MAT0313 - Álgebra III 1o. semestre/2010
LISTA 2
1. Calcule Gal(Q(√ 2)/Q).
2. Determine Gal(L/Q), ondeLé corpo de raízes deX3−2 sobreQ.
3. Determine Gal(Q(√ 2,√
3)/Q)e encontre todos os corpos intermediários entreQeQ(√ 2,√
3). 4. Determine Gal(L/Q), ondeL=Q(√
2,√
3,u)eu2= (√
3+3)(√ 2+2). 5. SejaG=Gal(R/Q).
(a) Mostre que todoα∈ Gpreserva a ordem natural deR, isto é, que para todosx,y∈R,x<y⇒ α(x)<α(y).
(b) Mostre queGé trivial.
6. Descreva todos os automorfismos deQ(√5
7)que deixam fixos os elementos deQ.
7. (a) SejaKum corpo e seja f ∈ K[X]um polinômio comrraízes distintas em um corpo de raízesL sobreK. Mostre que Gal(L/K)é isomorfo a um subgrupo do grupo simétricoSr.
(b) Suponha que f = X3+aX2+bX+c ∈ Q[X]é irredutível e tem apenas uma raiz real e sejaL um corpo de raízes de f sobreQ. Mostre que Gal(L/Q)é isomorfo aS3.
8. Encontre o corpo de raízes L, contido emC, do polinômio f = X4−4X2−1 sobreQ. Calcule o grupo de GaloisG = Gal(L/Q) e exiba a corresponência entre os subgrupos deGe os corpos intermediários da extensãoL/Q.
9. SejaK um corpo e seja f ∈ K[X]. SejaL um corpo de raízes de f sobreKe seja G = Gal(L/K). Dizemos queG age transitivamenteno conjunto das raízes de fse dadas quaisquer duas raízesu,vde f emL, sempre existir pelo menos umσ∈Gtal queσ(u) =v. Mostre queGage transitivamente no conjunto das raízes def se, e somente se, f for da forma
f =λpn,
para algumλ∈K,num inteiro positivo ep∈K[X]irredutível sobreK.
10. SejaKum corpo de característica positivap. Sejaa∈Kum elemento que não é da formabp−b, para nenhumb∈K. Seja f =Xp−X−a∈K[X]e sejaLum corpo de raízes de f sobreK.
(a) Mostre que sew∈ Lé uma raiz def, entãow,w+1, . . . ,w+ (p−1)são todas as raízes de f. (b) Mostre que f é irredutível sobreK.
(c) Determine, a menos de isomorfismo, Gal(L/K).
11. SejaL/Kuma extensão galoisiana de corpos e sejaG=Gal(L/K). Considere a seguinte função T: L −→ L
u 7−→
∑
σ∈G
σ(u). Dadou∈L, o elementoT(u)denomina-setraçodeu.
(a) Mostre queTé uma transformação linear deLvisto como espaço vetorial sobreK.
(b) Mostre que im(T) =K.
(c) Suponha queG seja cíclico gerado pelo automorfismoσ. Defina τ = σ−1 (aqui 1 denota o elemento identidade deG). Mostre que ker(T) =im(τ).
12. SejaL/Kuma extensão galoisiana e sejaG=Gal(L/K). Para cadaα∈ L∗=L\ {0}, defina N(α) =
∏
σ∈G
σ(α). (a) Mostre queN(α)∈K∗, para todoα∈L∗.
(b) Mostre queN(αβ) =N(α)N(β), para todosα,β∈L∗.
(c) Mostre que se σ ∈ G, então N(σ(α)) = N(α), para todo α ∈ L∗. (Note que daí segue que N(βσ(β)−1) =1, para todoβ∈L∗.)
1
(d) Suponha queGseja cíclico gerado porτe que[L:K] = n. Sejaα∈ L∗e considere os seguintes elementos deL∗:
c0=α c1=ατ(c0) ...
cn−1=ατ(cn−2) Mostre que existeγ∈L∗tal que
c0γ+c1τ(γ) +· · ·+cn−1τn−1(γ)6=0 e que seN(α) =1, entãoα=βτ(β)−1, onde
β=c0γ+c1τ(γ) +· · ·+cn−1τn−1(γ).
13. SejaL/Kuma extensão galoisiana tal que [L : K] = pnm, onde p é um primo que não dividem.
Mostre que existe um corpoF,K⊆F⊆L, com[F:K] =m.
14. Sejamp,qprimos distintos e sejaL=Q(√ p,√
q). (a) Mostre que Gal(L/Q)é isomorfo ao grupo de Klein.
(b) Mostre que todo subcorpo deLde grau 2 sobreQé da formaQ(√
m), ondem∈ {p,q,pq}. 15. Suponha queL é uma extensão galoisiana de um corpoKtal que [L : K] = 53(43)2. Mostre que
existem extensõesF1eF2deK, contidos propriamente emL, tais que:
(i) cadaFié uma extensão galoisiana deF;
(ii) F1∩F2=K;
(iii) F1F2=L.
16. SejaL/Kuma extensão galoisiana de graup2qonde peqsão primos,q < peqnão divide p2−1.
Demonstre as afirmações abaixo.
(a) Existem corpos intermediáriosFeEtais que[F:K] =p2e[E:K] =q.
(b) As extensõesF/KeE/Ksão galoisianas.
(c) O grupo de Galois deL/Ké abeliano.
17. SejaKum corpo, sejanum inteiro positivo. Suponha queKcontenha uma raizn-ésima primitiva da unidade. Sejaa∈ K. Considere o polinômio f = Xn−a ∈ K[X]e sejaLum corpo de raízes de f sobreK.
(a) Mostre que existe um homomorfismo injetor de gruposϕ: Gal(L/K)−→Z/nZ, onde a opera- ção emZ/nZé a soma usual deZ/nZ.
(b) Mostre que o homomorfismoϕdo item anterior é também sobrejetor se f for irredutível.
18. SejaL/Kuma extensão galoisiana de corpos com[L:K] =pnm, ondepé um número primo epnão dividem. Mostre queLcontém um subcorpoFtal queK⊆Fe[F:K] =m.
19. SejaM/K uma extensão de corpos e sejamLe Fdois corpos intermediários (isto éK ⊆ L ⊆ Me K ⊆ F ⊆ M). Denote porFLo subcorpo de Mgerado pelo conjuntoF∪L(isto é, FLé o menor subcorpo deMque contémFeLcomo subcorpos).
(a) Mostre que seLé um corpo de raízes de um polinômio f ∈K[X]sobreK, entãoFLé um corpo de raízes de f sobreF.
(b) Mostre que seL/Kfor galoisiana, entãoFL/Fserá galoisiana.
(c) Mostre que seL/Kfor galoisiana, então Gal(FL/F)∼=Gal(L/L∩F). (Sugestão:Observe que se σ∈Gal(FL/F), entãoσ|L∈Gal(L/L∩F).)
20. Uma extensão de corposL/Ké ditaabelianase for galoisiana e Gal(L/K)for um grupo abeliano.
(a) Seja F um corpo tal queK ⊆ F ⊆ L. Mostre que se L/K for abeliana, então L/F e F/K são abelianas.
(b) Mostre que seL/Kfor uma extensão abeliana, então para cada divisordde [L : K]existe um corpoFtal queK⊆F⊆ Lcom[F:K] =d.
(c) O resultado do item (b) continua válido para extensões galoisianas não necessariamente abelia- nas?
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