NÚMEROS IRRACIONAIS (II)

(1)

NÚMEROS IRRACIONAIS (𝑰𝑰)

Definição

O conjunto dos números irracionais é representado por I. Dentro desse conjunto encontramos as dízimas não periódicas, por exemplo: 3,1415...

( π )

Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que possuem um período, por exemplo: 3,5555...

Obs: Quando calculamos a raíz de um número e o resultado não é exato,

também encontramos um número irracional.

(2)

NÚMEROS REAIS (𝑹𝑹)

Definição

O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pela união entre os números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.

Subconjuntos dos Números Reais

R* = {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.

R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.

R* + = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.

R – = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.

R* – = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.

1- Assinale a alternativa que apresenta apenas números irracionais.

a) 4,2,1 b) √2, 3/2, π c) √2, √5, π

d) √9, √81 , √100 e) √2, √8

³

, π

2- Segundo Platão (outras fontes afirmam que foi Pitágoras) “Os números governam o mundo”. Considerando seus conhecimentos sobre os

conjuntos numéricos, assinale a alternativa CORRETA.

(3)

a) A diferença entre dois números naturais é sempre um número natural.

b) O produto entre dois números irracionais é sempre um número irracional.

c) O quociente entre dois números inteiros é sempre um número inteiro.

d) O produto entre dois números irracionais nem sempre é um número irracional.

3- Em relação ao conjunto dos números reais, é verdade que

a) o produto de dois números irracionais não pode ser um número racional.

b) a soma de dois números irracionais distintos é sempre um número irracional.

c) todo número racional tem uma representação decimal finita.

d) o número 43/71 não é racional, pois sua representação decimal não é periódica.

e) se a representação decimal infinita de um número é periódica, então esse número é racional.

4- Qual dos números a seguir é um numero irracional:

a) 1,2323232323...

b) 1,5435435435...

c) 8,9988776655...

d) Nenhuma das alternativas

5- Considere um conjunto C formado pela intersecção do conjunto de todos os números racionais com o conjunto de todos os números irracionais. Sobre este conjunto C, é CORRETO afirmar:

a) Corresponde ao conjunto dos números reais.

b) É um conjunto vazio, que não contém nenhum elemento.

(4)

c) Está contido no conjunto dos números inteiros.

d) Contém o conjunto dos números naturais.

e) É um conjunto dos números complexos, maior que o conjunto dos números reais.

6- Indique qual dos números abaixo é um número irracional.

a) 0 b) 0,5 c) 0,33...

d) 1/3

e) π, que mede a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro.

7- Classifique as afirmações abaixo como verdadeira [V] ou falsa [F]:

I - Todo número inteiro é um número racional.

II- Todo número decimal exato é um número racional.

III- Todo número decimal periódico é um número racional A sequência que demonstra a classificação correta é:

a) F, F, F.

b) V, V, V.

c) V, F, V.

d) F, V, V.

e) F, V, F.

8- As três afirmações abaixo se referem ao conjunto dos números Reais.

I- O conjunto dos números Reais é formado pela intersecção do conjunto

dos números Racionais com os números Irracionais.

(5)

II- O conjunto dos números Naturais pertence ao conjunto dos números Racionais.

III- O conjunto dos números Inteiros está contido no conjunto dos números Racionais.

A alternativa que contém a sequência correta é:

a) V, V, F.

b) V, F, V.

c) F, V, V.

d) F, F, V.

e) F, V, F.

9- Faça a leitura das frases sobre conjuntos numéricos:

I. O número natural n pode ser chamado antecessor de n+1.

II. O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros.

III. A soma de dois números inteiros ímpares é sempre um número inteiro par.

IV. Entre dois números racionais, a e b, com a diferente de b, existe sempre outro número racional.

A sequência correta é:

a) Apenas as assertivas III e IV estão corretas.

b) Apenas as assertivas I e II estão corretas.

c) Apenas as assertivas I, III e IV estão corretas.

d) As assertivas I, II, III e IV estão corretas.

10- Observe os seguintes números.

I. 2,212121...

II. 3,212923...

(6)

III. π /5 IV. 3,1416 V. - 4

Assinale a alternativa que identifica os números irracionais.

a) I e II

b) I e IV

c) II e III

d) II e V

e) III e V

(7)

Potenciação

Definição

Multiplicação de fatores iguais.

𝑎𝑎 ^𝑛𝑛 = 𝑎𝑎. 𝑎𝑎. 𝑎𝑎. 𝑎𝑎 … 𝑎𝑎 (n vezes) 𝑎𝑎: 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏

𝑛𝑛: 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑏𝑏𝑛𝑛𝑒𝑒𝑏𝑏

Exs:

3 ² = 3 . 3 = 9 2 ³ = 2 . 2 . 2 = 8

� ⁴ ₅ � ² = � ⁴ ₅ �. � ⁴ ₅ � = � ¹⁶ ₂₅ �

Obs 1: Todo número (diferente de zero) elevado a zero é igual a 1.

7 ⁰ = 1 (-8) ⁰ ≠ - 8 ⁰ 200 ⁰ = 1 1 ≠ -1

Obs 2: Todo número elevado a 1 é igual a ele próprio.

9 ¹ = 9 12 ¹ = 12

Dica: Quando a base for 10, a quantidade de zeros no resultado será igual o expoente.

10 ⁴ = 10000

1) Expoente nº inteiro positivo e base negativa

(-6) ² = (-6) . (-6) = 36 �− ⁵ ₃ � ² = �− ⁵ ₃ � . �− ⁵ ₃ � = ²⁵ ₉

Atenção: (-6) ² ≠ - 6 ²

(8)

36 ≠ - 36

(-4) ³ = (-4) . (-4) . (-4) = - 64 �− ² ₃ � ³ = �− ² ₃ � . �− ² ₃ � . �− ² ₃ � = − ₂₇ ⁸

Obs: Quando a base for negativa (“tem parênteses”) e o expoente for um número par, o resultado será positivo. Quando o expoente for um

número ímpar, nessa situação, o resultado será negativo.

2) Expoente nº inteiro negativo com qualquer base

Invertemos a base (troca numerador com denominador) e logo depois, resolvemos a potência normalmente, com o expoente positivo.

5 ^-2 = � ¹ ₅ � ² = � ¹ ₅ � . � ¹ ₅ � = ₂₅ ¹

� ² ₃ � ⁻³ = � ³ ₂ � ³ = � ³ ₂ � . � ³ ₂ � . � ³ ₂ � = ²⁷ ₈

3) Expoente nº fracionário com qualquer base

Quando o expoente é uma fração, o resultado terá um radical (raiz).

𝑎𝑎 ^𝑏𝑏 ^𝑐𝑐 = �𝑎𝑎

^𝑐𝑐

^𝑏𝑏 Exs:

9

¹²

= 2

²³

= 8

¹³

=

Propriedades de potências

- Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e adiciona-se os expoentes.

Ex:

7 ³ . 7 ⁵ = 7 ⁸

- Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os subtrai-

se os expoentes.

(9)

Ex:

9 ⁶ : 9 ² = 9 ⁴

- Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e multiplica-se os expoentes.

Ex:

(6 ² ) ⁵ = 6 ¹⁰ Ex: ⁵

⁷

₅ ^{. 5}

₆⁹

1- A soma dos algarismos de 10 ¹⁰ - 3 é:

a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97

2- Simplificando ³

²⁰

₃ ^{+ 3}

₁₈¹⁹

, encontra-se:

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 3 ²¹

3- Calcule (2 ⁰ . 2 ² )

³²

. a) 0

b) 1

(10)

c) 4 d) 8 e) 16

4- Usando propriedades de potenciação, qual a solução da equação

(3

²

)

³

. 3

⁶

3

⁷

? a) 243.

b) 2187.

c) 81.

d) Nenhuma das alternativas.

5- Todas as operações fundamentais possuem propriedades que facilitam o seu desenvolvimento e tornam o resultado mais confiável. Dentre todas as operações, a potenciação tem diversas propriedades que ajudam na resolução de suas operações. Sobre a resolução da operação (2³.2²)², assinale a alternativa correta.

a) Basta conservar a base e somar os expoentes.

b) Basta conservar os expoentes e somar as bases.

c) Deve-se conservar a base, multiplicar os expoentes de dentro dos parênteses e, então, somar com o de fora.

d) Deve-se conservar a base, somar os expoentes de dentro dos

parênteses e, então, multiplicar o resultado pelo expoente de fora dos parênteses.

e) O resultado final, independentemente da forma de resolução, será 512.

6- Um composto químico, para ter seu equilíbrio, precisa receber uma quantidade de determinado reagente dado pela seguinte expressão:

� ^{243 . 27} ₉ � ⁻²

(11)

A quantidade em gramas do reagente a ser misturada é:

a) 3 ^-12 b) 3 ⁶ c) (13) ¹² d) 3 ^-8 e) (−13) ^-12

7- Se 3x − y =12 , o valor de ⁸ ₂

^𝑥𝑥_𝑦𝑦

é a) 2 ⁶

b) 4 c) 2 ¹² d) 2 ⁴ e) 32

8- O quociente de 50 ⁵⁰ por 25 ²⁵ é a) 2 ²⁵

b) 10 ²⁵ c) 10 ⁵⁰ d) 10 ²⁶ e) 2 ²⁶

9- Observe as afirmações:

I) O número 124 tem exatamente 6 divisores naturais.

II) A soma entre duas dízimas periódicas pode resultar num número

inteiro.

(12)

III) O valor da expressão {−3 ∙ [(−2) ² − (−5)] ⁰ + (−1) ³ } = −4.

Pode-se dizer que são corretas:

a) I e II, somente.

b) Todas c) Somente III.

d) II e III, somente.

10- O resultado da expressão 3 − �7

¹³

. 49

¹³

− 2 ³ � . ¹ ₄ − ₈ ⁷ é igual a:

a) 7/3

b) 19/8

c) -3/4

d) 13/4

e) 11/6

(13)

Radiciação

Definição

Se x é um número não-negativo (x ≥ 0) e n é um número natural maior que 1, então a raiz enésima de x é um número y não-negativo ( y ≥ 0) tal que y ⁿ = x.

𝑛𝑛

√𝑒𝑒

= 𝑦𝑦 → 𝑦𝑦 ^𝑛𝑛 = 𝑒𝑒

n – índice ; x – radicando ; y – raíz (resultado) Ex:

√9 = 3

√8

3

= 2

4

√625

= 5 Atenção

Se o índice for par e o radicando for negativo, não terá solução dentro dos números reais, pois sempre que o expoente for par, o resultado será positivo.

Ex:

√−9 = ∄

Se o índice for ímpar e o radicando for negativo, o resultado será negativo.

Ex:

√−27

3

= −3 Calculando raízes pelo método da fatoração...

√144 =

3

√216

=

√1024

5

=

(14)

Simplificando raízes pelo método da fatoração...

√12 = √40 =

√50 = √72 =

√54

3

= √48

³

=

Propriedades dos radicais

√𝑎𝑎. 𝑏𝑏

𝑛𝑛

=

^𝑛𝑛

√𝑎𝑎 .

^𝑛𝑛

√𝑏𝑏 Ex: √4.9 = √4. √9 = 2 . 3 = 6 Obs: √𝑎𝑎 . √𝑎𝑎 = √𝑎𝑎 ² = 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ≥ 0

� ^𝑎𝑎 _𝑏𝑏

𝑛𝑛

=

^𝑛𝑛𝑛𝑛

^√𝑎𝑎 _√𝑏𝑏 Ex: � ¹⁶ ₉ = ^√16 _√9 = ⁴ ₃

√𝑎𝑎 ^𝑚𝑚

𝑛𝑛

=

^{𝑛𝑛:𝑝𝑝}

√𝑎𝑎 ^{𝑚𝑚:𝑝𝑝} (𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑏𝑏 𝑚𝑚 𝑏𝑏 𝑛𝑛)

Ex:

⁴

√2 ⁶ =

^4:2

√2 ^6:2 =

²

√2 ³ = √2 ³ = √8 = 2. √2

Obs: Quando o expoente é maior que o índice, podemos simplificar o radical

� √𝑎𝑎

^𝑛𝑛

𝑚𝑚

=

^{𝑚𝑚.𝑛𝑛}

√𝑎𝑎 Ex: �√3

⁶

=

^6.2

√3 =

¹²

√3

Operações com radicais 1) Na adição e subtração

Só podemos operar com radicais semelhantes (mesmo índice e mesmo radicando)

Obs: Em alguns casos, podemos simplificar os radicais para tornar os radicandos iguais.

Ex:

√5 + 4√5 = 5√5 (repete o radical e soma os coeficientes) 5√3

³

− 7

³

√3 = −2√3

³

√18 + √50 = 3√2 + 5√2 = 8√2

(15)

Operações com radicais 2) Multiplicação e divisão

Caso 1 (mesmo índice) – Conserva o índice e multiplica/divide os radicandos.

√10

3

.

³

√12 =

³

√120 = 2√15

³

Caso 2 (índice diferente) – Aplique a propriedade para reduzi-los ao mesmo índice e opere.

√2

2

.

³

√5 =

^2.3

� 2 ³ .

^3.2

� 5 ² =

⁶

� 2 ³ . 5 ² Racionalização

Consiste em transformar uma fração que possui radical no denominador, não possível de simplificação, em outra equivalente, eliminando o radical do denominador.

1º caso → Radical de índice 2

Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada, multiplicamos ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, assim, obtemos uma fração equivalente sem o radical no denominador.

Ex:

3 √5 =

√3

√7 =

12 √3 =

2º caso → Racionalizando quando o denominador é um radical de índice diferente de 2

Lembre-se que para a ≥ 0,

^𝑛𝑛

√𝑎𝑎 ^𝑛𝑛 = a

Ex:

(16)

3

√5 =

√7

4

√2 =

1- O valor numérico da expressão √25 + √8

³

+

⁴

√16 + √81 é:

a) 12.

b) 16.

c) 18.

d) 20.

e) 22.

2- O número

³

√4 . √2

³

é igual a:

a) 2.

b) 4.

c) √8.

d) √8

⁶

. e)

⁹

√8 .

3- Considere as afirmativas abaixo:

( 𝑒𝑒 ³ 𝑦𝑦 ⁴ ) ⁵ = 𝑒𝑒 ⁸ 𝑦𝑦 ⁹

�

^𝑥𝑥_𝑦𝑦

� 𝑧𝑧 = ^{𝑧𝑧𝑧𝑧} _𝑦𝑦

�√ 243 = 3

⁴

√3

Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas corretas.

a) É correta apenas a afirmativa 1.

b) É correta apenas a afirmativa 3.

(17)

c) São corretas apenas as afirmativas 1 e 2.

d) São corretas apenas as afirmativas 1 e 3.

e) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.

4- Ao calcular √4% . (50%) ² se obtém:

a) 5000%.

b) 200%.

c) 100%.

d) 5%.

e) 1%.

5- Analise:

p: √4 =

¹⁰

√1024 q: 0,1... ≠ 1/9 r: 7 ^-2 < −7 ²

Das proposições acima, podemos afirmar que:

a) p é verdadeiro.

b) p e r são verdadeiros.

c) q e r são verdadeiros.

d) p é falso.

e) p e q são falsos.

6- Considere a imagem a seguir.

√1024

5

Observamos acima a expressão “raiz quinta de 1024 é igual a x”. Para

encontrar x, basta descobrir o valor numérico tal que, ao ser multiplicado

cinco vezes por si mesmo, dá como resultado 1024.

(18)