DIVISÃO INTEIRA EXEMPLO
1) Resolva cada uma das equações, utilizando a fórmula resolvente:
a) 3x2+2x-1= 0; b) 2(x2+2)-3(x+4) = 0; c) 3x+4x = x-x2+2; d) x+x2+x+x = x-x-x-x; e) 3x2+3x+3x = 9x; f) 3+ (2x+8) = (x2+2)+1; g ) 5(3x+3x+3x) = 3 (3+2x5 2). 4 2 3
Raiz ou zero de um polinómio
Raiz (ou zero) de um polinómio p(x) é um número c, tal que p(c)=0.
Actividade
Determinar, caso existam os zeros dos seguintes polinómios
a) 3x2+2x-1; b) 2x2+2-3x+4; c) 3x+4x+ x-x2+2;
40
Decomposição de um polinómio em factores
Decomposição em factores
Se α1, …, αk são as raízes reais de um polinómio não nulo A, então existem números únicos e um único polinómio Q sem raízes reais, tais que:
A(x) = Q(x)(x - α1)n1… (x - αk)nk
Ao número ni chama-se multiplicidade algébrica da raiz αi. Por exemplo: Se ni = 1 diz-se que αi é uma raiz simples de A, se ni = 2 diz-se que αi é uma raiz dupla de A, se ni = 3 diz-se que αi é uma raiz tripla de A.
Exemplo:
3x3-6x2+x-2 = (3x2+1)(x-2);
Factorização de polinómios
Processos para factorizar polinómios
Factorizar um polinómio consiste em transformar o polinómio (soma de monómios) num produto.
Existem várias formas para factorizar polinómios, entre as quais:
Factorização simples (ou pôr em evidência);
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Factorização de polinómios
Factorização simples (ou pôr em evidência). Exemplo ax + ay + az = a (x + y + z); Por agrupamento. Exemplo ax + by + bx + ay = = ax + ay + bx + by = = a (x + y) + b (x + y) = = (x + y) • (a + b)
Factorização de polinómios
Utilizando os casos notáveis
Exemplos
x² - 4 = (x+2)(x-2);
x² -2xy+y² = (x-y)(x-y);
x² +2xy+y² = (x+y)(x+y).
Utilizando equações de 2.º grau
44
Inequações polinomiais
Inequações polinomiais
A equação é caracterizada pelo sinal da igualdade (=).
A inequação é caracterizada pelos sinais de maior (>), menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤).
Dada a função f(x) = 2x – 1 → função de 1º grau.
Se dissermos que f(x) = 3 e desejarmos determinar os valores de x que satisfazem a igualdade vem : 2x – 1 = 3
→ equação do 1º grau, calculando o valor de x, temos: 2x = 3 + 1, 2x = 4, x = 4 : 2, x = 2 → x deverá ter o valor 2 para que a igualdade se verifique.
Dada a função f(x) = 2x – 1. Se dissermos que f(x) > 3, escrevemos: 2x – 1 > 3 → inequação de 1º grau,
calculando os valores de x, temos: 2x>3+1, 2x>4, x > 2.
Inequações polinomiais
Inequações polinomiais de 2º grau
Dada a função f(x) = x2+2x – 1 → função de 2º grau.
Se dissermos que f(x) ≥ -1 e desejarmos determinar os valores de x que satisfazem a desigualdade como
46 Expressões racionais Expressões racionais Domínio; Simplificação; Operações; Equações racionais; Inequações racionais.
Expressões racionais
Expressões racionais
Expressão racional é uma expressão da forma:
, sendo P e Q polinómios e Q diferente de zero.
Exemplo
, P = 2xy y2, Q = 2x2 1
Q
P
48
Expressões racionais
Domínio
Domínio de uma expressão racional é o conjunto dos valores para os quais a expressão tem significado, no contexto onde está a ser estudada.
Exemplo: D = {x IR: Q(x) ≠ 0}.
Exemplo:
, Domínio da expressão em IR é IR\{-1,1}
)
(
)
(
x
Q
x
P
2
2
2
2 2−
−
x
y
xy
∈
Expressões Irracionais
Expressões irracionais
Expressão irracional é toda a expressão da forma , sendo A (radicando) uma expressão algébrica e n (índice do
radical) um número natural.
Para n par o radicando tem de ser um número não
negativo, para n ímpar o radicando pode assumir qualquer valor real para o qual a expressão tenha significado.
n
50
Expressões Irracionais
Domínio de expressões irracionais (em IR)
Se n é par D = {x IR: A(x) ≥0},
Se n é ímpar D = {x: A(x) IR}. Exemplos
Domínio D de ; D = {x IR: x+3≥0} = [-3, +∞[
Domínio D de D = {x IR: 2+3x IR} = IR
n
A(x)
∈
∈
4
x + 3 ∈
Expressões Irracionais
Racionalizar dos termos de uma fracção
Por racionalização dos termos de uma fracção entende-se o processo que conduz à substituição de uma expressão
envolvendo radicais por outra sem radicais.
Exemplo:
é o mesmo que
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Condições que envolvem valor absoluto
Equações que envolvem valor absoluto (?). 1) Resolva, em IR, as equações:
a) |3x-4|=5;
b) |5x+3|=|8x-2|.
Inequações que envolvem valores absolutos (?) 2) Resolva, em IR, as inequações:
a) |3x-4|>5; b) |2x-8|<6; c) |5x+3|≤8.
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Introdução ao cálculo diferencial
Estudo das funções reais de variável real;
Limites de funções;
Continuidade;
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Funções
As correspondências podem ser ou unívocas ou não unívocas;
Chama-se função f de A em B a toda a correspondência unívoca de A para B, e representa-se por f: A → B;
Uma função é uma colecção de pares de números tais que: se (a, b) e (a, c) pertencem ambos à colecção então b = c;
Intuitivamente pode interpretar-se uma função f definida num certo conjunto D e com valores num conjunto E, como uma regra que faz corresponder a cada elemento x de D um único elemento f(x) de E. O conjunto D é chamado domínio de f e o subconjunto C de E formado por todos os elementos f(x), com x D é o contradomínio de f
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Funções
Sejam f: D →E
Diz-se que f é uma função real se todos os valores que assume são números reais, qualquer que seja o conjunto D;
Diz-se que f é uma função de variável real se D IR;
Uma função diz-se real de variável real quando o domínio e o contradomínio são subconjuntos do conjunto dos números reais;
Fixado num plano um referencial cartesiano (que suporemos sempre
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Exemplos de gráficos de funções
O gráfico da função identicamente nula (com o valor 0 em qualquer ponto x IR) é o eixo das abcissas;
O gráfico da função identidade I(x) = x para qualquer ponto x IR é a bissectriz dos quadrantes ímpares;
O gráfico da função f: IR→ IR, tal que f(x) = -x, qualquer que seja x IR) é a bissectriz dos quadrantes pares;
O gráfico da função f: IR→IR, tal que f(x) = x2, é uma parábola que com a concavidade virada para cima e que passa pela origem do referencial.
∈
∈
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Domínio, conjunto de chegada e contradomínio de uma função
Seja f: A →B, então:
Domínio de f, Df = {a A: f(a) = b, b B};
Conjunto de chegada de f, Cchf = B;
Contradomínio de f, Cdf = {y B: x A: f(x) = y}
Caracterizar uma função f, significa conhecer:
Domínio de f;
∈
∈
∈
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Zeros de uma função
Designa-se por zero de uma função f todo o valor da variável independente x que tem por imagem o valor zero.
Se c é um zero da função f então f(c) = 0.
Sinal de uma função
Estudar o sinal de uma função f equivale a determinar:
Os pontos do domínio de f onde a função assume valores positivos;
Os pontos do domínio de f onde a função assume o valor zero;
Os pontos do domínio de f onde a função assume valores negativos.
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Monotonia
Seja f uma função real com domínio D e seja A um subconjunto qualquer de D:
Diz-se que f é crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) f(x2) sempre que seja x1<x2. Quando se disser apenas que f é crescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é crescente em todo o seu domínio;
Diz-se que f é estritamente crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) < f(x2) sempre que seja x1<x2.
≤
∈
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Monotonia
Diz-se que f é decrescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) f(x2) sempre que seja x1>x2. Quando se disser apenas que f é decrescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é decrescente em todo o seu domínio;
Diz-se que f é estritamente decrescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) < f(x2) sempre que seja x1 > x2. Quando se disser apenas que f é estritamente decrescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é estritamente decrescente em todo o seu domínio;
Diz-se que f é monótona em A sse f for crescente ou decrescente nesse conjunto e que f é estritamente monótona em A sse for
estritamente crescente ou estritamente decrescente em A .
≤
∈
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Extremos absolutos de uma função
Ponto máximo e valor máximo
Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
x A diz-se ponto máximo de f em A se f(x) f(y), y A; o valor f(x) chama-se valor máximo de f em A .
Ponto mínimo e valor mínimo
Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
∈ ≥ ∈
∈
∈
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Extremos relativos de uma função
Ponto máximo local
Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
x A diz-se ponto máximo local de f em A, se existe algum >0, tal que x é ponto máximo em A ]x- , x+ [.
Ponto mínimo local
Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
z A diz-se ponto mínimo local de f em A, se existe algum >0, tal que x é ponto mínimo em A ] z- , z + [.
∈
∈
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∩
∩
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Injectividade e sobrejectividade
Seja f: A →B:
f é injectiva f(x) = f(y) x = y , x, y Df
f é sobrejectiva y B, x A: f (x) = y;
f é bijectiva f é injectiva e f é sobrejectiva.
∈
∈
⇔
⇔
⇔
∃
∀
⇒∀ ∈
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Função afim
Toda a função f, real de variável real, definida por f(x) = ax + b, em que a e b são constantes reais, diz-se
uma função afim. O gráfico da função afim é uma recta. O coeficiente a chama-se declive e b chama-se ordenada na origem.
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Função quadrática
Chama-se função quadrática, ou função polinomial de 2º grau, a qualquer função f de IR em IR, dada por uma
expressão da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠0.
O gráfico de uma função quadrática (polinomial de 2º grau), f(x) = ax2 + bx + c, com a≠ 0, é uma curva chamada parábola.
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Função módulo
A função módulo pode ser definida como a função que a
cada número real x associa o módulo de x, ou seja, a distância de x à origem.
O gráfico da função módulo, isto é da função ψ: IR→ IR, tal que ψ(x) = |x|, qualquer que seja x IR é a reunião das
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Operações com funções
• Sejam f e g funções reais de variável real,
• Soma de f e g, representa-se por f+g, e caracteriza-se:
• D f+g=Df ∩ Dg;
• (f+g)(x)=f(x)+g(x), ∀x∈ D f+g;
• Cch f+g=IR.
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• Produto de f e g, representa-se por f.g, e caracteriza-se:
• D f.g=Df ∩ Dg;
• (f.g)(x)=f(x) . g(x), ∀ x∈ D f.g;
• Cch f.g=IR.
• Quociente de f e g, representa-se por
g f , e caracteriza-se: • D g f =(Df ∩ Dg)\{x ∈ Dg: g(x)=0}; • ( g f )(x)= ) ( ) ( x g x f , ∀x∈ D g f ; • Cch f/g=IR.
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• Composição de f e g, representa-se por fog, e caracteriza-se:
D fog={x: x Dg g(x) Df}; (fog)(x) = f [g(x)], x D fog; Cch fog = IR.
∈
∈
∈
∧
70
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Função inversa
Seja f uma função real de variável real, tal que: f: D → IR é injectiva:
A função inversa de f é por definição, a aplicação g: f(D) → IR, tal que g (f(x)) = x, para cada x pertencente a D;
Toda a função injectiva tem inversa;
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Função Exponencial (de base e)
A função exponencial (de base ) é a função real de variável real que a cada x faz corresponder ex
Propriedades:
Domínio: IR
Zeros: não tem zeros
Sinal: é sempre positiva
Extremos: não tem nem mínimos nem máximos
72
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Função Exponencial
Função exponencial (de base e)
Gráfico:
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Função Logarítmica
A função f: IR+ → IR, definida por f(x)=logax, com a≠1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a.
O domínio da função logarítmica é o conjunto IR+ (reais
positivos, maiores do que zero) e o contradomínio é IR (reais).
Vamos considerar duas situações:
0<a<1;
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Função Logarítmica (0<a<1).
Exemplo: y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes: -2 -1 0 1 2 y 4 2 1 1/2 1/4 x
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Função Logarítmica (a>1)
Exemplo: y=log(2)x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes: 2 1 0 -1 -2 y 4 2 1 1/2 1/4 x
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Limites de Funções (13-05-2008)
Limite de uma função num ponto
1. Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR, a∈IR um ponto aderente a D e b um número real. Diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a (ou que b é o limite de f no ponto a) e escreve-se
a x→
limf(x)=b ou a
limf(x)=b sse, qualquer que seja o número positivo ε existir δ >0 tal que, qualquer que seja x∈ D verificando a
condição |x-a|<δ , se tenha |f(x)-b|<ε . Simbolicamente: a
x→
limf(x)=b ⇔ ∀
ε
>0, ∃δ >0, ∀x, 0<|x-a|<δ ⇒|f(x)-b|<ε .Limites de Funções
Se f: D _______> IR e g: E _______> IR têm limite no ponto a, e se este ponto é aderente a
D∩E, então, têm limite nesse ponto as funções:
i) f+g, verificando-se a igualdade: a x→ lim (f+g)= a x→ lim f+ a x→ limg;
ii) f-g, verificando-se a igualdade:
a x→ lim (f-g)= a x→ lim f-a x→ limg;
iii) f.g, verificando-se a igualdade:
a x→ lim (f.g) = a x→ lim f . a x→ lim g; f f limx→af
78
Limites de funções
Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR, a∈IR um ponto aderente a D. i) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D∩]a, +∞[
(quando existe) chama-se limite de f no ponto a à direita ou limite de f(x) quando x tende para a por valores superiores a a, representa-se por
+
→a x
limf(x);
ii) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D∩]-∞, a[ (quando existe) chama-se limite de f no ponto a à esquerda ou limite de f(x) quando x tende para a por valores inferiores a a, representa-se por
−
→a
xlimf(x); i) O limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D\{a} (quando
existe) chama-se limite de f no ponto a por valores distintos de a, representa-se por a x→ lim a x x f ≠ ) ( .
Continuidade de funções
Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR e seja a um ponto de D. Diz-se que f é uma função continua em a sse, qualquer que seja o número positivo ε
existir δ >0, tal que sempre que x seja um ponto de D e verifique a condição |x-a|<δ , se tenha |f(x)-f(a)|<ε . Simbolicamente:
f é contínua no ponto a ⇔ ∀ε >0, ∃δ >0, ∀x (x ∈D ∧|x-a|<δ ⇒|f(x)-f(a)|<ε . Conclui-se que se lim f(x)=f(a).
80
Continuidade de funções