Exerc´ıcios - C´ alculo IV - Aula 1 - Semana 24/8 – 28/8 Sequˆ encias Num´ ericas I
Uma sequˆ encia de n´ umeros reais ´ e uma fun¸c˜ ao n ∈ N 7→ x n ∈ R , ou seja, uma fun¸c˜ ao cujo dom´ınio ´ e o conjunto dos n´ umeros naturais e o contradom´ınio ´ e o conjunto dos n´ umeros reais. A imagem x n de n ∈ N se chama termo da sequˆ encia, enquanto a pr´ opria sequˆ encia ´ e denotada por (x n ). Tamb´ em se usa a express˜ ao: a sequˆ encia x 0 , x 1 , x 2 , . . . , ou ainda: a sequˆ encia x n ∈ R , n = 0, 1, 2 . . . .
Talvez por influˆ encia das nota¸c˜ oes , ´ e comum pensar-se erroneamente que uma sequˆ encia ´ e o conjunto formado por seus termos, {x n ∈ R : n = 0, 1, . . . }. Entretanto, nota-se, por exemplo, que a sequˆ encia ((−1) n ) ´ e diferente da sequˆ encia ((−1) n+1 ) e, apesar disso, ambas tˆ em o mesmo conjunto de termos {−1, 1}.
Exemplo 0. Em cada um dos seguintes exemplos, definimos uma sequˆ encia (x n ) dando um f´ ormula explicita para seu n-´ esimo termo:
(a) x n = 1, isto ´ e, 1, 1, 1, . . . ;
(b) x n = (1 − (−1) n )/2, isto ´ e, 0, 1, 0, 1, 0 . . . ; (c) x n = 1/n, isto ´ e, 1, 1 2 , 1 3 , . . . ;
(d) x n = 2 n , isto ´ e, 1, 2, 4, 8, 16, . . . ; (e) x n =
n
X
i=1
1
i , isto ´ e, 1, 1 + 1 2 , 1 + 1 2 + 1 3 , 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 , . . . ; (f) x n+1 = √
2x n , n ≥ 1, x 0 = 1, isto ´ e, √ 2, p
2 √ 2,
q 2 p
2 √ 2, . . . .
Defini¸ c˜ ao. Uma sequˆ encia (x n ) se diz convergente se existe uma n´ umero L ∈ R , chamado limite de (x n ), tal que, para todo > 0, existe N ∈ N de modo que
n ≥ N ⇒ |x n − L| < . Neste caso, diz-se que (x n ) converge para L e denota-se
x n → L, com n → ∞, ou lim
n→∞ x n = L.
Se (x n ) n˜ ao for convergente, diz-se que ela ´ e divergente.
Exemplo 1. Considere a sequˆ encia (x n ), cujo n-´ esimo termo ´ e x n = (n − 1)/n:
0, 1 2 , 2
3 , 3 4 , . . . .
Esta sequˆ encia parece convergir para o n´ umero 1. De fato, para cada n ∈ N , n ≥ 1, temos
|x n − 1| =
n − 1 n − 1
=
− 1 n
= 1
n .
Dado > 0, existe N ∈ N tal que N 1 < . Assim,
como quer´ıamos verificar.
Exemplo 2. A sequˆ encia ((−1) n ) ´ e divergente. Para ver isto ´ e preciso verificar que qualquer n´ umero real n˜ ao ´ e o limite dessa sequˆ encia. De fato, seja L ∈ R qualquer. Se L = 1, considere 0 < < 2. Notando que
|(−1) n − 1| =
0 se n for par, 2 se n for ´ımpar, obtemos
|(−1) n − 1| = 2 > , para todo n ∈ N ´ımpar.
Portanto, (−1) n n˜ ao converge para 1. Se L = −1, basta repetir o esse mesmo argumento. Se L ∈ R \ {−1, 1}, considere 0 < < min{|1 − L|, | − 1 − L|}. Notando que
|(−1) n − L| =
|1 − L| se n for par,
| − 1 − L| se n for ´ımpar, obtemos
|(−1) n − L| > , para todo n ∈ N . Portanto, ((−1) n ) n˜ ao converge para L.
E claro que continuam valendo para as sequˆ ´ encias as t´ ecnicas e os resultados sobre limites no infinito de fun¸c˜ oes em geral estudados no C´ alculo I. Com se tratam dos mesmos resultados, ´ e desnecess´ ario pormerizar e apresentar as demonstra¸c˜ ao outra vez. Nesse sentido, temos a seguinte reformula¸c˜ ao para o Teorema de Confronto.
Teorema de Confronto. Se x n ≤ y n ≤ z n para todo n ≥ N , para algum N ∈ N , e lim
n→∞ x n =
n→∞ lim z n = L, ent˜ ao lim
n→∞ y n = L.
Exemplo 3. Se |x n | → 0, ent˜ ao x n → 0. De fato, basta observar que
−|x n | ≤ x n ≤ |x n |, ∀ n ∈ N
e, como −|x n | → 0 e |x n | → 0, segue do Teorema do Confronto que x n → 0.
Exemplo 4. cos n
n → 0. De fato, note que
−1
n ≤ cos n
n ≤ 1
n , n = 1, 2, . . . e use o Teorema do Confronto.
Exemplo 5. Usando as regras operat´ orias de limites no infinito podemos calcular os seguintes limites:
(a) lim
n→∞
2n 3 + n − 5
7n 3 − 2n 2 + 4 = lim
n→∞
2 + 1/n 2 − 5/n 3 7 − 2/n + 4/n 3 = 2
7 . (b) lim
n→∞ ( √
n + 1 − √
n) = lim
n→∞
( √
n + 1 − √ n)( √
n + 1 + √
√ n)
n + 1 + √
n = lim
n→∞
√ 1
n + 1 + √ n = 0.
Observa¸ c˜ ao 1. Se reconhecermos uma sequˆ encia (x n ) como a restri¸c˜ ao a N de uma fun¸c˜ ao f : (0, ∞) → R , isto ´ e, x n = f(n), tal que lim
x→∞ f(x) = α, α ∈ R ∪ {−∞, +∞}, ent˜ ao x n → α.
Exemplo 6.
(a) lim
n→∞
ln n n = 0.
De fato, aplicando a regra de L’Hˆ opital, obtemos que lim
x→∞
ln x x = 0.
(b) lim
n→∞
1 + 1
n n
= e.
De fato, com f(x) = 1 + x 1 x
, basta aplicar o segundo limite fundamental estudado no C´ alculo I.
(c) A sequˆ encia geom´ etrica (r n ) converge para 0 se |r| < 1. De fato, pelo Exemplo 3, basta mostrar que (|r| n ) converge para 0. Para tanto, considere a fun¸c˜ ao exponencial relacionada f (x) = |r| x . Usando que ln |r| < 0, temos
x→∞ lim f (x) = lim
x→∞ |r| x = lim
x→∞ e x ln |r| = 0.
Pela Observa¸c˜ ao 1, lim
n→∞ |r| n = 0. Pelo Exemplo 3, lim
n→∞ r n = 0.
Observa¸ c˜ ao 2. Lembre-se de que se f ´ e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em um ponto de acumula¸c˜ ao L do dom´ınio de f, ent˜ ao f (x) → f(L), com x → L. Esta ideia se aplica a sequˆ encias tamb´ em.
Suponha que uma sequˆ encia x n → L e uma fun¸c˜ ao f seja cont´ınua em L. Ent˜ ao f (x n ) → f(L).
Essa propriedade geralmente nos permite encontrar limites para sequˆ encias complicadas. Por exemplo, considere a sequˆ encia q
5 − n 3
2. Como 5 − n 3
2→ 5 e √
x ´ e cont´ınua em x = 5,
n→∞ lim r
5 − 3 n 2 =
s
n→∞ lim
5 − 3 n 2
= √ 5.
Exerc´ıcio 1. Determine se a sequˆ encia
cos
2n + 1 3n + 5
converge. Se convergir, encontre seu limite.
Exerc´ıcio 2. Determine se a sequˆ encia a n =
n + 3 n + 2
n
´
e convergente ou divergente e, caso convergente, determine o seu limite.
Agora voltamos nossa aten¸c˜ ao para um dos teoremas mais importantes envolvendo sequˆ encias:
o Teorema da Convergˆ encia Mon´ otona. Antes de enunciar o teorema, precisamos apresentar alguma terminologia e motiva¸c˜ ao. Come¸camos definindo o que significa uma sequˆ encia ser limitada Defini¸ c˜ ao. Uma sequˆ encia (x n ) ´ e limitada superiormente se existe um n´ umero real M tal que
x n ≤ M para todo n ∈ N .
Uma sequˆ encia (x n ) ´ e limitada inferiormente se existe um n´ umero real K tal que K ≤ x n para todo n ∈ N .
Uma sequˆ encia (x n ) ´ e uma sequˆ encia limitada se for limitada inferiormente e superiormente. Se
uma sequˆ encia n˜ ao for limitada diz-se ilimitada.
(a) A sequˆ encia (sin(n)) ´ e limitada.
(b) A sequˆ encia geom´ etrica (e n ) ´ e limitada inferiormente, mas n˜ ao ´ e limitada superiormente, portanto, ´ e ilimitada.
(c) A sequˆ encia x n =
n
X
i=1
1
i ´ e limitada inferiormente, mas n˜ ao ´ e limitada superiormente (veri- fique), portanto, ´ e ilimitada.
Discutimos agora a rela¸c˜ ao entre limita¸c˜ ao e convergˆ encia. Suponha que uma sequˆ encia (x n ) seja ilimitada. Ent˜ ao, ele n˜ ao ´ e limitado superiormente, ou inferiormente, ou ambos. Em ambos os casos, existem termos x n que s˜ ao arbitrariamente grandes em magnitude ` a medida que n aumenta. Como resultado, a sequˆ encia (x n ) n˜ ao pode convergir. Portanto, ser limitado ´ e uma condi¸c˜ ao necess´ aria para que uma sequˆ encia convirja, ou seja:
Teorema. Se (x n ) ´ e uma sequˆ encia convergente, ent˜ ao ela ´ e limitada.
Observe que uma sequˆ encia ser limitada n˜ ao ´ e uma condi¸c˜ ao suficiente para convergir. Por exemplo, a sequˆ encia ((−1) n ) ´ e limitada, mas ´ e divergente.
Defini¸ c˜ ao. Uma sequˆ encia (x n ) ´ e crescente todo n ≥ N se x n ≤ x n+1 para todo n ≥ N . Uma sequˆ encia (x n ) ´ e decrescente todo n ≥ N se
x n ≥ x n+1 para todo n ≥ N .
Uma sequˆ encia (x n ) ´ e uma sequncia mon´ otona para todo n ≥ N se for crescente para todo n ≥ N ou decrescente para todo n ≥ N .
Discutimos agora uma condi¸c˜ ao suficiente (mas n˜ ao necess´ aria) para que uma sequˆ encia li- mitada convirja. Considere uma sequˆ encia limitada (x n ). Suponha que a sequˆ encia (x n ) seja crescente. Como a sequˆ encia (x n ) ´ e crescente, os termos n˜ ao est˜ ao oscilando. Portanto, existem duas possibilidades. A sequˆ encia pode divergir para o infinito ou pode convergir. No entanto, como a sequˆ encia ´ e limitada, ela ´ e limitada superiormente e a sequˆ encia n˜ ao pode divergir para o infinito e, portanto, conclu´ımos que (x n ) converge.
Teorema da Convergˆ encia Mon´ otona. Se (x n ) ´ e uma sequˆ encia limitada e existe um inteiro positivo N tal que (x n ) ´ e mon´ otona para todo n ≥ N , ent˜ ao (x n ) converge.
Exemplo 8. Para cada uma das seguintes sequˆ encias, use o Teorema da Convergˆ encia Mon´ otona para mostrar a convergˆ encia da sequˆ encia e encontrar seu limite.
(a) 4 n
n!
.
(b) (x n ) ´ e definida recursivamente de modo que x 1 = 2 e x n+1 = x n
2 + 1
2x n para todo n ≥ 1.
Solu¸ c˜ ao.
(a) Escrevendo os primeiros termos, vemos que 4 n
n!
=
4, 8, 32 3 , 32
3 , 128 15 , . . .
.
No in´ıcio, os termos aumentam. No entanto, ap´ os o terceiro termo, os termos diminuem.
Na verdade, os termos diminuem para todos os n ≥ 3. Podemos mostrar isso da seguinte maneira.
x n+1 = 4 n+1
(n + 1)! = 4 n + 1
4 n
n! = 4
n + 1 x n ≤ x n se n ≥ 3.
Portanto, a sequˆ encia ´ e decrescente para todo n ≥ 3. Al´ em disso, a sequˆ encia ´ e limitada in- feriormente por 0 porque 4 n
n! > 0 para todo n ∈ N . Portanto, pelo Teorema da Convergˆ encia Mon´ ona, a sequˆ encia converge.
Para encontrar o limite, usamos o fato de que a sequˆ encia converge e seja L = lim
n→∞ x n . Agora observe esta importante observa¸c˜ ao: considere lim
n→∞ x n+1 . Desde que (x n+1 ) = (x 2 , x 3 , x 4 , . . . ),
a ´ unica diferen¸ca entre as sequˆ encias (x n+1 ) e (x n ) ´ e que (x n+1 ) omite o primeiro termo.
Uma vez que um n´ umero finito de termos n˜ ao afeta a convergˆ encia de uma sequˆ encia,
n→∞ lim x n+1 = lim
n→∞ x n = L.
Combinando este fato com a equa¸c˜ ao
x n+1 = 4 n + 1 x n e tomando o limite de ambos os lados da equa¸c˜ ao, obtemos
L = 0L = 0.
(b) Escrevendo os primeiros termos,
2, 5 4 , 41
40 , 3281 3280 , . . .
.
podemos conjecturar que a sequˆ encia ´ e decrescente e limitada inferiormente por 1. Para mostrar que a sequˆ encia ´ e limitada inferiormente por 1, primeiro reescreva
x n+1 = x n
2 + 1
2x n = x 2 n + 1 2x n Portanto,
x 2 n + 1 2x n
≥ 1 se, e somente se, x 2 n + 1 ≥ 2x n .
Reescrevendo a desigualdade x 2 n + 1 ≥ 2x n como x 2 n − 2x n + 1 ≥ 0, e usando o fato de que x 2 n − 2x n + 1 = (x n − 1) 2 ≥ 0,
podemos concluir que x 2 n + 1 ≥ 2x n para todo n ≥ 1 e, portanto,
2
Para mostrar que a sequˆ encia ´ e decrescente, devemos mostrar que x n+1 ≤ x n para todo n ≥ 1. Como 1 ≤ x 2 n , somando x 2 n em ambos lados dessa ´ ultima inequa¸c˜ ao, segue que
x 2 n + 1 ≤ 2x 2 n . Dividindo os dois lados por 2x n , obtemos
x n 2 + 1
2x n ≤ x n . Usando a defini¸c˜ ao de x n+1 , conclu´ımos que
x n+1 = x n 2 + 1
2x n
≤ x n .
Visto que (x n ) ´ e limitada inferiormente e decrescente, pelo Teorema da Convergˆ encia Mon´ otona, (x n ) converge. Para encontrar o limite, seja L = lim n→ x n . Ent˜ ao, usando a rela¸c˜ ao de recorrˆ encia e o fato de que lim
n→∞ x n+1 = lim
n→∞ x n , temos
n→∞ lim x n+1 = lim
n→∞
x n 2 + 1
2x n
, e portanto
L = L 2 + 1
2L . Assim,
2L 2 = L 2 + 1.
Resolvendo esta equa¸c˜ ao para L, conclu´ımos que L 2 = 1, o que implica L = ±1. Como todos os termos s˜ ao positivos, o limite L = 1.
Observa¸ c˜ ao 3 (M´ etodo dos babilˆ onios para o c´ alculo de raiz quadrada). O item (b) do Exemplo 8 pode ser generalizado para obter uma aproxima¸c˜ ao (por falta) da raiz quadrada de um n´ umero real positivo. Considere a sequˆ encia (x n ) dada por
x n+1 = x n 2 + α
2x n para todo n ≥ 1,
onde x 1 e α s˜ ao n´ umeros reais positivos dados. O leitor pode repetir os argumentos da solu¸c˜ ao do item (b) do Exemplo 8 para mostrar que x n ≥ √
α para todo n ≥ 2 e (x n ) ´ e decrescente para todo n ≥ 2. Assim, (x n ) ´ e convergente. Repetindo o argmento do item (b) do Exemplo 8, o limite de (x n ) ´ e L = √
α. O fato de x n ≥ √
α ´ e o que significa x n ser uma aproxima¸c˜ ao por falta de √ α.
Exemplo 9. (Exemplo da Parte 4 da Aula 1) Determine se a sequˆ encia definida a seguir tem um limite. Em caso afirmativo, encontre o limite.
a 1 = √
2, a 2 = p 2 √
2, a 3 = q
2 p 2 √
2, . . . . Note que (a n ) pode ser definida recursivamente como a 1 = √
2 e a n+1 = √
2a n para n ≥ 1.
(a) Prove que a n < a n+1 < 2 para todo n ≥ 1. Isto mostra que (a n ) ´ e crescente e limitada superiormente e, portanto, convergente a um limite L ≤ 2.
(b) Mostre que L = 2.
Solu¸ c˜ ao.
(a) Usaremos o Princ´ıpio da Indu¸c˜ ao Matem´ atica 1 para provar que a sequˆ encia ´ e crescente. A afirma¸c˜ ao que queremos provar envolvendo um n´ umero natural ´ e
a n < a n+1 , ∀ n ≥ 1.
O passo base (1) ´ e verdadeiro porque a 1 = √
2 < p 2 √
2 = a 2 .
Para provar o passo indutivo (2), suponha que a afirma¸c˜ ao ´ e verdadeira para n ≥ 1 (isto ´ e, a n < a n+1 ) e provemos a afirma¸c˜ ao ´ e verdadeira para n + 1. De fato, como a n+2 = √
2a n+1 . Pela hip´ otese de indu¸c˜ ao, a n < a n+1 . Assim, a n+2 = √
2a n+1 > √
2a n = a n+1 , como quer´ıamos provar. Pelo princ´ıpio de indu¸c˜ ao matem´ atica, a n < a n+1 , ∀ n ≥ 1.
Vamos provar agora que a n < 2 para todo n ≥ 1. Poder´ıamos usar novamente princ´ıpio de indu¸c˜ ao matem´ atica para fazer isso, mas vamos usar o fato que a sequˆ encia ´ e crescente. De fato, para todo n ≥ 1,
a n < a n+1 = √ 2a n . Elevando o quadrado em ambos os lados, temos
a 2 n < 2a n .
Usando que a n ´ e positivo para todo n ≥ 1 (a n ≥ a 1 = √
2), segue que a n < 2 para todo n ≥ 1.
(b) Pelo item (a) e o Teorema da Convergˆ encia Mon´ otona, existe L ∈ R tal que L = lim n→∞ a n . Fazendo n → ∞ na f´ ormula a n+1 = √
2a n , obtemos L = √
2L.
Elevando o quadrado em ambos os lados e usando que L > 0 (isto porque a 1 > 0 e (a n ) ´ e crescente), obtemos L = 2.
Observa¸ c˜ ao 4. Um outro modo de resolu¸c˜ ao do Exemplo 9 seria obter uma f´ ormula explicita para a n em termos de n. Podemos usar o princ´ıpio de indu¸c˜ ao matem´ atica para mostrar que a sequˆ encia (a n ) do Exemplo 7 pode ser escrita explicitamente por
a n = 2(
12+
221+···+
21n) Como
1 2 + 1
2 2 + · · · + 1 2 n = 1
2
1 + 1
2 + · · · + 1 2 n−1
= 1 2
1 − 1 2 n
1 − 1 2
!
= 1 − 1
2 n
.
1
