Estabelecimento de ensino: Disciplina: Matemática. 12.ª Ficha Informativa Retas e Planos. Posições relativas de retas no plano e no espaço euclidiano

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(1)Estabelecimento de ensino:__________________________________ Disciplina: Matemática Ano: 9ºAno 12.ª Ficha Informativa – Retas e Planos Lição nº ___. Data: ___/___/______. Ano letivo: 20. /. .. nd es. Nome: ____________________________________________________ Nº_____ Turma: ____ Posições relativas de retas no plano e no espaço euclidiano. @. Recordar conceitos Cada um dos vértices de um paralelepípedo é um ponto do espaço. Cada aresta do paralelepípedo está contida numa reta e cada face num plano.. Fe. rn. Uma reta designa-se por uma letra minúscula do nosso alfabeto (r, s, t, …) ou por dois dos seus pontos (nesse caso usamos letras maiúsculas: AB, por exemplo).. O chão, uma parede, o teto de uma sala ou o tampo de uma mesa dão-nos a ideia de uma superfície plana.. @ rlo. s. Dados três pontos não colineares, existe um e um só plano que passa pelos três pontos. Diz-se que três pontos não colineares definem um plano.. Um plano representa-se, em perspetiva, por um paralelogramo e designa-se por uma letra grega ou por três dos seus pontos desde que sejam não colineares.. Pr. of. .C. Posição relativa de duas retas no espaço. Matemática – 9º Ano – F.I. - 12. 1-6.

(2) nd es @ rn. s. Fe. Teorema 1 Se uma reta interseta uma de duas retas paralelas e é com elas complanar, então, interseta a outra.. @ rlo. Teorema 2 Os ângulos correspondentes determinados por uma secante r em duas retas paralelas t e s são iguais.. .C. Teorema 3 Duas retas paralelas a uma terceira num dado plano são paralelas entre si Sejam r e s duas retas paralelas a uma reta t.. of. Exercício 1 Observa o seguinte paralelepípedo.. Pr. Indica, usando as letras da figura: a. Duas retas complanares com HD; b. Duas retas concorrentes com AB; c. Duas retas contidas no plano ABC; d. Duas retas não complanares; e. Duas retas perpendiculares; f. Duas retas oblíquas.. Matemática – 9º Ano – F.I. - 12. 2-6.

(3) nd es. Posição relativa de retas e planos no espaço • Uma reta é paralela a um plano quando não se intersetam • Uma reta é concorrente ou secante a um plano se tem com este um único ponto em comum. • Uma reta está contida num plano quando tem com este todos os pontos em comum. Posição de uma reta em relação a um plano Paralela ao plano. Fe. rn. @. Concorrente ou secante (oblíqua – t, ou perpendicular – r).. @ rlo. s. Uma reta é perpendicular a um plano num ponto P quando é perpendicular em P a um par de retas distintas desse plano.. .C. As imagens a seguir apresentadas sugerem que uma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a duas retas desse plano com ela concorrentes, mas pode não ser, se for perpendicular a uma reta do plano.. Pr. of. Se um reta r é perpendicular a duas retas s e t num mesmo ponto P, é igualmente perpendicular a todas as retas complanares a s e t que passam por P e qualquer reta perpendicular a r que passa por P está contida no plano determinado pelas retas s e t. Uma reta perpendicular a um plano num ponto P é perpendicular a todas as retas do plano que passam por P.. Matemática – 9º Ano – F.I. - 12. 3-6.

(4) Critério de paralelismo entre reta e plano. nd es. Se existir num plano uma reta s paralela a um reta r não contida nesse plano, então a reta r é paralela ao plano.. Indica, justificando, a posição relativa: a. Das retas AB e GH;. rn. b. Da reta AE e do plano ABC;. Fe. c. Da reta EH e do plano EFG; d. Da reta BF e do plano ADH.. @. Exercício 2 Observa o paralelepípedo retângulo [ABCDEFGH] da figura.. Posições relativas de planos no espaço euclidiano. s. • Dois planos são concorrentes quando se intersetam numa reta.. @ rlo. • Dois planos são paralelos quando não se intersetam. • Dois planos são coincidentes quando têm todos os pontos em comum. Posição relativa de dois planos Paralelos. Pr. of. .C. Concorrentes, em particular, perpendicular caso formem ângulos de 90º.. Propriedade 1 Se uma reta r é secante a um plano α, então também é secante a qualquer plano paralelo a α.. Matemática – 9º Ano – F.I. - 12. 4-6.

(5) Propriedade 2 Se um plano θ é concorrente com um de dois planos paralelos α e β, então também é concorrente com o outro. e. β∩θ=s. As retas de interseção do plano θ com α e com β são paralelas. rn. É condição necessária e suficiente para que dois planos (distintos) sejam paralelos que exista um par de retas concorrentes num dos planos que sejam paralelas ao outro plano.. @. Critério de paralelismo de planos. nd es. α∩θ=r. @ rlo. s. Fe. Propriedade 3 Dois planos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.. .C. Propriedade 4 Por um ponto fora de um plano passa um plano paralelo ao primeiro.. Pr. of. Propriedade 5 Dado um plano β e um ponto exterior ao plano, o plano θ que passa por P e é paralelo a β é único. Matemática – 9º Ano – F.I. - 12. 5-6.

(6) Critério de perpendicularidade entre planos. nd es. É condição necessária e suficiente para que dois planos sejam perpendiculares que um deles contenha uma reta perpendicular ao outro plano.. Retas perpendiculares a planos no espaço euclidiano. Fe. rn. @. Propriedade 1 Se considerarmos um plano α e um ponto A, existe uma reta r perpendicular ao plano α passando por A.. O ponto P de interseção da reta com o plano designa-se por ______ __________________ e também por _______________________ do ponto A no plano α.. s. No caso do ponto A pertencer ao plano, a reta r designa-se por. @ rlo. __________________________ao plano α em A.. .C. Propriedade 2 Dado um plano α e um ponto A, existe uma única reta r perpendicular ao plano α passando por A.. of. Propriedade 3 Se uma reta é perpendicular a um de dois planos paralelos então é perpendicular ao outro.. Pr. Propriedade 4 Dois planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.. Matemática – 9º Ano – F.I. - 12. 6-6.

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