RACIOCÍNIO LÓGICO
Princípio da Regressão ou Reversão. Lógica Dedutiva, Argumentativa e Quantitativa. Lógica matemática quali- tativa, Sequências Lógicas envolvendo Números, Le- tras e Figuras.
Geometria básica.
Álgebra básica e sistemas lineares.
Calendários.
Numeração.
Razões Especiais.
Análise Combinatória e Probabilidade.
Progressões Aritmética e Geométrica.
Conjuntos; as relações de pertinência, inclusão e igual- dade; operações entre conjuntos, união, interseção e diferença.
Comparações.
Princípio da regressão
Este princípio tem como objetivo resolver determinados pro- blemas de forma não algébrica, mas utilizando uma técnica baseada em raciocínio lógico, conhecida comoprincípio da regressão ou reversão.
Esta técnica consiste em determinar um valor inicial pedido pelo problema a partir de um valor final dado. Utiliza-se para resolução dos problemas as operações matemáticas básicas com suas respectivas reversões.
Fundamento da regressão
Utilizando as quatro operações fundamentais, podemos obter uma construção quantitativa lógica fundamentada no princípio da regressão, cujo objetivo é obter o valor inicial do problema proposto através da operação inversa.
Veja o exemplo abaixo:
1 – Uma pessoa gasta metade do seu capital mais R$ 10,00, ficando sem capital algum. Quanto ela possuía inicialmente?
Solução:
No problema acima, a pessoa gastou em dinheiro (– R$
10,00), ou seja, houve uma perda. Pelo princípio da regres- são, iremos supor que ele recuperará o dinheiro, para que possamos chegar à situação inicial (+ R$ 10,00). Posterior- mente, ele gasta metade do seu capital (÷2). Para voltarmos a situação inicial devemos multiplicar por 2 o valor em dinhei- ro que ele possuía. Logo, 2 × R $10,00 = R$ 20,00.Aprimore
Método dedutivo é a modalidade de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinada(s)premissa(s).
A indução normalmente se contrasta à dedução.
Essencialmente, os raciocínios dedutivos se caracterizam por apresentar conclusões que devem, necessariamente, ser verdadeiras caso todas as premissas sejam verdadeiras se o raciocínio respeitar uma forma lógica válida.
Partindo de princípios reconhecidos como verdadeiros (premissa maior), o pesquisador estabelece relações com uma segunda proposição(premissa menor) para, a partir de raciocínio lógico, chegar à verdade daquilo que propõe (con- clusão).
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Raciocínio lógico-quantitativo é a conta matemática que é possível fazer de cabeça geralmente são problemas matemáticos básicos que a gente resolve só de olhar.
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Lógica Matemática
Imagine que você foi convocado a participar de um júri em um processo criminal e o advogado de defesa apresenta os seguintes argumentos:
“Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta.
Ou a faca não estava na gaveta ou José da Silva viu a faca.
Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que José da Silva não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente.
Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Como você deveria votar o destino do réu?
E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o argumento com a notação de lógica formal, que retira todo o palavrório que causa confusão e permite que nos concentre- mos na argumentação subjacente.
A lógica formal fornece as bases para o método de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional.
"Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de ra- ciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequencia coe- rente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas."
(dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica e a ciência do raciocínio.
1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATE- MÁTICA
1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciên- cia do raciocínio pode ser subdividida em duas grandes cor- rentes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal.
Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em proces- sos não matemáticos, processos não analíticos, sendo que suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer que a Lógica Clássica tem um caráter intuitivo.
Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras tendências a Lógica Matemática, esta baseada em métodos e técnicas matemáticas.
A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbo- lismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na ins- tância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segun- do operações e ralações de cálculo específico.
1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS:
A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo propo- sicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) como elementos geradores. No cálculo dos predicados os elementos de análise correspondem às chamadas funções proposicionais.
No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto no segundo caso.
Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo proposicional.
1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO
É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo para a qual se associa apenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso.
São exemplos de proposições:
Quatro e maior que cinco.
Ana e inteligente.
São Paulo e uma cidade da região sudeste.
Existe vida humana em Marte.
A lua é um satélite da Terra Recife é capital de Pernambuco
Exemplos de não proposições:
Como vai você?
Como isso pode acontecer!
1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS:
A Lógica Matemática constitui um sistema científico regido por três leis principais, consideradas princípios fundamentais:
Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão so- mente dois “estados de verdade”, isto é, a “verdade” e a “não verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema biva- lente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade servem para caracterizar todas as situações possíveis sendo mutua- mente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a existência da segunda).
Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer entidade (proposição ou enunciado) em Lógica Matemática apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será corres- pondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente.
2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTA- ÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔ- MICO OU BIVALENTE:
A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sis- tema científico de raciocínio, que se baseia em estados biva- lentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de suas entidades pode-se predicar a “verdade” ou a “falsidade”, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalente esta- belecido desenvolver-se-á um método analítico de raciocínio que objetiva analisar a validade do processo informal a partir das denominadas primeiras verdades, “primícias”.
2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL:
Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fun- damentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, de sentido completo e não elípticas (não ambíguas).
Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sen- tido completo que expressão um determinado pensamento são denominado predicados ou enunciados, as quais de acordo com o universo relacional onde se encontram é sem- pre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”.
São exemplos de proposições em lógica:
“A filosofia é a lógica dos contrários”
“Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um logaritmo vermelho é um abacate feliz”.
“Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racio- nais são homens solitários”.
No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a forma do enunciado e não o significado que esta alcança no mundo real.
Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o nú- mero de nomes e/ou predicados que constituem as senten- ças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem às denominadas proposições simples ou proposições com- postas.
2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES:
Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma pro- posição atômica, constituem a unidade mínima de análise do cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que não existe nenhuma outra proposição como parte integrante de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras latinas minúsculas tais como:
p, q, r, s, u, v, w, p1, p2. . . ¸pn...
As quais são denominadas letras proposicionais ou variá- veis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra proposicional p designa a sentença: “A Matemática é atributo da lógica”, adota-se a seguinte notação:
p: A matemática é atributo da lógica.
Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da lógica” não corresponde a uma proposição simples, pois possui como parte integrante de si outra proposição.
2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS:
Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo consti- tuída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possu- em como parte integrante de si própria pelo menos uma outra proposição.
As proposições compostas serão designadas pelas letras latinas maiúsculas tais como:
P, Q, R, S, U, V, W, P1, P2. . . Pn...
Considere as proposições simples:
p: A filosofia é arte q: A dialética é ciência.
Seja, portanto, a proposição composta “A filosofia é arte embora a dialética é a ciência”.
Para se indicar que a dada sentença é designada pela le- tra proposicional P, sendo constituída de p e q componentes adota-se a notação P (p, q): A filosofia é arte embora a dialé- tica é a ciência.
Observe que uma fórmula proposicional pode ser constitu- ída de outras fórmulas proposicionais. Além do mais uma letra proposicional pode designar uma única proposição, quer seja simples ou composta, contudo uma dada proposição pode ser qualificada por quaisquer das letras proposicionais num dado universo.
Sejam as proposições:
p: A lógica condiciona a Matemática
q: A dialética fundamenta o pensamento ambíguo.
P (p, q): A lógica condiciona a Matemática, mas a dialéti- ca fundamenta o pensamento ambíguo.
Q (p, q): A lógica condiciona a Matemática e/ou a dialéti- ca fundamenta o pensamento ambíguo.
Sejam ainda proposições compostas:
S (P, Q): Se a lógica condiciona a Matemática mas a dia- lética fundamente o pensamento ambíguo, então a Lógica condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pen- samento ambíguo.
De forma simbólica tem-se que;
P (p, q): p mas q Q (p, q): p e/ou q
S (P, Q):Se p mas q, então p e/ou q Observe que: S (P, Q) é análoga a S (p, q).
2.5 VERDADE E VALIDADE:
(Valor lógico ou valor verdade das proposições)
Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sis- tema científico de raciocínios, bivalentes e dicotômicos, em que existem apenas dois “estados de verdade” capazes de gerar todos os resultados possíveis, a “verdade” corresponde a afirmações do fato enquanto tal, sendo a “falsidade” a con- tradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade ou a falsidade, corresponde respectivamente ao “verdadeiro”
ou “falso”, segundo o referencial teórico que institui as deter- minadas entidades “proposições” ou “enunciados”, de um dado universo relacional.
Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade é a negação do fato estabelecido.
Dada uma proposição simples qualquer, designar, por e- xemplo, pela letra proposicional p, tem-se pelos princípios fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a falsidade (F) não se admitindo outra hipótese, e, nem tão pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente, por- tanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simboliza- ção:
V ( p ) = V (valor lógico de p é igual à verdade) ou V ( p )
= F .
Considere uma proposição composta P, constituída das proposições simples p, q, r,...., p1,...., pn componentes. Para
indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula pro- posicional adotar-se-á as notações:
V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = V ou V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = F
É oportuno salientar-se que a lógica matemática não cabe a obrigação de decidir se uma dada proposição é verdade ou falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas das correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a lógica tem por obrigação estruturar métodos ou procedimentos de decisão que permita, num tempo finito, a decisão sobre os valores lógicos de fórmulas proposicionais constituídas de n proposições e m raciocínios (sobre o ponto de vista da anali- ticidade de tais processos). A de se observar também, que validade em lógica matemática corresponde, tão somente a avaliação de argumentos dedutivos ou de inferência de ar- gumentos, não tendo sentido associar validade ou legitimida- de a proposições ou enunciados.
De forma resumida, a validade esta associada à coerên- cia ou a consistência do raciocínio analítico.
2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS:
(ou conectivos proposicionais) Vejam os exemplos:
“A matemática é a juventude da lógica e a lógica é a ma- turidade da matemática”
“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a ma- turidade da matemática”
“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a ma- turidade da matemática e não ambos”
“Se a matemática é a juventude da lógica, então a lógica é a maturidade da matemática”.
“A matemática é a juventude da lógica se, e somente se, a lógica é a maturidade da matemática”.
“Não é fato que a matemática é a juventude da lógica”
Designamos as proposições simples:
p: A matemática é a juventude da lógica q: A lógica é a maturidade da matemática Tem-se que:
P (p, q): p e q.
Q (p, q): p ou q.
R (p, q): p ou q, e não ambos.
S (p, q): Se p, então q.
W (p, q): p se, e somente se q.
P1 (p): não p
Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições compostas anteriormente apresentadas foram obtidas a partir de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto de palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão entre duas ou mais proposições (simples ou compostas), são denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicio- nais, os quais definem classes de fórmulas proposicionais específicas.
Prof.a Paula Francis Benevides Símbolos
∼
∼
∼
∼ não
∧ e
∨ ou
→ se ... então
↔ ↔
↔ ↔ se e somente se
| tal que
implica
⇔
⇔
⇔
⇔ equivalente
∃ ∃
∃ ∃ existe
∃ |
∃ | ∃ |
∃ | existe um e somente um
∀ ∀ ∀
∀ qualquer que seja
Valor lógi-
co Símbolo Expressão
Negação , ¬ , ~
ou ' não, é falso, não é verdade que Conjunção e, mas , também, além disso
Disjunção ou
Condicional se...então, implica, logo, somente se Bi-
condicional ...se, e somente se...; ...é condição necessária que ...
ALGUMAS NOÇÕES DE LÓGICA António Aníbal Padrão
Introdução
Todas as disciplinas têm um objecto de estudo. O objeto de estudo de uma disciplina é aquilo que essa disciplina es- tuda. Então, qual é o objecto de estudo da lógica? O que é que a lógica estuda? A lógica estuda e sistematiza a validade ou invalidade da argumentação. Também se diz que estuda inferências ou raciocínios. Podes considerar que argumentos, inferências e raciocínios são termos equivalentes.
Muito bem, a lógica estuda argumentos. Mas qual é o in- teresse disso para a filosofia? Bem, tenho de te lembrar que a argumentação é o coração da filosofia. Em filosofia temos a liberdade de defender as nossas ideias, mas temos de sus- tentar o que defendemos com bons argumentos e, é claro, também temos de aceitar discutir os nossos argumentos.
Os argumentos constituem um dos três elementos cen- trais da filosofia. Os outros dois são os problemas e as teori- as. Com efeito, ao longo dos séculos, os filósofos têm procu- rado resolver problemas, criando teorias que se apoiam em argumentos.
Estás a ver por que é que o estudo dos argumentos é im- portante, isto é, por que é que a lógica é importante. É impor- tante, porque nos ajuda a distinguir os argumentos válidos dos inválidos, permite-nos compreender por que razão uns
são válidos e outros não e ensina-nos a argumentar correc- tamente. E isto é fundamental para a filosofia.
O que é um argumento?
Um argumento é um conjunto de proposições que utiliza- mos para justificar (provar, dar razão, suportar) algo. A pro- posição que queremos justificar tem o nome de conclusão; as proposições que pretendem apoiar a conclusão ou a justifi- cam têm o nome de premissas.
Supõe que queres pedir aos teus pais um aumento da
"mesada". Como justificas este aumento? Recorrendo a ra- zões, não é? Dirás qualquer coisa como:
Os preços no bar da escola subiram;
como eu lancho no bar da escola, o lanche fica me mais caro. Portanto, preciso de um aumento da "mesada".
Temos aqui um argumento, cuja conclusão é: "preciso de um aumento da 'mesada'". E como justificas esta conclusão?
Com a subida dos preços no bar da escola e com o facto de lanchares no bar. Então, estas são as premissas do teu ar- gumento, são as razões que utilizas para defender a conclu- são.
Este exemplo permite-nos esclarecer outro aspecto dos argumentos, que é o seguinte: embora um argumento seja um conjunto de proposições, nem todos os conjuntos de proposições são argumentos. Por exemplo, o seguinte con- junto de proposições não é um argumento:
Eu lancho no bar da escola, mas o João não.
A Joana come pipocas no cinema.
O Rui foi ao museu.
Neste caso, não temos um argumento, porque não há ne- nhuma pretensão de justificar uma proposição com base nas outras. Nem há nenhuma pretensão de apresentar um con- junto de proposições com alguma relação entre si. Há apenas uma sequência de afirmações. E um argumento é, como já vimos, um conjunto de proposições em que se pretende que uma delas seja sustentada ou justificada pelas outras — o que não acontece no exemplo anterior.
Um argumento pode ter uma ou mais premissas, mas só pode ter uma conclusão.
Exemplos de argumentos com uma só premissa:
Exemplo 1
Premissa: Todos os portugueses são europeus.
Conclusão: Logo, alguns europeus são portugueses.
Exemplo 2
Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano.
Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano.
Exemplos de argumentos com duas premissas:
Exemplo 1
Premissa 1: Se o João é um aluno do 11.º ano, então es- tuda filosofia.
Premissa 2: O João é um aluno do 11.º ano.
Conclusão: Logo, o João estuda filosofia.
Exemplo 2
Premissa 1: Se não houvesse vida para além da morte, então a vida não faria sentido.
Premissa 2: Mas a vida faz sentido.
Conclusão: Logo, há vida para além da morte.
Exemplo 3:
Premissa 1: Todos os minhotos são portugueses.
Premissa 2: Todos os portugueses são europeus.
Conclusão: Todos os minhotos são europeus.
É claro que a maior parte das vezes os argumentos não se apresentam nesta forma. Repara, por exemplo, no argumento de Kant a favor do valor objectivo da felicida- de, tal como é apresentado por Aires Almeida et al.
(2003b) no site de apoio ao manual A Arte de Pensar:
"De um ponto de vista imparcial, cada pessoa é um fim em si. Mas se cada pessoa é um fim em si, a felicidade de cada pessoa tem valor de um ponto de vista imparcial e não apenas do ponto de vista de cada pessoa. Dado que cada pessoa é realmente um fim em si, podemos concluir que a felicidade tem valor de um ponto de vista imparcial."
Neste argumento, a conclusão está claramente identifica- da ("podemos concluir que..."), mas nem sempre isto aconte- ce. Contudo, há certas expressões que nos ajudam a perce- ber qual é a conclusão do argumento e quais são as premis- sas. Repara, no argumento anterior, na expressão "dado que". Esta expressão é um indicador de premissa: ficamos a saber que o que se segue a esta expressão é uma premissa do argumento. Também há indicadores de conclusão: dois dos mais utilizados são "logo" e "portanto".
Um indicador é um articulador do discurso, é uma palavra ou expressão que utilizamos para introduzir uma razão (uma premissa) ou uma conclusão. O quadro seguinte apresenta alguns indicadores de premissa e de conclusão:
Indicadores de premis-
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são
pois porque dado que como foi dito visto que devido a a razão é que admitindo que sabendo-se que assumindo que
por isso por conseguinte implica que logo portanto então daí que segue-se que pode-se inferir que consequentemente
É claro que nem sempre as premissas e a conclusão são precedidas por indicadores. Por exemplo, no argumento:
O Mourinho é treinador de futebol e ganha mais de 100000 euros por mês. Portanto, há treinadores de futebol que ga- nham mais de 100000 euros por mês.
A conclusão é precedida do indicador "Portanto", mas as premissas não têm nenhum indicador.
Por outro lado, aqueles indicadores (palavras e expres- sões) podem aparecer em frases sem que essas frases se-
jam premissas ou conclusões de argumentos. Por exemplo, se eu disser:
Depois de se separar do dono, o cão nunca mais foi o mesmo. Então, um dia ele partiu e nunca mais foi visto.
Admitindo que não morreu, onde estará?
O que se segue à palavra "Então" não é conclusão de ne- nhum argumento, e o que segue a "Admitindo que" não é premissa, pois nem sequer tenho aqui um argumento. Por isso, embora seja útil, deves usar a informação do quadro de indicadores de premissa e de conclusão criticamente e não de forma automática.
Proposições e frases
Um argumento é um conjunto de proposições. Quer as premissas quer a conclusão de um argumento são proposi- ções. Mas o que é uma proposição?
Uma proposição é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente.
Não deves confundir proposições com frases. Uma frase é uma entidade linguística, é a unidade gramatical mínima de sentido. Por exemplo, o conjunto de palavras "Braga é uma"
não é uma frase. Mas o conjunto de palavras "Braga é uma cidade" é uma frase, pois já se apresenta com sentido grama- tical.
Há vários tipos de frases: declarativas, interrogativas, im- perativas e exclamativas. Mas só as frases declarativas ex- primem proposições. Uma frase só exprime uma proposição quando o que ela afirma tem valor de verdade.
Por exemplo, as seguintes frases não exprimem proposi- ções, porque não têm valor de verdade, isto é, não são ver- dadeiras nem falsas:
1. Que horas são?
2. Traz o livro.
3. Prometo ir contigo ao cinema.
4. Quem me dera gostar de Matemática.
Mas as frases seguintes exprimem proposições, porque têm valor de verdade, isto é, são verdadeiras ou falsas, ainda que, acerca de algumas, não saibamos, neste momento, se são verdadeiras ou falsas:
1. Braga é a capital de Portugal.
2. Braga é uma cidade minhota.
3. A neve é branca.
4. Há seres extraterrestres inteligentes.
A frase 1 é falsa, a 2 e a 3 são verdadeiras. E a 4? Bem, não sabemos qual é o seu valor de verdade, não sabemos se é verdadeira ou falsa, mas sabemos que tem de ser verdadei- ra ou falsa. Por isso, também exprime uma proposição.
Uma proposição é uma entidade abstracta, é o pensa- mento que uma frase declarativa exprime literalmente. Ora, um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentes frases. Por isso, a mesma proposição pode ser expressa por diferentes frases. Por exemplo, as frases "O governo demitiu o presidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitido pelo governo" exprimem a mesma proposição. As frases seguintes também exprimem a mesma proposição: "A neve é branca" e "Snow is white".
Ambiguidade e vagueza
Para além de podermos ter a mesma proposição expres- sa por diferentes frases, também pode acontecer que a mesma frase exprima mais do que uma proposição. Neste caso dizemos que a frase é ambígua. A frase "Em cada dez minutos, um homem português pega numa mulher ao colo" é ambígua, porque exprime mais do que uma proposição: tanto pode querer dizer que existe um homem português (sempre o mesmo) que, em cada dez minutos, pega numa mulher ao colo, como pode querer dizer que, em cada dez minutos, um homem português (diferente) pega numa mulher ao colo (a sua).
Por vezes, deparamo-nos com frases que não sabemos com exactidão o que significam. São as frases vagas. Uma frase vaga é uma frase que dá origem a casos de fronteira indecidíveis. Por exemplo, "O professor de Filosofia é calvo" é uma frase vaga, porque não sabemos a partir de quantos cabelos é que podemos considerar que alguém é calvo. Qui- nhentos? Cem? Dez? Outro exemplo de frase vaga é o se- guinte: "Muitos alunos tiveram negativa no teste de Filosofia".
Muitos, mas quantos? Dez? Vinte? Em filosofia devemos evitar as frases vagas, pois, se não comunicarmos com exac- tidão o nosso pensamento, como é que podemos esperar que os outros nos compreendam?
Validade e verdade
A verdade é uma propriedade das proposições. A valida- de é uma propriedade dos argumentos. É incorrecto falar em proposições válidas. As proposições não são válidas nem inválidas. As proposições só podem ser verdadeiras ou fal- sas. Também é incorrecto dizer que os argumentos são ver- dadeiros ou que são falsos. Os argumentos não são verda- deiros nem falsos. Os argumentos dizem-se válidos ou inváli- dos.
Quando é que um argumento é válido? Por agora, referirei apenas a validade dedutiva. Diz-se que um argumento dedu- tivo é válido quando é impossível que as suas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Repara que, para um argumento ser válido, não basta que as premissas e a con- clusão sejam verdadeiras. É preciso que seja impossível que sendo as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa.
Considera o seguinte argumento:
Premissa 1: Alguns treinadores de futebol ganham mais de 100000 euros por mês.
Premissa 2: O Mourinho é um treinador de futebol.
Conclusão: Logo, o Mourinho ganha mais de 100000 euros por mês.
Neste momento (Julho de 2004), em que o Mourinho é treinador do Chelsea e os jornais nos informam que ganha muito acima de 100000 euros por mês, este argumento tem premissas verdadeiras e conclusão verdadeira e, contudo, não é válido. Não é válido, porque não é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Podemos perfeitamente imaginar uma circunstância em que o Mourinho ganhasse menos de 100000 euros por mês (por exemplo, o Mourinho como treinador de um clube do campeonato regio- nal de futebol, a ganhar 1000 euros por mês), e, neste caso, a conclusão já seria falsa, apesar de as premissas serem verdadeiras. Portanto, o argumento é inválido.
Considera, agora, o seguinte argumento, anteriormente apresentado:
Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano.
Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano.
Este argumento é válido, pois é impossível que a pre- missa seja verdadeira e a conclusão falsa. Ao contrário do argumento que envolve o Mourinho, neste não podemos imaginar nenhuma circunstância em que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Podes imaginar o caso em que o João não é aluno do 11.º ano. Bem, isto significa que a conclusão é falsa, mas a premissa também é falsa.
Repara, agora, no seguinte argumento:
Premissa 1: Todos os números primos são pares.
Premissa 2: Nove é um número primo.
Conclusão: Logo, nove é um número par.
Este argumento é válido, apesar de quer as premissas quer a conclusão serem falsas. Continua a aplicar-se a noção de validade dedutiva anteriormente apresentada: é impossí- vel que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.
A validade de um argumento dedutivo depende da conexão lógica entre as premissas e a conclusão do argumento e não do valor de verdade das proposições que constituem o argu- mento. Como vês, a validade é uma propriedade diferente da verdade. A verdade é uma propriedade das proposições que constituem os argumentos (mas não dos argumentos) e a validade é uma propriedade dos argumentos (mas não das proposições).
Então, repara que podemos ter:
Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu- são verdadeira;
Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão fal- sa;
Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira;
Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con- clusão verdadeira;
Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con- clusão falsa;
Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão falsa; e
Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira.
Mas não podemos ter:
Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu- são falsa.
Como podes determinar se um argumento dedutivo é vá- lido? Podes seguir esta regra:
Mesmo que as premissas do argumento não sejam verda- deiras, imagina que são verdadeiras. Consegues imaginar alguma circunstância em que, considerando as premissas verdadeiras, a conclusão é falsa? Se sim, então o argumento não é válido. Se não, então o argumento é válido.
Lembra-te: num argumento válido, se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não pode ser falsa.
Argumentos sólidos e argumentos bons
Em filosofia não é suficiente termos argumentos válidos, pois, como viste, podemos ter argumentos válidos com con- clusão falsa (se pelo menos uma das premissas for falsa).
Em filosofia pretendemos chegar a conclusões verdadeiras.
Por isso, precisamos de argumentos sólidos.
Um argumento sólido é um argumento válido com premissas verdadeiras.
Um argumento sólido não pode ter conclusão falsa, pois, por definição, é válido e tem premissas verdadeiras; ora, a validade exclui a possibilidade de se ter premissas verdadei- ras e conclusão falsa.
O seguinte argumento é válido, mas não é sólido:
Todos os minhotos são alentejanos.
Todos os bracarenses são minhotos.
Logo, todos os bracarenses são alenteja- nos.
Este argumento não é sólido, porque a primeira premissa é falsa (os minhotos não são alentejanos). E é porque tem uma premissa falsa que a conclusão é falsa, apesar de o argumento ser válido.
O seguinte argumento é sólido (é válido e tem premissas verdadeiras):
Todos os minhotos são portugueses.
Todos os bracarenses são minhotos.
Logo, todos os bracarenses são portugue- ses.
Também podemos ter argumentos sólidos deste tipo:
Sócrates era grego.
Logo, Sócrates era grego.
(É claro que me estou a referir ao Sócrates, filósofo grego e mestre de Platão, e não ao Sócrates, candidato a secretário geral do Partido Socialista. Por isso, a premissa e a conclu- são são verdadeiras.)
Este argumento é sólido, porque tem premissa verdadeira e é impossível que, sendo a premissa verdadeira, a conclu- são seja falsa. É sólido, mas não é um bom argumento, por- que a conclusão se limita a repetir a premissa.
Um argumento bom (ou forte) é um argumento válido per- suasivo (persuasivo, do ponto de vista racional).
Fica agora claro por que é que o argumento "Sócrates era grego; logo, Sócrates era grego", apesar de sólido, não é um bom argumento: a razão que apresentamos a favor da con- clusão não é mais plausível do que a conclusão e, por isso, o argumento não é persuasivo.
Talvez recorras a argumentos deste tipo, isto é, argumen- tos que não são bons (apesar de sólidos), mais vezes do que imaginas. Com certeza, já viveste situações semelhantes a esta:
— Pai, preciso de um aumento da "mesa- da".
— Porquê?
— Porque sim.
O que temos aqui? O seguinte argumento:
Preciso de um aumento da "mesada".
Logo, preciso de um aumento da "mesada".
Afinal, querias justificar o aumento da "mesada" (conclu- são) e não conseguiste dar nenhuma razão plausível para esse aumento. Limitaste-te a dizer "Porque sim", ou seja,
"Preciso de um aumento da 'mesada', porque preciso de um aumento da 'mesada'". Como vês, trata-se de um argumento muito mau, pois com um argumento deste tipo não conse- gues persuadir ninguém.
Mas não penses que só os argumentos em que a conclu- são repete a premissa é que são maus. Um argumento é mau (ou fraco) se as premissas não forem mais plausíveis do que a conclusão. É o que acontece com o seguinte argumento:
Se a vida não faz sentido, então Deus não existe.
Mas Deus existe.
Logo, a vida faz sentido.
Este argumento é válido, mas não é um bom argumento, porque as premissas não são menos discutíveis do que a conclusão.
Para que um argumento seja bom (ou forte), as premissas têm de ser mais plausíveis do que a conclusão, como acon- tece no seguinte exemplo:
Se não se aumentarem os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico, então os alunos conti- nuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário.
Ora, não se aumentaram os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico.
Logo, os alunos continuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário.
Este argumento pode ser considerado bom (ou forte), porque, além de ser válido, tem premissas menos discutíveis do que a conclusão.
As noções de lógica que acabei de apresentar são ele- mentares, é certo, mas, se as dominares, ajudar-te-ão a fazer um melhor trabalho na disciplina de Filosofia e, porventura, noutras.
Proposições simples e compostas
As proposições simples ou atômicas são assim caracteri- zadas por apresentarem apenas uma idéia. São indicadas pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t...
As proposições compostas ou moleculares são assim ca- racterizadas por apresentarem mais de uma proposição co- nectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras maiúsculas: P, Q, R, S, T...
Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposições sim- ples r, s e t.
Exemplo:
Proposições simples:
p: O número 24 é múltiplo de 3.
q: Brasília é a capital do Brasil.
r: 8 + 1 = 3 . 3
s: O número 7 é ímpar t: O número 17 é primo Proposições compostas
P: O número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24.
Q: A raiz quadrada de 16 é 4 e 24 é múltiplo de 3.
R(s, t): O número 7 é ímpar e o número 17 é primo.
Noções de Lógica Sérgio Biagi Gregório 1. CONCEITO DE LÓGICA
Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-los à pesquisa e à demonstração da verdade.
Diz-se que a lógica é uma ciência porque constitui um sistema de conhecimentos certos, baseados em princípios universais. Formulando as leis ideais do bem pensar, a lógica se apresenta como ciência normativa, uma vez que seu obje- to não é definir o que é, mas o que deve ser, isto é, as normas do pensamento correto.
A lógica é também uma arte porque, ao mesmo tempo que define os princípios universais do pensamento, estabele- ce as regras práticas para o conhecimento da verdade (1).
2. EXTENSÃO E COMPREENSÃO DOS CONCEITOS Ao examinarmos um conceito, em termos lógicos, deve- mos considerar a sua extensão e a sua compreensão.
Vejamos, por exemplo, o conceito homem.
A extensão desse conceito refere-se a todo o conjunto de indivíduos aos quais se possa aplicar a designação homem.
A compreensão do conceito homem refere-se ao conjun- to de qualidades que um indivíduo deve possuir para ser designado pelo termo homem: animal, vertebrado, mamífero, bípede, racional.
Esta última qualidade é aquela que efetivamente distingue o homem dentre os demais seres vivos (2).
3. JUÍZO E O RACIOCÍNIO
Entende-se por juízo qualquer tipo de afirmação ou nega- ção entre duas idéias ou dois conceitos. Ao afirmarmos, por exemplo, que “este livro é de filosofia”, acabamos de for- mular um juízo.
O enunciado verbal de um juízo é denomina- do proposição ou premissa.
Raciocínio - é o processo mental que consiste em coor- denar dois ou mais juízos antecedentes, em busca de um juízo novo, denominado conclusão ou inferência.
Vejamos um exemplo típico de raciocínio:
1ª) premissa - o ser humano é racional;
2ª) premissa - você é um ser humano;
conclusão - logo, você é racional.
O enunciado de um raciocínio através da linguagem fala- da ou escrita é chamado de argumento. Argumentar signifi- ca, portanto, expressar verbalmente um raciocínio (2).
4. SILOGISMO
Silogismo é o raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a terceira, chamada conclusão, deriva logicamente das duas primeiras, chamadas premissas.
Todo silogismo regular contém, portanto, três proposi- ções nas quais três termos são comparados, dois a dois.
Exemplo: toda a virtude é louvável; ora, a caridade é uma virtude; logo, a caridade é louvável (1).
5. SOFISMA
Sofisma é um raciocínio falso que se apresenta com apa- rência de verdadeiro. Todo erro provém de um raciocínio ilegítimo, portanto, de um sofisma.
O erro pode derivar de duas espécies de causas:
das palavras que o exprimem ou das idéias que o constitu- em. No primeiro, os sofismas de palavras ou verbais; no segundo, os sofismas de idéias ou intelectuais.
Exemplo de sofisma verbal: usar mesma palavra com duplo sentido; tomar a figura pela realidade.
Exemplo de sofisma intelectual: tomar por essencial o que é apenas acidental; tomar por causa um simples ante- cedente ou mera circunstância acidental (3).
Lógica De Primeira Ordem
A linguagem da lógica proposicional não é adequada para representar relações entre objetos. Por exemplo, se fôsse- mos usar uma linguagem proposicional para representar
"João é pai de Maria e José é pai de João" usaríamos duas letras sentenciais diferentes para expressar idéias semelhan- tes (por exemplo, P para simbolizar "João é pai de Maria "e Q para simbolizar "José é pai de João" ) e não estaríamos cap- tando com esta representação o fato de que as duas frases falam sobre a mesma relação de parentesco entre João e Maria e entre José e João. Outro exemplo do limite do poder de expressão da linguagem proposicional, é sua incapacida- de de representar instâncias de um propriedade geral. Por exemplo, se quiséssemos representar em linguagem proposi- cional "Qualquer objeto é igual a si mesmo " e "3 é igual a 3", usaríamos letras sentenciais distintas para representar cada uma das frases, sem captar que a segunda frase é uma ins- tância particular da primeira. Da mesma forma, se por algum processo de dedução chegássemos à conclusão que um indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa proprieda- de, seria razoável querermos concluir que esta propriedade vale para qualquer indivíduo do universo. Porém, usando uma linguagem proposicional para expressar "um indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa propriedade " e "esta propriedade vale para qualquer indivíduo do universo" usarí- amos dois símbolos proposicionais distintos e não teríamos como concluir o segundo do primeiro.
A linguagem de primeira ordem vai captar relações entre indivíduos de um mesmo universo de discurso e a lógica de primeira ordem vai permitir concluir particularizações de uma propriedade geral dos indivíduos de um universo de discurso, assim como derivar generalizações a partir de fatos que va- lem para um indivíduo arbitrário do universo de discurso.
Para ter tal poder de expressão, a linguagem de primeira ordem vai usar um arsenal de símbolos mais sofisticado do que o da linguagem proposicional.
Considere a sentença "Todo objeto é igual a si mesmo".
Esta sentença fala de uma propriedade (a de ser igual a si mesmo) que vale para todos os indivíduos de um universo de discurso, sem identificar os objetos deste universo.
