MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

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ANTONIO CARLOS EDUARDO

CONTEXTOS PARA ARGUMENTAR:

Uma abordagem para iniciação à prova no EM utilizando P.A.

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

São Paulo

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

ANTONIO CARLOS EDUARDO

CONTEXTOS PARA ARGUMENTAR:

Uma abordagem para iniciação à prova no EM utilizando P.A.

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial

para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM

ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do(a) Prof(a).

Dr(a). Janete Bolite Frant.

São Paulo

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Banca Examinadora

________________________________________

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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

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DEDICATÓRIA

Dª. Ercy _ A sua benção, mãe - (fazendo estripulias em outro plano),

Sr. José _ A benção, pai – (ainda se convalescendo).

Pela doação e dedicação em fazer com que o estudo sempre fosse valorizado dentro de nossa casa e indicado como a

opção para se tornar uma pessoa digna e respeitável.

Tia Laia e tio Zé__ A benção. – ausências recentes; pelas incontidas vezes em que o apoio se fez necessário e pelas

palavras de incentivo que nunca faltaram.

Minha esposa e minhas filhas, com as quais compartilho a alegria e a satisfação em cumprir mais uma etapa desse

caminho iluminado por Deus:

Adorável vida simples, Coisas do cotidiano, repetidas,

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AGRADECIMENTOS

A Deus e aos mentores de minha Fé por colocarem em meu caminho gente tão valorosa. A começar pela professora Janete, minha Orientadora (assim mesmo, com o maiúsculo), pelas agradáveis horas de conversa que renderam tantas e tantas páginas, pela confiança depositada e pela segura condução deste seu aluno. Como é de seu conhecimento, às vezes não conseguimos expressar em palavras os nossos sentimentos, portanto, considere essas linhas como sinônimo de minha gratidão.

Agradeço a Profª Dra. Nielce pelo detalhado exame apresentado durante a etapa de qualificação e principalmente pelas suas providenciais considerações, ambas valiosas na consolidação deste estudo.

A Profª Lulu, por vários motivos: pela gentil colaboração com a tradução do resumo, pela sua participação na banca de qualificação, sobretudo pelo respeito e igualdade no tratamento dispensado em suas aulas e também no transcorrer do projeto AprovaMe.

Aos colegas de classe, o agradecimento pela oportunidade de compartilharmos juntos muitos momentos de aprendizado e aos companheiros de jornada de todo o mestrado: Farias, Oyama, Calhau, Solis e Hajnal, registro minha admiração e apreço a todos vocês. Desse grupo, duas pessoas – o Ale e a Fabi – merecem meu reconhecimento pela participação que tiveram não só nesta pesquisa, mas durante todo o mestrado: amigos de discussão, de encontros nos finais de semana, de horas ao telefone, foram muito importantes em minha trajetória. Transcenderam a amizade acadêmica para a pessoal. Muito obrigado.

As Instituições: SEE-SP pelo apoio financeiro, PUC-SP por oferecer quadro docente de muita competência e também pelo complemento financeiro, à E.E. Pastor Waldemar com quadro diretivo e administrativo envolvidos com a melhoria dos aspectos educacionais; todos corroborando para que a Educação de qualidade seja um bem comum e não um privilégio.

A escola Pastor Waldemar foi palco de outras importantes contribuições para esta pesquisa: primeiro com a amiga e professora Mariângela, pela oportuna e eficiente revisão desta pesquisa; e depois pela cooperação da turma do 2º A durante a aplicação das atividades, a ambos um carinhoso obrigado.

Muitos outros, dentre alunos, amigos e familiares participaram dessa conquista e, mesmo que não mencionados, merecem os meus agradecimentos.

(7)

RESUMO

Esta pesquisa investe na proposição de ambiente de aprendizagem como possibilidade de criar uma cultura na sala de aula que promova / favoreça a argumentação.

No transcorrer do projeto APROVAME1 surgiu a opção em explorar tópicos do conceito Progressão Aritmética para auxiliar no desenvolvimento de processos de iniciação à prova. Na implementação deste ambiente de aprendizagem buscamos contribuições advindas dos estudos de Ciência da Comunicação através de Bordenave, da Educação Matemática pelos estudos de alguns pesquisadores voltados à argumentação, dentre os quais: Bolite Frant e Castro, e estudos sobre desenvolvimento de provas de Maher. Estas contribuições possibilitaram a elaboração de um ambiente interativo e propício à prática da mediação. Um dos papéis de mediação exercido durante este estudo é apresentado à luz da Comunicação, focando na ação do professor durante a negociação matemática que se apresenta em sala de aula.

Corroboram para estes aspectos socializáveis do ambiente, interação e mediação, a proposta construcionista de Papert, valorizada pela contribuição de outros estudiosos do construcionismo. Através desses estudos, um dos usos da tecnologia nesta pesquisa volta-se à elaboração de objetos visuais e possibilita o design das atividades sob a ótica do desenvolvimento de alguns hábitos de pensamento matemáticos, segundo Goldenberg. Este estudo qualitativo, emprega recursos didáticos como a dinâmica do jogo e o uso do computador, para promover a interação e o surgimento de cenários de mediação.

Os instrumentos de coleta de dados – vídeo e blog – valorizam a interpretação dos diálogos surgidos nesses cenários.

O uso do blog, ainda pouco difundido entre pesquisas da Educação Matemática, serve para mostrar a evolução da fluência matemática na argumentação dos alunos, e também atua como parâmetro da prática do educador.

A edição do vídeo permitiu a formatação dos registros de fragmentos dos diálogos na forma de quadrinhos, o que veio a se constituir num produto com amplas possibilidades de uso, tanto no tocante à interpretação dos diálogos, quanto na reflexão sobre a postura do educador.

Os resultados obtidos por este estudo recomendam a criação de novos Contextos para Argumentar.

Palavras-Chave: Argumentação e Prova Matemática, Progressão Aritmética,

cenários de mediação, blog, hábitos de pensamento.

1

(8)

ABSTRACT

This research invests in the conception of learning environments aimed to contribute to the creation of a culture of argumentation, proving and proof in mathematics classrooms.

It developed within the context of the project AProvaME as part of the exploration of how to initiate students into aspects of the proving process in relation to the topic of Arithmetic Progressions.

In designing this learning environment, we sought contributions from the studies of Bordenave from the areas of the Communication Science and in the field of Mathematics Education, from research relatied to argumentation and in particular the work of Bolite Frant and Castro and of Maher. These contributions enabled the elaboration of an interactive environment for the mediation of mathematical ideas.

One of the roles of mediation within the study focuses, in the light of Communication, on the action of the teacher during the negotiation of the mathematics presented in the classroom.

Aspects related to socialisation, interaction and mediation were inspired by the constructionist proposal of Papert and other constructionist thinkers. On the basis of these studies, an approach was adopted to the use of technology involving the conception of visual objects embedded within activities aiming to support the development of certain habits of mathematical thinking delineated by Goldenberg.

This qualitative study made use of didactic resources such as as the dynamic of games and the use of the computer to promote interaction and the emergence of scenarios for medication.

The instruments used in the collection of data – Blogs and video recordings – valorised the interpretation of the dialogs which occurred within these scenarios.

The use of Blogs, still not well documented in research in Mathematics Education, served to show the evolution of mathematical fluency in the arguments produced by the students and also acted as a parameter on the practice of the educator.

Editing of the videos collected, permitted the formatting of fragments of registers from the dialogs in the form of cartoon strips, which came to represent a product with a wide range of possible uses both in the interpretation of dialogs and in reflections about the role of the teacher.

The results obtained in this study led to recommendations for the creation of new contexts for argumentation.

Keywords: Argumentation and Mathematical Proof, Arithmetic Progression,

(9)

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES... xi

LISTA DE TABELAS E QUADROS INFORMATIVOS... xiv

1. INICIALIZANDO ... 15

1.1 APRESENTAÇÃO DO ESTUDO... 15

1.2 JUSTIFICATIVA... 18

1.3 PROBLEMÁTICA... 20

1.3.1 O projeto AprovaMe ... 20

1.3.2 AprovaMe: ajustando os procedimentos para a pesquisa. ... 21

1.3.3 AprovaMe: pequena amostra dos resultados da pesquisa... 24

1.3.4 AprovaMe: elaborando as atividades. ... 27

2 FILOSOFANDO... 30

2.1 NOTAS DO HISTÓRICO DA ARGUMENTAÇÃO... 30

2.2 A MATEMÁTICA CHEGA AOS BANCOS ESCOLARES... 31

2.3 PARA QUE SERVE O ENSINO DA MATEMÁTICA: PRÁTICA OU FORMATIVA ?... 32

2.4 FILOSOFANDO E ARGUMENTANDO !... 33

2.5 AMATEMÁTICA (A)PROVA A ARGUMENTAÇÃO !(AO SEU MODO...)... 41

2.6 DIFERENTES CONCEPÇÕES SOBRE PROVA E DEMONSTRAÇÃO... 43

2.7 ARGUMENTOS PARA O NOSSO ESTUDO... 46

3 CONTEXTUALIZANDO... 48

3.1 ARGUMENTAÇÃO SEGUNDO A COMUNICAÇÃO E A NOVA RETÓRICA... 48

3.2 COMUNICAÇÃO COMO CIÊNCIA... 49

3.3 A ARGUMENTAÇÃO NA COMUNICAÇÃO... 52

3.4 A ARGUMENTAÇÃO NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA... 53

3.5 PENSANDO O AMBIENTE DE APRENDIZAGEM... 55

3.6 CONTEXTOS PARA ARGUMENTAR... 59

4 FUNDAMENTANDO... 63

4.1 ALICERCES TEÓRICOS... 63

4.1.1 Construcionismo:... 63

4.2 DESIGN DAS ATIVIDADES DO AMBIENTE DE APRENDIZAGEM... 67

4.2.1 Hábitos de pensamento matemáticos ... 67

4.2.2 Tarefas segundo objetivos ... 73

5 ANALISANDO ... 78

5.1 METODOLOGIA... 78

5.1.1 Aspectos gerais da pesquisa de campo. ... 78

5.1.2 Constituição do material de estudo: coleta e tratamento de dados. ... 79

5.2 O PAPEL DA MEDIAÇÃO... 80

5.3 CONSIDERAÇÕES INICIAIS PARA A ANÁLISE: ... 83

5.3.1 Outras considerações para a análise:... 84

5.4 CONSTRUÇÃO DE DADOS E ANÁLISE DAS QUESTÕES TRIANGULARES. ... 88

5.4.1 Análise parcial da atividade 1 - Baralho PA... 88

5.4.2 Análise parcial da atividade 2 - Degraus... 104

5.4.3 Análise parcial da atividade 3 – Escada I... 117

5.4.4 Análise parcial da atividade 4 – Escada II... 131

5.4.5 Análise parcial da atividade 5 – Triângulos (Cabri). ... 142

5.4.6 Análise parcial da atividade 6 – Quadriláteros.... 149

5.5 ANÁLISE DA QUESTÃO HEXAGONAL -OAMBIENTE DE APRENDIZAGEM. ... 162

6 FINALIZANDO... 166

6.1 O COMEÇO DO FIM:... 166

(10)

RE FE RÊ N C IA BIBLIO G RÁ FIC A .... 172

A PÊ N D IC E S... 177

(11)

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 1 – EPISÓDIO: O JOGO ! ...91 DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 2 – CENÁRIOS DE MEDIAÇÃO COM AUXILIO DO

COMPUTADOR. ...115 DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 3 - CENÁRIOS DE MEDIAÇÃO NO INÍCIO DA ATIVIDADE 3. .119 DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 4 – CENÁRIOS DE MEDIAÇÃO: ALUNOS CONCLUINDO

ATIVIDADE 3. ...127 DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 5 – CENÁRIO DE MEDIAÇÃO DA ATIVIDADE 4. ...139 DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 6 – CENÁRIO DE MEDIAÇÃO: ALUNO FECHANDO ATIVIDADE

4. ...140

PAINEL ILUSTRATIVO 1 – ALUNOS PERFILADOS DURANTE A DINÂMICA DO JOGO DA 1ª ATIVIDADE. ...89 PAINEL ILUSTRATIVO 2 – TABELA PREENCHIDA APÓS TÉRMINO DA DINÂMICA DO JOGO. ..90 PAINEL ILUSTRATIVO 3 – ALUNOS EM ATIVIDADE COM O USO DO CABRI II ...133

PAINEL ILUSTRATIVO 4 – ATIVIDADE 6 – FASE A ...150 PAINEL ILUSTRATIVO 5 – MOMENTOS DA 1ª ATIVIDADE – DINÂMICA DO JOGO E

PREENCHIMENTO DE PROTOCOLO ...162 PAINEL ILUSTRATIVO 6 – MOMENTOS DA 2ª ATIVIDADE – INTERAGINDO COM O

COMPUTADOR ...163 PAINEL ILUSTRATIVO 7 – MOMENTOS DA 3ª ATIVIDADE – USO DO CABRI E DO BLOG ...163 PAINEL ILUSTRATIVO 8 – MOMENTOS DA 4ª ATIVIDADE – ARGUMENTAÇÃO COM

INTERAÇÃO E INTERATIVIDADE ...164 PAINEL ILUSTRATIVO 9 – MOMENTOS DA 4ª ATIVIDADE – CONCENTRAÇÃO ...164

FIGURA 1 – TELA DO CABRI II COM A APRESENTAÇÃO DO OBJETO VISUAL – DEGRAUS ÍMPARES ...108 FIGURA 2 - TELA DO CABRI II COM OBJETO VISUAL CONSTRUÍDO NA SEGUNDA ATIVIDADE.

...110 FIGURA 3 – TELA DO CABRI II COM ENUNCIADO DA TERCEIRA ATIVIDADE...118 FIGURA 4 - OBJETO VISUAL CONSTRUÍDO PELAS ALUNAS PROTAGONISTAS DO DIÁLOGO 121 FIGURA 5 - TELA DO CABRI COM OBJETO VISUAL DA TERCEIRA ATIVIDADE ...122 FIGURA 6 – OBJETO VISUAL DA SEGUNDA ATIVIDADE COM POUCAS EVIDÊNCIAS

LEVANTADAS. ...124 FIGURA 7 – OBJETO VISUAL COM VERIFICAÇÃO DE EVIDÊNCIAS APROPRIADAS À

ATIVIDADE ...124 FIGURA 8 - OBJETO VISUAL COM AS MEDIDAS IRREGULARES DEVIDO AO

ARREDONDAMENTO DO CABRI II ...126 FIGURA 9 – TELA DO CABRI II COM ENUNCIADO DA QUARTA ATIVIDADE...132 FIGURA 10– OBJETO VISUAL CONSTRUÍDO POR ALUNOS USANDO CABRI II NA QUARTA

ATIVIDADE ...133

FIGURA 11 – TELA DO CABRI II – ENUNCIADO ENCONTRADO PELO ALUNO AO ABRIR O ARQUIVO TRIANGULO.FIG ...143 FIGURA 12 – TELA DO CABRI COM JUSTIFICATIVAS APRESENTADAS POR ALUNOS PARA A

QUINTA ATIVIDADE ...144 FIGURA 13 – TELA DO CABRI COM JUSTIFICATIVAS APRESENTADAS POR ALUNOS PARA A

(12)

FIGURA 14 - TELA DO CABRI COM JUSTIFICATIVAS APRESENTADAS POR ALUNOS PARA A

QUINTA ATIVIDADE ...146

FIGURA 15 - TELA DO CABRI COM JUSTIFICATIVAS APRESENTADAS POR ALUNOS PARA A QUINTA ATIVIDADE ...147

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 1 ...95

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 10...100

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 1 ...108

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 10...112

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 11...113

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 1 ...134

(13)

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 1 ...151

RECORTES FASE B - EXEMPLO 1 - JUSTIFICATIVA DO TIPO 3 ...155

RECORTES FASE B - EXEMPLO 2 JUSTIFICATIVA DO TIPO 2B ...156

RECORTES FASE B - EXEMPLO 3- JUSTIFICATIVA DO TIPO 2B...156

RECORTES FASE B - EXEMPLO 6 JUSTIFICATIVA DO TIPO 3...157

RECORTES FASE B - EXEMPLO 13 JUSTIFICATIVA DO TIPO 2A...158

RECORTES FASE B - EXEMPLO 14 JUSTIFICATIVA DO TIPO 2A...158

(14)

LISTA DE TABELAS E QUADROS

QUADRO INFORMATIVO 1 – EXEMPLOS EXTRAÍDOS DO CADERNO DE ÁLGEBRA – QUESTÃO

A3 – FONTE: APROVAME. ...24

QUADRO INFORMATIVO 2 – QUESTÕES DO PROTOCOLO DE ÁLGEBRA – FONTE: APROVAME ...25

QUADRO INFORMATIVO 3 – DADOS P/ A3 - FONTE: APROVAME...25

QUADRO INFORMATIVO 4 – DADOS P/ A4 – FONTE: APROVAME ...25

QUADRO INFORMATIVO 5 – QUESTÃO A5 DO PROTOCOLO DE ÁLGEBRA – FONTE: APROVAME...26

QUADRO INFORMATIVO 6 – QUESTÃO G4 DO PROTOCOLO GEOMETRIA – FONTE: APROVAME...27

QUADRO INFORMATIVO 7 – QUESTÃO G5 DO PROTOCOLO GEOMETRIA – FONTE: APROVAME...27

QUADRO INFORMATIVO 8 – EXEMPLOS DE SOFISMO MATEMÁTICO - FONTE: INTERNET ....38

QUADRO INFORMATIVO 9 – EXEMPLO DE SOFISMO MATEMÁTICO 2 – FONTE: INTERNET....39

QUADRO INFORMATIVO 10 – EXEMPLOS UTILIZADOS POR MAHER EM SUAS ATIVIDADES – FONTE: UNIV. STA URSULA...56

QUADRO INFORMATIVO 11 – EXEMPLO DE VISUALIZAÇÃO – FONTE: PAUL GOLDENBERG .69 QUADRO INFORMATIVO 12 – INDICAÇÕES DE ALGUNS HÁBITOS DE PENSAMENTO – FONTE: AUTOR ...85

QUADRO INFORMATIVO 13 – INDICATIVO DAS ATIVIDADES DA PESQUISA – FONTE: AUTOR ...87

QUADRO INFORMATIVO 14 - CABEÇALHO DA FOLHA DE ACOMPANHAMENTO DA DINÂMICA DO JOGO – 1ª ATIVIDADE. ...89

QUADRO INFORMATIVO 15 - INDICA OS HÁBITOS DE PENSAMENTO MATEMÁTICO ANALISADOS NA 1ª ATIVIDADE. ...95

QUADRO INFORMATIVO 16 - INDICA OS HÁBITOS DE PENSAMENTO MATEMÁTICO ANALISADOS NA 2ª ATIVIDADE. ...105

QUADRO INFORMATIVO 17 – ROTEIRO PARA CRIAÇÃO DO OBJETO VISUAL DA 2ª ATIVIDADE COM CABRI II ...107

QUADRO INFORMATIVO 18 - INDICA OS HÁBITOS DE PENSAMENTO MATEMÁTICO ANALISADOS NA 3ª ATIVIDADE ...118

QUADRO INFORMATIVO 19 – INDICA OS HÁBITOS DE PENSAMENTO MATEMÁTICO ANALISADOS NA 4ª ATIVIDADE ...132

TABELA 1 TIPOS DE PROVA – BALACHEFF ...22

TABELA 2 TIPOLOGIA DE JUSTIFICATIVAS – APROVAME ...22

(15)

1

1. I

NICIALIZANDO

1.1 APRESENTAÇÃO DO ESTUDO

Nascemos nos comunicando, e aprimoramos nossa comunicação com o uso de

signos e símbolos por imitação e acréscimos, vamos dando sentido a cada gesto, ruído,

signo, palavra, a cada substantivo conhecido ou não, à medida que vamos compreendendo

o seu significado, a sua forma, a sua ação, obtidos através da prática, do diálogo.

Comunicar é qualquer forma de ação que permita estabelecer relações, informar,

esclarecer, avisar, tratar, acessar.

A comunicação é a força que dinamiza a vida das pessoas e das sociedades. Excita, ensina, vende, distraí, entusiasma, dá status, constrói mitos, destrói reputações, orienta, desorienta, faz rir, faz chorar, inspira, narcotiza, reduz a solidão...Porque comunicação significa, bem lá no fundo comunhão...

Bordenave1

A educação é, inquestionavelmente, um processo de comunicação complexo, mas

ainda assim, um processo de comunicação que negocia com a necessidade e a vontade do

aluno; necessidade, porque algumas coisas ele precisa aprender e vontade, por que outras

ele gostaria de aprender. De alguma forma todos nós somos educados, senão por pais e

professores, seguramente pela vida.

O professor precisa de subsídios para que promova, em sala de aula, um ambiente

onde o aluno possa ser cada vez mais autônomo em sua aprendizagem e desenvolvimento.

Esta pesquisa tem como tema Contextos para argumentar e investe na proposição de

ambiente de aprendizagem, que estimule e favoreça o aprimoramento de hábitos do

pensamento matemático, relacionados com a argumentação que precede e auxilia no

processo de iniciação à prova e demonstração em tópicos de Progressão Aritmética (PA),

como seu principal objetivo. A investigação de qual é o papel da argumentação cotidiana

proferida por alunos e professor na negociação de significados matemáticos advindos de

1

(16)

“tarefas relacionadas a objetivos matemáticos”, especificamente com o conceito de

iniciação à prova e demonstração é o outro objetivo deste estudo.

Iniciamos nossa trajetória apresentando o AprovaMe2, um projeto idealizado e

desenvolvido por um grupo de pesquisas da PUC-SP para incitar o estudo da

Argumentação e prova na Matemática Escolar, e sua forte influência na escolha do

objetivo primeiro de nosso estudo. Ainda mostramos como outros fatores se somaram a

essa causa, nos instigando a buscar entender como a argumentação influencia no processo

de aprendizagem de modo global, mas limitando a tentar compreendê-la no universo da

matemática escolar, restringindo-nos à sala de aula, e é sobre isso que trataremos no

capítulo primeiro de nosso estudo.

No segundo capítulo, apresentamos ao leitor um breve histórico sobre a

argumentação e sua influência nos desígnios da Educação, como participa ativamente das

discussões que versavam sobre o ensino da matemática e ainda como os argumentos

servem para esclarecer os possíveis motivos que originaram os conceitos de prova e

demonstração, caracterizando a matemática como ciência hipotético-dedutiva.

Depois em nosso terceiro capítulo, com a implícita intenção de convencer o leitor,

recorremos à abertura que a Educação Matemática proporciona e buscamos o auxílio da

Ciência da Comunicação e da Nova Retórica para a causa da argumentação, por

entendê-las mais avançadas nesse estudo.

Nosso ponto de partida já encontra a Educação como uma forma de comunicação

intencional, daí seguimos analisando o desenvolvimento da argumentação neste contexto

comunicativo, apresentando alguns conceitos importantes que muito devem ser levados em

consideração pelo professor durante o planejamento de suas atividades, invocando o leitor

a uma breve reflexão dessas idéias.

Restabelecemos o curso matemático de nossa pesquisa no final desse terceiro

capítulo, auxiliados pelos trabalhos de alguns pesquisadores: Maher, Arcavi, Douek, Bolite

Frant e Castro, que se dedicam a investigar o papel da argumentação em processos de

ensino e aprendizagem da matemática, apresentando algumas premissas que devem

orientar a criação de ambientes de aprendizagem em Matemática.

Na abertura do quarto capítulo é apresentado o nosso alicerce teórico: primeiro com

o construcionismo de Papert que permite a edificação deste projeto nos auxiliando na

definição sucinta do que é um “ambiente de aprendizagem” dentro de nossas expectativas,

2

(17)

o que nos leva a admitir a contribuição construtivista em alguns compartimentos dessa

pesquisa. A interpretação construcionista de Valente e outros autores, fomentaram nossas

proposições para o uso do computador. A caracterização matemática desta pesquisa está

impregnada na adoção de design de atividades baseado no desenvolvimento de hábitos do

pensamento matemático apresentadas por Paul Goldenberg. É complementada com a

contribuição sobre tarefas relacionadas a objetivos, que capturamos da publicação francesa

do Grupo Nacional de Equipes de Pesquisas em Didática da Matemática:_IREMS de

Grenoble e de Rennes. Ambos, Goldenberg e os estudos dos IREMS, nos auxiliam no

enquadramento de nossas atividades.

Aproveitamos o quinto capítulo para descrever a metodologia que inspira essa

pesquisa qualitativa e os instrumentos de coleta de dados que iremos utilizar, dedicando

especial atenção ao uso da Internet através do Blog como um desses instrumentos e a

apresentação de diálogos em quadrinhos. Encerramos o quinto capítulo com a análise das

atividades, algumas sob o foco do desenvolvimento de hábitos de pensamento matemático

e outras, se valendo da tipologia de justificativas disponibilizadas pelo AprovaMe, por

entendê-la mais ajustada à realidade escolar encontrada.

No sexto capítulo, uma breve retrospectiva das várias contribuições que serviram a

esta pesquisa e seus desdobramentos, agrega-se as nossas considerações sobre os

resultados obtidos, primeiro com enfoque no ambiente de aprendizagem e depois versando

sobre a argumentação. Algumas recomendações sobre a importância na proposição de

novos Contextos para Argumentar fecham este estudo.

(18)

1.2 JUSTIFICATIVA

Este autor, principiante nas artes de escrever e pesquisar, pede licença ao leitor para

expor - em primeira pessoa - os motivos que culminaram com a escolha do tema de

investigação desta pesquisa.

Ao ingressar no programa de estudos pós-graduados em Educação Matemática, o

fiz por necessidade de aprofundar os conhecimentos, porém, seria preciso me reconhecer

apto a tal evolução, vem daí a opção pela modalidade do mestrado profissional.

O mestrado profissional em Educação Matemática deve diferir de seu co-irmão

acadêmico pelo produto final e pela contribuição que dele se espera para as causas da

matemática escolar e suas aplicações em salas de aula.

Analisando por essa ótica, a modalidade de estudo escolhida constituiu-se em

ferramental cognitivo de incalculável valor, visto que o resgate da condição formativa

propiciou-me momentos oportunos de reflexão como professor, aluno e pesquisador

iniciante.

Enquanto professor, a reflexão sobre a minha postura ao avaliar e criar situações de

aprendizagem; no papel de aluno, investigar a relação entre o aluno e o saber em

constituição; e começando na arte da pesquisa, primeiro pela participação como professor

colaborador do AprovaMe e depois sob forte influência deste, refletindo sobre a condição

de favorecer o trabalho do professor, particularmente no que tange à aplicabilidade e à

acessibilidade desta proposta de trabalho.

Nesse sentido, esta pesquisa foi idealizada para chamar a atenção à concepção de

modelos de atividades que levem em consideração o público que elas deverão atingir, sob a

ótica de quem quer se comunicar e se fazer entender, sem desconsiderar que o público em

questão é de modo algum homogêneo em seus anseios pessoais e profissionais.

Antecipo que há, impregnada nesse estudo uma certa vocação e, até mesmo

insistência em ressaltar a necessidade de convencer o aluno à apropriação da atividade que

lhe é proposta e, para tanto preocupo-me em adaptar situações de aprendizagem em

formatos mais contemporâneos, entendendo que por melhor que seja a atividade planejada,

não surtirá efeito algum se o aluno não se interessar por ela, simplesmente alegando não

querer fazê-la.

Tal realidade encontra-se bem retratada pelos resultados obtidos pela pesquisa

realizada pelos professores colaboradores do projeto AprovaME, junto a uma amostra - em

(19)

considerados somente os alunos matriculados nas séries: 8ª série do Ensino Fundamental

(atualmente 9º ano) e 1ª série do Ensino Médio, classificados em sua maioria na faixa

etária entre 14 e 16 anos.

Nos resultados apresentados por essa pesquisa, evidencia-se a falta de justificativas

que complementassem as respostas apresentadas.

Como professor atuante em sala de aula, presto testemunho de que a maior parte

dos alunos não fornecem justificativas que complementem o algoritmo apresentado como

solução de um problema proposto, em que aquela se faça necessária.

Minha vivência profissional fez-me percorrer inúmeros NRTE’s3 e também os

bastidores de algumas Diretorias de Ensino, concomitantemente ao meu trabalho em sala

de aula, e muitas, e frutíferas foram às discussões sobre o uso da informática por parte do

professor como recurso didático e sobre quais seriam as problemáticas para a sua

utilização, problemáticas que vão da formação do professor ao número de computadores,

da disponibilidade da sala à sua manutenção, da aplicabilidade do conteúdo didático à

forma de se avaliar esse tipo de proposta. E vejo, nessa pesquisa, a oportunidade de

contribuir, mostrando os resultados do trabalho com alunos de uma escola pública estadual,

localizada em zona periférica, região sul da cidade de São Paulo.

Neste trabalho, um dos usos da tecnologia ligado à Educação dar-se-á através da

utilização de Blog, editado pelo autor e gerenciado em conjunto com alguns alunos

envolvidos na pesquisa e que servirá ao objetivo do mesmo, como diário de bordo dos

alunos, enquanto da aplicação dos experimentos dessa pesquisa, bem como do

desenvolvimento e da apreciação dos resultados, segundo o ponto de vista dos alunos,

ressaltando que esse não será o único artefato de tecnologia a ser utilizado.

Serve de alerta que tal trabalho foi desenvolvido sob condições mínimas

necessárias e se não isenta de críticas aos que são responsáveis por pensar, propor e

executar projetos e propostas plausíveis nas esferas mais adiante da escala da Educação,

aponta-nos que a sensatez, o senso coletivo, a iniciativa e confiança mútua apresentados

por pessoas responsáveis por administrar uma escola estadual, colaboram em muito para o

trabalho docente, tornando o mais dinâmico e criativo, proporcionando ao aluno novas e

motivadoras experiências de aprendizagem, pois assim é a intenção.

Antes de apresentar o projeto AprovaMe, a mais forte influência na definição do

tema de investigação desta pesquisa, aproveito para expor outras motivações que também

3

(20)

me levaram a esse estudo. Começo por admitir que; seja no papel de professor, de pai, de

aluno ou de cidadão, gostaria de encontrar sempre pessoas que honrassem as questões de

valores tais como: honestidade, justiça, solidariedade, e fraternidade entre outras, por

entendê-los necessários à vida em sociedade.

E sigo, prenunciando a grata satisfação que teria ao adentrar uma sala de aula e

compartilhar um ambiente próspero em atitudes de iniciativa, liderança, criatividade,

respeito, cooperação, organização, e poder auxiliar na tradução destas em ações de saber:

do saber trabalhar em equipe, do saber se comunicar, do saber se expressar, que se

constituem em predicados muito valorizados pelo mercado de trabalho.

Acredito que tal empreita, certamente, será facilitada pela via da boa argumentação,

assim sendo, já devidamente expostas as demais influências dessa pesquisa, voltamos ao

tempo verbal usual desta pesquisa e vamos conhecer um pouco mais sobre o AprovaMe.

1.3 PROBLEMÁTICA

1.3.1 O projeto AprovaMe

O projeto AprovaMe objetiva, em grandes linhas, investigar as concepções de

alunos entre 14 e 16 anos sobre Argumentação e Prova. É de onde parte, pretendendo

fornecer subsídios aos seus professores colaboradores, visando à apresentação de situações

inovadoras de aprendizagem para a prova que incluam o uso de ambientes informatizados,

presumindo que a eficiência dessas situações implica na aceitação e na apropriação de uma

nova postura do educador. Ainda, o projeto pretende verificar se tais situações são

pertinentes à aplicação em salas de aula.

O projeto, sob a coordenação da Doutora Lulu Healy4 e com o apoio do CNPq, é

uma iniciativa dos pesquisadores do TecMEM5, grupo que agrega em suas fileiras,

profissionais voltados às questões educacionais que envolvam o uso de tecnologia e meios

de expressão em Matemática. Com o interesse em incentivar o uso de ferramentas da

computação e tecnologia em sala de aula e, cientes das dificuldades que se apresentam na

utilização desses recursos pelo educador, na maior da vez, o responsável direto pela gestão

em sala de aula, vêem na abordagem das questões que envolvem esse estudo

-Argumentação e prova na Matemática Escolar - uma real oportunidade de conscientizar

4

LULU (SIOBHAN VICTORIA) HEALY é pesquisadora responsável pela coordenadação do projeto AprovaMe.

5

(21)

este profissional sobre a necessidade de refletir sobre sua formação, presumindo que uma

mudança na postura do educador possa contribuir para a efetiva evolução do aluno, seja

para esta, ou para qualquer outra questão que lhe proponham o estudo.

Este projeto estruturado em várias etapas, busca constituir uma sólida base de dados

no tocante às questões de Argumentação e Prova na Matemática Escolar da nossa

comunidade escolar. Ainda que o senso coletivo de profissionais da Educação Matemática

aponte, a priori, que dificuldades encontradas por alunos de outros países onde pesquisas

semelhantes foram realizadas, aqui também se manifestem , faz-se necessário assegurar

que essa fonte de informações seja bem fundamentada, permitindo, a partir do contexto

apresentado, fornecer insumos capazes de orientar ações adequadas às condições escolares

brasileiras.

Complementam o grupo de pesquisadores, professores colaboradores advindos dos

estudos pós-graduados da PUC-SP, notadamente do mestrado profissional, e com maciça

atuação junto ao magistério público do estado de São Paulo.

Apostando no incremento da literatura disponível em Argumentação e Prova na

Educação Matemática, é que esse grupo de colaboradores foi convidado a participar do

projeto, afinal, muitos poderiam se interessar pelo tema, se envolver nas discussões e

terminariam por produzir trabalhos que versassem sobre a questão, o que de fato já se

verifica.

1.3.2 AprovaMe: ajustando os procedimentos para a pesquisa.

A primeira fase do AprovaME se realizou através de encontros quinzenais entre

pesquisadores e professores colaboradores para discutir ações inerentes ao

desenvolvimento do projeto. Boa parte dessas reuniões foi dedicada à análise de

questionários-pilotos, aplicados em um pequeno grupo de alunos, e que nos serviu de pano

de fundo para ajustes de critérios relacionados ao enquadramento dos tipos de

justificativas, inicialmente baseados no modelo de concepção dos tipos de provas proposto

por Balacheff.

Conforme apresentado em estudo de Gravina6, a classificação apresentada por

Balacheff, considera a distinção entre provas pragmáticas e provas intelectuais, admitindo

para estas últimas somente validações que se enquadram no tipo experiência mental7:

6

GRAVINA, M.A. Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotético-dedutivo. Tese de Doutorado, 2001.

7

(22)

Tabela 1 TIPOS DE PROVA –BALACHEFF

TIPO DESCRIÇÃO

EMPIRISMO INGÊNUO

_ toma, para validação de uma propriedade, a sua verificação em alguns poucos casos, sem questionamento quanto a particularidades, este modo de validação rudimentar, reconhecidamente insuficiente, é uma das primeiras formas do processo de generalização, e reside ao longo do processo de desenvolvimento do pensamento matemático;

EXPERIÊNCIA CRUCIAL

_ é procedimento de validação em que é proposto, explicitamente, o problema da generalização; ele intenta verificar a propriedade em caso particular mas sem considerá-lo tão particular, de modo a permitir, não mais de forma peremptória, a generalização; EXEMPLO

GENÉRICO

_ consiste na explicitação das razões que validam uma propriedade que encerra uma generalidade, mesmo fazendo uso de um representante particular do objeto matemático; EXPERIÊNCIA

MENTAL

_ é explicação depreendida de concretização em representante particular, a argumentação flui através de pensamentos que controlam toda a generalidade da situação, e não mais através de situações particulares, como no exemplo genérico.

Foram convidados ao debate, professores com dúvidas semelhantes e estilos

diferentes, apoiados em experiências pessoais, práticas e em literatura científica pertinente,

cada qual argumenta com as evidências que consegue encontrar e percebe-se que, muita

vez, não há o certo nem o errado, tais (dis)concordâncias levaram o grupo a encontrar

critérios distintos aos de Balacheff, que segundo Healy havia sido a fonte de referência

para a confecção dos protocolos.

Algumas singularidades são apontadas pelos participantes do projeto, antes,

ressaltamos que, para o bloco de questões destinado à construção de provas e apresentação

de justificativas, foi pequeno o número de registros. Ainda sim, analisados os registros

possíveis, surgiram discordâncias significativas entre os modos de enquadrá-los no modelo

inicialmente proposto pelo projeto. A busca de senso comum, somada à forte impressão

deixada pela ausência de justificativas, levou o colegiado a propor uma outra escala, ainda

fundamentada nas linhas daquele autor, mas mais ajustada à nossa realidade.

Apresentamos a escala idealizada pelos integrantes do projeto e utilizada para

classificação dos protocolos:

Tabela 2 TIPOLOGIA DE JUSTIFICATIVAS –APROVAME

TIPO DESCRIÇÃO

0 Respostas totalmente erradas, respostas que não apresentam justificativas ou exemplos, ou respostas que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso.

1 Alguma informação pertinente, mas sem deduções ou inferências – por exemplo, respostas que são completamente empíricas

2 Alguma dedução / inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática, sem contudo trazer todos os passos necessários para uma prova.

2a: Falta muito para chegar à prova (mais próximo de 1)

2b: Falta pouco para chegar à prova (mais próximo de 3)

3 3C:_Respostas corretas, totalmente justificadas por meio de cálculos.

(23)

Com o propósito de favorecer a compreensão do leitor, capturamos, do protocolo8

de álgebra do AprovaMe, alguns exemplos de justificativas e suas tipificações , e que

serviram-nos de referência para a classificação das amostras que os professores

colaboradores ficaram responsáveis por aplicar.

A3. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?

Quando você soma dois números ímpares quaisquer, o resultado é sempre par. Justifique sua resposta.

RESPOSTAS QUE RECEBEM 0

• Respostas que apresentam casos empíricos que não envolvem dois números ímpares:

• Respostas apresentando 1 ou mais exemplos

RESPOSTAS QUE RECEBEM 2A

• Respostas que menciona a “1” que sobra sem sendo muito claro sobre a estrutura de números impares.

RESPOSTAS QUE RECEBEM 2B

• Respostas que dividem números impares em números pares +/- 1, mas usam o mesmo número duas vezes (e.g. 3 + 3) em todos os exemplos.

8

(24)

• Respostas que explicam bem a estrutura de números impares em termos gerais, mesmo ilustrando suas falas com dois números iguais.

Quadro Informativo 1 – Exemplos extraídos do caderno de álgebra – Questão A3 – Fonte: AprovaMe.

Esta escala retrata nuances negativas do ensino brasileiro, que permitem encontrar

registros que promovem qualquer tentativa ínfima de pronunciamento matemático como

uma evidência formal na tentativa de ganhar o entusiasmo de sua turma, fator bastante

prejudicial na formação de nossos alunos. Em outro extremo, vai encontrar uma exigência

de rigor como forma de apresentação precisa, ignorando que a metodologia precisa ser

adaptada às necessidades do aluno e às suas vocações.

Considerando que a demonstração é das mais qualificadas habilidades recorrentes a

um matemático, dá a amplitude e complexidade do que é se obter alunos que obtenham

grau de elevada compreensão sobre o assunto, lembrando que a evolução do aluno é fator

que muito deve ser levado em consideração para avaliar o sucesso de nossas propostas e

práticas de ensino.

A participação no projeto como um dos professores-colaboradores nos permitiu ao

longo da sua primeira etapa, a conscientização sobre como um tema de tal complexidade e

importância deve ser discutido. Dá-se a confiança necessária ao pesquisador envolvido no

projeto para que o mesmo interaja com autonomia apresentando suas dúvidas e argumentos

para o “colegiado” validar seu questionamento ou apresentar alternativas interessantes. Foi

a partir dessas discussões que tinham como foco tipificar algumas amostras de alunos, no

sentido de preparar os professores-colaboradores para a tabulação de dados dos protocolos

aplicados por eles, que foram tomando corpo o tema e o objetivo dessa pesquisa.

(25)

A coordenação do programa AprovaME é quem nos fornece os dados relacionados

às questões A3 e A4 do protocolo de álgebra:

A3. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?

Quando você soma dois números ímpares quaisquer, o resultado é sempre par. Justifique sua resposta.

A4. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?

Quando você soma um múltiplo de três qualquer com um múltiplo de seis qualquer, o resultado é sempre um múltiplo de três.

Justifique sua resposta.

Quadro Informativo 2 – Questões do protocolo de álgebra – Fonte: AprovaMe

Entendemos que é pequeno o número de registros de justificativas que contemplem

um certo encadeamento lógico das idéias matemáticas, o que segundo a classificação do

AprovaME deveria se verificar pelo registro de códigos maiores ou iguais a 2 (pouco mais

de 7% ), a concentração se dá em justificativas do tipo 1 em torno de 55 %.

Sem resposta 8,96 %

0 28,13% 1 55,76%

Quadro Informativo 3 – Dados p/ A3 - Fonte: AprovaMe.

Os números relativos à questão A4 mostram uma migração de valores do código 1

(acerto) para sem resposta, bastante significativa. No mais, continua muito pequeno o

registro de códigos maiores ou iguais a 2 ( 9,01 %).

Sem resposta 30,53%

0 32,93% 1 27,53%

Quadro Informativo 4 – Dados p/ A4 – Fonte: AprovaMe

A questão A5 foi trabalhada por Leandro (2006), que é um dos professores

colaboradores do AprovaMe que participou do grupo cujo foco estava direcionado ao

tratamento desses dados. Sobre os dados que tomamos conhecimento pela coordenação do

projeto e também pelos que vieram a público pelo estudo de Leandro, tecemos algumas

considerações que apresentamos a seguir, adiantando que o que surge como resultado é

(26)

A5: Sabendo que: 4! significa 4 x 3 x 2 x 1 5! significa 5 x 4 x 3 x 2 x 1 Responda:

a) 5! é um número par? Justifique

b) O que significa 8! ? c) 8! é um múltiplo de 21 ?

Justifique

d) 62! é um múltiplo de 37 ? Justifique

e) Pedro calculou 23!

Sem calcular, determine o último algarismo do resultado encontrado por Pedro. Justifique

Quadro Informativo 5 – Questão A5 do protocolo de álgebra – Fonte: AprovaMe.

Enquanto as questões para as quais bastaria a aplicação e transcrição do algoritmo,

sem maiores detalhamentos, verifica-se percentual de acertos oscilando bem próximo dos

cinqüenta por cento: 53,13 % para o item (a) e 48,06 % para o item (b). Nas questões que

necessariamente envolvem a produção de argumentos, esse percentual cai abruptamente:

item (c) com 16,40%; item (d) com 10,74% e item (e) com 15,41% de acertos.

Tal preocupação manifesta-se também pelos resultados analisados por Doro (2007),

outro dos professores colaboradores do projeto responsáveis pela análise dos dados, ao

apresentar suas considerações acerca dos resultados obtidos a partir dos protocolos de

geometria que compuseram sua amostra, segue-se tal e qual:

Eis algumas informações sobre o desempenho de nossa amostra de 1816 alunos de 8ª série ou 1º ano do ensino médio, com relação a duas questões do tema geometria de nosso questionário: 26,3%, tipicamente alunos de 1º ano do ensino médio, não responderam nem justificaram nenhuma das questões; 41,7 % apresentaram respostas erradas, acompanhadas de justificativas sem qualquer informação pertinente, para a questão considerada mais difícil; um pequeno grupo (1,9%), tipicamente de alunos de 8º série, apresentou respostas corretas, acompanhadas de justificativas pertinentes a ambas as questões.9

Para auxiliar o leitor na compreensão desses dados, tal como fizemos em relação ao

questionário de álgebra , apresentamos as questões que Doro faz referência em sua análise:

9

(27)

G4: Dobre uma folha de papel, conforme o esquema abaixo. Obter o valor de x .

Justifique sua resposta.

Quadro Informativo 6 – Questão G4 do protocolo geometria – Fonte: AprovaMe.

G5: A e B são dois quadrados idênticos. Um vértice do quadrado B está localizado no centro do quadrado A. Qual fração da área do quadrado A está coberta pelo quadrado B?

Quadro Informativo 7 – Questão G5 do protocolo geometria – Fonte: AprovaMe.

Preparar o aluno para argumentar é também uma de nossas atribuições e as

maneiras como ele disponibilizará suas demonstrações precisam ser antes apresentadas aos

mesmos e trabalhadas de forma condizente ao objetivo que se busca, fazendo com que o

indivíduo perceba a necessidade de argumentar criticamente, fazendo uso da apresentação

de fatos conhecidos e propriedades já demonstradas. Vai surgindo desse questionamento,

daquelas singularidades, da ausência das justificativas, a nossa questão de investigação:

_Como trabalhar a argumentação em função da prova? Qual argumentação trabalhar?

1.3.4 AprovaMe: elaborando as atividades.

Assim, durante esta segunda etapa do AprovaME, os professores colaboradores

foram orientados a criar tais tipos de situações, utilizando ferramentas computacionais

como meio facilitador, fazendo com que o professor refletisse sobre a constante mutação

que é a educação (matemática), e a importância de promover o encontro da tecnologia com

a educação em plena sala de aula, servindo como motivação aos nossos alunos. O Teleduc,

uma plataforma de ensino à distância de amplos recursos - fórum, portifólios, Chat ,

(28)

possibilitou que as atividades criadas fossem analisadas pelos participantes dos demais

grupos, contribuindo em alguns casos para o aprimoramento da atividade com indicações

oportunas e observações criteriosas.

Não foram poucas as discussões sobre como possibilitar o gradativo

desenvolvimento da estrutura cognitiva do aluno_ do empírico ao dedutivo _ e

sinceramente, não nos convence a existência dessa possibilidade pelo atual quadro de

ensino da Matemática. Os processos de prova e demonstração são também conteúdos

matemáticos dos mais árduos e devem passar por uma criteriosa seleção, a fim de que se

possam eleger os mais indicados a serem bem sucedidos, quando de sua exposição.

É preciso levar em conta que nem todos os alunos serão futuros matemáticos. E

refletir sobre qual a motivação que nossos alunos têm em buscar provar o que já é

verdadeiro, o que já está provado?

Sabemos que para isso, o professor precisa investir tempo e dedicação na criação de

atividades que envolvam o aluno, que façam-no sentir desafiado, e é essa uma das

principais impressões deixadas pelo AProvaMe: levar o professor à reflexão sobre como

envolver o aluno em seus projetos. Para isso aponta para o uso dos computadores como

facilitador, como o avalista de uma empreitada, e concordamos com essas assertivas.

A participação nessa segunda fase implicou na reflexão da condição cognitiva de

cada um dos participantes em relação ao assunto abordado, mais especificamente, na

elaboração de tarefas que levassem a condição de demonstração e prova. No caso deste

pesquisador, tornou-se perceptível à necessidade de estar mais bem preparado para

atividade de tal cunho, e por conta disso, a opção no investimento em pesquisa que

considera a Argumentação como fator determinante para o tratamento positivo dessa

questão.

Dessa forma, entendendo a sala de aula como um local da prática da argumentação,

pois há a clara intenção em convencer um determinado público e admitindo que a

matemática que se pretende ensinar e aprender tem sua essência na demonstração, que por

sua vez tem regras específicas, pretendemos, através da negociação permitida pela

argumentação, auxiliar na constituição de um pertinente repertório matemático por parte de

nossos alunos, por meio da proposição de atividades que propiciem contextos para

argumentar, possibilitando que a lógica da argumentação - pertinência e encadeamento

lógico das idéias - em combinação com esse repertório de fatos e evidências matemáticas

(29)

Buscamos, principalmente nas contribuições de autores como Maher (1998), Bolite

Frant e Castro (2002), elementos que nos permitam admitir a participação da argumentação

cotidiana na constituição do conhecimento matemático escolar, ressaltando que a

argumentação matemática tem regras específicas, mas que partindo daquele estágio de

argumentação, podemos elaborar e implementar atividades de iniciação a prova, onde se

pratica a argumentação com propriedades matemáticas.

(30)

2

2 F

ILOSOFANDO

2.1 NOTAS DO HISTÓRICO DA ARGUMENTAÇÃO

Nossa primeira intenção era promover um breve histórico que conseguisse mostrar

como a evolução do conceito de vida em sociedade implica em mudança substancial no

conceito de ensinar, chegando no período em que a educação adquire seu formato

intencional, mas deixaremos ao nosso leitor tal tarefa, e nos permitimos indicar a obra de

Miorim10 como boa fonte.

Nos reportamos à idéia do saber constituindo-se como uma forma de privilégio. Em

boa parte, essa transformação deve-se a complexidade que a vida em sociedade vai

adquirindo, principalmente por conta do crescimento da população, daí o surgimento de

uma nova categoria de indivíduos - os funcionários - responsáveis pela organização de

algumas tarefas fundamentais para a aldeia. Entendemos que o ócio possibilitou a alguns

desses indivíduos o pensar sobre novas técnicas e instrumentos, traduzindo-se para a época

em produção de novos conhecimentos, implicando na apropriação desse saber por conta

de um grupo privilegiado.

A educação começa então a ser diferenciada, e os filhos dos organizadores - os futuros dirigentes – passam a ter um tratamento especial. É o início da educação intencional, sistemática, organizada, violenta e sapiencial. Em princípio, apenas como complementação aos conhecimentos práticos das técnicas, mas em seguida, como a única forma de educação das classes dirigentes.

Miorim11

A função desses governantes era a administração das questões básicas da cidade em

benefício de todos os habitantes, era! Para tanto, sentiu-se a necessidade de registrar as

transações realizadas, não apenas em quantidade, mas também relacionar a classe de

objetos que tal quantidade se referia. Desenhos e símbolos eram utilizados para tais tarefas,

como conta Miorim quando cita Bernal, acabaram por criar uma modalidade de escrita.

10

MIORIM, M.A. Introdução à história da Educação Matemática. S.Paulo, Atual editora, 1998

11

(31)

Desta maneira, a escrita, a maior e mais importante de todas as invenções manual-intelectuais do homem, foi emergindo da contabilidade. 12

Como única forma de acesso à cultura, a escrita vai ganhando em importância e,

conseqüentemente, a profissão de escriba vai tornando-se mais valorizada. Com essa

valorização do trabalho intelectual ligado à escrita, que atingiu o auge na Grécia, temos as

primeiras distinções entre as classes de cultura: a cultura sapiencial e a cultura técnica,

considerada de menor valor, nessa última, incluem-se os estudos dos cálculos numéricos,

considerados técnicos, já que eram realizados com o auxílio do ábaco.

Será na Grécia que veremos surgir, também uma nova atitude com relação à educação: a de formar um tipo ideal de cidadão. Nesse momento, assistiremos a importantes discussões a respeito da importância e do papel que a Matemática deveria desempenhar na formação do indivíduo. Seria apenas um mero elemento técnico, como acreditavam os povos antigos? Ou seria um elemento fundamental para o desenvolvimento de alguma habilidade intelectual?

Miorim13

2.2 A MATEMÁTICA CHEGA AOS BANCOS ESCOLARES

Historicamente, é por volta do século VI a.C que surgem os primeiros registros

sobre as mudanças de perspectivas em relação aos estudos de Matemática na Grécia, mais

precisamente, relacionadas às colônias de Mileto e Samos.

Tales de Mileto (c. 626-545 a.C) e Pitágoras de Samos (c.580-500 a.C.) são os

primeiros a serem considerados entre os matemáticos, embora a influência de Pitágoras

tenha sido maior e definitiva, principalmente devido a propagação de seus ensinamentos

através de seus seguidores e admiradores, entre eles: Platão.

A escola fundada por Pitágoras, considerava os números como os elementos

essenciais para a justificativa da existência de uma ordem universal, acreditando que a

purificação só poderia ser alcançada através do conhecimento puro. Essa escola foi

responsável por estudos de novos resultados a respeito dos números e da geometria,

sobretudo pelo “estabelecimento da matemática como uma disciplina racional”14

12

BERNAL, apud MIORIM, M A . Introdução à história da Educação Matemática. S.Paulo, Atual editora, 1998. p,12.

13

MIORIM, idem. p.13.

14

(32)

Com relação ao aspecto educacional, podemos dizer que foi na escola filosófica de Pitágoras, que a Matemática, pela primeira vez, foi introduzida na educação grega e reconhecida como um elemento de grande valor formativo. Miorim15

Com relação às inovações pedagógicas, é preciso nos situarmos na segunda metade

do século V a.C, e acompanhar o surgimento dos sofistas, críticos e, sem se ater a correntes

filosóficas, mesmo com propostas de ensino divergentes entre si, tinham em comum o fato

de serem professores. Dentre os sofistas, Protágoras (c. 480-410 a.C), o mais antigo dos

sofistas, propunha-se a ensinar a arte da política, como afirma Miorim:

por meio da persuasão e da arte do discurso, a retórica. Sua arte de persuasão baseava-se na hipótese de que em qualquer discussão, sobre qualquer tema, é possível tanto defender quanto acusar, uma vez que sempre existem os prós e os contras e que, portanto, é sempre possível vencer. Para isso, utilizava-se de um método de discussão cuja base provinha dos paradoxos de Zenão de Eléia.16

Assim considerada, a importância dos sofistas para o ensino da matemática está

ligada ao grande valor que estes atribuíam à cultura geral, em que pese à ênfase à oratória

de sua proposta e até por conta desta condição, pois segundo eles, um bom orador, além

das regras da retórica e das técnicas de persuasão, deveria saber versar e conhecer sobre

todos os assuntos. Por tais razões, atribui-se a popularização da matemática - através da

inclusão desta em um ciclo normal de estudos - aos sofistas.

2.3 PARA QUE SERVE O ENSINO DA MATEMÁTICA: PRÁTICA OU FORMATIVA ?

Sócrates (c.469-399 a.C.) e os sofistas promovem uma verdadeira revolução na

educação grega ao distanciarem-se das origens guerreiras e cavalheirescas, semeiam

polêmicas e controvérsias sobre as vantagens e desvantagens de tais métodos em relação

aos antigos.

Segundo Miorim, essa discussão, levada ao longo dos anos, gera no século seguinte

o surgimento desse novo modelo de educação que , ainda nos dias de hoje, não está

totalmente resolvido:

Apesar de ter sido o século V a.C., com os sofistas e com Sócrates, aquele que lançou as bases da nova educação grega, seria o século seguinte, com Platão e Isócrates _ o primeiro, defensor de uma formação filosófica, e o segundo, de uma formação retórica _ que

15

MIORIM, M.A. Introdução à história da Educação Matemática. S.Paulo, Atual editora, 1998. p. 15.

16

(33)

delinearia, de maneira nítida e definitiva, os quadros dessa nova pedagogia.17

Nos estudos filosóficos de Platão, as matemáticas ganham em importância, seja

pela sua recomendação para que os estudos matemáticos fossem desenvolvidos desde o

nível elementar, seja pelo novo enfoque não mais técnico / prático necessário às várias

profissões, e sim formativo, pois serviriam para despertar o pensamento do homem, o

espírito, fazendo o adquirir, segundo Marrou: “ desembaraço, memória e vivacidade.”

Acredita-se que esse importante e original valor cultural atribuído à Matemática

seja influência da escola pitagórica sobre Platão, principalmente por meio de seus contatos

com Teodoro de Cirene (c. 390 a.C).

Já com Isócrates, o maior representante da educação retórica, entende-se porque

não concordava que os estudos das matemáticas fossem desenvolvidos da maneira

profunda proposta por Platão, apesar de concordar com o valor formativo daquelas

ciências , já que nelas percebia a possibilidade de “habituar o espírito ao trabalho

disciplinado”, pelo fato de serem abstratas e difíceis. Isócrates voltava sua preocupação

para as coisas práticas, preferindo ensinar seus discípulos “... a formarem uma opinião

razoável sobre as coisas úteis, a fazê-los queimarem as pestanas em busca de certeza sobre

questões perfeitamente inúteis, como a duplicação do cubo.”18

2.4 FILOSOFANDO E ARGUMENTANDO !

Ao olharmos pelo ponto de vista filosófico, que historicamente nos permite maior

fontes de consultas, podemos constatar que as contribuições advindas dessa polêmica em

torno do valor da retórica são, de fato, importantes à causa da demonstração.

Vejamos, Tales de Mileto é considerado o primeiro entre os pensadores ocidentais,

cujo berço, situado na região litorânea da Ásia Menor denominada Jônia, é pródigo em

outros ilustres pensadores. Segundo o que nos apresenta Oliveira em artigo eletrônico,

Tales é considerado por Aristóteles o fundador da filosofia e tal distinção é, em parte,

justificada pelo objetivo que esses primeiros filósofos ocidentais buscavam, ao tentarem

obter uma explicação racional e sistemática das características do universo, a cosmologia,

que se distinguia dos padrões da época fundamentados em mitos – cosmogonia.

17

MIORIM, M.A. Introdução à história da Educação Matemática. S.Paulo, Atual editora, 1998, p.17. 18

(34)

Tales, por exemplo, considerava a água como o princípio substancial do Universo.

Essa retomada ao período denominado na filosofia de pré-socrático, nos permite incluir

além de Pitágoras, cuja escola já tratamos anteriormente , outros nomes dentre esses

sábios que trouxeram intrínsecas relações com a Matemática: Anaxágoras de Clazomena

(500-428 a.C.) e Zenão de Eléia (floresceu cerca de 450 a.C.).

Anaxágoras, segundo Boyer representa bem o espírito de pesquisa racional iniciada

pelos jônicos, algo retratado quando nos apresenta os motivos pelo qual o filósofo grego

foi preso:

Anaxágoras, foi preso em Atenas por impiedade, ao assegurar que o Sol não era uma divindade, mas uma grande pedra incandescente, grande como todo o Peloponeso, e que a Lua era uma terra habitada que emprestava do Sol a sua Luz. 19

Essa intensa busca no entendimento da natureza do Universo, o leva a publicar o

primeiro best seller cientifico – ‘Sobre a natureza’. Embora filósofo, Anaxágoras,

dedicou-se a algumas incursões matemáticas, dentre as quais a quadratura do círculo, registrando a

primeira aparição de um dos problemas “que exerceria fascínio nos matemáticos por mais

de 2000 anos.”20

Parmênides (530 – 460 a.C.) é o primeiro filósofo a formular os princípios lógicos

de identidade e não-contradição, que depois seriam melhores desenvolvidos por

Aristóteles. Encontramos entre seus discípulos: Zenão de Eléia a quem se atribuiu à fama

de respeitado professor e de ser o mais eloqüente dentre os descobridores da dialética: ele,

Xenófanes e Parmênides.

A dicotomia, o Aquiles, a Flecha e o Estádio, são os paradoxos21 tratados por

Zenão e, mais tarde, também analisados por Aristóteles. Exemplos de boa argumentação,

encontram-se em vasta literatura disponível sobre os paradoxos, dentre as quais retiramos

fragmentos de texto disponibilizado eletronicamente, para esclarecer de modo abreviado as

intenções de Zenão com suas proposituras:

Em dois dos paradoxos, a dicotomia e Aquiles, Zenão argumentou que se o tempo e o espaço são divisíveis, o movimento seria impossível. Em resumo, para alcançarmos B saindo de A, é necessário alcançar C (ponto médio entre A e B); para alcançar C é necessário alcançar D (ponto médio entre A e C); para alcançar D, é necessário alcançar E (ponto

19

BOYER C.B. História da Matemática.. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher, 1974. p.47

20

ibidem p.48

21

(35)

médio entre A e D); o argumento continua assim ad infinitum, concluindo-se então que o movimento não pode começar !

A_____E_____D___________C_______________________B

No paradoxo de Aquiles e da tartaruga, o argumento é semelhante:

A________________B_____________C______D___E__

Se a tartaruga está em B e Aquiles em A, Aquiles nunca pega a tartaruga, pois no momento em que Aquiles chega no ponto B a tartaruga estará em algum ponto C adiante, e assim por diante

ad infinitum: a tartaruga estará sempre à frente.

Admitindo as similaridades entre a flecha e o estádio, capturamos também

eletronicamente, as explicações sobre esses outros dois paradoxos:

Nos outros dois paradoxos a flecha e o estádio, Zenão adota a hipótese alternativa que o tempo e o espaço não são infinitamente indivisíveis, isto é, existe uma menor unidade indivisível de tempo (um instante) e de espaço (um ponto). Zenão considerava uma flecha e razoavelmente assegura que a flecha deve estar em um certo ponto num dado instante: como ela não pode estar em dois lugares no mesmo instante, não pode se mover naquele instante; se, por outro lado, está em repouso naquele instante, então, como o mesmo argumento se aplica para outros instantes, ela não pode se mover de jeito nenhum ! O estádio é bem mais complicado, mas o argumento usado é semelhante.

Essa maneira de tratar a argumentação adotada por Zenão, guarda uma relação com

um importante recurso matemático, a redução ao absurdo, mesmo admitindo que,

historicamente, faça-se menção a uma suposta aplicação pioneira por Hipócrates de Chios

quando na investigação da quadratura de lunas , cujo teorema, segundo Boyer22,

resume-se: “Segmentos de círculos semelhantes estão na mesma razão que os quadrados de suas

bases.”

A prova dessa demonstração por via indireta é uma das possíveis introduções do

método da redução ao absurdo, conquanto a maneira como Zenão proferiu seus

argumentos para provar a inconsistência dos conceitos de multiplicidade e divisibilidade

admitidos pelos pitagóricos, não deixa dúvidas quanto ao método, e por conta disso

atribui-se a Zenão a adoção desatribui-se recurso, que mais tarde viria a constar na pauta dos matemáticos

envolvidos em processos de demonstração, não sem antes absorver algo mais com

Aristóteles. Boyer relata que:

22

(36)

o método adotado por Zenão era dialético, antecipando Sócrates nesse modo indireto de argumento: partindo das premissas de seus oponentes, ele as reduzia ao absurdo.23

Esses modos de pensar, de buscar razões para a existência, nos levam ao encontro

de Sócrates e Platão. As obras de Platão cuidam de trazer ao mundo os pensamentos

socráticos e, dentre essas obras, algumas são dedicadas à oposição aos sofistas. Sócrates

não guarda apreço pela Matemática, o que não se pode dizer de Platão, mas sua eterna

busca da verdade, notadamente pela contrariedade em que via o uso da retórica por parte

dos sofistas, traz à luz da Matemática, contribuições importantes quanto ao modo de

exposição de argumentos.

Sócrates utiliza-se da ironia e da maiêutica, para argumentar com seus debatedores,

entendendo essa ironia com o sentido da época do filósofo, muito diferente do uso que hoje

se faz do vocábulo.

A ironia adotada por Sócrates levava os seus debatedores - discípulos e opositores -

a confessarem suas próprias contradições e ignorâncias, pois entendia Sócrates que a partir

dessa suposta libertação do orgulho e da pretensão sobre o que sabiam, poderiam iniciar o

caminho da reconstrução de suas próprias idéias.

O segundo recurso utilizado por Sócrates a maiêutica, consistia em ajudar os seus

discípulos a conceberem suas próprias idéias. Não é por acaso que Sócrates sempre fazia

menção a frase inscrita no templo de Apolo: “Conhece-te a ti mesmo”.

Os sofistas, cuja denominação deriva do prefixo sophoi – sábios, apesar de

divulgadores do conhecimento como Sócrates, guardam diferenças para com esse:

Sócrates, embora não vendesse seus ensinamentos, levava estilo de vida semelhante aos

sofistas, porém, seus discursos, baseados na percepção que tinha de que a sabedoria

começa pelo reconhecimento da própria ignorância, ia sempre em busca da verdade.

Enquanto as lições sofísticas tinham como propósito o desenvolvimento da argumentação,

da habilidade retórica como forma de convencer a qualquer preço, não cabendo uma

verdade única, admitindo sempre possível diante da adequada combinação de fatores e

circunstâncias fazer valer determinada opinião.

Já, a doutrina socrática , segundo Oliveira, tem conseqüências diretas na educação:

O conhecimento tem por fim tornar possível a vida moral, o processo para adquirir o saber é o diálogo, nenhum conhecimento pode dogmaticamente, mas como condição para desenvolver a capacidade de pensar, toda a educação é essencialmente ativa, e por ser auto-educação

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