Compactiﬁcados equivariantes

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Compactificados equivariantes

Vladimir Pestov

1University of Ottawa / Université d’Ottawa Ottawa, Ontario, Canadá

2Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis, SC, Brasil

USP, Workshop de encerramento, 16 do Março 2017

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Compactificados

Noção

SejamX um espaço topológico,K um espaço compacto,i:X ÑK uma aplicação contínua tal queipXqé denso emK (isso é, a

adherência deipXqéK). Então, o parpK,iqé umcompactificadode X.

K

X

i i(X)

Por abuso da língua: K é um compactificado deX.

Vladimir Pestov (U. Ottawa / UFSC) Compactificados equivariantes USP, Workshop de encerramento, 16.03.2017 2 / 21

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Compactificado de Stone- ˇ Cech

X

//βX

K

CpβXq “CBpXq,βX “espaço de ideais maximais βX ĎCBpXq¹

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Compactificados equivariantes

Noção

Seja um grupo topológicoGage sobre um espaçoX e um espaço compactoK:

G ý X, G ý K.

Sejai:X ÑK uma aplicação contínuaequivariante:

g¨ipxq “ipg¨xq.

K

x i(x)

gx

gi(x) i

X

Se a imagemipXqé denso emK, dizemos quepK,iqé um compactificado equivariantedeX.

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Compactificados equivariantes

Exemplos

O compactificado trivial,X Ñ t˚u, é sempre equivariante.

O grupo ortogonalOp`²qage sobre a esfera,S, assim que sobre a bola unitária,B, com a topologia fraca. A imerção canónica,

i:SãÑB,

e um compactificado equivariante da esfera.

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Compactificados equivariantes

Exemplos

θ

R 2

R², munido da ação do grupo compactoT“ tz PC:|z|“1upelas rotações

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Compactificados equivariantes

Exemplos

T dois pontos fixos pelo

Compactificado pelo um ponto fixo,8. (Compactificadoequivariante).

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Pergunta motivadora

Existe um compactificado equivarianteK comi:X ãÑK um homeomorfismo sobre a imagem?

É trivial mostrar a existência do compactificado equivariante universal:

X

!!

i //β_GX

K

Quandoi é um homeomorfismo sobre a imagem?

Por exemplo, seGé discreto: a ação deX sobreX estende-se sobre βX, logo

β_GX “βX.

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Pergunta motivadora

É preciso entender o “tamanho” do compactificado equivariante maximal deX. Notação: β_GX.

Por exemplo, pode ser que

β_GX “βX,

qualquer sejaG?

Investigaremos paraT ý R². É verdade queβ_TR²“βR²?

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Funções RUCB

SeGage sobre um compactoK, entãoGage sobre o espaço de BanachCpKq:

CpKq Qf ÞÑ^gf PCpKq, ^gfpxq “fpg^´1xq

Esta ação é contínua, particularmente aaplicação de órbitaé contínua:

GQgÞÑ^gf PCpKq.

Isso signífica:

@εą0, DV Qe, @x PK,@g PV, |fpxq ´fpgxq|ăε.

Uma funçãof PCBpXqse estende sobreβ_GX se e somente sef satisfaz esta condição.

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Funções RUCB

SeG ý X, então umaf:X ÑRlimitada, que satisfaz

@εą0, DV Qe, @x PK,@gPV, |fpxq ´fpgxq|ăε

é ditaτ-uniforme, ou melhoruniformemente contínua a direita.

SeX “Gmunido da ação a esquerda, ðñ f é uniformemente contínua a direita.

Umaf:X ÑRprolonge-se sobreβ_GX se e somente sef é τ-uniforme.

Relembramos: cadafunção contínua e limitada prolonge-se sobreβX. Para mostrar queβ_TR²é menor queβR², basta monstrar uma função contínua limitadaf:R²ÑRque não éτ-uniforme.

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Caso T ý R

²

Sejaf:R²ÑRuma função limitada. Então,

@εą0, Dθą0, @x PR²,@φ, |φ|ăθñ|fpxq ´fpφxq|ăε.

ε

θ

f

< R

Por exemplo,fpxq “cosx₁não é RUCB.6β_TR²‰βR².

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Caso de grupos localmente compactos

R. Palais - grupos de Lie (1960); Jan de Vries - caso geral (1977)

Pergunta: Existe sempre um compactificado equivariante tal que i:X ãÑK é um homeomorfismo entreX e sua imagem,ipXq?

teorema: SiGé localmente compacto, sim:X imerge-se, como um sub-espaço topológico e da maneira equivariante, emβ_GX.

Por exemplo, todos os grupos compactos, todos os grupos de matrizes, ...

Basta construir muitas funções RUCB que separam os pontos e os conjuntos fechados – como no axiomaT₃1

2.

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Caso de grupos localmente compactos

Ideia da prova, casoGcompacto.

L²pG, ν;`²q “L²pG, νq b`², umG-modulo unitário.

X ãÑ^j S⁸, a esfera de`², topologicamente.

X ÑL²pG, ν;`²q:

X Qx ÞÑ rg ÞÑjpgxqs é uma imerção topológica equivariante.

Gage continuamente sobre o dual deL²pG, ν;`²q, e os funcionais duais são RUCB sobreX.

GLC: mesmas ideias, um pouco mais complicado.

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Caso geral

Exemplo do Michael Megrelishvili (1988)

Um grupo polonêsGagindo sobre um espaço polonêsX de maneira quei:X Ñβ_GX não é um homeomorfismo sobre a imagem.

0

... ...

... ....

pontos fixos

o leque metrico

t t t t t t

1 2 3 4 5 n

t

X é o leque métrico;dpt_i,t_jq “2,@i‰j;

Gé o grupo de homeomorfismos consevando os pontos fixos, com a topologia de convergência simples (compacto-aberta)

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Caso geral

uniforme

... ...

... ....

t t t t t t

1 2 3 4 5 n

t₀ pontos

controlando a vizinhanca

V no grupo f

R

τ−

Qual quer sejaεą0, sobre todos segmentos exceito um número finito,f tem uma oscilaçãoăε.

6emβ_GX, temosipt_nq Ñipt₀q. (emX, não).

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Caso geral

0

... ...

... ....

t t t t t t

1 2 3 4 5 n

t0

t’

Emβ_GX, temosipt_nq Ñipt₀qeipt_nq Ñipt₀¹q, 6ipt₀q “ipt₀¹q,i não é injetiva!

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Caso geral

Meu exemplo (Dez. 2015)

Pergunta(Yu. Smirnov, meados de 1980): Existe um grupo topológico Gagindo sobre um espaçoX da maneira queβ_GX “ tastu?

Sim. A construção recursiva.

....

...

(19)

Caso geral

Meu exemplo (Dez. 2015)

Pergunta(Yu. Smirnov, meados de 1980): Existe um grupo topológico Gagindo sobre um espaçoX da maneira queβ_GX “ t˚u?

....

...

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Caso geral

Meu exemplo (2016, arXiv:1601.03084)

Pergunta(Yu. Smirnov, meados de 1980): Existe um grupo topológico Gagindo sobre um espaçoX da maneira queβ_GX “ tastu?

.

...

... ....

. .

Podemos obter um espaçoX –Q, e um grupo agindo polonês,G.

Não tem compactificados equivariantes não triviais.

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Perguntas em aberto

‚Existe um exemplo “natural” de um grupo topológicoGagindo sobre um espaçoX da maneira queβ_GX “ t˚u?

‚R-arvores de Gromov...?

‚Pode ser um grupo de homeomorfismos de`²?

‚Furstenberg e Scarr: existe uma ação transitiva comβ_GX “ t˚u?

(não pode ser polonesa)

‚O resultado lindo de L. Stoyanov: β_Up`2qsS⁸“B⁸. Os espaçosL^pp0,1q,p ‰2?

‚B⁸é o compactificado de Gromov da esfera: definido pelas funções da distância. SejaE um espaço de Banach comIsopEq

quase-transitiva, eg Gurarij. Então,β_IsopE_qSE é o compactifidado de Gromov da esfera?

‚De mesmo, para a esfera de Urysohn?