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22 - Circuitos de Corrente Contínua

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Academic year: 2021

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(1)

P ROBLEMAS R ESOLVIDOS DE F ÍSICA

Prof. Anderson Coser Gaudio

Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson

anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/11/2006 14:57 H

22 - Circuitos de Corrente Contínua

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker

4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003 Cap. 29 - Circuito Cap. 33 - Circuitos de

Corrente Contínua Cap. 31 - Circuitos CC

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

(2)

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3

CAPÍTULO 29 - CIRCUITO

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

[Início documento]

[Início seção] [Início documento]

(3)

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3

CAPÍTULO 33 - CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58

[Início documento]

02. (a) Qual o trabalho realizado por uma fonte de fem de 12 V sobre um elétron que vai do seu terminal positivo até o negativo? (b) Se 3,40 × 10

18

elétrons passam através da fonte, por segundo, qual a potência de saída da fonte?

(Pág. 128) Solução.

(a) A fem ε de uma fonte de potencial é definida como sendo o trabalho, por unidade de carga, gasto para transportar cargas de um pólo ao outro da fonte. Ou seja:

dW ε = dq

O trabalho médio W para transportar uma carga q será dado por:

( 12 V 1, 60 ) (

19

C )

W = ε q = ×10

(1)

1,92

18

J W = ×10

É bom lembrar que, por definição, a energia gasta para transportar um elétron contra um potencial V é numericamente igual a V, expresso em elétrons-volt (eV). No presente caso, W = 12 eV (1 eV = 1,60 × 10

−19

J).

(b) Vamos dividir a Eq. (1) por um intervalo de tempo Δt para obter a potência média da fonte:

W q

t = ε t

Δ Δ

O termo q/Δt corresponde à corrente elétrica média i que atravessa a fonte.

( 12 V ) 3, 40

18

elétrons 1, 60

19

C 6,528 W

s elétron

P = = ε i ⎜ ⎝ ×10 × ×10

⎟ ⎠ = 6,53 W

P

[Início seção] [Início documento]

(4)

07. Qual deve ser o valor de R, no circuito da Fig. 18, para que a corrente seja igual a 50 mA?

Considere ε

1

= 2,0 V, ε

2

= 3,0 V e r

1

= r

2

= 3,0 Ω. (b) Qual será, então, a potência dissipada sob a forma de calor na resistência R?

(Pág. 126) Solução.

(a) Vamos aplicar a lei das malhas de Kirchhoff ao circuito, arbitrando o sentido da corrente como anti-horário e percorrendo-o nesse sentido a partir da extremidade superior direita.

1

ir

1

iR ir

2 2

0

ε ε

− − − − + =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

2 1

1 2 3

3, 0 V 2, 0 V

3, 0 3, 0 50 10 A

R r r

i ε ε

− −

= − + = − Ω + Ω )

× 14

R = Ω

(b) A potência dissipada por R será:

( )( )

2

2

14 50 mA 0, 035 W

P = Ri = Ω =

35 mW P =

[Início seção] [Início documento]

08. A corrente num circuito de malha única é 5,0 A. Quando uma resistência adicional de 2,0 Ω é colocada em série, a corrente cai para 4,0 A. Qual era a resistência no circuito original?

(Pág. 127) Solução.

Considere o seguinte esquema da situação:

R

1

ε i

1

R

1

ε i

2

R

2

Como a fem da fonte de potencial do circuito não variou, temos:

ε ε =

( )

1 1 1 2 2

R i = R + R i

( )

1 1 2 2 2

R ii = R i

( )

( ) ( ) ( )

2

1 2

4, 0 A

2, 0 5, 0 A 4, 0 A

R i R

i i

= =

− − Ω

(5)

1

8, 0

R = Ω

[Início seção] [Início documento]

11. O motor de arranque de um automóvel gira muito devagar, e o mecânico tem de decidir entre substituir o motor, o cabo ou a bateria. O manual do fabricante diz que a bateria de 12 V não pode ter mais de 0,020 Ω de resistência interna, o motor não pode ter mais de 0,200 Ω de resistência e o cabo não pode ter mais de 0,040 Ω de resistência. O mecânico liga o motor e mede 11,4 V na bateria, 3,0 V entre os extremos do cabo e uma corrente de 50 A. Qual parte está com defeito?

(Pág. 127) Solução.

Considere o seguinte esquema:

V

V V

Bat

V

Cabo

r R

Motor

R

Cabo

ε

Em primeiro lugar vamos verificar o valor da resistência interna, r, da bateria. Para isso vamos computar a diferença de potencial nos terminais da bateria, V

Bat

.

a b

V − + = ir ε V

( V

a

V

b

) + = ε ir V

Bat

ε ir

− + =

( ) ( )

( )

Bat

12 V 11, 4 V

0, 012 50 A

r V i

ε −

= = = Ω

Como a bateria pode ter resistência interna de até 0,020 Ω, ela está em bom estado. Agora vamos verificar a resistência do cabo, R

Cabo

.

( )

( )

Cabo Cabo

3, 0 V

0, 060 50 A

R V

= i = = Ω

Como a resistência do cabo não pode ser maior do que 0,040 Ω, o cabo deverá ser trocado. Vamos ainda verificar a resistência do motor, R

Motor

.

Cabo Motor

0

iR iR ir

ε − − − =

( )

( ) ( ) ( )

Motor Cabo

12 V 0, 060 0, 012 0,168

R R r 50 A i

= − ε − = − Ω − Ω = Ω

Motor

0,17

R ≈ Ω

Como a tolerância para a resistência interna do motor é de 0,200 Ω, este está em bom estado.

[Início seção] [Início documento]

(6)

13. Uma célula solar gera uma diferença de potencial de 0,10 V quando ligada a um resistor de 500 Ω e uma diferença de potencial de 0,16 V quando ligada a um resistor de 1.000 Ω. Quais são (a) a resistência interna e (b) a fem da célula solar? (c) A área da célula é 5,0 cm

2

e a intensidade da luz que a atinge é 2,0 mW/cm

2

. Qual a eficiência da célula em converter energia da luz em energia interna no resistor de 1.000 Ω?

(Pág. 127) Solução.

Considere o seguinte esquema da situação:

r R

1

ε i

1

r R

2

ε i

2

a b a b

Célula solar

(a) Aplicando-se a lei das malhas de Kirchhoff ao circuito da esquerda teremos:

1 1 1

0

i R i r

ε − − =

(1)

1

(

1

i R r ε = + )

)

Fazendo o mesmo para o circuito da direita:

(2)

(

2 2

i R r

ε = +

Igualando-se (1) e (2) e resolvendo-se para r:

1 1 2 2

2 1

i R i R

r i i

= −

− (3)

Agora temos de calcular as correntes i

1

e i

2

. Para isso basta se utilizar das diferenças de potencial nos terminais dos resistores R

1

e R

2

.

( )

( )

4

1 1

0,10 V

2, 0 10 A 500

V

ab

i R

= = = ×

Ω

( )

( )

4

2 2

0,16 V

1, 6 10 A 1.000

V

ab

i R

= = = ×

Ω

Substituindo-se esses valores em (3):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 4

2 2

4 4

2, 0 10 A 500 1, 6 10 A 1.000

1.500 1, 6 10 A 2, 0 10 A

r i R

− −

− −

× Ω − × Ω

= =

× − × Ω

1,5 k

r ≈ Ω

(b) Da Eq. (1), temos:

( ) (

4

) ( ) ( )

1 1

2, 0 10 A 500 1.500

i R r

ε = + = ×

⎡ ⎣ Ω + Ω ⎤ ⎦

0, 40 V ε =

(c) A eficiência e da célula é a razão entre a potência dissipada pelo resistor R

1

ou R

2

(P

R

) e a

potência recebida do Sol pela célula (P

S

). Esta é o produto da intensidade da luz solar que atinge a

(7)

( ) ( )

( )

4 2 3

2 2 3

3 2

2

1, 6 10 A 1.000

2, 56 10 2, 0 10 5, 0 W cm

cm

R S

P i R e P IA

× Ω

= = = = ×

⎛ × ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

0, 26 % e

[Início seção] [Início documento]

19. Um circuito contendo cinco resistores ligados a uma bateria de 12 V é mostrado na Fig. 21.

Ache a queda de potencial através do resistor de 5,0 Ω.

(Pág. 127) Solução.

Para resolver este problema, precisamos determinar a corrente elétrica que atravessa o resistor de 5,0 Ω e resolver a equação V = Ri. Para isso vamos aplicar a lei das malhas de Kirchhoff à malha inferior do circuito, cuja corrente circula no sentido horário, percorrendo-o nesse sentido a partir do nó da extrema direita.

( 12, 0 V ) ( 3, 0 Ω − ) ( i 5, 0 Ω = ) i 0

( )

( )

12, 0 V

1,5 A i = 8, 0 =

Ω Logo:

( 5, 0 )( 1, 5 A

V = Ri = Ω )

7,5 V V =

[Início seção] [Início documento]

20. Uma fonte de potência de 120 V é protegida por um fusível de 15 A. Qual o número máximo de lâmpadas de 500 W que podem ser simultaneamente alimentadas, em paralelo, por esta fonte?

(Pág. 127) Solução.

Considere o esquema abaixo, onde F é um fusível e L é lâmpada:

V i

0

F

P P P

L

N

L

2

L

1

i i i

(8)

Como as lâmpadas L

1

, L

2

, ... , L

N

estão associadas em paralelo, todas estão sujeitas à mesma diferença de potencial V. Logo, a corrente elétrica em cada uma delas vale:

i P

= V (1)

A soma das correntes que abastecem as lâmpadas deve ser, no máximo, igual a i

0

:

0 1 2 N

(2)

i = + + + = i i " i N i Substituindo-se (1) em (2):

0

i N P

= V i V

0

N = P lâmpadas (15 A)(120 V)

(500 W) 3, 6

N = = lâmpadas

Como não pode haver número fracionário de lâmpadas:

N = 3 lâmpadas

[Início seção] [Início documento]

22. Dado um certo número de resistores de 10 Ω, cada um capaz de dissipar somente 1,0 W, qual é o número mínimo desses resistores necessário para fazer uma associação em série ou em paralelo, equivalente a um resistor de 10 Ω, capaz de dissipar pelo menos 5,0 W?

(Pág. 127) Solução.

Seja uma associação em série de M resistores iguais. Agora tome N conjuntos desses resistores e construa uma associação em paralelo. O resultado é esquematizado a seguir:

M resistores em série

N resistores em paralelo

A resistência equivalente desse conjunto vale:

1 1

eq

1

1

N

1

N

1

M

i i

j j

N

R M

=

R

=

=

⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

R MR

Se N = M, teremos R

eq

= R. Portanto, os arranjos possíveis serão:

(9)

1 resistor

=

10 Ω 10 Ω

=

10 Ω 4 resistores

9 resistores

= etc...

A potência P

1

dissipada por um resistor R atravessado por uma corrente i é:

2

P

1

= Ri

No caso da associação de quatro resistores, cuja corrente de entrada na associação também seja i, cada resistor será atravessado por uma corrente igual a i/2. Portanto, a potência P

4

dissipada por cada resistor da associação será:

2 2

2

4 1

1 1

0, 25 W

2 4 4 4

i i

P = R ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = R = Ri = P =

⎝ ⎠

Para que a associação de quatro resistores trabalhe a pleno, a corrente deverá ser dobrada, o que fará com que cada resistor dissipe 1 W. No total, haverá dissipação de 4 W para toda a associação. No caso da associação de nove resistores, a corrente deverá ser triplicada para que a associação trabalhe a pleno, dissipando 9 W. E assim por diante. Portanto, como o problema exige que a associação deve poder dissipar no mínimo 5 W, o menor número de resistores que a associação deverá ter é nove.

[Início seção] [Início documento]

26. No circuito da Fig. 23, ε, R

1

e R

2

têm valores constantes, mas R pode variar. Ache uma expressão para R que torne máximo o aquecimento deste resistor.

(Pág. 128) Solução.

Considere o esquema abaixo, que representa a parte superior central do circuito, onde 1 e 2 representam as malhas da esquerda e da direita, respectivamente, e i

n

representam as correntes elétricas:

i

0

i

2

i

1

1 2

Potência dissipada por R:

2

(1)

( )R 2

P = i R

Cálculo de i

2

(leis de Kirchhoff):

0 1 2

(2) i = + i i

1 0 2 1

0

R i R i

ε − − = (3)

(10)

2 2 1

0 (4) Ri R i

− + =

Resolvendo-se o sistema (2), (3) e (4):

) (

2

2

1 2 1 2

i R

R R R R R

= ε

+ + (5)

Substituindo-se (5) em (1):

( )

2 2 2

( ) 2

1 2 1 2

R

P R R

R R R R R

= ε

+ +

⎡ ⎤

⎣ ⎦

Valor de R que maximiza a dissipação de calor em R:

( )R

0 dP

dR =

( )

( )

2 2

2 1 2 1 2

3

1 2 1 2

R R R R R R 0 R R R R R

ε ⎡ ⎣ − + ⎤ ⎦ =

+ +

⎡ ⎤

⎣ ⎦

Como todas as grandezas que aparecem no primeiro membro desta equação são positivas, ela só será verdadeira se:

( )

1 2 1 2

0

R RR R + R = Logo:

1 2

1 2

R R R R R

= +

[Início seção] [Início documento]

30. Calcule o valor da corrente em cada um dos resistores e a diferença de potencial entre os pontos a e b para o circuito da Fig. 26. Considere ε

1

= 6,0 V, ε

2

= 5,0 V, ε

3

= 4,0 V, R

1

= 100 Ω e R

2

= 50 Ω.

(Pág. 128) Solução.

Considere o seguinte esquema simplificado do circuito, onde os sentidos das correntes i

1

, i

2

e i

3

foram arbitrados:

(11)

i

1

i

3

i

2

A B

a b

Na malha A, temos (sentido horário, partindo do ponto a):

2

R i

1 1

0 ε

− + =

( )

( )

2 1

1

5, 0 V

0, 050 A i 100

R

= ε = =

Ω

1

50 mA i =

Na malha B, temos (sentido horário, partindo do ponto a):

1

R i

2 2 3 2

0

ε ε ε

− − + + =

( ) ( ) ( )

( )

2 3 1

2

2

5, 0 V 4, 0 V 6, 0 V

0, 060 A i 50

R

ε + − ε ε +

= = =

Ω

2

60 mA i =

No ramo ab, temos:

2 3

a b

V − − = ε ε V

( ) ( )

2 3

5, 0 V 4, 0 V

ab a a

V = VV = ε + = ε + 9, 0 V

V

ab

=

[Início seção] [Início documento]

31. Duas lâmpadas, uma de resistência R

1

e outra de resistência R

2

(< R

1

), são ligadas (a) em paralelo e (b) em série. Qual das lâmpadas é mais brilhante em cada caso?

(Pág. 128) Solução.

Neste problema, é preciso reconhecer que o brilho de uma lâmpada que funciona à base do

aquecimento (potência dissipada) de uma resistência apresenta brilho que, ao menos em princípio, é proporcional à sua temperatura. Portanto, brilhará mais a lâmpada que conseguir dissipar mais energia num determinado arranjo, que no presente caso é em série ou em paralelo.

(a) Quando as lâmpadas estão ligadas em paralelo, ambas estarão sujeitas à mesma diferença de potencial, V. Como a potência dissipada por um resistor vale P = V

2

/R, a lâmpada com menor resistência (R

2

) irá dissipar mais energia e, consequentemente, brilhar mais.

R

1

ε

i R

2

(12)

(b) Se as lâmpadas estão em série, ambas serão percorridas pela mesma corrente. Como a potência dissipada por um resistor vale P = i

2

R, a lâmpada com maior resistência (R

1

) irá dissipar mais energia e, consequentemente, brilhar mais.

R

1

ε i

R

2

[Início seção] [Início documento]

33. Qual a leitura no amperímetro A, Fig. 27,ε e R? Suponha que A tenha resistência interna nula.

(Pág. 128) Solução.

Considere o esquema simplificado da Fig. 27 abaixo:

i

1

i

2

i

3

i

6

i

4

i

5

A

B C a

b c

d

Equações de Kirchhoff para o circuito.

Nó a:

1 2

i = + i i

3

4

5

Nó b:

6 3

i = + i i Nó c:

2 4

i = + i i Malha A:

3 6

2 Ri Ri 0

ε − − =

Malha B:

3 2

2 RiRi = 0 Malha C:

6 5

0

RiRi =

(13)

As equações acima formam um sistema com seis incógnitas. A solução é laboriosa e tem o seguinte resultado:

1

6 i 7

R

= ε

,

2

4 i 7

R

= ε

,

3

2 i 7

R

= ε

, i

4

7 R

= ε

,

5

3 i 7

R

= ε

,

6

3 i 7

R

= ε

A corrente que passa pelo amperímetro é i

4

. Logo, a resposta do problema é:

4

7

i R

= ε

[Início seção] [Início documento]

34. Quando as luzes de um carro são ligadas, um amperímetro em série com elas marca 10,0 A e um voltímetro em paralelo marca 12,0 V. Veja a Fig. 28. Quando o motor de arranque elétrico é ligado, a leitura no amperímetro baixa para 8,00 V e as luzes diminuem um pouco seu brilho. Se a resistência interna da bateria for 50 mΩ e a do amperímetro for desprezível, quais são (a) a fem da bateria e (b) a corrente que atravessa o motor de arranque quando as luzes estão acesas?

(Pág. 128) Solução.

(a) Quando as luzes são ligadas, mas o motor de arranque ainda está desligado, o circuito pode ser representado pela figura abaixo, em que ε é a fem da bateria, r é a resistência interna da bateria, i

0

é a corrente elétrica e L representa as luzes do carro:

L r

ε

i

0

Aplicação da regra das malhas de Kirchhoff a este circuito, onde V é a diferença de potencial nos terminais das luzes:

0

0

V ri ε − − =

V ri

0

ε = +

(12, 0 V) (50 10

3

)(10, 0 A)

ε = + ×

Ω

12, 5 V ε =

(b) Quando o motor de arranque é ligado, o circuito passa a ser representado pela figura abaixo, em

que M representa o motor de arranque:

(14)

L r

ε i

1

M

i

2

i

3

Aplicação das regras de Kirchhoff a este circuito, em que R

M

é a resistência elétrica do motor e R

L

é a resistência das luzes:

2 1

0

R i

M

ri

ε − − = (1)

3 2

0 (2)

L M

R i R i

− + =

1 2

(3) i = + i i

3

(1) + (2):

1 L3

0

ri R i

ε − − = (4)

Resistência das luzes, obtida do circuito analisado no item (a):

0 L

R V

= i (5)

Resolvendo-se (4) para i

1

e substituindo-se (5) na expressão obtida para i

1

:

1 3

0

1

i V i

i r

⎛ ε ⎞

= ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

1 3

(12, 0 V) 1

(12, 5 V) (8, 00 A) 58, 0 A

(10, 0 A) (50 10 )

i = ⎡ ⎢ ⎣ − ⎤ ⎥ ⎦ ×

Ω =

Resolução de (3):

2 1

i = − i i

3

2

(58, 0 A) (8, 00 A)

i = −

2

50, 0 A i =

[Início seção] [Início documento]

35. A Fig. 29 mostra uma bateria ligada a um resistor uniforme R

0

. Um contato deslizante pode mover-se sobre o resistor de x = 0 à esquerda, até x = 10 cm à direita. Ache uma expressão para a potência dissipada no resistor R como uma função de x. Trace o gráfico desta função para ε = 50 V, R = 2.000 Ω e R

0

= 100 Ω.

(Pág. 128)

(15)

Considere o esquema simplificado da Fig. 29 abaixo:

i

1

i

2

i

3

A B a

L x

Potência dissipada no resistor R:

(1)

2

P = Ri

3

O cálculo da potência está na dependência de i

3

, que será calculado por meio da aplicação equações de Kirchhoff ao circuito.

Nó a:

1 2 3

(2) i − = i i Malha A:

2

x

0 1

L x

0

0

i R i R

L L

ε − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ =

(

1 2

) x

0 1 0

0 i i R i R

ε + − L − = (3)

Substituindo-se (2) em (3):

3

0 1 0

0

i x R i R

ε + L − = (4)

Malha B:

3 1

L x

0

0

i R i R

ε − − L ⎟ =

⎝ ⎠ (5)

Multiplicando-se ambos os membros de (5) por L L x

⎛ ⎞

−⎜ ⎝ − ⎟ ⎠

3 1

0

L L

i R i R

L x ε L x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ +

0

= (6)

(4) + (6):

3

0 3 1 0 1 0

0

i x

L L

R i R i R i R

L x L L x

ε − ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ ε + + ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ − + =

3 0

1 L x L 0

i R R

L x L L x

ε ⎜ ⎝ − − ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ + − ⎟ ⎠ =

2 0 3

( ) ( )

( )

L x xR L R L L x

i ⎢ ⎣ L Lx + ⎥ ⎦ = ε ⎢ ⎣ Lx ⎥ ⎦

3 2

0

( )

i Lx

L R R L x x

= ε

+ − (7)

Substituindo-se (7) em (1):

(16)

2 2 2 2 2

0

( )

P L Rx

L R R L x x

= ε

⎡ + − ⎤

⎣ ⎦

(b)

x P

(x)

[Início seção] [Início documento]

36. Você recebe duas baterias iguais, de fems ε

1

e ε

2

e resistências internas r

1

e r

2

, que podem ser ligadas em série ou em paralelo para produzir uma corrente num resistor R (ver Fig. 30). (a) Obter a expressão da corrente que atravessa R no circuito da parte (a) da Fig. 30. (b) Escreva a expressão da corrente para o circuito da parte (b).

(Pág. 129) Solução.

[Início seção] [Início documento]

37. (a) Calcule a intensidade das três correntes que aparecem no circuito da Fig. 31. (b) Calcule o

valor de V

b

− V

a

. Suponha que R

1

= 1,20 Ω, R

1

= 2,30 Ω, ε

1

= 2,00 V, ε

2

= 23,80 V e ε

3

= 5,00

V.

(17)

(Pág. 129) Solução.

(a) Considere o esquema simplificado da Fig. 31 abaixo:

i

1

i

2

i

3

A B

a

b Equações de Kirchhoff.

Malha A:

1

R i

1 1

R i

2 2 2

R i

1 1

0

ε − − − − ε =

1 2

2R i

1 1

R i

2 2

0

ε ε − − − = (1)

Malha B:

3

R i

1 3

R i

2 2 2

R i

1 3

0

ε − − − − ε =

3 2

2R i

1 3

R i

2 2

0

ε ε − − − = (2)

Nó a:

1 2

(3) i = − i i

3

0 Substituindo-se (3) em (1):

1 2

2 R i

1 2

2 R i

1 3

R i

2 2

ε ε − − + − = (4)

(2) + (4):

( )

1

2

2 3

2 R

1

R i

2 2

ε − ε + − ε + = 0

( )

1 2

2

1 2

2

i 2

3

R R ε − ε + ε

= + (5)

[ ]

2

(2, 00 V) 2(3,80 V) (5, 00 V)

0, 085714 A 2 (1, 20 ) (2,30 )

i − +

= =

Ω + Ω − "

2

85, 7 mA i ≈ −

Logo, a corrente i

2

tem o sentido para cima.

Substituindo-se (5) em (2):

( )

2 1 3 1 1 2 3 2

3

1 1 2

2 2

4

R R R R

i R R R

ε ε ε ε

− − − +

= + (6)

3

0, 582 A

i

(18)

Logo, a corrente i

3

tem o sentido para cima.

Substituindo-se (6) em (5):

( )

1 1 2 1 1 2 3 2

1

1 1 2

2 2

4

R R R R

i R R R

ε − ε + ε − ε

= +

1

0, 668 A i ≈ −

Logo, a corrente i

1

tem o sentido para baixo.

(b) Contabilidade de ganhos e perdas de potencial elétrico no caminho ab, considerando-se o sentido correto da corrente i

2

(para cima):

2 2 2

b a

V + − ε R i = V

2 2 2

b a

VV = R i − ε

(2, 30 )(0, 668 A) (3,80 V) 3, 60285 V

b a

VV = Ω − = − "

3, 60 V

b a

VV ≈ −

[Início seção] [Início documento]

46. A resistência variável da Fig. 36 pode ser ajustada de modo que os pontos a e b tenham exatamente o mesmo potencial. (Verificaremos essa situação ligando momentaneamente um medidor sensível entre os pontos a e b. Não havendo diferença de potencial, não haverá deslocamento no ponteiro do medidor.) Mostre que, após essa ajustagem, a seguinte relação torna-se verdadeira:

2 1

X S

R R R

= R ,

A resistência (R

x

) de um resistor pode ser medida por este processo (chamado de Ponte de Wheatstone), em função das resistências (R

1

, R

2

e R

3

) de outros resistores calibrados anteriormente.

(Pág. 130) Solução.

Considere o esquema abaixo:

(19)

i

1

i

0

i

2

a

c d

b

R R

R

x

R

s

ε

Contabilidade de ganhos e perdas de potencial elétrico no caminho adb:

1 1 2

a S b

V + R iR i = V = V

a

1 1 S 2

R i = R i (1)

Contabilidade de ganhos e perdas de potencial elétrico no caminho acb:

2 1 2

a X b

VR i + R i = V = V

a

2 1 X 2

R i = R i (2)

Dividindo-se (1) por (2):

1 2

S X

R R R = R

2 1

X S

R R R

= R

[Início seção] [Início documento]

47. Mostre que se os pontos a e b da Fig. 36 forem ligados por um fio de resistência r este será percorrido por uma corrente igual a

( )

( 2 )(

ss xx

) 2

s

R R

i R r R R R R

ε −

= + + +

x

,

onde fizemos R

1

= R

2

= R,R

0

= 0, e ε é o valor da fem da bateria. Esta fórmula é consistente com

o resultado do problema 46?

(20)

(Pág. 130) Solução.

Considere o esquema abaixo:

i

2

i

1

i

3

i

5

i

4

i

6

B C

A a

c d

b

R R

R

x

R

s

r

ε Equações de Kirchhoff.

Nó a:

2 3

i = + i i

6

6

4

Nó b:

5 4

i = + i i Nó c:

1 2

i = + i i Malha A:

5 4 5

2 R i R i

x

0

ε − − =

Malha B:

2 6 5 4

0

Ri ri R i

− − − =

Malha C:

3 x5 6

0

Ri R i ri

− + + =

As equações acima formam um sistema com seis incógnitas. A solução é laboriosa e tem o seguinte resultado:

( )( ) ( )

( )( )

1

s x

2

s x

R R R R r R R R

i = ⎡ ⎣ + + + + + ⎤ ⎦ ε

+ + +

⎡ ⎤

(21)

( ) ( )

( )( )

2

2 2

s x s x

s x s x

R R R r R R

i R R R r R R R

ε

+ + +

⎡ ⎤

⎣ ⎦

= ⎡ ⎣ + + + ⎤ ⎦

( )

( )( )

3

2 2

s s x

s x s x

rR r R R R

i R R R r R R R

ε + + +

⎡ ⎤

⎣ ⎦

= ⎡ ⎣ + + + ⎤ ⎦

( )

( )( )

4

2

2 2

x

s x s

r R R

i R R r R R R

ε

= + +

+ + +

x

( )

( )( )

5

2

2 2

s

s x s

r R R

i R R r R R R

ε

= + +

+ + +

x

( )

( )( )

6

2 2

s x

s x s

R R

i R R r R R R

ε

= −

+ + +

x

A corrente que passa por r é i

6

. Logo, a demonstração está completa.

[Início seção] [Início documento]

48. Num circuito RC série, ε

1

= 11,0 V, R = 1,42 MΩ e C = 1,80 μ F. (a) Calcule a constante de tempo. (b) Ache a carga máxima que se acumulará no capacitor. (c) Quanto tempo é necessário para a carga no capacitor atingir 15,5 μ C?

(Pág. 130) Solução.

O circuito RC série está esquematizado a seguir:

R

ε

i C

(a) A constante de tempo τ é dada por:

( 1, 42 10

6

)( 1,80 10 F

6

) 2,556 s

τ = RC = × Ω ×

=

2,56 s τ ≈

(b) A carga que o capacitor recebe neste circuito é função do tempo e é dada por:

1

t

q = C ε ⎜ − e

RC

⎝ ⎠

A carga máxima q

máx

é obtida quando o tempo é muito grande ou infinito.

( ) (

6

) ( )

5

má x

1

RC

1 0 1,80 10 F 11, 0 V 1,98 1

q = C ε ⎜ − e

⎟ = C ε − = C ε = ×

= ×

⎝ ⎠ 0 C

m á x

19,8 C

q = μ

(c)

(22)

1

t t

RC RC

q = C ε ⎜ − e

⎟ = C ε − C e

⎝ ⎠ ε

1

t

RC

q

e C ε

=

1

t

RC

q

e C ε

= −

t ln 1 q

RC C ε

⎛ ⎞

− = ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

ln 1 q t RC

C ε

⎛ ⎞

= − ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠

( )( ) ( )

( ) ( )

6

6 6

6

15,5 10 C

1, 42 10 1,80 10 F ln 1 1,9031 s

1,80 10 F 11, 0 V t

⎡ × ⎤

⎢ ⎥

= − × Ω × × − =

⎢ × ⎥

⎣ ⎦

"

1,90 s t

[Início seção] [Início documento]

51. Um capacitor é descarregado, através de um circuito RC, fechando-se a chave no instante t = 0.

A diferença de potencial inicial através do capacitor é igual a 100 V. Se a diferença de potencial baixou para 1,06 V após 10,0 s, (a) qual é a constante de tempo do circuito? (b) Qual será a diferença de potencial no instante t = 17 s?

(Pág. 130) Solução.

Considere o esquema abaixo:

C R

(a) Equação de descarga do circuito RC, onde q

(t)

é a carga elétrica nas placas do capacitor em função do tempo e q

0

é a carga inicial nas placas:

(1)

/

( ) 0

t RC

q

t

= q e

Diferença de potencial nas placas do capacitor em função do tempo:

( ) ( )

t t

V q

= C (2)

Substituindo-se (2) em (1):

0 / ( )

t RC t

V q e C

=

(3)

/

( ) 0

t RC

V

t

= V e

( ) /

0

t t RC

V e

V

=

(23)

( ) 0

ln V

t

t

V R

⎛ ⎞

⎜ ⎟ = −

⎝ ⎠ C

( ) 0

ln

t

RC t

V V

= − ⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ (10, 0 s)

2,1993 s 1, 06 V

ln 100 V

RC = − =

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

"

2, 20 RCs (b) Partindo-se de (3):

/

( ) 0

t RC

V

t

= V e

(17 s) /(2,1993 s)

(17 s)

(100 V)

0

0, 043956 V

V = e

"

= "

(17 s)

0, 0440 V

V

[Início seção] [Início documento]

53. A Fig. 37 mostra o circuito de uma lâmpada de sinalização, como aquelas colocadas em obras nas estradas. A lâmpada fluorescente L é ligada em paralelo ao capacitor C de um circuito RC.

A lâmpada é percorrida por uma corrente somente quando a diferença de potencial entre seus terminais atinge um valor mínimo V

L

, necessário para ionizar o elemento químico dentro da lâmpada, em geral mercúrio; quando isto acontece, o capacitor descarrega através da lâmpada e ela brilha durante um tempo muito pequeno. Suponha que desejamos que a lâmpada brilhe duas vezes por segundo. Usando uma lâmpada com voltagem mínima de partida V

L

= 72 V, uma bateria de 95 V e um capacitor de 0,15 μF, qual deve ser a resistência R do resistor?

(Pág. 130) Solução.

A lâmpada e o capacitor estão sujeitos à mesma diferença de potencial. Isto significa que o tempo que a lâmpada leva para atingir o potencial V

L

é igual ao tempo que o capacitor leva para atingir o mesmo potencial. Para que a lâmpada pisque duas vezes por segundo é necessário que o potencial V

L

seja alcançado duas vezes a cada segundo, ou seja, V

L

deve ser alcançado num tempo t

L

= 0,50 s.

A dependência do potencial do capacitor em relação ao tempo é dada pela seguinte relação:

(

/

)

( )t

1

t RC

V = ε − e

( 1

tL/RC

)

V

L

= ε − e

(24)

/

1

tL RC

V

L

e ε

= −

L

ln 1

L

t V

RC ε

− = ⎛ ⎜ ⎝ − ⎞ ⎟ ⎠

( )

( ) ( ( ) )

6 6

0,50 s

2,35009

ln 1 0,15 F ln 1 72 V

95 V

L L

R t C V

ε

= − = − = ×10 Ω

⎛ − ⎞ ×10 ⎡ − ⎤

⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦

"

2,35 M

R ≈ Ω

[Início seção] [Início documento]

54. Um capacitor de 1,0 μ F tem uma energia igual a 0,50 J armazenada. Ele então descarrega através de um resistor de 1,0 MΩ. (a) Qual é a carga inicial do capacitor? (b) Qual a corrente que percorre o resistor no início da descarga? (c) Determine V

C

, a voltagem nos terminais do capacitor, e V

R

, a voltagem nos terminais do resistor, como funções do tempo. (d) Expresse a taxa de geração de energia interna (potência dissipada) no resistor como função do tempo.

(Pág. 131) Solução.

(a) A energia potencial elétrica U

0

de um capacitor de capacitância C carregado com carga q

0

é dada por:

2 0

0

2

U q

= C Logo:

( ) (

6

)

3

0

2

0

2 0,50 J 1, 0 10 F 1, 0 10 C

q = U C = ×

= ×

0

1, 0 mC q =

(b) Embora a corrente gerada na descarga de um capacitor através de um resistor dependa do tempo, de acordo com a relação:

( )

t RC

i

t

e R ε

= , (1)

no instante t

0

= 0, a corrente não depende do tempo, uma vez que o termo exponencial resulta em 1.

Logo:

i

0

R

= ε (2)

A fem ε pode ser obtida a partir da energia potencial inicial U

0

.

2 0

1 U = 2 C ε

2 U

0

ε = C (3)

Substituindo-se (3) em (2):

(25)

( ) ( ( ) )

3

0

0 6 6

2 0, 50 J

1 2 1

1, 0 10 A

1, 0 10 1, 0 10 F

i U

R C

= =

= ×

× Ω ×

0

1, 0 mA i =

(c) A carga nas placas de um capacitor C que descarrega através de um resistor R, em função do tempo é dada por:

( ) 0

t RC

q

t

= q e

A diferença de potencial no capacitor vale:

( ) ( )

t t

V q

= C Logo:

( )

( ) ( )( )

6 6

3

1,0 10 1,0 10 F 0

( ) 6

1, 0 10 C 1, 0 10 F

t t RC t

V q e e

C

− −

− × Ω ×

= = ×

×

(

3

)

0

( )

1, 0 10 V

t RC t t

V q e C

− −

= = × e

10

3 t

V

C

e

A diferença de potencial do capacitor e do resistor está relacionada por:

C R

V = − V

Isto se deve ao fato de os terminais do capacitor estarem ligados diretamente aos terminais do capacitor e, seguindo o sentido da corrente, enquanto o potencial aumenta no capacitor ele diminui no resistor (veja esquema a seguir).

R

i

+

C

+ −

Potencial diminue no sentido da corrente

Potencial aumenta no sentido da corrente Logo:

10

3 t

V

R

≈ − e

(4)

(d) A potência P

R

dissipada no resistor também é função do tempo, pois depende da corrente i que atravessa o resistor e da diferença de potencial V nos terminais do resistor; tanto i como V

dependem do tempo.

( )

R t R

P = i V (5)

A corrente no resistor é dada pela Eq. (1), lembrando que, neste problema, RC = 1:

(

3

0 0

( ) 0

1, 0 10 A

t t t

RC RC RC t

t

V q

i i e e e e

R RC

− − −

)

− −

= = = = × (6)

Substituindo-se (4) e (6) em (5):

( 10

3 t

)( 10

3 t

)

P

R

=

e

e

(26)

2t

P

R

= − e

[Início seção] [Início documento]

58. Um capacitor inicialmente descarregado C é completamente carregado por uma fem constante ε em série com um resistor R. (a) Mostre que a energia final armazenada no capacitor é metade da energia fornecida pela fonte de fem. (b) Mostre, por integração direta de i

2

R de 0 a t, onde t é o tempo necessário para o capacitor ficar totalmente carregado, que a energia dissipada pelo resistor é, também, metade da energia fornecida pela fonte de fem.

(Pág. 131) Solução.

(a) A energia total fornecida pela fonte de fem é definida em termos do trabalho realizado pela fonte sobre os portadores de carga:

dW ε = dq

dW = ε dq = ε CdV

0 0

W = ∫

ε

ε CdV = ε C

ε

d V W = ε

2

C

A energia acumulada no capacitor, na forma de energia potencial elétrica, é dada por:

2 2

2 2

q C

U C

= = ε

Como U é igual à metade de W, está demonstrado que a energia acumulada no capacitor equivale à metade da energia gasta pela fonte de fem.

(b) No processo de carga de um capacitor temos:

t

dq

RC

i dt R ε

= = e (1)

A potência dissipada pelo resistor vale:

dU

2

P = dt = i R (2)

Substituindo-se (1) em (2):

2 2

2 2

2

t t

RC RC

dU e R e

dt R R

ε

ε

= ⋅ =

2 2t

dU e

RC

dt R

ε

=

2 2

0 0

U t

dU e

RC

dt R

ε

∫ = ∫

A integração no tempo deve ser até um tempo infinito, pois somente após um tempo muito longo o capacitor ficará plenamente carregado.

( )

2 2 2

0

2 2 0 1

t

RC

RC

C

U e

R

ε ⎛ ⎞

ε

= ⎜ − ⎟ = − −

⎝ ⎠

(27)

2

2 U = ε C

[Início seção] [Início documento]

(28)

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.

FÍSICA 3

CAPÍTULO 31 - CIRCUITOS CC

EXERCÍCIOS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

[Início documento]

[Início seção] [Início documento]

Referências

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