MAE0229 – Introdução em Probabilidade e Estatística II 1

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MAE0229 – Introdução em Probabilidade e Estatística II

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semestre de 2016

Lista de exercícios 3 – Estimação II – C A S A

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Exercício 1 (Capítulo 11.10, Exercício 24)

Um pesquisador esta estudando a resistência de um determinado material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com desvio padrão de duas unidades.

(a) Utilizando os valores 4.9, 7.0, 8.1, 4.5, 5.6, 6.8, 7.2, 5.7, 6.2 unidades, obtidos de uma amostra de tamanho 9, determine o intervalo de confiança para a resistência média com um coeficiente de confiança 𝛾 = 0.90.

(b) Qual o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido, ao estimar a resistência média, não seja superior a 0.01 unidade com probabilidade 0.90?

(c) Suponha que no item (a) não fosse conhecido o desvio padrão. Como você procedia para determinar o intervalo de confiança, e que suposições você faria para isso?

Construa o intervalo de confiança para a resistência média com o mesmo coeficiente de confiança de 𝛾 = 0.90.

*Exercício 02 (Capítulo 11.10, Exercício 44)

Para estimar a média 𝜇 desconhecida de uma população, foram propostos dois estimadores não viesados independentes 𝜇̂₁ e 𝜇̂₂, de tal sorte que 𝑉𝑎𝑟(𝜇̂₁) = 𝑉𝑎𝑟(𝜇̂₃)/

3. Considere os seguintes estimadores ponderados de 𝜇:

(a) 𝑇₁ = (𝜇̂₁+ 𝜇̂₂)/2;

(b) 𝑇₂ = (4𝜇̂₁+ 𝜇̂₂)/5;

(c) 𝑇₃ = 𝜇̂₁.

i. Quais estimadores são não viesados e porque?

ii. Dispor esses estimadores em ordem crescente de variância deles.

*Exercício 03 (Capítulo 11.10, Exercícios 37,38,39)

Suponha que a distribuição populacional é uniforme no intervalo (0, 𝜃), onde 𝜃 é desconhecido. Uma amostra de 𝑛 observações é escolhida 𝑋₁, … , 𝑋_𝑛

(a) Calcule 𝐸(𝑋̅) e 𝑉𝑎𝑟(𝑋̅). Como estimador de parâmetro desconhecido 𝜃 escolhemos 𝜃̂ = 2𝑋̅. Esse estimador é viesado? Esse estimador é consistente?

(b) Outro estimador pode ser 𝜃̂⁽¹⁾ = max (𝑋₁, … , 𝑋_𝑛). A densidade 𝑓(𝑥) da distribuição desse estimador é dada pela seguinte fórmula:

𝑓(𝑥) = {𝑛𝑥^𝑛−1/𝜃^𝑛 𝑥 ∈ (0, 𝜃) 0 𝑥 ∉ (0, 𝜃)

Mostre que 𝐸(𝜃̂⁽¹⁾) = 𝜃𝑛/(𝑛 + 1). Esse estimador é viesado? Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝜃̂⁽¹⁾).

Qual dos estimadores 𝜃̂ ou 𝜃̂⁽¹⁾ você usaria como estimador?

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