MAT 2110 : C´ alculo para Qu´ımica
Aula 27/ Segunda 19/05/2014
Sylvain Bonnot (IME-USP)
2014
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Resumo Aula 26
1 Site:http://www.ime.usp.br/~sylvain/courses.html
2 Propriedades das integrais:
1 Integrais e desigualdades:
Sef(x)≥g(x)paraa≤x≤bent˜aoRb
a f(x)dx≥Rb a g(x)dx
2 ”Linearidade da integral”:
Z b
a α.f(x) +β.g(x)dx=α.
Z b
a f(x)dx+β.
Z b a g(x)dx
3 Rc
af(x)dx=Rb
a f(x)dx+Rc b f(x)dx
3 Teorema fundamental do c´alculo:parte 1 e parte 2
Teorema fundamental do c´ alculo
Teorema (Teorema fundamental do c´alculo, parte 1) Se f for cont´ınua em[a,b]ent˜ao a fun¸c˜ao g definida por
g(x) =
Z x
a
f(t)dt, a≤x≤b
´e continua em[a,b]e diferenci´avel em(a,b)e g0(x) =f(x). Teorema (Teorema fundamental do c´alculo, parte 2) Se f for cont´ınua em[a,b]ent˜ao
Z b
a f(t)dt=F(b)−F(a)
onde F ´e qualquer antiderivada de f , isto ´e, uma fun¸c˜ao tal que F0 =f .
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Praticar: calcule as derivadas
Exerc´ıcio
Calcule as derivadas:
1 h(x) =R
√x 1
z2 z4+1dz
2 y=Rx4
0 cos2θdθ.
Praticar: calcular a integral (se existe)
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Praticar com integrais
Exerc´ıcio
A fun¸c˜ao erro em probabilidade ´e dada por erf(x) = √2
π Z x
0 e−t2dt.
Mostrar que ex2erf(x)satisfaz a equa¸c˜ao diferencial y0 =2xy+ √2
π
Exerc´ıcio
Determinar os intervalos de concavidade para y=
Z x
0
t2 t2+t+2dt
C´ alculo de ´ areas 1
Defini¸c˜ao
Seja f cont´ınua em[a,b]com f(x)≥0em[a,b]. Vamos definir A como o conjunto do plano limitado pelas retas x=a, x=b, y=0e pelo gr´afico de y=f(x). Ent˜ao:
´area A=
Z b
a f(x)dx.
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Areas entre duas curvas ´
Defini¸c˜ao
A ´area A da regi˜ao limitada pelas curvas y=f(x), y=g(x)e as retas x=a e x=b onde f e g s˜ao cont´ınuas e f(x)≥g(x)para todo x∈[a,b]´e:
A=
Z b
a
[f(x)−g(x)]dx.
Exerc´ıcio
Encontre as ´areas das regi˜oes sombreadas:
Areas entre duas curvas ´
Exerc´ıcio
Encontre a ´area da regi˜ao entre y =x e y=x2
Solu¸c˜ao: Temos que determinar a intersec¸˜ao das duas curvas:
x=x2 ⇒x=0oux=1 Depois, entrex=0 ex=1 temos quex≥x2ent˜ao:
A=
Z 1
0
(x−x2)dx= [x
2
2 − x
3
3]10 = 1 2−1
3 = 1 6
9
Areas entre duas curvas ´
Exerc´ıcio
Encontre a ´area da regi˜ao entre y =√
x e y=x/2e0≤x≤9
Fun¸c ˜oes dey:as vezes, ´e mais facil de descrever uma regi˜ao com curvas do tipox=g(y).
Areas entre duas curvas ´
Fun¸c ˜oes dey:
Exerc´ıcio
Encontre as ´areas das regi˜oes sombreadas:
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Movimento de uma particula no eixo x
Uma particula se desloca no eixox, com equac¸˜aox=x(t)e velocidade v=v(t)(func¸˜ao cont´ınua em[a,b]).
Defini¸c˜ao
O deslocamento da particula entre os instantes a e b ´e a diferen¸ca x(b)−x(a) =
Z b
a v(t)dt Defini¸c˜ao
O espa¸co percorrido pela particula entre os instantes a e b ´e definido como:
Z b
a
|v(t)|dt
Movimento de uma particula no eixo x
Exerc´ıcio
Uma particula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) =2t−3, t≥0.
1 Calcule o deslocamento entre t=1e t=3.
2 Qual ´e o espa¸co percorrido entre os instantes t=1e t=3?
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Valor M´ edio de uma fun¸c˜ ao
Para uma quantidade finita de n ´umeros:
ymed = y1+y2. . .+yn n
Para um n ´umero infinito de medidas: dado um gr´afico da
temperaturaT=f(t)0≤t≤24 horas, podemos fazer 24 medidas e calcular a m´edia (isto ´e fazer uma medida durante a primeira hora do dia, uma medida durante a segunda hora, etc...)
f(x?1) +. . .+f(x?n)
n , comn=24
mas temos que
f(x?1) +. . .+f(x?n)
n = 1
b−a.b−a
n .(f(x?1) +. . .+f(x?n)) cujo limite ´e b−1aRb
a f(x)dx
Valor M´ edio de uma fun¸c˜ ao
Ent˜ao podemos definir:
Defini¸c˜ao
O valor m´edio da fun¸c˜ao f no intervalo[a,b]´e:
fmed = 1 b−a
Z b
a f(x)dx Teorema
Se f ´e cont´ınua em[a,b]ent˜ao existe um c∈ [a,b]tal que Z b
a f(x)dx=f(c).(b−a) Prova:O teorema do valor m´edio paraF(x) =Rx
a f(t)dtdiz que existe c∈(a,b)tal queF(b)−F(a) =F0(c).(b−a). Mas agora, temos que F(b)−F(a) =Rb
a f(t)dt.
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Valor M´ edio de uma fun¸c˜ ao
Exerc´ıcio
Se uma xicara de caf´e tem uma temperatura de95graus, em uma sala cuja temperatura ambiente ´e de 20 graus. De acordo com a Lei de resfriamento de Newton, a temp. do caf´e ap´os t minutos ser´a:
T(t) =20+75e−t/50
Qual ´e a temperatura m´edia do caf´e durante a primeira meia hora?
