Óptica. Refração e Leis da Refração

Óptica Refração e Leis da Refração

Introdução

Consideremos dois meios com propriedades eletromagnéticas e ópticas distintas. Por proprie- dades eletromagnéticas distintas queremos dizer que o meio 1 tem permitividade e permissividade dadas por (ε₁, µ₁), enquanto que o meio 2 é caracterizado pelas constantes (ε₂, µ₂). Do ponto de vista do fenômeno da refração da luz, quando esta passa de um meio para outro, a propriedade óptica relevante é uma constante caraterística do meio denominada índice de refração.

É bom frisar que, quando a luz incide sobre uma superfície, que separa dois meios materiais distintos, podem ocorrer dois fenômenos: reflexão e refração da luz. Parte da luz volta para o meio do qual ela se origina, ou seja, reflexão da luz. A outra parte da luz passa de um meio para o outro e, depois de atravessar a interface de separação, a luz propaga-se nesse segundo meio material − fenômeno chamado de refração da luz. Os dois fenômenos ocorrem concomitantemente, podendo predominar um sobre o outro. Que tipo de fenômeno predominará é uma questão que envolve as condições de incidência da luz e a natureza dos dois meios. A reflexibilidade é uma propriedade associada à maior ou menor facilidade dos raios luminosos de voltarem para o mesmo meio de onde vieram.

Figura 1: Refração e Reflexão de ondas eletromagnéticas.

Um dos fenômenos mais interessantes da natureza tem origem no fenômeno da refração, o arco-íris. Esse fenômeno é uma consequência de duas refrações (numa análise simplificada):

uma refração ocorre quando a luz incide na superfície da gota e outra quando a luz sai da gotícula de chuva. Após a incidência, ocorre a dispersão da luz e, como consequência, a luz violeta (numa extremidade do espectro) experimenta, ao sair da gota, um desvio de 40 graus, e a luz vermelha sai formando um ângulo de 42 graus. Esse é o resultado da refração levando em conta a dispersão da luz.

O entendimento das leis da refração pode ser conseguido por meio de qualquer uma das formulações da óptica geométrica. Neste capítulo, apresentaremos a formulação baseada no princípio de Fermat, o princípio de que a luz vai de um ponto a outro no menor tempo. No entanto, a melhor abordagem do problema é aquela que analisa a refração de ondas eletromagnéticas quando incidem sobre a superfície de separação entre dois meios.

O meio 1 é o que a luz incide, e o 2 é o outro. Entre os meios existe uma interface de separação.

Neste capítulo, essa superfície será admitida como sendo plana. Num dos capítulos subsequentes, admitiremos, por exemplo, o caso de uma superfície esférica.

Quando a luz passa de um meio material para outro, podem ocorrer a reflexão da luz (em geral uma parte é refletida) e a refração da luz. A intensidade da radiação refratada, bem como da radiação refletida, depende da polarização da luz, dos ângulos de incidência e da refração. Essa é uma questão cuja resposta só é dada adequadamente na teoria eletromagnética.

Na teoria ondulatória, analisamos o que acontece com uma onda eletromagnética na interface entre dois meios. Fazemos uso das equações de Maxwell e, o que é mais importante, das condições de contorno satisfeitas pelos campos elétrico e magnético.

Segue, das condições de contorno, que a frequência de uma onda eletromagnética não se altera quando a luz passa de um meio para o outro.

As frequências num meio e no outro são iguais:

( 1 )

Isso acontece porque a dependência temporal de uma onda plana tem que ser a mesma para cada um dos dois lados da interface.

No entanto, a velocidade da luz e a direção de propagação se alteram quando a luz passa de um meio para o outro. A única exceção a esta última regra ocorre quando a incidência é oblíqua.

Figura 2

v₁ = v₂

Índice de refração

Ao mudar de meio, a luz altera sua velocidade de propagação, o que é, de certa forma, esperado:

ao aumentarmos a densidade de um meio, maior será a dificuldade de propagação nele.

Como visto anteriormente, a velocidade da luz no vácuo é a maior velocidade que um objeto pode atingir. À velocidade da luz no vácuo denominamos c. Num meio material qualquer, a velocidade da luz (v) é menor do que c. Portanto, podemos sempre escrever uma relação linear entre ambas:

( 2 )

ou, equivalentemente,

( 3 )

O coeficiente n é o índice de refração do meio. É uma das grandezas físicas que caracterizam o meio (a densidade, por exemplo, seria outra).

Tendo em vista que a frequência não muda, quando a luz passa de um meio para outro, o comprimento de onda muda. De acordo com (000), temos:

( 4 )

Donde se infere que o comprimento de onda num determinado meio é menor do que o compri- mento de onda quando ela se propaga no vácuo. Isto é:

( 5 )

Sabemos, ao estudar as ondas eletromagnéticas, que o índice de refração tem estreita relação com as propriedades eletromagnéticas do meio. Isso porque, como visto no capítulo 2, a velocidade da luz é dada por:

( 6 )

V c=n

n c=V

V c

n n

=νλ= =ν λ_{0 0}

λ=λ⁰ n

v=

( )

As constantes ε e µ são a permitividade e permissividade do meio. O índice de refração é, portanto, dado por:

( 7 )

Por definição, o índice de refração do vácuo é 1.

( 8 )

O índice de refração do ar é muito próximo de 1; o da água tem um valor próximo de 1,33.

Em geral, é possível elaborar modelos voltados para fazer previsões sobre o índice de refração de um meio. É, em geral, um tópico do eletromagnetismo quando se procura desenvolver modelos simples para entender a constante dielétrica. O valor desse índice, para vários materiais, pode ser obtido por meio de dados experimentais e contidos em tabelas.

Os índices de refração de uma substância são muito sensíveis ao estado físico em que ela se encontra (sólido, líquido ou vapor). Pode depender ainda da pressão, temperatura e de outras grandezas físicas.

Abaixo, apresentamos uma tabela de índices de refração para diversas substâncias.

Tabela 1

Meio Material Índice de Refração (n)

Ar 1,00

Água 1,33

Vidro 1,50

Glicerina 1,90

Álcool Etílico 1,36

Diamante 2,42

Acrílico 1,49

Cr39 1,498

Vidro Crown 1,523

Vidro High Lite 1,701

Policarbonato 1,590

Super High Lite (lantânio) 1,80 Hiper High Lite (lantânio) 1,90

n= εµ ε µ_{0 0}

n_vácuo = 1.

Leis da Refração

Credita-se a um indivíduo árabe chamado Ibn Sahl um manuscrito, de 984, no qual ele enuncia a lei conhecida hoje como lei de Snell-Descartes. Teria ele utilizado essa lei para confeccionar lentes.

Muito mais tarde, já em 1602, Thomas Harriot teria apresentado essa mesma lei, sem no entanto deixar escritos.

Willebrord Snellius (Snell), em 1621, derivou uma forma equivalente àquela que conhecemos hoje, mas não lhe deu publicidade durante sua vida. René Descartes, em seu famoso Discurso sobre o Método, derivou a lei em 1637 e cuidou de utilizá-la em vários problemas que envolvem a óptica geométrica.

A lei da refração é, por isso, conhecida como lei de Snell-Descartes. Essa é outra lei fundamental da óptica geométrica. Ela estabelece uma relação entre o ângulo de incidência (θ₁), o ângulo de refração (θ₂) e os índices de refração de cada um dos meios (n₁ e n₂). Essa lei se escreve

( 9 )

As leis da refração são, a rigor, composta por duas leis.A primeira estabelece que o plano incidente (constituído pela normal e o raio incidente e a normal) é igual ao plano da refração (constituído pela normal e o raio refratado).

Se a incidência for normal (ângulo de incidência zero), o ângulo refratado será nulo. Nesse caso, a luz não sofre qualquer desvio. A única consequência da refração, no caso da incidência normal, é a alteração da velocidade da luz ao passar de um meio para o outro.

Se a incidência for oblíqua, o raio luminoso se aproximará mais da normal no meio que for mais refringente (isto é, o meio que tiver o maior índice de refração). O meio com menor índice de refração é, por outro lado, aquele em que a luz se propaga mais rápido.

Dedução das Leis da Refração

A seguir, deduziremos as leis da refração a partir do princípio de Fermat.

Para deduzi-la, lembremos que o tempo despendido pela luz para ir de A até B é dado pela soma dos tempos entre dois percursos ao longo de linhas retas, uma vez que, para meios homogêneos, vale o princípio da propagação retilínea. Mesmo para propagações retilíneas, no entanto, temos

Figura 3

n₁ senθ₁ = n₂ senθ₂.

Figura 4

infinitas possibilidades associadas aos infinitos pontos C sobre a superfície de separação. O tempo despendido entre A e B pode ser escrito como:

( 10 )

Na expressão, t_A é o tempo gasto pela luz ao se deslocar entre A e C e t_B é o tempo do percurso entre os pontos C e B . Como o movimento se dá ao longo de um segmento de reta, podemos escrever:

( 11 )

Neste caso, v₁ é a velocidade da luz no meio 1.

Considerando-se o raio refratado, o tempo t_B é dado por:

( 12 )

onde v₂ é a velocidade da luz no meio 2.

Como a luz procura economizar tempo, vamos determinar o ponto C a partir da exigência do tempo mínimo. O tempo mínimo ocorrerá para os pontos X desde que as duas condições estejam satisfeitas:

( 13 )

No caso da refração, tendo em vista que a velocidade no meio 2 é diferente (v₂), a expressão para o tempo gasto no percurso é:

( 14 )

T = t_A − t_B

t AC

v v x y y z

A = = +

(

)

( )

1 1

2 2 2

1 ,

t_B =v^{1 }_ x +

(

)

( )

2

2 2 2

Figura 5

∂

( )

∂ =

∂

( )

∂ =

=

=

T x y x T x y

y

x x

y y

m

m

, ,

0 0

T T x y

v x y y z

v x y y z

A A B B

=

( )

(

)

( )

(

)

( )

1

2 2 2

2

2 2 2



A condição para o tempo mínimo, nesse caso, é igual a (000) e (000). Obtemos, analogamente que, da primeira equação, segue que a única solução possível é:

( 15 )

Donde inferimos que o plano de incidência coincide com o plano de refração.

A segunda condição, análoga à equação (000), se torna agora:

( 16 )

Donde obtemos a condição

( 17 )

Conclui-se que as duas leis são consequências do princípio da economia de tempo.

Ângulo-limite de refração

Se o meio (2) tiver um índice de refração maior do que o do meio (1) (no qual a luz incide), então, o ângulo de refração atingirá um valor máximo à medida que aumentarmos o ângulo de incidência.

Esse valor máximo ocorre quando o ângulo de incidência for igual a 90 graus. Referimo-nos a esse ângulo-limite como o ângulo de limite de refração.

Para determinarmos o ângulo-limite, basta notar que, para o ângulo de incidência nulo, teremos ângulo de refração também nulo. À medida que aumentamos o ângulo de incidência, o ângulo de refração também aumenta. O maior valor para o ângulo de incidência é 90°. Para esse ângulo de incidência atingimos o valor-limite para o ângulo do raio refratado (θ_L):

( 18 )

Como sen90° = 1, obtemos o ângulo-limite:

( 19 )

x_m = 0,

1 1

1 2 2

2 2 2

v

y y

y y z v

y y

y y z

m A

m A A

m B

m B B

−

(

)

( )











+ −

(

)

( )











=0

sinθ₁ sinθ

1

2

v = v2

Figura 6

n₁ sen90 = n₂ senθ_L

sinθ_L n

= n¹

2

Figura 7

Ângulo-limite de incidência – reflexão total

Consideremos agora o caso em que o meio (1) é mais refringente do que o meio (2). Isto é, esse meio tem um índice de refração maior do que o meio no qual a luz incide. Pode-se observar que o ângulo de incidência atinge um valor máximo, que é o limite de incidência para que ocorra a refração.

Novamente aqui podemos argumentar que, para um ângulo de incidência nulo, teremos um ângulo de refração nulo. Ao aumentarmos o valor do ângulo de incidência, teremos um aumento no ângulo de refração. No entanto, agora o ângulo de refração é sempre maior do que o ângulo de incidência (pois n₁> n₂).

A determinação do ângulo-limite de incidência é feita de maneira inteiramente análoga ao caso anterior. Utilizamos a lei de Snell-Descartes e, lembrando que o maior valor possível (em princípio para o ângulo de refração) é 90^o, obtemos o ângulo-limite de incidência (θ_L), ou seja:

( 20 )

Portanto, para n₁> n₂,

( 21 )

O que ocorre se a luz incidir num ângulo superior ao limite dado pela expressão acima?

Nesse caso, ocorre o que se denomina reflexão total. Isto é, a luz retorna para o meio do qual ela se originou e simplesmente não ocorre refração.

A ocorrência da reflexão total é responsável por um tipo de dispositivo utilizado hoje em larga escala na área das telecomunicações. Trata-se das fibras ópticas, que permitem que a luz seja conduzida por meio da direção de uma fibra (a fibra óptica). Ela se tornou fundamental como um meio para levar informações codificadas e é hoje um dos principais instrumentos voltados para o trânsito de informações (na telefonia, por exemplo).

n₁ senθ_c⁰ = n₂ sen90°.

senθ_L n

= n²

1

Figura 10

Figura 8

Figura 9

Imagens na Refração

A refração altera a forma como os nossos sentidos percebem os objetos. Uma colher, por exemplo, dentro da água parece ter se entortado.

Vamos analisar, neste capítulo, a formação de imagens, considerando-se a superfície de separação entre dois meios como sendo um plano. Tal arranjo tem o nome de dioptro plano.

Antes de considerarmos o caso de um objeto extenso, vamos analisar a imagem P’ de um ponto de objeto P situado no meio (2). O ponto P pode ser pensado como um ponto de um objeto dentro da água, por exemplo. Podemos, agora, imaginar dois raios luminosos oriundos do ponto P. Consi- deremos um raio incidindo perpendicularmente e outro não. Aquele que incide perpendicularmente à superfície não muda de direção. O outro que incide obliquamente muda de direção.

Colher dentro de um copo com água.

Note-se que os raios refratados não se encontram. No entanto, o prolongamento desses raios refratados se encontram num ponto P’. Esse é o ponto imagem de P. A imagem P’ é virtual, uma vez que ela é determinada pelo prolongamento dos raios luminosos refratados.

Para um objeto extenso, basta considerarmos um conjunto de raios luminosos.

A consequência para um objeto extenso é a de que a sua imagem se encontrará deslocada.

Assim, os índios aprenderam há muito tempo que não se deve atirar o arco, quando estiverem pescando, na posição em que enxergam o peixe, mas numa posição ligeiramente acima do ponto em que ele é visto.

Meios não-homogêneos

Muitas vezes há interesse no estudo da propagação da luz em meios ditos não-homogêneos.

De fato, muitos fenômenos podem ser explicados a partir da análise desse caso.

A base para o estudo dos meios não-homogêneos é o princípio de Fermat. Ele foi estabelecido por Pierre de Fermat, em 1662, e se constitui num princípio geral do qual se pode lançar mão para deduzir a lei de Snell-Descartes. Esse princípio estabelece que, qualquer que seja a natureza do meio, a luz atravessará um meio de forma que despenda o menor tempo possível ao percorrer um caminho que interliga dois pontos.

Figura 11

Figura 12

Algo semelhante ao princípio de Fermat teria sido formulado por Hirão de Alexandria, cerca do ano 60 da nossa era. No caso, Hirão analisava as leis da reflexão (?), e teria demonstrado que, se a luz se propaga entre dois pontos, de tal forma que, no percurso, ela experimenta apenas reflexões especulares, o percurso seguido pela luz tem o menor comprimento dentre todos os caminhos que se pode considerar.

Para um meio homogêneo, o tempo despendido pela luz para percorrer uma distância d é dado por

( 22 )

onde v é a velocidade da luz no meio e n é o seu índice de refração. Definimos o caminho óptico da luz que se propaga no meio como o produto:

( 23 )

Considerando-se o caso em que o meio é composto de N diferentes materiais caracterizados por diferentes índices de refração, o tempo necessário para a luz efetuar todo o trajeto é dado pela soma dos tempos necessários para atravessar cada um dos meios. Temos então:

( 24 )

De acordo com a expressão acima, esse princípio pode também ser pensado como o princípio no caminho óptico mínimo.

t dv nd

= = c

d_opt = nd

t t d

v c d

i i

N i

i N

i opt i

N

i

= = =

( )

= = =

∑ ∑ ∑

1 1 1

1

Figura 13: Raio que se propaga numa série de meios homogêneos com índices de refração diferentes.

O princípio de Fermat aplicado a um meio não-homogêneo nos remete a um problema matemá- tico de minimizar o tempo gasto, levando-se em conta todos os possíveis caminhos a serem perse- guidos pela luz. Ao aplicarmos tal princípio para dois meios homogêneos, obtemos a lei da refração.

Para um meio no qual o índice varia continuamente, em função de um parâmetro que pode ser o comprimento de uma curva (parâmetro s), o caminho óptico é definido como:

( 25 )

onde n é o índice de refração como função da distância ao longo da curva Γ.

O princípio de Fermat pode ser utilizado para entendermos os seguintes fenômenos, entre outros.

Miragens

Miragens acontecem quando existe um intenso gradiente de temperatura na atmosfera.

Na realidade, esse gradiente existe, mas numa pequena intensidade. A temperatura na atmosfera decresce à razão de 1 grau Celsius a cada 100 metros. Isso não é suficiente para provocar miragens.

Elas ocorrem só para gradientes acima de 2 graus Celsius a cada 100 metros. Ela só é facilmente perceptível se o gradiente for próximo de 5 graus a cada 100 metros. Assim, para efeito prático, o fenômeno acaba não sendo tão comum. Essas condições ocorrem no deserto, mediante o aqueci- mento da areia pela incidência dos raios solares ou numa pista asfaltada (pela mesma razão).

d_opt =

∫

( )

Γ

Figura 14

A miragem é o resultado do encurvamento dos raios luminosos ao atravessar um meio cujo índice de refração varia continuamente.

O ar quente é mais denso do que o ar frio e tem, consequentemente, um índice de refração maior. À medida que a luz passa do ar mais frio para o mais quente, os raios se curvam na direção oposta à do gradiente de temperatura. Quando ela passa do ar mais quente para o mais frio eles se curvam na direção do gradiente.

O efeito miragem é observado por viajantes nos desertos, mas pode também ser constatado quando observamos imagens de nuvens refletidas no asfalto que, no caso, acabam se parecendo mais com poças d’água no asfalto.

Turbulencia atmosférica

Trata-se de um fenômeno bastante comum, na medida em que se vêem estrelas cintilantes ao se olhar o céu. Como consequência de variações de densidade e do índice de refração do ar, o caminho percorrido pela luz não é estável, acarretando variações aparentes na posição das estrelas.

Outra consequência da aberração estelar diz respeito ao surgimento de erradas “borradas”

(vide Figura 16).

Figura 15: Imagem de uma estrela borrada pela turbulência e a mesma imagem sem a turbulência.

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Bons estudos!

Créditos

Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).

Autoria: Gil da Costa Marques.

Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.

Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.

Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.

Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.

Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,

Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.

Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.