas, nas situações cotidianas, são fonte de numerosas dificuldades para muitas pessoas. Por exemplo, localizar um escritório num grande edifício, deslocar-se numa cidade, encontrar um caminho numa montanha, são procedimentos, que muitas vezes solicitam uma certa sistematização dos conhecimentos espaciais. Porém, essas habilidades não têm objeto de aprendizagem nas aulas de matemática. (PCN DE MATEMÁTICA, 1998, p. 123)

Ainda os PCN de matemática, sugerem que os professores trabalhem com mapas e com as coordenadas geográficas, trazendo, também para a matemática a responsabilidade sobre a formação desses conceitos.

A partir de contextos que envolvam a leitura de guias, plantas e mapas pode-se propor um trabalho para que os alunos localizem pontos, interpretem deslocamentos no plano e desenvolvam a noção de coordenadas cartesianas, percebendo que estas constituem um modo organizado e convencionado, ou seja, um sistema de referência para representar objetos matemáticos como ponto, reta e curvas. Também é interessante que os alunos percebam a analogia entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas geográficas. (Ibidem, p.123)

Entre os objetivos propostos para o terceiro ciclo (5ª e 6ª séries) encontrou-se:

Do pensamento geométrico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a:

* resolver situações-problema de localização e deslocamento de pontos no espaço, reconhecendo nas noções de direção e sentido, de ângulo, de paralelismo e de perpendicularismo elementos fundamentais para a constituição de sistemas de coordenadas cartesianas. (Ibidem, p. 64)

unidades padronizadas e com sistemas comuns de medida e também a necessidade de encontrar estimativas plausíveis. (Ibidem, p. 69)

Entre as Competências e habilidades a serem desenvolvidas em Matemática encontram-se:

• Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real.

• Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em especial em outras áreas do conhecimento.

1.4. TRABALHOS ACADÊMICOS RELACIONADOS AO TEMA

Foram procurados outros trabalhos que pudessem dar subsídios para a concepção da seqüência de ensino, teve-se acesso a duas dissertações de mestrado em educação matemática. A dissertação de Zionice Garbelini Martos, intitulada “Geometrias Não-euclidianas: uma proposta metodológica para o ensino de Geometria no Ensino Fundamental”, apresentada em 2002, na UNESP de Rio Claro e a dissertação de Irene Pataki, intitulada: “Geometria Esférica para a Formação de Professores: Uma Proposta Interdisciplinar”, apresentada em 2003, na PUC – SP.

O trabalho de Martos (2002) apresenta uma proposta didática ao ensino da geometria euclidiana e não-euclidiana para o Ensino Fundamental, buscando o desenvolvimento significativo dessas geometrias, para alunos de 8ª série, a partir da metodologia desenvolvida por Istvan Lénárt.

Apresentou situações-problema em fichas de trabalho, com descrições de atividades que seriam desenvolvidas, inclusive duas delas, baseadas na história de Pole “O pequeno príncipe” de Saint Exupéry.

Em suas considerações finais a autora fala sobre a Geometria Esférica:

Os alunos participantes da pesquisa tiveram contato com um tipo diferente da geometria com que estavam acostumados a trabalhar: a Geometria Esférica. O trabalho pedagógico com esse outro modelo de Geometria fez com que os alunos pudessem vislumbrar sua inserção no planeta em que vivem, estabelecendo relações com conceitos geográficos através da Matemática. Os conceitos da Geometria esférica, abordados por meio de fichas de trabalho, uso de materiais manipulativos e discussão entre grupos, permitiram uma aprendizagem com significado. (MARTOS, 2002, p. 138)

O trabalho de Pataki (2003) objetiva levar aos professores de matemática uma proposta de um trabalho interdisciplinar, formando interconexões entre a geometria e a Geografia. O trabalho proporciona aos professores envolvidos reflexões e questionamentos sobre alguns aspectos do ensino de Geometria Esférica. A autora afirma:

Trata-se de um tema que visa a interação entre alguns campos do conhecimento, tais como Geometria, Trigonometria, Geografia e História, contextualizando, proporcionando reflexões e questionamentos aos professores e possibilitando a cumplicidade entre o aprender esses conhecimentos e os diferentes olhares que teremos do nosso dia-a-dia. (PATAKI, 2003, p.17)

E ainda:

Em vista disso, o ensino e aprendizagem da Geometria Esférica precisam constar das grades curriculares, adentrar as salas de aula, com alardes, se necessário, e ocupar o lugar que há muito tempo lhe pertence. (Ibidem, p.18)

compreender as linhas de referência sobre o Globo Terrestre, a partir de um estudo sobre a geometria da esfera e a passagem do globo para o mapa.

Almeja-se, ainda, desenvolver inteligências compatíveis com uma capacidade cognitiva para a aquisição de conceitos geográficos.

1.5. REFERENCIAL TEÓRICO

Este trabalho fundamenta-se, basicamente, nas teorias de Vygotsky e Vergnaud para estruturar a interdisciplinaridade e a construção do conhecimento, através das relações do sujeito com o meio, sua percepção e conceituação.

1.5.1. INTERDISCIPLINARIDADE

Em minha trajetória como educadora, deparei freqüentemente com o tema “interdisciplinaridade”, o qual aparece no planejamento no início do ano letivo e nas reuniões pedagógicas, ao longo do ano.

Entendendo que a interdisciplinaridade não é apenas o encontro das diferentes disciplinas em projetos gerais da escola, mas em sala de aula, no desenvolvimento dos conteúdos, pensei em desenvolver um “projeto para a sala de aula” onde fosse possível buscar conexões com outras disciplinas.

Pensando-se no trabalho interdisciplinar, como a interação das disciplinas, encontra-se em Fazenda (1998): “A interdisciplinaridade, para ser exercida coletivamente, requer o diálogo aberto através do qual, cada um reconhece o que lhe falta e o que deve receber”

A interdisciplinaridade pode ser entendida como uma revisão de nossa relação com o conhecimento, de modo a buscar interconexões, mudança de comportamento, de diálogo e de parceria.

Um olhar interdisciplinarmente atento recupera a magia das práticas, a essência de seus movimentos mas, sobretudo, nos induz a outras superações, ou mesmo reformulações. Exercitar uma forma interdisciplinar de teorizar e praticar Educação demanda, antes de mais nada, o exercício de uma atitude ambígua. (FAZENDA, 2001, p. 23)

Em face disto, para desenvolver a interdisciplinaridade, faz-se necessário que se busque, com as outras áreas, o desenvolvimento da prática do trabalho conjunto.

A interdisciplinaridade ocorre quando as disciplinas se integram e colaboram entre si.

Acredita-se, portanto, que se faz necessário rever os pontos fundamentais que se constituem de uma reflexão indispensável no sentido de nos aproximarmos da interdisciplinaridade.

Nos PCN de matemática é proposta a integração da matemática com as outras áreas do conhecimento:

Como as medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a interpretação deste, as possibilidades de integração da Matemática com as outras áreas do ensino fundamental ficam evidentes, como Ciências Naturais (densidade, velocidade, energia elétrica) ou Geografia (coordenadas geográficas, densidade demográfica, escalas de mapas e guias). (PCN DE MATEMÁTICA, 1998, p. 85)

Assim, o conceito de semelhança é proveitoso para estabelecer conexões com outros conteúdos matemáticos, como razões e proporções, propriedades das figuras, ângulos, medidas (áreas, volumes) e conteúdos de outras áreas (artes, educação física, ciências, geografia, física). (Ibidem, p. 125)

(...) como as medidas quantificam grandezas do mundo físico e são essenciais para a interpretação deste, as possibilidades de integração com as outras áreas são bastante claras, como Ciências Naturais (utilização de bússolas, e noções de densidade, velocidade, temperatura, entre outras) e Geografia (utilização de escalas, coordenadas geográficas, mapas etc.). As medidas também são necessárias para melhor compreensão de fenômenos sociais e políticos, como movimentos migratórios, questões ambientais, distribuição de renda, políticas públicas de saúde e educação, consumo, orçamento, ou seja, questões relacionadas aos Temas Transversais. (Ibidem, p. 128)

Acredita-se, ainda, que o sentido de um trabalho interdisciplinar está na compreensão e na intencionalidade da efetivação de parcerias mais consistentes e no desenvolvimento de projetos das partes envolvidas.

(...) a interdisciplinaridade é hoje uma palavra-chave para a organização escolar; pretende-se com isso o estabelecimento de uma intercomunicação efetiva entre as disciplinas, através da fixação de um objeto comum diante do qual os objetos particulares de cada uma delas constituem subprojetos. (MACHADO, 1995, p.193)

Multidisciplinaridade, Pluridisciplinaridade. Caracterização do enfoque científico e pedagógico aplicado a atividades e projetos que prevêem a participação de especialistas de várias disciplinas, permanecendo praticamente cada qual com a visão mais ou menos restrita da sua área. (ASSMANN, 2002, p. 166)

O que se observa é que a conceituação de Interdisciplinaridade pode ser contraposta com a noção de multidisciplinaridade, onde existe a justaposição de profissionais, cada um fazendo o que sabe. Neste caso, não há interação entre nível de método nem de conteúdo. Já na Interdisciplinaridade, tal integração ocorre durante a construção do conhecimento, de forma conjunta, desde o início da colocação do problema.

Interdisciplinaridade. Enfoque científico e pedagógico que

caracteriza por buscar algo mais do que mera justaposição das contribuições de diversas disciplinas sobre um mesmo assunto, e se esforça por estabelecer um dialogo enriquecedor entre especialistas de diversas áreas científicas sobre determinada temática. Aplica-se a problemas, atividades e projetos que ultrapassam a capacidade de uma só área disciplinar. (Ibidem, p. 162)

1.5.2. VYGOTSKY

Para Vygotsky (1991), a formação de conceitos é o resultado de uma atividade complexa, em que todas as funções intelectuais básicas tomam parte. No entanto o processo não pode ser reduzido à associação, à atenção, à formação de imagens, à inferências ou à tendências determinantes. Todas são indispensáveis, porém insuficientes sem o uso do signo (palavra artificial), ou palavra, como meio pelo qual são conduzidas as operações mentais; controla-se o controla-seu curso e as canalizações em direção à solução do problema que controla-será enfrentado.

A formação de conceitos passa por três fases básicas dividas em vários estágios:

• Agregação desorganizada – amontoados vagos de objetos desiguais; os fatores perceptuais são irrelevantes e há um predomínio do sincretismo. • Pensamento por complexos – estabelecer elos e relações a partir da

experiência concreta.

• Abstração – o grau de abstração deve possibilitar a simultaneidade da generalização e da diferenciação.

O adolescente formará e utilizará um conceito com muita propriedade numa situação concreta, mas achará estranhamente difícil expressar esse conceito em palavras, e a definição verbal será, na maioria dos casos, muito mais limitada do que seria de esperar a partir do modo como utilizou o conceito. (VYGOTSKY, 1991, p.69)

Existem, pelo menos, dois níveis de desenvolvimento identificados por Vygotsky: um real, e um potencial:

• Desenvolvimento Real: é determinado por aquilo que a criança é capaz de fazer sozinha, porque já tem um conhecimento consolidado. Se domina a adição, por exemplo, esse é um nível de desenvolvimento real. • Desenvolvimento Potencial: é determinado por aquilo que a criança

ainda não domina, mas é capaz de realizar com auxílio de alguém mais experiente. Por exemplo, uma multiplicação simples, quando ela já sabe somar.

Vygotsky (1991) toma como posição que a aprendizagem tem um papel importante e estimulante no desenvolvimento. Assim, introduziu o conceito de zona de desenvolvimento proximal.

Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) é a distância entre aquilo que a criança faz sozinha e o que ela é capaz de fazer com a intervenção de um mediador; potencialidade para aprender, que não é a mesma para todas as pessoas; ou seja, distância entre o nível de desenvolvimento real e o potencial, que está próximo mas ainda não foi atingido. Esse conceito tem implicações importantes na concepção de ambientes de aprendizagem, o que implica intervenções, que ajudam o aprendiz a dominar com autonomia os comportamentos que constituem esta zona de desenvolvimento e estimulam o desenvolvimento cognitivo, através de intervenções que criem zonas de desenvolvimento proximal.

Mediador é quem ajuda a criança a concretizar um desenvolvimento que ela ainda não atinge sozinha. Na escola, o professor e os colegas mais experientes são os principais mediadores.

A intervenção pedagógica intencional do ambiente escolar é responsável pelo desencadear do processo ensino-aprendizagem, e cabe ao docente estimular o avanço do sujeito dentro de sua zona proximal, sendo a construção de conceitos, o objeto de atuação. A importância da intervenção espontânea dos demais membros mediadores compõe o processo de desenvolvimento, tomando o aluno, não tão somente como o sujeito da aprendizagem, mas, aquele que aprende, junto ao outro, o que o seu grupo social produz, inclusive o conhecimento.

A colaboração entre pares durante a aprendizagem pode ajudar a desenvolver estratégias e habilidades gerais de solução de problemas através da internalização do processo cognitivo implícito na interação e na comunicação. (Vygotsky, 1991, p. 17)

Dentro desse último conceito, o aluno também aprende junto ao outro o que o seu grupo social produz, tais como: valores, linguagem e o próprio conhecimento. O poder da aprendizagem através da discussão e da conversação ocorreria pelo compartilhamento de diferentes perspectivas, pela necessidade de tornar explícito seu pensamento e pelo entendimento do pensamento do outro, através da interação oral ou escrita, implicando num processo de comunicação, dentro de uma dimensão cooperativa e colaborativa.

A formação de conceitos espontâneos ou cotidianos desenvolvidos no decorrer das interações sociais diferenciam-se dos conceitos científicos adquiridos pelo ensino, parte de um sistema organizado de conhecimentos. A aprendizagem é fundamental ao desenvolvimento dos processos internos na interação com outras pessoas.

A interação com o meio social, através da linguagem, tem função primordial no desenvolvimento: um real, presente, uma competência própria do sujeito, e um potencial, uma competência que o sujeito tem capacidade de adquirir na relação com o outro. A distância entre estes níveis de desenvolvimento, chamada Zona de Desenvolvimento Proximal, torna-se campo de atuação da aprendizagem.

1.5.3. VERGNAUD

Vergnaud (1991) estudou a elaboração de conceitos em situações didáticas, valendo-se da solução de problemas. Com base na idéia de campo conceitual, analisa o papel da formação de conceito na solução de problemas, buscando identificar a função das palavras, definições, explicações ou representações simbólicas na formação conceitual e na própria solução de problemas.

Segundo Vergnaud (1991) um campo conceitual é um conjunto de situações, cujo domínio progressivo exige uma variedade de conceitos, de procedimentos e de representações simbólicas em estreita conexão. Um conceito é apreendido pelos indivíduos quando os mesmos dominam três conjuntos de fatores relacionados com esses conceitos.

• Um conjunto de situações que dão sentido aos conceitos (a referência); • Um conjunto de invariantes operacionais que trata das propriedades e

procedimentos necessários para definir esse objeto (o significado);

• Um conjunto de representações simbólicas que são socialmente usados para veicular idéias sobre o conceito (significante).

A teoria dos campos conceituais trata, ainda, da conceituação do real, permitindo situar a análise das filiações e rupturas entre os conhecimentos. Envolve, também, a análise da relação entre os conceitos como conhecimentos explícitos e os invariantes operatórios, implícitos nos comportamentos dos sujeitos em uma dada situação.

Para Vergnaud (1991), o funcionamento cognitivo repousa sobre os conhecimentos anteriormente formados, e ao mesmo tempo, repousa sobre novos aspectos de conhecimento incorporados pelos próprios sujeitos.

Uma aprendizagem significativa provém da estruturação de conexões, concebidas pela sucessão de adaptações que o aluno realiza, face a situações-problema, coordenando e ajustando conhecimentos e conceitos anteriores. Um campo conceitual é definido pelo seu conteúdo e, resumidamente, podemos estabelecer a extensão deste conceito pelo conjunto de situações que lhe dão sentido.

(...) Ausubel chama atenção para o fato de que os princípios de assimilação de conceitos que são relevantes para a aprendizagem escolar são essencialmente os mesmos princípios da aprendizagem verbal significativa. Aprender um novo conceito depende de propriedades existentes na estrutura cognitiva, do nível de desenvolvimento do aprendiz, de sua habilidade intelectual, bem como do conceito em si e do modo como é apresentado. (MOREIRA e MASINI, 2001, p. 31).

Um conceito envolve muitas situações e, reciprocamente, estas, envolvem vários conceitos. O desenvolvimento de conhecimentos no sujeito, se constitui por meio de um conjunto relativamente vasto de situações, entre as quais existem relações de parentesco (analogias, contrastes, variações) e, para analisá-las, apela-se para muitos conceitos e vários tipos de simbolismos.

• As classes de situações para as quais o sujeito dispõe, no seu repertório, num dado momento do seu desenvolvimento, e em determinadas circunstâncias, das competências necessárias ao tratamento relativamente imediato das situações.

• As classes de situações para as quais o sujeito não dispõe de todas as competências necessárias, o que o obriga a um tempo de reflexão e de exploração, a hesitações, a tentativas abortadas, conduzindo-o, quer ao êxito, quer ao fracasso.

Um significante ou uma situação, podem evocar no sujeito esquemas, que constituem o sentido dessa situação ou desse significante.

O esquema, é uma organização invariante para uma determinada situação ou classe de situações. Um esquema é um universal eficiente para um conjunto de situações e pode gerar diferentes seqüências de ações, procedimentos de coleta e controle de informações, dependendo de cada situação característica. Em particular os esquemas necessariamente se referem a situações.

A ação do sujeito em situação e a organização de seu comportamento devem ser consideradas quando se pretende compreender o sentido das situações e dos símbolos, por exemplo. Por isso, é atribuído ao conceito de esquema a importância de não prescindi-lo da análise, uma vez que este organiza o comportamento do sujeito, abrangendo regras de antecipações.

Os componentes de um esquema são: • objetivos e antecipações;

• regras de ação do tipo se – então que controlam a informação e proporcionam regras de busca, permitindo a seqüência de ações do sujeito;

• invariantes operatórios – teoremas em ação e conceitos em ação, que permitem que o sujeito reconheça os elementos pertinentes à situação e a categoria de informação que corresponde a tal situação;

Os invariantes operatórios, cujas categorias principais são teoremas em ação e conceitos em ação, constituem a base conceitual implícita, ou explícita, que permite obter a informação pertinente, os objetivos a serem alcançados, sendo responsável também pela inferência das regras de ação pertinentes. São os invariantes operatórios que fazem a articulação essencial entre teoria e prática. O reconhecimento de invariantes é, pois, a chave da generalização do esquema.

A busca e a seleção da informação estão baseadas no sistema de conceitos em ação que o sujeito possui e nos teoremas em ação que estão subjacentes a sua conduta. Um teorema em ação é uma proposição considerada como verdadeira sobre o real e um conceito em ação é uma categoria de pensamento considerada como pertinente da situação.

As competências e concepções dos estudantes vão se desenvolvendo ao longo do tempo, através de experiências com um grande número de situações, tanto dentro, quanto fora da escola. Os esquemas organizam a conduta para uma dada classe de situações. Em geral, quando defrontados com uma nova situação eles usam o conhecimento desenvolvido através de experiência em situações anteriores, e tentam adaptá-lo a esta nova situação. Esta atividade é eventualmente interiorizada, e ao se depararem com uma nova situação, poderá ser utilizada, ao ser adaptada também para esta nova situação.

Quando os indivíduos começam a dominar essas dimensões de um conceito, o mesmo começa a fazer-lhes sentido. Um conceito é progressivamente apreendido à medida que os indivíduos dominam mais e mais as propriedades do conceito, as formas possíveis de representação e as relações com situações diversas. Aprender a lidar com um conceito significa ter apreendido um determinado número de invariantes relativos a esse conceito. Esse aprendizado ocorre a longo prazo e, durante muito tempo, de forma intuitiva.

Partindo do núcleo conceitual do aluno, Vergnaud (1991) destaca que o funcionamento e o desenvolvimento cognitivo dependem de como os conceitos são trabalhados a partir de situações-problema.

O desenvolvimento das representações, invariantes e situações do conceito não ocorrem de forma estanque. Pelo contrário, mobilizamos invariantes relativos a um conceito em situações específicas e essa mobilização dá-se mediada por artefatos culturais. Os três conjuntos de componentes dos conceitos desenvolvem-se ao mesmo tempo com as relações que estabelecemos entre eles. É importante ressaltar o fato de que os conceitos não fazem sentido isoladamente para os indivíduos.

As Zonas de Desenvolvimento Proximal de Vygotsky também influenciaram na construção da Teoria dos Campos Conceituais, já que percebemos a necessidade da existência de espaços de situações-problema, os quais, o aluno coordena às adaptações necessárias à sistematização de um novo conhecimento. Entretanto, Vergnaud supõe o conceito como base para o desenvolvimento cognitivo, dando maior atenção à análise dos conceitos envolvidos nas situações criadas na aprendizagem.

Capítulo 2

O estudo do objeto matemático: A Esfera

“Plana ou redonda? Circulo com duas dimensões ou esfera com três dimensões? Nossa terra nunca conheceu, salvo algumas exceções aberrantes e efêmeras, outra representação desde os tempos mais remotos.” (Randles)

A matemática sempre esteve vinculada à vida. Historicamente todo o conhecimento se desenvolveu pela necessidade de se conhecer o mundo, pela curiosidade do ser humano. “Não há quem, observando o Sol diurnamente, não tenha notado seu movimento no céu”. (BOCZKO, 1984).

2.1. DA GEOMETRIA DE EUCLIDES ÀS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS

Segundo o historiador grego Heródoto (sec. V a.C.), a geometria nasceu provavelmente no antigo Egito, das medições da terra necessárias devido às inundações periódicas do rio Nilo, e foi rapidamente alargada à agrimensura e à navegação, mas é certo que muitas outras civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica.

A palavra “geometria” deriva do grego e significa “medição da Terra”. Dos primeiros matemáticos que contribuíram para a origem da geometria pouco se sabe, tem-se referências de Tales de Mileto e de Pitágoras de Samos entre outros.

Os Elementos de Euclides, como hoje é conhecido, foi escrito por seu autor reunindo e sistematizando a matemática dos que o precederam.

Nos Elementos, formado por 13 livros, Euclides, por meio de um sistema de definições, postulados e axiomas, construiu como hoje é conhecida a geometria Euclidiana.

No primeiro livro do Elementos, Euclides enuncia vinte e três definições, cinco postulados (denominados “demandas” ou “pedidos”) e nove noções comuns ou axiomas. Em seguida, deduz 48 proposições, ou teoremas, que constituem o saber geométrico. (VITRAC, 1990, p. 194)

Euclides buscou o ideal de uma organização axiomática, que em última instância se reduz ao estabelecimento de um pequeno número de proposições notoriamente verdadeiras daquele domínio do conhecimento, e a posterior dedução de todas as outras proposições verdadeiras desse domínio, a partir daquelas.

Abaixo serão apresentados os postulados de Euclides que foram encontrados em Boyer (1974).

Postulados:

1. Traçar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto. 2. Prolongar uma reta finita continuamente em linha reta. 3. Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio. 4. Que todos os ângulos retos são iguais

Figura 2.1: ilustração do quinto postulado de Euclides

Hoje o quinto postulado de Euclides é apresentado por um enunciado equivalente, denominado Postulado das paralelas, apresentado por John Playfair em 1795:

“Por um ponto P exterior a uma reta r, consideradas em um mesmo plano, existe uma única reta paralela à reta dada.” (Fig. 2.2)

Figura 2.2: Quinto postulado na formulação de Playfair

Desde a primeira formulação dos postulados de Euclides para a geometria, os matemáticos acreditavam que o quinto postulado de Euclides poderia ser demonstrado como teorema. Entre as tentativas de demonstração encontraram-se os seguintes matemáticos: Ptolomeu, Proclus (410 – 485), Alhazen (cerca de 965 – 1039), Omar Khayyam (cerca de 1050 – 1122), Nasir Eddin al – Tusi (ou at – Tusi, 1201 – 1274), Saccheri (1667 – 1733), Lambert (1728 – 1777), Legendre ( 1752 – 1833 )

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), por volta de 1824, chegou a uma importante conclusão, não publicada, sobre o postulado das paralelas.

Nicolai Lobachevsky (1793 – 1856) entre 1826 e 1829 ficou convencido de que o postulado das paralelas não poderia ser provado com base nos outros quatro. Com a publicação de um artigo em 1829 sobre uma geometria construída sobre uma hipótese em conflito direto com o postulado das paralelas: “Por um ponto C fora de uma reta AB pode-se traçar mais de uma reta do plano que não encontra AB”, Lobachevsky deduziu uma estrutura geométrica harmoniosa sem contradições lógicas inerentes, a qual chamou “geometria imaginária”, mais tarde denominada por Félix Klein (1849 – 1925) como “geometria hiperbólica”.

Janos Bolyai (1802 – 1860), que passou parte de sua vida tentando provar o postulado das paralelas, ao invés de tentar o impossível, desenvolveu o que chamou de “Ciência Absoluta do espaço”, partindo da hipótese que por um ponto fora de uma reta podem ser traçadas infinitas retas do plano, não uma só, cada uma paralela à reta dada.

G. F. B. Riemann (1826 – 1866), ao abandonar a hipótese da infinitude da reta, interpretando o “plano” como a superfície de uma esfera e uma “reta” como um círculo máximo sobre a esfera, desenvolveu a geometria que ficou conhecida como Geometria Riemanniana, mais tarde denominada por Klein como “geometria elítica”.

2.2. A GEOMETRIA ESFÉRICA

Nesta Geometria, dados dois pontos A e B sobre a superfície da esfera, chama-se de reta a circunferência máxima que passa por esses dois pontos.(Fig. 2.3)

Figura 2.3

A

B

Os pontos A e B dividem a reta em dois arcos. Esses dois arcos podem ser:

Figura 2.4

• iguais se A e B forem extremos de um mesmo diâmetro da esfera. (Fig 2.4)

Figura 2.5

• Um maior e o outro menor.(Fig. 2.5)

Hoje, com a rotina dos vôos internacionais, essa noção de "reta" ficou corriqueira. Um avião que vai de Fortaleza a Lisboa, sem escalas, não segue uma reta (tracejada) traçada no mapa-múndi. Segue a trajetória (contínua) correspondente a um segmento de círculo máximo entre as duas cidades. (Fig.2.6)

Figura 2.61

O Postulado de Riemann

“Por um ponto P qualquer, fora de uma reta r, nenhuma reta que passa por P é paralela a ela.”

Na geometria esférica o Quinto Postulado de Euclides sofre um baque. Como uma "reta" é um círculo máximo chegou-se às seguintes constatações:

1) Quaisquer duas retas em um plano têm um ponto de encontro Uma maneira de interpretar o postulado acima

seria pensar na superfície esférica, onde “retas” seriam as circunferências máximas ou geodésicas da superfície esférica. Nessa superfície quaisquer duas circunferências máximas se interceptam, aliás,

em mais de um ponto. (Fig. 2.7) _{Figura 2.7}

2) Dados dois pontos sobre a esfera, podem se encontrar infinitas retas que passam por esses dois pontos. (Fig. 2.8)

Figura 2.8

A

A’

____________

Dois pontos diametralmente opostos são chamados antípodas, ao traçar duas retas que passam por dois pontos antípodas e uma reta perpendicular a ambas, a nova reta receberá o nome de polar e os pontos serão os pólos.

Observe-se a figura (Fig 2.9):

Figura 2.9

Os pontos A e A’ são os pólos da reta BC, que é chamada de reta polar.

As retas ABA’ e ACA’ são perpendiculares à reta BC.

A distância do ponto A (ou do ponto A’) a qualquer ponto da reta BC é constante e mede 90º.

Quaisquer duas retas que passem pelos pontos A e A’ terão uma única reta perpendicular BC.

Na Geometria Esférica, a distância de qualquer reta a seu pólo é uma constante igual para todas as retas.

4) Ao traçar-se um plano cortando uma esfera, a sua intersecção com essa esfera é um círculo máximo ou um círculo menor. (Fig. 2.10)

Figura 2.10

Figura 2.11

Figura 2.12

Quaisquer outros círculos serão considerados menores.(Fig. 2.12)

5) Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência máxima, a distância entre esses pontos é a menor porção da circunferência que os contém. Embora, por A e B outros círculos possam ser considerados, a distância entre eles é sempre medida sobre o único círculo máximo determinado por A e B. (Fig. 2.13)

Figura 2.13

Para medir a distância sobre uma superfície esférica pode-se usar como unidade de medida o grau ou o radiano. Uma volta completa sobre a esfera corresponde a 360º.

6) O ângulo sobre a esfera, também chamado de ângulo esférico, é intersecção de duas retas (circunferências máximas) e a sua medida é a mesma do ângulo plano formado pelas tangentes tiradas do ponto de intersecção. (Fig. 2.14)

Figura 2.14

7) Dados três pontos, A, B e C, distintos e não pertencentes a uma mesma circunferência máxima, a figura formada pelos arcos de circunferências máximas, que unem esses pontos dois a dois, chama-se triângulo esférico. (Fig. 2.15)

Figura 2.16

Os lados BC, AC e AB do triângulo esférico são denotados, respectivamente, por a, b e c e medidos pelos ângulos subentendidos por eles no centro da esfera. Os ângulos do triângulo ABC são os ângulos esféricos e que também podem

ser indicados por e ,

respectivamente.(Fig. 2.16) B Aˆ_, ˆ Cˆ

C B A C A

Bˆ _, ˆ ACˆB

A

b c

C a

B

Além dos lados e ângulos, os triângulos esféricos possuem três alturas, três bissetrizes, três medianas, etc. que são definidas da mesma maneira como se faz para os triângulos planos, com a diferença que para os triângulos esféricos, fala-se em circunferências máximas e não em retas.

Os lados dos triângulos esféricos, como foi visto acima, subentendem ângulos com vértices no centro da esfera, por isso podem ser medidos em graus ou em radianos.

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo varia entre 180º e 540º, tendo um valor fixo dependendo do triângulo considerado.

α + β + γ > 180o (fig. 2.17)

Figura 2.17

Dado um triângulo ABC a soma das medidas de seus ângulos pode ser expressa por:

Em relação à soma das medidas dos lados a, b, e c tem-se também uma faixa de variação de extremos 180º e 360º, ou seja:

180º < a + b + c < 360º

sendo que nenhum dos lados do triângulo esférico pode ser maior do que 180º. Ao contrário dos triângulos planos, os esféricos podem ter os três ângulos medindo 90º e os três lados medindo 90º. Pode-se classificar os triângulos esféricos quanto aos ângulos em retângulo (um ângulo reto), birretângulo (dois ângulos retos) e trirretângulo (três ângulos retos) e quanto aos lados em retilátero (um lado medindo 90º), birretilátero (dois lados medindo 90º, cada um) e trirretilátero (cada um dos lados medindo 90º).

Observando-se as figuras ao lado (Fig. 2.18), a superfície da esfera é dividida em 48 “triângulos”, todos iguais entre si, e cujos ângulos são de 90, 60 e 45 graus:

Figura 2.182

Observando-se os vértices, onde se juntam quatro triângulos (portanto, cada um dos quatro ângulos que aqui se encontram é de 90º = 360º/4), os vértices, onde se juntam seis, cada um com 60º = 360º /6 e outros onde se juntam oito triângulos, cada um com 45º = 360º/8.

No entanto: 90º + 60º + 45º dá 195º, e não 180º: tem-se, portanto, um triângulo cuja soma das medidas dos ângulos não é 180º graus! Porém, o que não deve surpreender muito, porque, na verdade, não se trata propriamente de um triângulo: trata-se de um triângulo “gordo”, desenhado sobre uma esfera, e cujos lados não são segmentos, mas sim o que de mais parecido com segmentos pode ser desenhado numa esfera, ou seja, arcos de círculo máximo.

____________

2.3. O GLOBO TERRESTRE

A primeira referência sobre a esfericidade da Terra que foi encontrada é atribuída a Parmênides de Elea que viveu por volta de 450 a.C (Boyer, p. 55). Parmênides defendeu a esfericidade da terra e seu interior ígneo. O universo teria a terra como centro; em torno se formariam círculos sucessivos de fogo e terra, com sucessões, ora de fogo puro, ora de misturas.

O conceito de geografia (geo (terra [grego])+ graphos (desenho) [latim]) data de aproximadamente do século III, mas o estudo da terra, quer tenha sido as medições da esfera, quer tenha sido um esboço de mapa do mundo conhecido, surgiram antes do conceito de geografia.

A noção mais importante para se entender isso é exatamente aquilo que não era considerado, a terra habitada ou a terra conhecida, ou seja, "as terras mais distantes" a partir das quais foram erigidas as tradições míticas, tanto referentes aos aspectos naturais quanto biológicos. Mais especificamente aos espaços imaginados na superfície da Terra.

Entre 1480 e 1520, ocorreu uma mudança epistemológica em relação à concepção da forma da Terra (RANDLES,1994). Passou-se da visão em que ela era plana à sua redondeza, o que alterou profundamente o pensamento e a história da Geografia. Antes dessa mudança, as várias concepções medievais teriam partido de duas noções de Terra: uma plana e outra redonda, de Crates de Malo (c.160 a.C.) e de Aristóteles (384-322 a.C.). Elas originaram as sínteses bíblicas (cratesiana e aristotélica), a teoria das cinco esferas e da existência ou não dos antípodas, bases da concepção de ecúmeno medieval.

das cinco zonas pré-supunha uma terra redonda, atribuída a Parmênides (V a.C.), pressupunha uma terra redonda dividida em duas zonas geladas, uma tórrida e duas temperadas, diametralmente opostas, somente nestas duas últimas seria possível a existência de pessoas, redefinindo o ecúmeno cristão e fonte importante na discussão acerca da existência dos antípodas. Entre os argumentos defendidos por clérigos medievais que duvidavam da existência de seres humanos no outro hemisfério, estava a impossibilidade das pessoas viverem de cabeça para baixo sem cair "para fora" da Terra ! (RANDLES,1994)

As especulações sobre a forma da Terra estavam ligadas ao ecúmeno, terra habitada (ou habitável) que representava o espaço geográfico da cristandade ao alcance da palavra de Deus. Logo, tem-se especulações sobre a extensão deste "ecúmeno cristão", reproduzido cartograficamente sob a forma dos mapas T-O, que datam desde o século VII. Estes mapas se caracterizavam por dispor os continentes - Europa, Ásia e África - divididos pelo Mar Mediterrâneo e seu núcleo central era a cidade de Jerusalém, o "umbigo do mundo".

RANDLES (1994) afirma que até 1520, coexistiram várias interpretações acerca da forma da Terra. , com desdobramentos vários sobre as terras possíveis de existir (i.e. as Quatro Ilhas, o Grande Hemisfério Austral). Porém, outras interpretações de caráter geográfico desenvolveram-se durante a chamada Idade Média e algumas sobreviveram até o século XVII. Elas se referem aos habitantes do hemisfério e de regiões na época desconhecidas.

Medindo a circunferência da Terra

Em Boczko (1988) encontra-se um modelo de como determinar as estações do ano.

Finquemos uma vara num plano horizontal. Tal associação pode ser chamada Gnômom (relógio solar [grego]). Verifica-se que a sombra da vara, causada pela luz solar, varia durante o dia.

O instante em que a sombra da vara tem o menor comprimento do dia será chamado de Meio-Dia.

Se medirmos o comprimento da sombra da vara ao meio-dia, durante vários dias sucessivos veremos que ela varia.

Figura 2.19

Os instantes em que ocorriam as sombras com comprimentos PA e PC recebiam o nome de solstícios (sol estático [latim]. Os instantes correspondentes às sombras de comprimento PB, onde B pertence a bissetriz do ângulo , recebem o nome de Equinócios (duração igual do dia e noite [latim]). (Fig. 2.19)

C V P ˆ

Convencionou-se dizer que o ano estava dividido em 4 estações. Os antigos notaram que quando a sombra era mínima (PA) o clima mostrava-se mais quente;quando a sombra era a mais longa, estava-se com a temperatura mais baixa. Assim temos:

• Solstício de Verão – é o instante em que a sombra é mínima (PA). Define o início de Verão.

• Equinócio de Outono – é o instante em que a sombra é (PB), indo de A para C. Define o início do Outono.

• Equinócio da Primavera – é o instante em que a sombra é (PB), indo de C para A. Define o início da Primavera.

Há vários séculos antes de Cristo alguns povos já tinham verificado que o tempo necessário para que a sombra ao meio-dia voltasse a ter o mesmo tamanho era de cerca de 365 dias. Sabemos hoje, ser de 365,242199 dias.

Se precisarmos medir a circunferência de uma bolinha de isopor, podemos colocar uma linha ou fita em torno dela e medir o comprimento obtido com uma régua. Mas, como fazer para medir a circunferência da Terra?

A partir de uma informação obtida num papiro da biblioteca de Alexandria, Erastóstenes obteve um valor aproximado do raio da Terra.

Na cidade de Siene, localizada no Egito, no dia mais longo do ano (chamado solstício de verão), ao meio-dia, uma estaca em posição vertical não projetava sombra e o reflexo do Sol podia ser visto

na água, no fundo de um poço. _{Figura 2.20}3

Eratóstenes, então, fez o seguinte experimento: (Fig.2.21)

Verificou que em Alexandria, no solstício de verão, próximo ao meio-dia, estacas verticais projetavam sombra.

O Sol está tão distante que seus raios são paralelos quando chegam à Terra.

Pelo comprimento da sombra em Alexandria, o ângulo foi medido,

encontrando-se aproximadamente 7°12'. Figura 2.21

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