• Nenhum resultado encontrado

CAPÍTULO IV - POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO E DE DUAS RETAS

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2019

Share "CAPÍTULO IV - POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO E DE DUAS RETAS"

Copied!
8
0
0

Texto

(1)

CAPÍTULO IV - POSIÇÕES RELATIVAS

DE UMA RETA E UM PLANO

E

DE DUAS RETAS

4.1 Posições relativas de uma reta e um plano

As posições de uma reta r :X= R+ t vrr, t∈IR

e um plano π são:

a) r paralela a π (r // π )

b) r contida em π (r ⊂ π )

c) r e π concorrentes (r ∩ π = {P} )

π

r v

r

R

π nr

r

π ∉ =

⋅ ⇔

π v nπ 0eR //

r rr r

R

π r π

nr

r v

r

π ∈ =

⋅ ⇔ π

⊂ v nπ 0eR r rr r

P

r

r v

r

π

π nr

0 n v } P {

(2)

Caso particular:

Exemplos:

1. Determine a interseção da reta r com o plano π, nos seguintes casos:

0 3 z x :

IR t ; (1,1,1) t

(1,6,2) X

: r ) a

= − − π

∈ +

=

IR h t, (1,2,1); t

(6,2,1) h

X :

) 1 z ( 2 2 y 1 x : r ) b

∈ +

= π

− =

− = −

0 1 2z y x :

IR t ; t

z

t 3 3 y

t x : r ) c

= − + + π

∈ 

  

− =

+ − = =

Solução:

a) vrr ⋅nrπ = (1,1,1)⋅(1,0,−1)= 0,logo, r∩π = r ou r∩π= φ .

Como R(1,6,2) é um ponto de r, verificamos que R∉π. Logo r ∩π=φ.

b) Sendo e n (6,2,1) (1,2,1) (0, 5,10), 2

1 , 1 , 1

vr  = × = −

  

 

= rπ

r

temos que 0

n vr ⋅rπ = r

. Logo, r∩π=rou r∩π=φ. Como R(1,2,1) é um ponto de r, verificamos que R∈π. Logo r ⊂π e consequentemente r∩π=r.

r

r v

r

π nv

(3)

b) De vrr ⋅nrπ =(1,3,−1)⋅(1,1,2) = 2≠ 0

concluímos que r e π são concorrentes. Seja r∩π={P}={(a,b,c)}. Temos então:

t escalar algum

para , t c

t 3 3 b

t a (2) 0.

1 c 2 b a ) 1 (

   

− =

+ − = = =

− +

+ .

De (1) e (2) obtemos t = 2 e P(2,3,−2).

2. Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(1,0,−2) e é paralela aos planos α: 2x−y+2=0 e β: x+z−3=0.

Solução:

Como r //α e r // β, temos vrr ⊥nrα e vrr ⊥nrβ

. Sendo nrα e nrβ

LI, temos que vrr // nrα ×nrβ

. Assim podemos considerar

) 1 , 2 , 1 ( ) 0 , 1 , 2 ( ) 01 , 1 ( n n

vr = rα ×rβ = × − = − r

.

Daí uma equação vetorial da reta r é:

IR t 1); (1,2, t 2) (1,0, X

:

r = − + − ∈

4.2 Posições relativas de duas retas

Se duas retas estão contidas no mesmo plano dizemos que são

coplanares. Caso contrário são denominadas reversas.

(4)

Resumindo, duas retas r1 e r2 podem ser:

Coplanares

w Concorrentes : r1∩r2 =

{ }

P

w Paralelas:

w Distintas : r1 ∩r2 = φ w Coincidentes : r1≡r2

Reversas

Estabeleceremos a seguir condições para a identificação da posição relativa de duas retas.

Considere as retas r:X= R+ h vrr e s :X =S+tvrs ; h, t ∈IR . Se r e s são coplanares então os vetores RS ,vrr e vrs

são coplanares e portanto [RS,vr,vs]=0.

r r

Reciprocamente, se [RS,vr,vs]=0 →

r r

podemos ter:

i) vrr // vrs

, nesse caso r e s são paralelas, logo coplanares.

r1 r2

π P

r1

r2

π π

2

1 r

r ≡

r2

r1

(5)

ii)vrr e vrs

LI, nesse caso RS,vrr evrs

são LD. Como vrr e vrs

são linearmente independentes, então podemos escrever

RS como combinação linear de vrr e vrs

. Logo, existem escalares ho e to tais que

s o r

ov t v

h R

S r r

+ +

= . Assim, o plano :X R h vrr t vrs;

+ +

=

β h,t∈IR,

contém as retas r e s, que portanto são coplanares. Observemos ainda que, neste caso as retas são concorrentes.

Um caso particular de retas concorrentes são as retas perpendiculares. Observemos que se duas retas r e s são perpendiculares então vrr ⋅vrs =0

.

Exemplos

1. Estude a posição relativa dos seguintes pares de retas:

a) e s:X (1,0,2) h(1, 3,7); h IR 0 2 z y 3 x 0 2 z y x 2 :

r = + − ∈

   = + − + = + − −

b) z 8

3 y 2 x 1 : s e IR h ; 4h 4 z h 1 y h x :

r ∈ − = = −

    + = − = = c) 9 12 z 2 y 5 3 x : s e IR t ; ) 18 , 2 , 10 ( t ) 3 , 1 , 2 ( X :

r = − + − − − ∈ − = − = −

d) ; t IR

t 3 z 2t 1 y 4 x : s e IR h ); 1 , 2 , 0 ( h ) 1 , 3 , 4 ( X : r ∈     − = − − = = ∈ + − = Solução:

a) Como vrr //(2,−1,−1)×(1,3,−1) =(4,1,7) e vrs // (1,−3,7)

temos que as retas r e s são concorrentes ou reversas. Vamos então considerar R(0,0,2) e S(1,0,2) pontos de r e s, respectivamente. Assim,

(6)

0 28 7

3 1

7 1 4

0 0 1 ] v , v , RS

[ r s = ≠

− = →

r r

.

Portanto, as retas r e s são reversas.

c) Como vrr // (1,−1,4) e vrs // (−2,3,1)

temos que as retas r e s são concorrentes ou reversas. Vamos então considerar R(0,1,4) e S(1,0,8) pontos de r e s, respectivamente.

Assim,

0 1 3 2

4 1 1

4 1 1 ] v , v , RS

[ r s =

− − − =

r r

. Logo as retas r e s são concorrentes.

c) Como vrr //( 10, 2, 18) e vrs // (5,1,9)

− −

− temos que as retas r e s são paralelas (distintas ou coincidentes). Além disso, o ponto R(−2,1,3) pertence às retas r e s. Assim, podemos concluir que as retas r e s são coincidentes.

d) Como vrr //(0,2,1) e vrs // (0,−2,−1)

temos que as retas r e s são paralelas (distintas ou coincidentes). Observemos que o ponto R(4,−3,1) pertence à reta r, no entanto não pertence à reta s, pois o sistema

    

− =

− − = −

=

o o

t 3 1

t 2 1 3

4 4

não tem solução.

Assim, podemos concluir que as retas r e s são paralelas distintas.

2. Dê uma equação da reta r que passa pelo ponto P(−1,1,1) e é paralela à

reta s:   

= + − +

= + + −

0 6 z y 5 x

0 3 z 4 y x 2

(7)

Solução:

Sendo r e s retas paralelas podemos considerar vrr vrs

= . Como )

11 , 6 , 19 ( ) 1 (1,5, 1,4)

(2, //

vs − × − = −

r

as equações simétricas de s são:

11 1 z 6

1 y 19

1

x −

= − = −

+ .

3. Mostre que as retas ; t IR

3 z

t 2 y

t 4 x : s e 1 z y 2 x :

r ∈

   

= − − =

+ = −

= − = −

são concorrentes e determine o ponto de interseção.

Solução:

Sejam vrr = (1,−1,1),vrs =(1,−1,0) e R(2,0,1) e S(4,−2,3)

pontos de r e s,

respectivamente. Então 0

2 2 2

0 1 1

1 1 1 ] RS , v , v

[ r s =

− − − = →

r r

e assim

concluímos

que r e s são coplanares. Como não são paralelas pois vrr e vrs

são vetores LI, temos que as retas são concorrentes. Seja

{ } {

Po = (xo,yo,zo)

}

= r∩s.

Então, xo − 2 = −yo =zo −1 e     

= − − =

+ =

3 z

t 2 y

t 4 x

o

o o

o o

.

Daí, to =0 e Po = (4,−2,3).

(8)

Solução:

Seja

{ }

Po = r∩s. Então existe um real ho, tal que )

h 5 , h 5 3 , h 2 1 (

Po − + o + o + o . Consideremos vr PPo

→ =

r

. Como vrr

é ortogonal a ur

, temos que (−2+ 2ho,1+5ho,2+ ho)⋅(0,1,−4) =0. Logo, .

7

ho = Assim,

) 12 , 18 , 13 (

Po = e r:X=(1,2,3)+t(2,5,1); t∈IR.

5. Determine uma condição necessária e suficiente para que uma reta r seja paralela ao eixo OX.

Solução:

O eixo OX tem vetor direção i =(1,0,0).

r

Então, uma reta r é paralela ao eixo OX se, e somente se, vrr

é paralelo ao vetor i =(1,0,0).

r

6. Determine uma equação da reta que passa pelo ponto P=(1,0,2), é concorrente com a reta s:X=(1,0,1)+t (2,1,1);t∈IR e é paralela ao plano π:2x −3y+4z−6=0.

Solução:

Seja

{ }

Po = r∩s então, existe t∈IR tal que )

1 t , t , t 2 ( PP e ) t 1 , t , t 2 1 (

Po = + + o = −

.

Como r // π temos (2t,t,t−1)⋅(2,−3,4)=0. Assim, t =

5 4 .

Considerando vrr =(8,4,−1)

, uma equação vetorial de r é:

IR t 1); (8,4, t ) 2 , 0 , 1 ( X :

r = + − ∈ .

s P0 P

π

Referências

Documentos relacionados

couber, todos os aspectos relacionados à acessibilidade comunicacional, devendo os cursos articularem com os outros setores institucionais para o seu devido cumprimento.

SIFROL 0,26 mg comprimidos de libertação prolongada SIFROL 0,52 mg comprimidos de libertação prolongada SIFROL 1,05 mg comprimidos de libertação prolongada SIFROL 1,57 mg comprimidos

Secretaria Municipal de Governo Luciene Klein Tagarro gabinete@domingosmartins.es.gov.br Secretaria Municipal de Meio Ambiente Daniel Wruck Bringer​

Nesta seção, seguem-se as explicações bem como as justificativas acerca das decisões assumidas na confecção desta dissertação (escolha dos modelos, considerações sobre os

de pesquisa, as principais técnicas de pesquisa que podem ser utilizadas são análise de conteúdo temática (ou narrativa) de fontes primárias (entrevistas e notas de

Priscila Kakizaki: Approval of the final version of the manuscript; intellectual participation in propaedeutic and/or therapeutic conduct of studied cases; critical review of

A administração da Companhia é responsável pela elaboração e adequada apresentação das demonstrações financeiras individuais de acordo com as práticas contábeis adotadas

Durante as semanas que antecederam o Dia do Pai, os mais pequenos trabalharam afincadamente para o Grande Dia… na construção de um presente/lembrança e diploma para