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V SBQEE
Seminário Brasileiro sobre Qualidade da Energia Elétrica 17 a 20 de Agosto de 2003
Aracaju – Sergipe – Brasil
Código: AJU 03 200 Tópico: Modelagens e Simulações
MÉTODO DE AJUSTE VETORIAL APLICADO À SÍNTESE DE RESPOSTAS EM FREQÜÊNCIA POR FUNÇÕES RACIONAIS
Alécio Barreto Fernandes* Washington L. A. Neves Antonio Carlos S. de Lima Núcleo de Estudos e Pesquisas Universidade Federal de Universidade Federal do
do Nordeste – NEPEN Campina Grande - UFCG Rio de Janeiro - UFRJ Faculdade Pio Décimo
RESUMO
Freqüentemente, em diversos estudos via simulação digital faz-se necessário modelar um componente físico ou partes de um sistema elétrico cuja característica é conhecida apenas no domínio da freqüência. Assim, para que a dependência da freqüência possa ser incluída em simulações no tempo, é necessário sintetizar respostas em freqüência por funções racionais aproximadas. Muitas técnicas têm sido propostas para realizar tal tarefa, visando modelos computacionais precisos e numericamente estáveis. No presente trabalho, faz-se uso do método de ajuste vetorial na modelagem de linhas de transmissão no domínio de fases, transformadores de potência e equivalentes dinâmicos de redes. Discute-se ainda a possibilidade de problemas numéricos, tais como instabilidade e oscilação.
PALAVRAS-CHAVE
Modelos computacionais, Respostas em freqüência, Linhas de transmissão, Transformadores, Equivalentes dinâmicos.
1.0 - INTRODUÇÃO
Em diversos estudos relacionados à qualidade da energia elétrica via simulação digital, faz-se necessário modelar um componente físico ou partes de um sistema elétrico cuja característica é conhecida apenas no domínio da freqüência [1], [2], [3]. Assim, para que a dependência da freqüência possa ser incluída em simulações no
tempo, se faz necessário aproximar suas respostas em freqüência por funções racionais aproximadas.
Particularidades, como faixa de freqüência considerada, precisão desejada, forma da resposta em freqüência, forma analítica do modelo matemático e possibilidades existentes na implementação no domínio do tempo do modelo computacional a ser obtido, são referências que auxiliam na escolha do método mais apropriado [1]. Para tanto, diversas técnicas têm sido propostas, sempre visando modelos computacionais precisos e numericamente estáveis para diversos tipos de estudos.
Grande parte destas técnicas usam rotinas de ajuste lineares [1], [4]-[7], mas métodos não lineares também têm sido utilizados [8]. Nos processos de ajuste, tanto dados reais representando o módulo de funções de fase mínima [4], [9], quanto dados complexos [3], [5], [7] têm sido considerados. Tanto o plano s quanto o plano z podem ser o domínio para as funções racionais aproximadas [1], [6], [10], [11].
A metodologia é usualmente a mesma: os parâmetros do modelo são ajustados de modo a minimizarem uma função de mérito, que quantifica a concordância entre os dados e o modelo.
Estas técnicas têm sido aplicadas para modelar linhas de transmissão [5], [7], [8], transformadores [3], e na representação de equivalentes de redes dependentes da freqüência [6], [10].
No presente trabalho, faz-se uma breve apresentação do método de ajuste vetorial, proposto por Gustavsen e Semlyen [3], e em seguida mostra-se a aplicação desse método na
síntese de funções racionais aproximadas para a modelagem de linhas de transmissão no domínio de fases, transformadores de potência e equivalentes dinâmicos de redes. Aspectos importantes como precisão e estabilidade numérica são abordados.
2.0 - O MÉTODO DE AJUSTE VETORIAL
Gustavsen e Semlyen [3] apresentam um método genérico para o ajuste de dados no domínio da freqüência por funções polinomiais racionais, denominado de ajuste vetorial (Vector Fitting).
Neste método a função a ser aproximada pode ser um escalar complexo ou um vetor com elementos complexos. No último caso, todos os elementos do vetor são aproximados por funções racionais com pólos comuns.
No método de ajuste vetorial, o processo de ajuste é realizado em dois estágios, ambos com pólos conhecidos. O primeiro estágio faz uso de estimativas iniciais reais e/ou complexas para os pólos, distribuídos de forma linear ou logarítmica, em toda a faixa de freqüência de interesse. Para tanto, uma função escalonamento é introduzida.
Deste ajuste preliminar, uma nova estimativa para os pólos é obtida, e então utilizados no segundo estágio do ajuste, agora para a função objetivo, sem qualquer escalonamento. O erro absoluto é utilizado como função de mérito e o ajuste é otimizado iterativamente.
2.1 Identificação e re-alocação de pólos A função polinomial racional,
m m
n n
s b s
b s b
s a s
a s a a s D
s s N
P + ⋅ + ⋅ + + ⋅
⋅ + +
⋅ +
⋅
= +
= K
K
2 2 1
2 2 1 0
1 ) (
) ) (
( ,
cuja forma fatorada é,
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
) ) ( (
2 1
2 1
m n
p s p s p s
z s z s z G s s D
s s N
P + ⋅ + +
+ +
⋅
⋅ +
=
= K
K , mostra ser não linear em relação aos seus coeficientes ai e bi na Equação (1), e em relação aos seus zeros zi e pólos pi na Equação (2).
A Equação (1) pode ser reescrita como um problema linear do tipo A.x = b , ao se multiplicar ambos os membros pelo denominador.
Entretanto, o sistema resultante se torna mal condicionado na medida que se aumenta a ordem dos polinômios, principalmente em extensas faixas de freqüência. A linearização do problema na forma fatorada da Equação (2) não é possível.
Gustavsen e Semlyen [3] propõem escrever a função objetivo na forma:
h s p d
s c s
D s s N
f n
k k
k + + ⋅
= −
≅
∑
) =1
( ) ) (
( ,
em que os resíduos ck e os pólos pk podem ser escalares reais ou pares complexos conjugados, enquanto d e h são reais. Nota-se que na
determinação dos pólos pk o problema ainda é não linear.
No método de ajuste vetorial resolve-se o problema da determinação das variáveis na Equação (3) seqüencialmente, como um problema linear em dois estágios. Estimativas iniciais dos pólos, p~k, são fornecidas. Define-se então uma função escalonamento, σ(s), que escalona a função objetivo pela multiplicação σ(s).f(s).
Assim, os pólos das funções σ(s) e σ(s).f(s) são os mesmos.
Desta forma, para os vários pontos de freqüência tem-se o sistema sobredeterminado de equações A.x = b, e assim o referido sistema pode ser resolvido como um problema de mínimos quadrados. Finalmente,
( )
( )
−
−
⋅
=
⋅
=
∏
∏
= +
= n k
k n k
k
z s
z s s G
s f s s
f
1 1
1
) ~ (
) ( ) ) (
( σ
σ .
Nota-se na Equação (4) que os pólos estimados inicialmente para f(s) são cancelados, uma vez que as funções σ(s).f(s) e σ(s) foram definidas de modo a terem os mesmos pólos. Os zeros de σ(s) calculados na resolução do sistema sobredeterminado de equações, são agora uma melhor estimativa para os pólos da função objetivo original f(s).
No segundo estágio do processo de ajuste, os resíduos ck para a função f(s) são calculados na resolução da Equação (3) como um sistema sobredeterminado de equações do tipo A.x = b, no qual o vetor x é composto pelas variáveis ck , d e h, e as novas estimativas para os pólos são os zeros de σ(s) calculados anteriormente.
Uma solução otimizada pode ser obtida iterativamente ao se repetir os dois estágios atualizando as estimativas para os pólos ~pk de f(s) calculadas na iteração anterior. Assim, os pólos são re-alocados de modo a aproximar com maior precisão a função objetivo.
Com o método descrito, o problema inicialmente não linear foi linearizado e a sensibilidade do processo de ajuste em relação às estimativas iniciais foi significativamente reduzida. O método de ajuste vetorial pode ser igualmente aplicado na síntese de funções racionais para funções escalares ou vetoriais. No caso de vetores, substitui-se o escalar f(s) na Equação (3) pelo vetor. Neste caso, todos os elementos do vetor aproximado compartilham dos mesmos pólos.
2.2 Implementação do Método
O código fonte do método de ajuste vetorial é de domínio público e está implementado para uso com o programa MATLAB [12]. A ordem das aproximações é definida pelo usuário, sendo igual (2)
(4)
(1)
(3)
ao número de pólos estimados. Na resolução dos sistemas sobredeterminados de equações (3), as colunas da matriz de coeficientes A, em A.x = b, são escalonadas de modo a terem norma euclideana unitária. Com o escalonamento tem-se um sistema melhor condicionado [6], [10].
3.0 - APLICAÇÃO DO MÉTODO DE AJUSTE VETORIAL
3.1 Linhas de transmissão
Visando um modelo sem restrições quanto à geometria ou natureza das linhas de transmissão, trabalhos recentes propõem modelar linhas de transmissão diretamente no domínio de fases [5], [7], [3], [13]. Versões recentes dos programas ATP [14] e EMTDC [15] disponibilizam ao usuário modelos no domínio de fases.
No domínio da freqüência, uma linha de transmissão polifásica é completamente caracterizada pela admitância característica, Yc(ω), e pelo fator de propagação, A(ω). Devido ao acoplamento entre fases, Yc(ω) e A(ω), no domínio de fases, são matrizes cheias [13].
A título de exemplo, considere o sistema de transmissão da Figura 1, composto por uma linha CA (corrente alternada), trifásica e não transposta, em paralelo a uma linha CC (corrente contínua). Calculou-se a admitância característica Yc(ω) e o fator de propagação A(ω) no domínio de fases.
As funções racionais aproximadas para os elementos das matrizes Yc(ω) e A(ω) (ordem 5x5) foram obtidas com o método de ajuste vetorial.
Para tanto, os 25 elementos de cada uma das matrizes Yc(ω) e A(ω) foram agrupados em vetores. A ordem das aproximações racionais foi definida manualmente por uma solução de compromisso entre esta e os erros absolutos. O módulo e a fase de cada elemento das matrizes Yc(ω) e A(ω) e suas respectivas aproximações, são apresentados nas figuras 2 a 5.
Um resumo dos dados relativos ao processo de ajuste são apresentados nas tabelas 1 e 2.
25 m 20 m 5 m
1 3
30 m 4 2 5
10 m 10 m
10 m
5 m
Condutores das Fases: Rdc= 32,06 mΩ/km Diâmetro: 4, 069 cm
Condutores dos Cabos Pára-raios: Rdc= 2,8645 Ω/km
Diâmetro: 1, 104 cm Comprimento das Linhas: 25,0 km Resistividade do Solo: 100 Ω.m
Linha DC Linha AC
Figura 1 - Sistema de transmissão CA-CC em paralelo.
Figura 2 - Síntese dos elementos da matriz Yc(ω) – Módulo:
função original, aproximação e erro absoluto – Método de ajuste vetorial.
Figura 3 - Síntese dos elementos da matriz Yc(ω) – Fase:
função original e aproximação – Método de ajuste vetorial.
Figura 4 - Síntese dos elementos da matriz A(ω) – Módulo:
função original, aproximação e erro absoluto – Método de ajuste vetorial.
Figura 5 - Síntese dos elementos da matriz A(ω) – Fase:
função original e aproximação – Método de ajuste vetorial.
Função original Aproximação racional Erro absoluto
Função original Aproximação racional Erro absoluto
Função original Aproximação racional Função original Aproximação racional
Tabela 1 - Dados relativos ao processo de ajuste da admitância característica – Método de ajuste vetorial.
Número de pólos Iterações Erro RMS de módulo
08 (reais) 03 1,74x10-6
Tabela 2 - Dados relativos ao processo de ajuste do fator de propagação – Método de ajuste vetorial.
Número de pólos Iterações Erro RMS de módulo
16 (reais) 05 1,41x10-3
Observando os dados relativos ao processo de ajuste, a precisão é notória. Deve-se salientar que todos os pólos das funções racionais aproximadas são reais, apesar de nas estimativas iniciais serem todos complexos.
3.2 Transformadores de potência
A resposta em freqüência de um transformador de potência 11kV/230V, foi obtida em laboratório para admitância de seqüência zero, conforme descrito em [3]. Apresenta-se nas figuras 6 e 7, amplitude e fase para a impedância do transformador de potência como função da freqüência. Aplica-se o método de ajuste vetorial na síntese da impedância do transformador. As funções racionais aproximadas são apresentadas nas figuras 6 e 7.
Figura 6 – Amplitude da admitância obtida em laboratório e amplitude da função racional aproximada para o
transformador de potência
Figura 7 – Fase da admitância obtida em laboratório e fase da função racional aproximada para o transformador de potência.
Analisando os resultados do ajuste, verifica-se a precisão da síntese. Tanto a amplitude como a fase da função racional aproximada, reproduzem com precisão o comportamento da impedância medida ao longo de todo o espectro, inclusive nos pontos de ressonância. A função racional aproximada foi obtida com 36 pólos (18 pares complexos conjugados), em 24 iterações, com um erro RMS de 3,82x10-5.
3.3 Equivalentes dinâmicos de rede
A síntese por funções racionais aproximadas é particularmente importante quando se faz necessário obter equivalentes dinâmicos a partir de determinados pontos da rede elétrica, na intenção de representar a resposta em freqüência da rede em simulações no domínio do tempo [6];
[10]. Tal representação é comum em estudos de transitórios envolvendo o Sistema Interligado Nacional (SIN), na obtenção de equivalentes de curto circuito em barras distantes do ponto a ser estudado. Esta equivalência é necessária em sistemas de transmissão de grande porte, pela dificuldade em implementá-los por completo nos programas tipo EMTP (Electromagnetic Transients Program) [14], [15].
Ao se utilizar o método de ajuste vetorial na síntese da resposta em freqüência por funções racionais aproximadas, é possível obter equivalentes com dimensões menores, sem perdas na precisão.
Como exemplo de aplicação, considere o sistema trifásico, classe 500 kV, da Figura 8. Os dados sobre o sistema da Figura 8 são apresentados em [16]. As linhas de transmissão foram modeladas considerando a natureza distribuída e a dependência com a freqüência dos parâmetros.
Z equiv
Linha 1 387,8 km
Linha 2 310,0 km Fonte
500 kV 60 Hz
Linha 3 160,0 km
Carga Trifásica
Carga Trifásica Barra 1
Barra 2 Barra 3
Barra 4
Figura 8 – Sistema de transmissão trifásico, classe 500 kV, composto por: fonte trifásica, três linhas de transmissão,
quatro barras e cargas.
Fazendo uso do programa ATP, faz-se uma varredura do sistema na freqüência de 10 Hz a 100 kHz, tendo como referência a barra 2, através da rotina FREQUENCY-SCAN [14]. A amplitude e a fase da impedância de seqüência zero do sistema, vista da barra 2, são apresentadas nas figuras 9 e 10, juntamente com a amplitude e a fase da função racional obtida com o método de ajuste vetorial.
Figura 9 – Amplitude da impedância de seqüência zero vista da barra 2 e amplitude da função racional aproximada.
Figura 10 – Fase da impedância de seqüência zero vista da barra 2 e fase da função racional aproximada.
Mais uma vez a precisão do ajuste é notória. A função racional aproximada foi obtida com 50 pólos (24 pares complexos e 02 reais), em 20 iterações.
4.0 - ESTABILIDADE NUMÉRICA
No plano s o conhecimento da função de transferência de um sistema, é uma forte evidência para definir sua estabilidade [17]. No plano s, a localização dos pólos no semi-plano esquerdo (componente real negativa), evidencia a estabilidade de um sistema linear, invariante e contínuo no tempo. Entretanto, em [18]
apresentam-se algumas situações nas quais o uso de funções racionais aproximadas para a admitância de transformadores e equivalentes de rede, pode conduzir a problemas de instabilidade numérica em simulações no tempo, mesmo quando todos os seus pólos estão localizados no semi-plano esquerdo do plano s. Em [18] mostra- se que tais funções racionais violam o critério da passividade (que estabelece o sentido do fluxo de potência ativa em um sistema passivo). Neste mesmo trabalho, apresenta-se uma metodologia para assegurar a passividade de funções racionais aproximadas obtidas com o método de ajuste vetorial.
Os critérios de estabilidade e passividade asseguram a estabilidade da solução, mas não a
isentam de possíveis problemas com oscilações numéricas [19].
4.1 Estabilidade Numérica no Método de Ajuste Vetorial
Restrições impostas aos pólos da primeira estimativa asseguram a localização dos mesmos no semi-plano esquerdo do plano complexo (componente real negativa). A partir de então, as novas estimativas para os pólos são os zeros calculados sem qualquer restrição, para a função escalonamento σ(s). A princípio, tais pólos podem estar em qualquer ponto do plano complexo.
Assim, a cada nova estimativa, verifica-se a localização dos pólos no plano. Aquele que eventualmente apresentar componente real positiva, é rebatido para o semi-plano esquerdo pela inversão de sinal de sua componente real.
Esta possibilidade é facultada ao usuário no método de ajuste vetorial [3]. Garantida a estabilidade numérica da função racional aproximada pela localização dos pólos, resta verificar se a localização dos zeros pode conduzir a algum problema numérico de instabilidade ou oscilação.
Aqui, a estabilidade das funções racionais obtidas é analisada com base na localização dos pólos e zeros no plano complexo, denominado de mapa pólo-zero. Para a linha de transmissão aqui apresentada como exemplo, verifica-se que todos os pólos e zeros para Yc(ω) estão localizados no semiplano esquerdo do plano complexo. Para A(ω), no entanto, verifica-se a existência de alguns zeros reais no semiplano direito do plano complexo. Um estudo mais aprofundado sobre os critérios de estabilidade para Yc(ω) e A(ω) é apresentado em [13].
Para o transformador e o sistema de potência tomados como exemplo, verifica-se que todos os pólos e zeros das funções racionais aproximadas se encontram no semi-plano esquerdo do plano complexo.
5.0 - CONCLUSÕES
Diversos métodos de ajuste têm sido aplicados na síntese de funções racionais, dentre os quais listam-se: o método de ajuste assintótico [4], o método de Decomposição em Valores Singulares, SVD (Singular Value Decomposition) [1], [6], [10], [11], o algoritmo de Householder-Golub [5], [11], e o método de Levenberg-Marquardt [8], [11].
Apesar de notórias as potencialidades dos métodos aqui citados, o método de ajuste vetorial foi capaz de fornecer os resultados almejados (funções racionais aproximadas) de forma bastante prática, particularmente para a modelagem de linhas de transmissão no domínio
Função original Aproximação racional Erro absoluto
Função original Aproximação racional
de fases, transformadores de potência e equivalentes dinâmicos de redes.
Dentre as potencialidades do referido método, destaca-se a possibilidade de ajuste de todos os elementos de uma matriz cheia de uma só vez, com pólos compartilhados, bem como a pouca sensibilidade às estimativas iniciais.
Sob o aspecto precisão, o método mostra toda a sua potencialidade. Quanto ao aspecto estabilidade numérica, sugere-se que se implemente uma etapa pós-ajuste em que se possa verificar a possibilidade de problemas numéricos, de acordo com a natureza da grandeza envolvida: imitância (admitância ou impedância) ou função de transferência.
Em tese, a síntese funções racionais através do método de ajuste vetorial pode ser aplicada a qualquer função de transferência, contando que a mesma seja fisicamente realizável.
O método de ajuste vetorial tem se mostrado preciso, robusto e eficiente, tendo sido utilizado com sucesso na modelagem de linhas de transmissão, na modelagem de transformadores de potência e na obtenção de equivalentes de dinâmicos [7]; [13]; [18]; [20].
6.0 - AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao Dr. Bjorn Gustavsen (SINTEF, Noruega), por disponibilizar as rotinas do método de ajuste vetorial. Os dados das medições do transformador de potência utilizado como exemplo, foram disponibilizados juntamente com as rotinas de ajuste.
7.0 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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[8] Fernandes, A. B, Neves, W. L. A., “Frequency- Dependent Low Order Approximation of Transmission Lines Parameters”, Proceedings of the IPST’99 - International Conference on Power Systems Transients, Budapest, Hungary, June 1999, pp. 43-48.
[9] Nguyen, H. V., Dommel, H. W., Martí, J. R., “Direct Phase-Domain Modelling of Frequency-Dependent Overhead Transmission Lines”, IEEE Trans. on Power Delivery, Vol. 12, No.3, July 1997, pp. 1335- 1342.
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[11] Carvalho Filho, D. M., “Síntese de Funções Racionais para Estudos de Transitórios Envolvendo Linhas de Transmissão”, Dissertação de Mestrado, Universidade Federal da Paraíba, Campina Grande, Brasil, 2000.
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[13] Fernandes, A. B., “Linhas de Transmissão: Um Modelo no Domínio de Fases Preciso e Eficiente”, Tese de Doutorado, Universidade Federal da Paraíba, Campina Grande, Brasil, 2001.
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[17] Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., Nawab, S. H., Signals and Systems – Second Edition, New Jersey: Prentice Hall, Inc., 1997.
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