Resoluções das atividades

(1)

Resoluções das atividades

Capacitores

Módulo 10

Atividades para sala

01 B

A capacitância (C) é a razão entre a carga (Q) do capacitor e a d.d.p. (V) a que ele está submetido. Para t = 2 s, tem-se:

t s Q C

V V C Q

V C C F

= =

=



 ⇒ = ⇒ = ⇒ =

2 340

20

340

20 17

µ µ

02 E

As placas condutoras que formam o conjunto são móveis.

Ao girá-las, há uma variação na área dos condutores, o que varia sua capacitância. O dielétrico entre as placas é o ar, que não se modifi ca ao girarmos o botão procurando sin- tonia de uma estação. Não há alteração na distância entre as placas. Mudanças na d.d.p. e nas cargas das placas não alteram a capacitância.

03 D

0,10 kV

i 2,0 Ω

8,0 Ω A

B

A

B C

O circuito apresenta a corrente i no ramal AB. A tensão de 8 Ω neste resistor é a mesma no capacitor, pois os dois elementos do circuito estão em paralelo e o capacitor em regime estacionário (completamente carregado).

Calcula-se a corrente i:

i=r R i A

+ ⇒ = ⋅

+ = =

ε 0 10 1000

2 8

100 10 10 ,

( )

Usando a Primeira Lei de Ohm, calcula-se a tensão no trecho AB:

V _AB = R · i ⇒ V _AB = 8 · 10 = 80 V

Sabendo a carga Q e a tensão U _AB no capacitor, é possível encontrar o valor da capacitância C:

C Q

V C C

V F

= ⇒ =40 = 80µ 0 5, µ

04 E

Se a tensão é a mesma, o capacitor de maior capacitância armazenará a maior carga, uma vez que Q = C ∙ V. Por- tanto, as alternativas A e D são falsas. A capacitância do capacitor equivalente é igual à soma das capacitâncias de A e B. Assim, a capacitância equivalente é maior que a maior delas. Dessa forma, a alternativa B também é falsa.

Como os capacitores foram associados em paralelo, eles estarão submetidos à mesma d.d.p., portanto, a alternativa C é falsa.

05 B

Os capacitores C₁ e C₂ estão associados em série, logo armazenam as mesmas cargas. A carga do equivalente é igual às cargas de C₁ e C₂.

100 V

C1 C2

A B

D

q q

B B

A Capacitor equivalente

C C C

C F

e e

e

= ⋅

+ ⇒ = ⋅ + ⇒

=

1 2

1 1 1 3 3

4µ

A Carga do equivalente

q C V= _e⋅ _DB⇒ = ⋅q 3 ⇒ =q F

4 100 75µ

A Diferença de potencial (V _AB)

V q

C V V V

AB= ⇒ AB= ⇒ AB=

2

75

3 25

06 A

Inicialmente, observe que os capacitores estão ligados em paralelo. Assim, eles estão submetidos à mesma diferença de potencial. Essa d.d.p. é igual à força eletromotriz da bateria. Lembrando que C Q

= V, então, Q = C ∙ V. Como V é o mesmo para os dois capacitores, a carga será tanto maior quanto maior for a capacitância. Desse modo, como C₁ > C₂ > ⇒ Q1 > Q₂.

(2)

07 A

Verifique que todas as montagens estão sujeitas à mesma diferença de potencial (d.d.p.), visto que estão ligadas entre os pontos P e Q. Dessa forma, a carga dependerá exclusivamente da capacitância de cada montagem (carga máxima para maior capacitância e carga mínima para menor capacitância).

Cálculo das capacitâncias de cada associação:

P Q

C₁ C₂ C₃

Montagem 1

1 1 1 1

1 1

3 1 5

1 8 1 5

1 2 3

C C C C

C

C F

e

e e

= + + ⇒

≅ , µ

Montagem 2

C1 C2 C3

P

Q

C _e = C₁ + C₂ + C₃ ⇒ C _e = 3 + 5 + 8 ⇒ C _e = 16 µF

Montagem 3

P Q

C₁

C2

C'

C₃

C C C C

C C C C C

e e

e

' '

'

= + ⇒ =

= + ⇒ = + ⇒ =

1 2

3

8

1 1 1 1 1

8 1

8 4

µ

µ F

F

P

C1 C2

C'

C3

Q Montagem 4

C C C

C C C C

C_e C_e

' ' '

'

= ⋅

+ ⇒ = ⋅

+ ⇒ =

⇒ = + ⇒ =

1 2

3 5 3 5

15 8 15

8 8 9 88

µ µ F

C = C + C_e ₃ , FF

A maior capacitância será encontrada quando os capacitores estiverem em paralelo (montagem 2), e a carga será máxima. A menor capacitância será a da montagem 1, com os capacitores em série, condição para a carga ser mínima.

08 D

Cálculo da f.e.m. do gerador. ^{I = 250 mA}

1 Ω 23 Ω ε

Chave ligada em X: A

Σε = ΣR · i ⇒

ε = 1 · 0,25 + 23 · 0,25 ⇒ ε = 6 V

Desligando a chave de X e ligando em Y, o capacitor ficará sujeito a uma tensão de 6 V, quando atingir o regime esta- cionário e, portanto, armazenando uma energia U.

1 Ω

6 V

1 nF

U C V U

U J U nJ

= ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅ ∴ =

−

− 2

9 2

9

2 1 10 6

2

18 10 18

( )

09 C

O circuito apresenta a corrente i no ramal AB. A tensão no resistor de 8 Ω é a mesma no capacitor, pois os dois elementos do circuito estão em paralelo.

0,10 kV

A A

C

B B

2,0 Ω

8,0 Ω i

Calculando a corrente i:

i=r R i V A

+ ⇒ = ⋅

+ = =

ε 0 10 1000

2 8

100 10 10 ,

( )Ω

Usando a Primeira Lei de Ohm, calcula-se a tensão no trecho AB:

U_AB= ⋅ ⇒R i U_AB= ⋅8 10 80= V

Sabendo a carga Q e a tensão U_AB no capacitor, calcula-se a capacitância C:

C Q

U C C

V F

= ⇒ =40 = 80µ 0 5, µ

(3)

E a energia elétrica armazenada no capacitor é dada por:

E C U

E mF V

mJ

= ⋅ ²AB⇒ = ⋅ ⁻³ ⋅ ² = 2

0 5 10 80

2 1 6

, ( )

,

Atividades propostas

01 E

De acordo com o que é pedido na questão, o disposi- tivo é do tipo de armazenamento de cargas elétricas, e já se sabe que elementos que as armazenam, em circui- tos, são chamados capacitores ou condensadores. A carga armazenada é descarregada em um momento oportuno:

por exemplo, através do filamento de uma lâmpada de máquina fotográfica, emitindo um flash.

02 B

A carga Q armazenada pelo capacitor é o produto da capa citância C pela tensão V. Dessa forma:

Q = 185 ∙ 10^–6 ∙ 200 ⇒ Q = 3,70 ∙ 10^–2 C.

03 B

As capacitâncias dos capacitores:

C A

d C A

1 2 d

4 2

= ⋅ε = ε6⋅ A razão C

C

1 2

: C

C A d

d A

C C

1 2

6 4 2

3

= ⋅ ⋅ 4

⋅ ⇒ =

ε ε

04 A

A carga deixará de fluir quando a diferença de potencial no capacitor for igual à diferença de potencial na bateria.

C q

V q C V q

q C q C

= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⇒ =

−

15 10 1 2

18 10 18

6

, µ

05 B

A capacitância de um capacitor pode ser calculada como:

C Q

V I V E d C Q

EdII

= ( ),em que: = ⋅ ⇒ = ( ) Igualando-se (l) e (ll):

Q E d

A

d Q A E

C Nm

A cm m

⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ E

= ⋅

= = ⋅

−

ε ε −

ε

0 0

0 12 2 2

2 4 2

8 85 10

100 100 10

, /

== ⋅ = ⋅





 3 10⁴V cm/ 3 10⁶V m/ Q = 8,85 · 10^–12 · 100 · 10^–4 · 3 · 10⁶ ⇒ Q = 2,655 · 10^–7 ⇒ Q = 2,70 · 10^–7 C

06 B

Com o capacitor em regime estacionário (capacitor carregado):

12 V 4,5 µF

1,0 Ω

3,0 Ω

2,0 Ω

B

i D i

i i

C C

i1 = 0 A

Σε = ΣR · i

12 = 1i + 2i + 3i ⇒ i = 2 A



A d.d.p. nos extremos do capacitor (V _CD):

V _CD = R · i ⇒ V CD = 2 · 2 ⇒ V CD = 4 V



A carga no capacitor:

Q = C · V _CD ⇒ Q = 4,5 · 10^–6 · 4 ⇒ Q = 18 · 10^–6C 07 E

1 1 1 1 1 1

10 1 30

1 30

1 3 1 1

30 6

1 2 3

C C C C C C C F

e e e

= + + ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ e= µ

08 C

Imagine os três resistores com a mesma resistência.

Associação (I): os três em série.

B

A R R R

Associação (II): os três em paralelo

B A

R

Associação (III): mista

B A

R

Associação (IV): mista

B

A R R

R

(4)

09 B

O capacitor equivalente à associação deve ter capacidade

C C

'=

2. A capacidade do capacitor plano é dada por:

C A

d A

d

A

d A A

r

r r

= ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = = ε ε

ε ε ε ε

0

0 0

2 2

1 00 2

' ' ,

Logo: A' = 0,50 cm² 10 B

Como os capacitores estão associados em série, eles armazenam a mesma carga. Logo:

Q = C₁ · U₁ = C₂ · U₂ Como C₁ > C₂ ⇒ U₁ < U₂ 11 B

Ao se introduzir a folha de alumínio a meia distância entre as placas, obtém-se uma associação em série de dois capacitores iguais de capacitância C'.

C'

Cálculo de C':

C =' εA ' ε

d C A

d 2

⇒ =2

C' = 2C, em que C = 10 pF Cálculo do capacitor equivalente:

C_e=C'⇒C_e= C⇒C_e= ⇒C C_e= pF 2

2

2 10

12 D

A associação em paralelo de capacitores (mesma d.d.p.) é tal que:

U = 12 V U = 12 V

C1 = 1 µF

C₂ = 1 µF



^Q¹^{= C}¹^{· U}



^Q²^{= C}²^{· U}

+ – + –

C C C

C F

eq eq p

p

= +

=

1 2

5µ

A série (mesma carga) é tal que:

U = 12 V

Q3 = Q4 = Q Q = C _eq · U

+ – U = 12 V

C3 = 1 µF C4 = 4 µF + –

C C C

C C

C F

eq

eq s

s

= ⋅ +

=

3 4

4 5µ

Logo, as relações possíveis entre as cargas adquiridas podem ser:

Q

Q e Q

Q

1 3

6

2 4

6

1 10 12 4

5 10 12

4 10 12 4

5 10 12

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅

−

( ) ( )

11 3 2 4

5

4 5

= Q e Q = Q

13 A

Os capacitores de 10 µF, 20 µF e 60 µF estão associados em paralelo:

D

A C

30 µF 10 µF

60 µF

20 µF

A

B B

C' = 10 + 20 + 60 ⇒ C' = 90 µF

O capacitor C' está associado em série com o capacitor de 30 µF.

C C

C C C F

e= ⋅ e e

+ ⇒ = ⋅

+ ⇒ =

' '

30 30

90 30

90 30 22 5, µ

14 D

A associação dada é equivalente ao desenho a seguir:

P

C

C C

C C Q

C 2

(5)

Os três capacitores da esquerda estão associados em paralelo.

C C C C

C C

'= + + ⇒ '= 2

5 2

C C

5 2

C

P Q

1 1 1 2

5

1 5 5 2

5

C C C C C C C 12C

e e

= + + ⇒ = + + ⇒ e=

15 B

Na figura 1:

Q t

Q Q Q C

1 1

2 2

3 2

2 3

3 4

10

10 3

3 10

10 3 10

= ⇒ ⁻ = ⇒ = ⋅ ⁻ ⇒ = ⋅ ⁻ Na figura 2:

Para t = 3 s ⇒ V3 = 300 V Cálculo da energia armazenada:

U= ⋅1 Q V⋅ ⇒ = ⋅ ⋅U ⁻ ⋅ ⋅ ⇒ =U ⋅ ⁻ J 2

1

2 3 10 3 10 4 5 10

3 3 4 2 , 2

U = 0,045 J 16 E

Com a chave em B, tem-se:

Σε = ΣR · i ⇒ ε = (10 + r) · 0,5

Com a chave em D e o capacitor completamente carregado, a corrente no circuito é nula, ou seja, a tensão no capacitor é ε. Assim, a energia E pedida é dada por:

E C r

= ⋅^ε² = ⋅ ⁻⁹⋅

[

+

]

²

2

2 10 0 5 10 2

, ( )

Desse modo, uma resposta numérica depende do valor de r.

Se o gerador for considerado ideal, ou seja, com r = 0, tem-se:

E r

E J

=2 10⋅ ⁻ ⋅

[

0 5 10+

]

_{⇒ =} _⋅ −

2 25 10

9 2

, ( ) 9

17 D

Quando o capacitor atinge o regime estacionário, não passa corrente elétrica por ele.

i 1 Ω

15 V

1,5 Ω i

V

A

B

2 Ω

0,5 Ω 5 V i

i

i A

0,5 µF

A Leitura no voltímetro (V _AB):

V _AB = ΣR · i – Σε ⇒ V AB = 0,5 · 2 + 2 · 2 – (–5) ⇒

⇒ V _AB = 10 V

A Leitura no amperímetro:

Σε = ΣR · i ⇒ 15 – 5 = 1,5i + 0,5i + 2i + 1i ⇒ 10 = 5i ⇒ i = 2 A

A Carga do capacitor:

q = C · V _AB ⇒ q = 0,5 · 10 ⇒ q = 5 µC 18 C

Fechando-se a chave (S):

A S

C

D

R

B A

E

V V V E E

V

V E

V R i E

R i i E

R

AB AD DB DB

DB DB

= + ⇒ = +

= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = 3

2 3