2. Encontre o vetor coordenada de v em relac¸˜ao `a base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}

Introduc¸˜ao `a Matem´atica Aplicada - Algebra Linear Lista 3

1. Achar erros na lista!

2. Encontre o vetor coordenada de v em relac¸˜ao `a base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}

do R

, onde a) v = (4, −3, 2), b) v = (a, b, c),

3. Seja W o espac¸o vetorial das matrizes sim´etricas 2 × 2 sobre R . Encontre o vetor coordenada da matriz

A =

4 −11

−11 −7

em relac¸˜ao `a base

1 −2

−2 1

, 2 1

1 3

,

4 −1

−1 −5

.

4. Sejam {e

, e

, e

} e { f

, f

, f

} bases do espac¸o vetorial V , de dimens˜ao 3.

Suponha

e

= a

f

+ a

f

+ a

f

e

= b

f

+ b

f

+ b

f

e

= c

f

+ c

f

+ c

f

Seja P a matriz cujas linhas s˜ao vetores coordenadas de e

, e

e e

, respec- tivamente, em relac¸˜ao `a base { f

}

P =





a

a

a

b

b

b

c

c

c



 .

Mostre que, para qualquer vetor v ∈ V , [v]

P = v

. Isto ´e, multiplicando o vetor coordenada de v em relac¸˜ao `a base {e

} pela matrix P, obtemos o vetor coordenada de v em relac¸˜ao `a base { f

}.

1

5. Encontre o posto da matriz

A =









1 2 −3

2 1 0

−2 −1 3

−1 4 −2







 .

6. Seja A qualquer matriz quadrada n × n. Mostre que A ´e invers´ıvel se, e somente se, posto(A) = n.

7. Quais das seguintes func¸˜oes T de R

em R

s˜ao transformac¸˜oes lineares?

a) T (x, y) = (1 + x, y), b) T (x, y) = (y, x), c) T (x, y) = (0,y), d) T (x, y) = (sen(x), y), e) T (x, y) = (x − y, 0).

8. Verifique se T : R

→ R

, definida por T (x, y, z) = (|x|, 0) ´e uma transformac¸˜ao linear.

9. Seja V o espac¸o vetorial dos polinˆomios na vari´avel x sobre o corpo real R , as transformac¸˜oes derivada e integral s˜ao lineares?

10. Seja T : V → W . Mostre que se T ´e uma transformac¸˜ao linear, ent˜ao T (0) = 0.

11. Ache a transformac¸˜ao T do plano no plano que ´e uma reflex˜ao em torno da reta x = y. Mostre geometricamente. Escreva-a na forma matricial.

12. No plano, uma rotac¸˜ao anti-hor´aria de 45 √

´e seguida por uma dilatac¸˜ao de 2. Ache a transformac¸˜ao A que representa esta transformac¸˜ao do plano.

13. Mostre que se T : V → W ´e uma transformac¸˜ao linear, Im(T ) ´e um subespac¸o de W e Nuc(T ) ´e um subespac¸o de V.

14. Encontre uma transformac¸˜ao linear T : R

→ R

, cuja imagem ´e gerada por (1, 2, 3), (4, 5, 6).

15. Seja T : V → W linear e injetora e, v

, ..., v

vetores linearmente indepen- dentes em V . Mostre que T (v

), ...,T (v

) ´e linearmente independente.

2

16. Sejam V,U e W espac¸os vetorias sobre F. Sejam T, T

transformac¸˜oes line- ares de V em U e sejam G, G

transformac¸˜oes lineares de U em W , e seja k ∈ F . Demonstre que

a) G ◦ (F + F

) = G ◦ F + G ◦ F

, b) (G + G

) ◦ F = G ◦ F + G

◦ F, c) k(G ◦ F) = (kG) ◦ F = G ◦ (kF ).

17. Sejam S e T os operadores lineares no R

definidos por S(x, y) = (x + y, 0) e T (x, y) = (−y, x). Encontre uma forma de definir os operadores S + T, 5S − 3T, ST, T S, S

, T

.

18. Seja T o operador linear sobre R

definido por T (x, y, z) = (3x, x − y, 2x + y + z). T ´e invers´ıvel? Em caso afirmativo, determinar uma regra para T

como a que define T .

19. Mostre que se os operadores lineares U e T s˜ao invers´ıveis, ent˜ao U T ´e invers´ıvel e (U T

) = T

U

20. Seja E um operador linear em V para o qual E

= E (operador projec¸˜ao).

Seja U a imagem de E e W o n´ucleo. Mostre que

a) se u ∈ U , ent˜ao E(u) = u, isto ´e E ´e a transformac¸˜ao identidade em U ; b) se E 6= I, ent˜ao E ´e singular, isto ´e, E(v) = 0, para algum v 6= 0;

c) V = U ⊕ W .

21. Sejam S e T os operadores lineares no R

definidos por S(x, y) = (0, x) e T (x, y) = (x, 0). Mostre que T S = 0, mas ST 6= 0. Mostre tamb´em que T

= T .

22. Encontre uma base e a dimens˜ao de sua imagem e de seu n´ucleo para a transformac¸˜ao linear T : R

− > R

|T (x, y, z) = (x + y, y + z).

23. Seja o operador linear T (x, y) = (2x − 3y, x + y).

a) Encontre a matriz do operador linear T no R

em relac¸˜ao `a base usual e.

b) Encontre a matriz do operador linear T em relac¸˜ao `a base b = (1, 2), (2, 3).

c) Verifique que [T (v)]

= A[v]

;

d) Encontre as matrizes de transic¸˜ao P e Q de e para b e de b para e, respec- tivamente. Verifique que Q = P

;

3

e) Mostre que [v]

= P[v]

para qualquer v ∈ R

;

f) Mostre que [T ]

= P

[T ]

P para o operador linear T .

24. Seja T o operador linear sobre R

, cuja matriz em relac¸˜ao `a base ordenada usual ´e

A =





1 2 1

0 1 1

−1 3 4



 .

Encontre uma base da imagem e uma base do n´ucleo de T .

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