CAPÍTULO IV - POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO E DE DUAS RETAS

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Texto

(1)

CAPÍTULO IV - POSIÇÕES RELATIVAS

DE UMA RETA E UM PLANO

E

DE DUAS RETAS

4.1 Posições relativas de uma reta e um plano

As posições de uma reta r :X= R+ t vrr, t∈IR

e um plano π são:

a) r paralela a π (r // π )

b) r contida em π (r ⊂ π )

c) r e π concorrentes (r ∩ π = {P} )

π

r v

r

R

π nr

r

π ∉ =

⋅ ⇔

π v nπ 0eR //

r rr r

R

π r π

nr

r v

r

π ∈ =

⋅ ⇔ π

⊂ v nπ 0eR r rr r

P

r

r v

r

π

π nr

0 n v } P {

(2)

Caso particular:

Exemplos:

1. Determine a interseção da reta r com o plano π, nos seguintes casos:

0 3 z x :

IR t ; (1,1,1) t

(1,6,2) X

: r ) a

= − − π

∈ +

=

IR h t, (1,2,1); t

(6,2,1) h

X :

) 1 z ( 2 2 y 1 x : r ) b

∈ +

= π

− =

− = −

0 1 2z y x :

IR t ; t

z

t 3 3 y

t x : r ) c

= − + + π

∈ 

  

− =

+ − = =

Solução:

a) vrr ⋅nrπ = (1,1,1)⋅(1,0,−1)= 0,logo, r∩π = r ou r∩π= φ .

Como R(1,6,2) é um ponto de r, verificamos que R∉π. Logo r ∩π=φ.

b) Sendo e n (6,2,1) (1,2,1) (0, 5,10), 2

1 , 1 , 1

vr  = × = −

  

 

= rπ

r

temos que 0

n vr ⋅rπ = r

. Logo, r∩π=rou r∩π=φ. Como R(1,2,1) é um ponto de r, verificamos que R∈π. Logo r ⊂π e consequentemente r∩π=r.

r

r v

r

π nv

(3)

b) De vrr ⋅nrπ =(1,3,−1)⋅(1,1,2) = 2≠ 0

concluímos que r e π são concorrentes. Seja r∩π={P}={(a,b,c)}. Temos então:

t escalar algum

para , t c

t 3 3 b

t a (2) 0.

1 c 2 b a ) 1 (

   

− =

+ − = = =

− +

+ .

De (1) e (2) obtemos t = 2 e P(2,3,−2).

2. Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(1,0,−2) e é paralela aos planos α: 2x−y+2=0 e β: x+z−3=0.

Solução:

Como r //α e r // β, temos vrr ⊥nrα e vrr ⊥nrβ

. Sendo nrα e nrβ

LI, temos que vrr // nrα ×nrβ

. Assim podemos considerar

) 1 , 2 , 1 ( ) 0 , 1 , 2 ( ) 01 , 1 ( n n

vr = rα ×rβ = × − = − r

.

Daí uma equação vetorial da reta r é:

IR t 1); (1,2, t 2) (1,0, X

:

r = − + − ∈

4.2 Posições relativas de duas retas

Se duas retas estão contidas no mesmo plano dizemos que são

coplanares. Caso contrário são denominadas reversas.

(4)

Resumindo, duas retas r1 e r2 podem ser:

Coplanares

w Concorrentes : r1∩r2 =

{ }

P

w Paralelas:

w Distintas : r1 ∩r2 = φ w Coincidentes : r1≡r2

Reversas

Estabeleceremos a seguir condições para a identificação da posição relativa de duas retas.

Considere as retas r:X= R+ h vrr e s :X =S+tvrs ; h, t ∈IR . Se r e s são coplanares então os vetores RS ,vrr e vrs

são coplanares e portanto [RS,vr,vs]=0.

r r

Reciprocamente, se [RS,vr,vs]=0 →

r r

podemos ter:

i) vrr // vrs

, nesse caso r e s são paralelas, logo coplanares.

r1 r2

π P

r1

r2

π π

2

1 r

r ≡

r2

r1

(5)

ii)vrr e vrs

LI, nesse caso RS,vrr evrs

são LD. Como vrr e vrs

são linearmente independentes, então podemos escrever

RS como combinação linear de vrr e vrs

. Logo, existem escalares ho e to tais que

s o r

ov t v

h R

S r r

+ +

= . Assim, o plano :X R h vrr t vrs;

+ +

=

β h,t∈IR,

contém as retas r e s, que portanto são coplanares. Observemos ainda que, neste caso as retas são concorrentes.

Um caso particular de retas concorrentes são as retas perpendiculares. Observemos que se duas retas r e s são perpendiculares então vrr ⋅vrs =0

.

Exemplos

1. Estude a posição relativa dos seguintes pares de retas:

a) e s:X (1,0,2) h(1, 3,7); h IR 0 2 z y 3 x 0 2 z y x 2 :

r = + − ∈

   = + − + = + − −

b) z 8

3 y 2 x 1 : s e IR h ; 4h 4 z h 1 y h x :

r ∈ − = = −

    + = − = = c) 9 12 z 2 y 5 3 x : s e IR t ; ) 18 , 2 , 10 ( t ) 3 , 1 , 2 ( X :

r = − + − − − ∈ − = − = −

d) ; t IR

t 3 z 2t 1 y 4 x : s e IR h ); 1 , 2 , 0 ( h ) 1 , 3 , 4 ( X : r ∈     − = − − = = ∈ + − = Solução:

a) Como vrr //(2,−1,−1)×(1,3,−1) =(4,1,7) e vrs // (1,−3,7)

temos que as retas r e s são concorrentes ou reversas. Vamos então considerar R(0,0,2) e S(1,0,2) pontos de r e s, respectivamente. Assim,

(6)

0 28 7

3 1

7 1 4

0 0 1 ] v , v , RS

[ r s = ≠

− = →

r r

.

Portanto, as retas r e s são reversas.

c) Como vrr // (1,−1,4) e vrs // (−2,3,1)

temos que as retas r e s são concorrentes ou reversas. Vamos então considerar R(0,1,4) e S(1,0,8) pontos de r e s, respectivamente.

Assim,

0 1 3 2

4 1 1

4 1 1 ] v , v , RS

[ r s =

− − − =

r r

. Logo as retas r e s são concorrentes.

c) Como vrr //( 10, 2, 18) e vrs // (5,1,9)

− −

− temos que as retas r e s são paralelas (distintas ou coincidentes). Além disso, o ponto R(−2,1,3) pertence às retas r e s. Assim, podemos concluir que as retas r e s são coincidentes.

d) Como vrr //(0,2,1) e vrs // (0,−2,−1)

temos que as retas r e s são paralelas (distintas ou coincidentes). Observemos que o ponto R(4,−3,1) pertence à reta r, no entanto não pertence à reta s, pois o sistema

    

− =

− − = −

=

o o

t 3 1

t 2 1 3

4 4

não tem solução.

Assim, podemos concluir que as retas r e s são paralelas distintas.

2. Dê uma equação da reta r que passa pelo ponto P(−1,1,1) e é paralela à

reta s:   

= + − +

= + + −

0 6 z y 5 x

0 3 z 4 y x 2

(7)

Solução:

Sendo r e s retas paralelas podemos considerar vrr vrs

= . Como )

11 , 6 , 19 ( ) 1 (1,5, 1,4)

(2, //

vs − × − = −

r

as equações simétricas de s são:

11 1 z 6

1 y 19

1

x −

= − = −

+ .

3. Mostre que as retas ; t IR

3 z

t 2 y

t 4 x : s e 1 z y 2 x :

r ∈

   

= − − =

+ = −

= − = −

são concorrentes e determine o ponto de interseção.

Solução:

Sejam vrr = (1,−1,1),vrs =(1,−1,0) e R(2,0,1) e S(4,−2,3)

pontos de r e s,

respectivamente. Então 0

2 2 2

0 1 1

1 1 1 ] RS , v , v

[ r s =

− − − = →

r r

e assim

concluímos

que r e s são coplanares. Como não são paralelas pois vrr e vrs

são vetores LI, temos que as retas são concorrentes. Seja

{ } {

Po = (xo,yo,zo)

}

= r∩s.

Então, xo − 2 = −yo =zo −1 e     

= − − =

+ =

3 z

t 2 y

t 4 x

o

o o

o o

.

Daí, to =0 e Po = (4,−2,3).

(8)

Solução:

Seja

{ }

Po = r∩s. Então existe um real ho, tal que )

h 5 , h 5 3 , h 2 1 (

Po − + o + o + o . Consideremos vr PPo

→ =

r

. Como vrr

é ortogonal a ur

, temos que (−2+ 2ho,1+5ho,2+ ho)⋅(0,1,−4) =0. Logo, .

7

ho = Assim,

) 12 , 18 , 13 (

Po = e r:X=(1,2,3)+t(2,5,1); t∈IR.

5. Determine uma condição necessária e suficiente para que uma reta r seja paralela ao eixo OX.

Solução:

O eixo OX tem vetor direção i =(1,0,0).

r

Então, uma reta r é paralela ao eixo OX se, e somente se, vrr

é paralelo ao vetor i =(1,0,0).

r

6. Determine uma equação da reta que passa pelo ponto P=(1,0,2), é concorrente com a reta s:X=(1,0,1)+t (2,1,1);t∈IR e é paralela ao plano π:2x −3y+4z−6=0.

Solução:

Seja

{ }

Po = r∩s então, existe t∈IR tal que )

1 t , t , t 2 ( PP e ) t 1 , t , t 2 1 (

Po = + + o = −

.

Como r // π temos (2t,t,t−1)⋅(2,−3,4)=0. Assim, t =

5 4 .

Considerando vrr =(8,4,−1)

, uma equação vetorial de r é:

IR t 1); (8,4, t ) 2 , 0 , 1 ( X :

r = + − ∈ .

s P0 P

π

Imagem

Referências