Matemática Financeira. Prof. Msc. Wagner Santiago de Souza

Matemática Financeira

Prof. Msc. Wagner Santiago de Souza

Matemática Financeira

A Matemática Financeira é um ramo da Matemática Aplicada que estuda conteúdos utilizados no comércio e no mercado financeiro. Ela proporciona aos alunos os conhecimentos necessários para realizar a escolha mais adequada na realização de determinada compra ou financiamento. Nessa quinzena, vamos estudar conceitos e situações relacionados a porcentagem, acréscimos e descontos.

Porcentagem

 Ilustração: Na alta temporada, o pacote para Foz do Iguaçu sai por R$1400,00 por pessoa. Na baixa temporada, o mesmo pacote de viagem tem um desconto de 28%. Suponha que uma pessoa deseja viajar para Foz do Iguaçu na baixa temporada. Qual será o valor do desconto desse pacote de viagem?

 Solução: Para calcular o valor do desconto, podemos imaginar o preço, em reais, do pacote de viagem dividido em 100 partes, sendo 28 delas o valor total do desconto. Desse modo, temos:

1400 ÷ 100 = 14 28 ∙ 14 = 392.

Assim, o valor do desconto é R$392,00.

Representando Porcentagens

 A porcentagem também pode ser representada na forma de fração ou de número decimal.

 Exemplos:

• 28% = ²⁸

100 = 0,28

• 20% = ²⁰

100 = 0,2

• 3% = ³

100 = 0,03

Calculando Porcentagens

 Observe outras maneiras de calcular 28% de R$1400,00.

1) Utilizando a fração:

28

100 ∙ 1400 = 28 ∙ 1400

100 = 39200

100 = 392.

2) Utilizando a forma decimal:

0,28 ∙ 1400 = 392.

Calculando Porcentagens

3) Regra de três:

1400

𝑥 = 100 28

100𝑥 = 1400 ∙ 28 100𝑥 = 39200 𝑥 = 39200

𝑥 = 392100

Preço (em reais) Porcentagem (%)

1400 100

x 28

Problema

 A agência de turismo oferece um pacote de viagem para Maragogi (AL) Por R$ 2100,00 em alta temporada e o mesmo pacote com R$

735,00 de desconto em baixa temporada. Qual é o percentual de desconto que uma pessoa obterá para esse pacote de viagem em baixa temporada?

Solução 1: Forma de fração 𝑥

100 ∙ 2100 = 735 2100𝑥

100 = 735

2100𝑥 = 735 ∙ 100 2100𝑥 = 73500 𝑥 = 73500

𝑥 = 352100

Logo, o percentual de desconto é 35%.

Problema

Solução 2: Forma decimal

𝑥 ∙ 2100 = 735 𝑥 = 735

𝑥 = 0,352100

𝑥 = 35%

Logo, o percentual procurado é 35%.

Observação: Para encontrar o percentual de um valor y em relação a um valor x, basta resolver a divisão ^𝑦

𝑥 e depois transformar o número decimal em porcentagem. No exemplo acima, temos que ⁷³⁵

2100 = 0,35 = 35%, ou seja, 735 é 35% de 2100.

Problema

Solução 3: Regra de três

2100

735 = 100 𝑥

2100𝑥 = 735 ∙ 100 2100𝑥 = 73500 𝑥 = 73500

𝑥 = 35.2100

Logo, o percentual procurado é 35%.

Preço (em reais) Porcentagem (%)

2100 100

735 x

Acréscimos e Descontos

 Acréscimo: Um Kg de frango custa R$ 9,00. Se esse valor sofrerá um acréscimo de 10%, qual será o novo valor do Kg de frango?

Solução 1:

10

100 ∙ 9 = 90

100 = 0,90 9 + 0,90 = 9,90.

Solução 2: Acrescentar 10% é o mesmo que obter (100% + 10% = 110%) do preço do Kg de frango. Desse modo, temos:

110

100 ∙ 9 = 990

100 = 9,90.

Acréscimos e Descontos

 Desconto: Um celular custa R$ 1000,00. Ao comprar esse celular à vista uma pessoa recebeu um desconto de 5%, qual o valor que essa pessoa pagou?

Solução 1:

5

100 ∙ 1000 = 5000

100 = 50 1000 − 50 = 950.

Solução 2: Descontar 5% é o mesmo que obter (100% - 5% = 95%) do valor do celular. Desse modo, temos:

95

100 ∙ 1000 = 95000

100 = 950.

Acréscimos sucessivos

 Ilustração: Em um supermercado, o preço do quilograma do tomate sofreu alguns reajustes no período de dois meses. Em fevereiro de 2019, o quilograma do tomate custava R$ 4,00 e sofreu um acréscimo de 12,5%. Em março do mesmo ano, houve outro acréscimo no preço do quilograma do tomate, e dessa vez a taxa percentual foi de 8%. Que valor passou a corresponder ao preço do quilograma do tomate após o segundo acréscimo?

Acréscimos sucessivos

Solução 1: Primeiro vamos determinar o valor que corresponde ao preço do quilograma do tomate após o primeiro acréscimo.

12,5

100 ∙ 4 = 50

100 = 0,50 𝟒 + 𝟎, 𝟓𝟎 = 𝟒, 𝟓𝟎.

Para finalizar, vamos determinar o valor correspondente ao preço do quilograma do tomate após o segundo acréscimo.

8

100 ∙ 4,50 = 36

100 = 0,36 𝟒, 𝟓𝟎 + 𝟎, 𝟑𝟔 = 𝟒, 𝟖𝟔.

Assim, o quilograma do tomate passou a custar R$ 4,86 em março, após o segundo acréscimo.

Acréscimos sucessivos

Solução 2: Primeiro vamos determinar o valor que corresponde ao preço do quilograma do tomate após o primeiro acréscimo, ou seja, vamos calcular 112,5% de R$ 4,00.

112,5

100 ∙ 4 = 450

100 = 4,50.

Para finalizar, vamos determinar o valor correspondente ao preço do quilograma do tomate após o segundo acréscimo, ou seja, vamos calcular 108% de R$ 4,50 (Preço do Kg do tomate no momento do segundo acréscimo).

108

100 ∙ 4,50 = 486

100 = 4,86.

Assim, o quilograma do tomate passou a custar R$ 4,86 em março, após o segundo acréscimo.

Acréscimos sucessivos

 Seja 𝑃₀ o valor inicial de uma grandeza e 𝑖₁, 𝑖₂, … , 𝑖_𝑛 as taxas de acréscimos sucessivos. Os valores 𝑃₁, 𝑃₂, … , 𝑃_𝑛, obtidos após cada acréscimo, são determinados por

 1º acréscimo: 𝐴₁ = 𝑃₀ ∙ 𝑖₁ e 𝑷_𝟏 = 𝑷_𝟎 + 𝑨_𝟏. ou

𝑷_𝟏 = 𝑷_𝟎 ∙ (𝟏 + 𝒊_𝟏)

 2º acréscimo: 𝐴₂ = 𝑃₁ ∙ 𝑖₂ e 𝑷_𝟐 = 𝑷_𝟏 + 𝑨_𝟐. ou

𝑷_𝟐 = 𝑷_𝟏 ∙ (𝟏 + 𝒊_𝟐)

 n-ésnimo acréscimo: 𝐴_𝑛 = 𝑃_𝑛−1 ∙ 𝑖_𝑛 e 𝑷_𝒏 = 𝑷_𝒏−𝟏 + 𝑨_𝒏. ou

𝑷_𝒏 = 𝑷_𝒏−𝟏 ∙ (𝟏 + 𝒊_𝒏)

Descontos sucessivos

 Ilustração: Uma concessionária está em liquidação. O preço de um veículo que custa R$ 45000,00 está com um desconto de 16%. Além disso, se o pagamento for à vista é concedido também um desconto de 5%, calculado após o desconto o desconto de 16%. Qual será o preço pago pelo veículo se um cliente desejar comprá-lo à vista durante essa liquidação?

Descontos sucessivos

Solução 1: Primeiro vamos determinar o valor que corresponde ao preço do carro após o primeiro desconto.

16

100 ∙ 45000 = 720000

100 = 7200 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟕𝟐𝟎𝟎 = 𝟑𝟕𝟖𝟎𝟎.

Para finalizar, vamos determinar o valor correspondente ao preço do carro após o segundo desconto.

5

100 ∙ 37800 = 189000

100 = 1890 𝟑𝟕𝟖𝟎𝟎 − 𝟏𝟖𝟗𝟎 = 𝟑𝟓𝟗𝟏𝟎.

Assim, se o cliente deseja comprar o veículo à vista, ele vai pagar R$ 35910,00.

Descontos sucessivos

Solução 2: Primeiro vamos determinar o valor que corresponde ao preço do carro após o primeiro desconto, ou seja, vamos calcular 84%

de R$ 45000,00.

84

100 ∙ 45000 = 3780000

100 = 37800.

Para finalizar, vamos determinar o valor correspondente ao preço do carro após o segundo desconto, ou seja, 95% de R$ 37800,00 (Preço do carro no momento do segundo desconto).

95

100 ∙ 37800 = 3591000

100 = 35910.

Assim, se o cliente deseja comprar o veículo à vista, ele vai pagar R$ 35910,00.

Descontos sucessivos

 Seja 𝑃₀ o valor inicial de uma grandeza e 𝑖₁, 𝑖₂, … , 𝑖_𝑛 as taxas descontos sucessivos. Os valores 𝑃₁, 𝑃₂, … , 𝑃_𝑛, obtidos após cada desconto, são determinados por

 1º acréscimo: 𝐷₁ = 𝑃₀ ∙ 𝑖₁ e 𝑷_𝟏 = 𝑷_𝟎 − 𝑫_𝟏 ou

𝑷_𝟏 = 𝑷_𝟎 ∙ 𝟏 − 𝒊_𝟏 .

 2º acréscimo: 𝐷₂ = 𝑃₁ ∙ 𝑖₂ e 𝑷_𝟐 = 𝑷_𝟏 − 𝑫_𝟐 ou

𝑷_𝟐 = 𝑷_𝟏 ∙ 𝟏 − 𝒊_𝟐 .

 n-ésnimo acréscimo: 𝐷_𝑛 = 𝑃_𝑛−1 ∙ 𝑖_𝑛 e 𝑷_𝒏 = 𝑷_𝒏−𝟏 − 𝑫_𝒏 ou

𝑷_𝒏 = 𝑷_𝒏−𝟏 ∙ 𝟏 − 𝒊_𝒏 .

Referência

PATARO, Patrícia Moreno; BALESTRI, Rodrigo Dias. Matemática essencial 9º ano: ensino fundamental, anos finais. 1 ed. São Paulo.

Scipione, 2018.