CAPÍTULO IV - POSIÇÕES RELATIVAS
DE UMA RETA E UM PLANO
E
DE DUAS RETAS
4.1 Posições relativas de uma reta e um plano
As posições de uma reta r :X= R+ t vrr, t∈IRe um plano π são:
a) r paralela a π (r // π )
b) r contida em π (r ⊂ π )
c) r e π concorrentes (r ∩ π = {P} )
π
r v
r
R
π nr
r
π ∉ =
⋅ ⇔
π v nπ 0eR //
r rr r
R
π r π
nr
r v
r
π ∈ =
⋅ ⇔ π
⊂ v nπ 0eR r rr r
P
r
r v
r
π
π nr
0 n v } P {
Caso particular:
Exemplos:
1. Determine a interseção da reta r com o plano π, nos seguintes casos:
0 3 z x :
IR t ; (1,1,1) t
(1,6,2) X
: r ) a
= − − π
∈ +
=
IR h t, (1,2,1); t
(6,2,1) h
X :
) 1 z ( 2 2 y 1 x : r ) b
∈ +
= π
− =
− = −
0 1 2z y x :
IR t ; t
z
t 3 3 y
t x : r ) c
= − + + π
∈
− =
+ − = =
Solução:
a) vrr ⋅nrπ = (1,1,1)⋅(1,0,−1)= 0,logo, r∩π = r ou r∩π= φ .
Como R(1,6,2) é um ponto de r, verificamos que R∉π. Logo r ∩π=φ.
b) Sendo e n (6,2,1) (1,2,1) (0, 5,10), 2
1 , 1 , 1
vr = × = −
= rπ
r
temos que 0
n vr ⋅rπ = r
. Logo, r∩π=rou r∩π=φ. Como R(1,2,1) é um ponto de r, verificamos que R∈π. Logo r ⊂π e consequentemente r∩π=r.
r
r v
r
π nv
b) De vrr ⋅nrπ =(1,3,−1)⋅(1,1,2) = 2≠ 0
concluímos que r e π são concorrentes. Seja r∩π={P}={(a,b,c)}. Temos então:
t escalar algum
para , t c
t 3 3 b
t a (2) 0.
1 c 2 b a ) 1 (
− =
+ − = = =
− +
+ .
De (1) e (2) obtemos t = 2 e P(2,3,−2).
2. Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(1,0,−2) e é paralela aos planos α: 2x−y+2=0 e β: x+z−3=0.
Solução:
Como r //α e r // β, temos vrr ⊥nrα e vrr ⊥nrβ
. Sendo nrα e nrβ
LI, temos que vrr // nrα ×nrβ
. Assim podemos considerar
) 1 , 2 , 1 ( ) 0 , 1 , 2 ( ) 01 , 1 ( n n
vr = rα ×rβ = × − = − r
.
Daí uma equação vetorial da reta r é:
IR t 1); (1,2, t 2) (1,0, X
:
r = − + − ∈
4.2 Posições relativas de duas retas
Se duas retas estão contidas no mesmo plano dizemos que são
coplanares. Caso contrário são denominadas reversas.
Resumindo, duas retas r1 e r2 podem ser:
Coplanares
w Concorrentes : r1∩r2 =
{ }
Pw Paralelas:
w Distintas : r1 ∩r2 = φ w Coincidentes : r1≡r2
Reversas
Estabeleceremos a seguir condições para a identificação da posição relativa de duas retas.
Considere as retas r:X= R+ h vrr e s :X =S+tvrs ; h, t ∈IR . Se r e s são coplanares então os vetores RS ,vrr e vrs
→
são coplanares e portanto [RS,vr,vs]=0.
→
r r
Reciprocamente, se [RS,vr,vs]=0 →
r r
podemos ter:
i) vrr // vrs
, nesse caso r e s são paralelas, logo coplanares.
r1 r2
π P
r1
r2
π π
2
1 r
r ≡
r2
r1
ii)vrr e vrs
LI, nesse caso RS,vrr evrs
→
são LD. Como vrr e vrs
são linearmente independentes, então podemos escrever
→
RS como combinação linear de vrr e vrs
. Logo, existem escalares ho e to tais que
s o r
ov t v
h R
S r r
+ +
= . Assim, o plano :X R h vrr t vrs;
+ +
=
β h,t∈IR,
contém as retas r e s, que portanto são coplanares. Observemos ainda que, neste caso as retas são concorrentes.
Um caso particular de retas concorrentes são as retas perpendiculares. Observemos que se duas retas r e s são perpendiculares então vrr ⋅vrs =0
.
Exemplos
1. Estude a posição relativa dos seguintes pares de retas:
a) e s:X (1,0,2) h(1, 3,7); h IR 0 2 z y 3 x 0 2 z y x 2 :
r = + − ∈
= + − + = + − −
b) z 8
3 y 2 x 1 : s e IR h ; 4h 4 z h 1 y h x :
r ∈ − = = −
+ = − = = c) 9 12 z 2 y 5 3 x : s e IR t ; ) 18 , 2 , 10 ( t ) 3 , 1 , 2 ( X :
r = − + − − − ∈ − = − = −
d) ; t IR
t 3 z 2t 1 y 4 x : s e IR h ); 1 , 2 , 0 ( h ) 1 , 3 , 4 ( X : r ∈ − = − − = = ∈ + − = Solução:
a) Como vrr //(2,−1,−1)×(1,3,−1) =(4,1,7) e vrs // (1,−3,7)
temos que as retas r e s são concorrentes ou reversas. Vamos então considerar R(0,0,2) e S(1,0,2) pontos de r e s, respectivamente. Assim,
0 28 7
3 1
7 1 4
0 0 1 ] v , v , RS
[ r s = ≠
− = →
r r
.
Portanto, as retas r e s são reversas.
c) Como vrr // (1,−1,4) e vrs // (−2,3,1)
temos que as retas r e s são concorrentes ou reversas. Vamos então considerar R(0,1,4) e S(1,0,8) pontos de r e s, respectivamente.
Assim,
0 1 3 2
4 1 1
4 1 1 ] v , v , RS
[ r s =
− − − =
→
r r
. Logo as retas r e s são concorrentes.
c) Como vrr //( 10, 2, 18) e vrs // (5,1,9)
− −
− temos que as retas r e s são paralelas (distintas ou coincidentes). Além disso, o ponto R(−2,1,3) pertence às retas r e s. Assim, podemos concluir que as retas r e s são coincidentes.
d) Como vrr //(0,2,1) e vrs // (0,−2,−1)
temos que as retas r e s são paralelas (distintas ou coincidentes). Observemos que o ponto R(4,−3,1) pertence à reta r, no entanto não pertence à reta s, pois o sistema
− =
− − = −
=
o o
t 3 1
t 2 1 3
4 4
não tem solução.
Assim, podemos concluir que as retas r e s são paralelas distintas.
2. Dê uma equação da reta r que passa pelo ponto P(−1,1,1) e é paralela à
reta s:
= + − +
= + + −
0 6 z y 5 x
0 3 z 4 y x 2
Solução:
Sendo r e s retas paralelas podemos considerar vrr vrs
= . Como )
11 , 6 , 19 ( ) 1 (1,5, 1,4)
(2, //
vs − × − = −
r
as equações simétricas de s são:
11 1 z 6
1 y 19
1
x −
= − = −
+ .
3. Mostre que as retas ; t IR
3 z
t 2 y
t 4 x : s e 1 z y 2 x :
r ∈
= − − =
+ = −
= − = −
são concorrentes e determine o ponto de interseção.
Solução:
Sejam vrr = (1,−1,1),vrs =(1,−1,0) e R(2,0,1) e S(4,−2,3)
pontos de r e s,
respectivamente. Então 0
2 2 2
0 1 1
1 1 1 ] RS , v , v
[ r s =
− − − = →
r r
e assim
concluímos
que r e s são coplanares. Como não são paralelas pois vrr e vrs
são vetores LI, temos que as retas são concorrentes. Seja
{ } {
Po = (xo,yo,zo)}
= r∩s.Então, xo − 2 = −yo =zo −1 e
= − − =
+ =
3 z
t 2 y
t 4 x
o
o o
o o
.
Daí, to =0 e Po = (4,−2,3).
Solução:
Seja
{ }
Po = r∩s. Então existe um real ho, tal que )h 5 , h 5 3 , h 2 1 (
Po − + o + o + o . Consideremos vr PPo
→ =
r
. Como vrr
é ortogonal a ur
, temos que (−2+ 2ho,1+5ho,2+ ho)⋅(0,1,−4) =0. Logo, .
7
ho = Assim,
) 12 , 18 , 13 (
Po = e r:X=(1,2,3)+t(2,5,1); t∈IR.
5. Determine uma condição necessária e suficiente para que uma reta r seja paralela ao eixo OX.
Solução:
O eixo OX tem vetor direção i =(1,0,0).
r
Então, uma reta r é paralela ao eixo OX se, e somente se, vrr
é paralelo ao vetor i =(1,0,0).
r
6. Determine uma equação da reta que passa pelo ponto P=(1,0,2), é concorrente com a reta s:X=(1,0,1)+t (2,1,1);t∈IR e é paralela ao plano π:2x −3y+4z−6=0.
Solução:
Seja
{ }
Po = r∩s então, existe t∈IR tal que )1 t , t , t 2 ( PP e ) t 1 , t , t 2 1 (
Po = + + o = −
→
.
Como r // π temos (2t,t,t−1)⋅(2,−3,4)=0. Assim, t =
5 4 .
Considerando vrr =(8,4,−1)
, uma equação vetorial de r é:
IR t 1); (8,4, t ) 2 , 0 , 1 ( X :
r = + − ∈ .
s P0 P
π