APRESENTAÇÃO. Olá, pessoal!

APRESENTAÇÃO

Olá, pessoal!

Aqui é o Prof. Brunno Lima e neste e-book trarei as principais fórmulas de geometria que você deve memorizar para o concurso do TJ SP.

Bons estudos a todos.

NOÇÕES DE GEOMETRIA: FORMA, PERÍMETRO, ÁREA, VOLUME, ÂNGULO, TEOREMA DE PITÁGORAS.

1. PERÍMETRO

O perímetro de uma figura plana pode ser definido como a medida do comprimento de seu contorno.

2. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Quadrado

l2

l l

A_quadrado =  =

A área do quadrado é igual ao quadrado do lado.

Retângulo

h b A_retângulo = 

A área do retângulo é igual ao produto da base pela altura.

Paralelogramo

Aparalelogramo=bh

A área do paralelogramo é igual ao produto da base pela respectiva altura.

Losango

2 d A_losango = D

A área do losango é igual a metade do produto de suas diagonais.

Trapézio

2 ) (B b h

A_trapézio + 

=

Triângulo

2 h A_triângulo B

=

Triângulo Equilátero

4

2 3

.

A_{triâng equilátero} =l

Hexágono Regular

2 3 3l² A_hexágono =

Círculo

r2

A_círculo =

A área do círculo é igual ao produto do número  pelo quadrado do raio.

Comprimento da Circunferência

O comprimento da circunferência é dado pela seguinte relação: C=2 r

3. VOLUMES

Paralelepípedo:

Volume: 𝑽 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄

Área total: 𝑨_𝒕 = 𝟐(𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄)

Diagonal do paralelepípedo: 𝑫 = √𝒂^𝟐+ 𝒃^𝟐+ 𝒄^𝟐 Cubo:

Volume: 𝑽 = 𝒂^𝟑 Área total: 𝑨_𝒕 = 𝟔𝒂^𝟐

Diagonal do paralelepípedo: 𝑫 = 𝒂√𝟑

Prisma:

Volume: 𝑽 = 𝑨_𝒃∙ 𝒉

h = altura Ab = área da base V = volume Pirâmide:

Volume: 𝑽 =^{𝑨𝒃∙𝒉}

𝟑

h = altura Ab = área da base V = volume Cilindro:

Volume: 𝑽 = 𝝅 ∙ 𝒓^𝟐∙ 𝒉

V = volume r = raio da base h = altura Área da base: 𝑨_𝒃 = 𝝅𝒓^𝟐

Área lateral: 𝑨_𝒍= 𝟐𝝅𝒓𝒉 Área total: 𝑨_𝒕 = 𝟐𝝅𝒓(𝒓 + 𝒉) Atenção!

Cilindro equilátero é aquele cuja altura é igual ao dobro do raio.

Cone:

Volume: 𝑽 =^{𝝅∙𝒓𝟐∙𝒉}

𝟑

V = volume r = raio da base h = altura Relação básica: 𝒈^𝟐= 𝒓^𝟐+ 𝒉^𝟐

g é a geratriz do cone r = raio da base h = altura Área da base: 𝑨_𝒃 = 𝝅𝒓^𝟐

Área lateral: 𝑨_𝒍= 𝝅𝒓𝒈 Área total: 𝑨_𝒕 = 𝝅𝒓(𝒈 + 𝒓) Atenção!

Cone equilátero é aquele cuja medida da geratriz é igual ao diâmetro da base, ou seja, 𝒈 = 𝟐𝒓 Esfera:

Volume: 𝑽 =^{𝟒∙𝝅∙𝒓𝟑}

𝟑

V = volume r = raio da base Área da esfera: 𝑨 = 𝟒𝝅𝒓^𝟐

4. ÂNGULOS

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono: 𝑆_𝑖 = 180 ∙ (𝑛 − 2) Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono: 𝑆_𝑒 = 360º

Ângulo externo de um polígono regular: 𝑎_𝑒 =^360º

𝑛

Ângulo interno de um polígono regular: 𝑎_𝑖 =^{180(𝑛−2)}

𝑛

Número de diagonais de um polígono: 𝑑 = ^{𝑛∙(𝑛−3)}

2

Ângulo reto: é aquele que mede 90º.

Ângulo agudo: é aquele cuja medida está entre 0º e 90º.

Ângulo obtuso: é aquele cuja medida é maior que 90º.

Ângulos congruentes: dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida (na mesma unidade).

Bissetriz de um ângulo: é a semirreta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

Ângulos complementares: dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90º.

Ângulos suplementares: dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180º.

Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.): dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Ângulos e retas paralelas:

Os pares de ângulos são assim denominados:

Correspondentes: 1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8 Ângulos correspondentes são congruentes.

.

Alternos internos: 4 e 6; 3 e 5

Ângulos alternos internos são congruentes.

Alternos externos: 1 e 7; 2 e 8

Ângulos alternos externos são congruentes.

Colaterais internos: 4 e 5; 3 e 6

Ângulos colaterais internos são suplementares.

Colaterais externos: 1 e 8; 2 e 7

Ângulos colaterais externos são suplementares.

5. TEOREMA DE PITÁGORAS

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

𝒂^𝟐 = 𝒃^𝟐+ 𝒄^𝟐

Tríades Pitagóricas: se as medidas dos lados de um triângulo retângulo são expressas por três números inteiros, esses números são chamados pitagóricos.

Veja alguns exemplos de Tríades Pitagóricas:

(3, 4, 5) porque 3² + 4² = 5² (5, 12, 13) porque 5² + 12² = 13²

(8, 15, 17) porque 8² + 15² = 17² Observação importante!

Se um triângulo é retângulo, então triângulos semelhantes a ele também serão retângulos.

Lembre-se! Para que dois triângulos sejam semelhantes deve existir uma constante de proporcionalidade associada aos lados homólogos desses triângulos.

Exemplos:

a) Sabemos que o triângulo de dimensões 3, 4 e 5 é retângulo. Se a constante de proporcionalidade for 2, teremos o triângulo de dimensões 6, 8 e 10 que também será retângulo, afinal 10² = 6² + 8².

b) Sabemos que o triângulo de dimensões 5, 12 e 13 é retângulo. Se a constante de proporcionalidade for 10, teremos o triângulo de dimensões 50, 120 e 130 que também será retângulo, afinal 130² = 50² + 120². c) O triângulo de dimensões 20, 21 e 29 é retângulo. Se a constante de proporcionalidade for 5, teremos o triângulo de dimensões 100, 105 e 145 que também será retângulo, afinal 145² = 100² + 105².