Revis˜ao Matem´atica

Revis ˜ao Matem ´atica

Ney Lemke

Departamento de F´ısica e Biof´ısica

2010

Outline

1

Vetores

Escalares e Vetores Operac¸ ˜oes Fundamentais

2

Sistemas de Coordenadas

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cilindricas

Coordenadas Esf ´ericas

Outline

1

Vetores

Escalares e Vetores Operac¸ ˜oes Fundamentais

2

Sistemas de Coordenadas

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cilindricas

Coordenadas Esf ´ericas

Escalares e Vetores

Escalares

Escalares

S ˜ao quantidades que n ˜ao dependem do sistema de coordenadas usado para caracterizar um sistema f´ısico.

Example

Temperatura T

Massa m

Escalares e Vetores

Vetores

Vetores

S ˜ao quantidades que dependem do sistema de coordenadas usado para caracterizar um sistema f´ısico. Intuitivamente eles podem ser imaginados como segmentos orientados de reta.

Example

Posic¸ ˜ao ~ r ou

Velocidade ~ v ou

Acelerac¸ ˜ao~ a ou

Forc¸a F ~ ou

Escalares e Vetores

Tensores

Tensores

S ˜ao quantidades que dependem do sistema de coordenadas usado para caracterizar um sistema f´ısico. Estas quantidades s ˜ao generalizac¸ ˜oes de vetores, caracterizados por dois ´ındices.

Example

Momento de In ´ercia I

Susceptibilidade El ´etrica e Magn ´etica

e µ

Operac¸ ˜oes Fundamentais

Vetores

A f´ısica n ˜ao depende das escolhas arbitr ´arias que fazemos do sistema de coordenadas e nem da origem, ou orientac¸ ˜ao de nosso referencial. Tanto na Mec ˆanica como no

Eletromagnetismo visamos construir teorias que utilizem a

notac¸ ˜ao vetorial e que expressem relac¸ ˜oes contingentes entre

as quantidades de interesse.

Operac¸ ˜oes Fundamentais

Produto por Escalar

Operac¸ ˜oes Fundamentais

Soma de Vetores

Operac¸ ˜oes Fundamentais

Subtrac¸ ˜ao

Operac¸ ˜oes Fundamentais

Coordenadas de um vetor

~ A = A

a ~

+ A

a ~

Operac¸ ˜oes Fundamentais

M ´ odulo de um vetor

M ´odulo

O m ´odulo de um vetor | ~ A| = A, ´e o tamanho do vetor. Notac¸ ˜ao:

Vetor unit ´ario

a ~

=

X ~

X = ˆ x

Operac¸ ˜oes Fundamentais

Produto Escalar

~ A · ~ B = AB cos θ

Operac¸ ˜oes Fundamentais

Produto Escalar

Propriedades

|A|

= A · A

( ~ A + ~ B) · C ~ = ~ A · C ~ + ~ B · C ~

~ A · ~ B = B ~ · ~ A

Operac¸ ˜oes Fundamentais

Produto Vetorial

~ A × ~ B

Operac¸ ˜oes Fundamentais

Produto Vetorial

Propriedades

~ A × B ~ = − B ~ × ~ A

( ~ A + ~ B) × C ~ = ~ A × C ~ + ~ B × C ~

~ A × B ~ × C ~ = ( ~ A · C) ~ ~ B − ( ~ A · B) ~ C ~

Operac¸ ˜oes Fundamentais

Notac¸ ˜ao do Marion

Propriedades

~ x · ~ y =

i

x

y

AB_ik

=

j

A

B

δ

=

1 se i = j

0 se i 6= j

Operac¸ ˜oes Fundamentais

Notac¸ ˜ao do Marion

Propriedades

=







+1 permutac¸ ˜ao par

−1 permutac¸ ˜ao impar 0 caso contrario

( ~ A × ~ B)

=

jk

A

B

Outline

1

Vetores

Escalares e Vetores Operac¸ ˜oes Fundamentais

2

Sistemas de Coordenadas

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cilindricas

Coordenadas Esf ´ericas

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas

a ~

× a ~

= a ~

a ~

× a ~

= a ~

a ~

× a ~

= − a ~

~ r = x a ~

+ y a ~

+ z a ~

d~ r = dx a ~

+ dy a ~

+ dz a ~

dV = dxdydz

Coordenadas Cilindricas

Coordenadas Cilindricas

Coordenadas Cilindricas

Coordenadas Cilindricas

x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z

a ~

× a ~

= a ~

a ~

× a ~

= a ~

a ~

× a ~

= a ~

~ r = ρ ~ a

+ z a ~

d ~ r = d ρ ~ a

+ ρd θ ~ a

+ dz a ~

dV = ρd ρd θdz

Coordenadas Esf ´ericas

Coordenadas Esf ´ericas

Coordenadas Esf ´ericas

Coordenadas Esf ´ericas

x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ

a ~

× a ~

= a ~

a ~

× a ~

= a ~

a ~

× a ~

= a ~

~ r = r a ~

d ~ r = dr a ~

+ rd θ ~ a

+ r sin θdφ ~ a

dV = r

sin θdrdθd φ

Coordenadas Esf ´ericas

Observac¸ ˜ oes Importantes

O uso de um determinado sistema de coordenados deve espalhar a simetria do problema.

Os vetores unit ´arios ~ a

, ~ a

, ~ a

, ~ a

, ~ a

dependem da

posic¸ ˜ao ~ r .

Coordenadas Esf ´ericas

Notac¸ ˜ao

Notac¸ ˜ao

a ~

=

a ~

= θ

a ~

= φ

Outline

3

Diferenciac¸ ˜ao de Vetores Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

4

Operadores Vetoriais Gradiente

Divergente Rotacional Laplaciano

5

Integrac¸ ˜ao

Integral Volum ´etrica Integral de Superf´ıcie Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes

6

Relac¸ ˜ oes Vetoriais

7

Equac¸ ˜ oes Diferencias Ordin ´arias

8

Sum ´ario

Outline

3

Diferenciac¸ ˜ao de Vetores Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

4

Operadores Vetoriais Gradiente

Divergente Rotacional Laplaciano

5

Integrac¸ ˜ao

Integral Volum ´etrica Integral de Superf´ıcie Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes

6

Relac¸ ˜ oes Vetoriais

7

Equac¸ ˜ oes Diferencias Ordin ´arias

8

Sum ´ario

Diferenciac¸ ˜ao de Vetores

d ~ A

ds = lim

∆s→0

~ A(s + ∆s) − ~ A(s)

∆s

Identidades

d

ds ( A ~ + B) = ~ d ~ A ds + d ~ B

ds d

ds ( A ~ · B) = ~ ~ A · d B ~

ds + ~ B · d ~ A ds d

ds ( ~ A × B) = ~ ~ A × d B ~

ds + ~ B × d ~ A ds d

ds (φ~ A) = φ d ~ A ds + dφ

ds ~ A

Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

~ v = d~ r dt = ˙ ~ r

~ a = d~ v dt = ¨ ~ r Coordenadas Cartesianas

~ v =

i

dx

dt e ~

~ a =

i

d

x

dt

e ~

Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

Velocidade em Polares

~ v = ˙ ~ r = ˙ r e ~

+ r θ ~ ˙ e

Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

Acelerac¸ ˜ao em Polares

~ a = ˙ ~ v = (¨ r − r θ ˙

) e ~

+ (r θ ¨ + 2˙ r θ) ˙ e ~

Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

Velocidade e Acelerac¸ ˜ao em Cilindricas

~ v = ˙ ~ r = ˙ r e ~

+ r θ ~ ˙ e

+ ˙ z e ~

~ a = ˙ ~ v = (¨ r − r θ ˙

) e ~

+ (r θ ¨ + 2˙ r θ) ˙ e ~

+ ¨ z e ~

Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

Velocidade e Acelerac¸ ˜ao em Esf ´ericas

~ v = ˙ ~ r = ˙ r e ~

+ r θ ~ ˙ e

+ r sin(θ) ˙ φ ~ e

~ a =?

Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

Velocidade Angular

v = R d θ

dt = r sin αω

~ v = ~ ω × ~ r

Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

Medindo dist ˆancias

| ~ r − ~ r

|

Escreva os vetores usando o sistema de coordenadas de interesse, mas utilizando os vetores unit ´arios a ~

, a ~

, a ~

. Usando a definic¸ ˜ao de produto interno calcule

( ~ r − ~ r

).( ~ r − ~ r

)

eleve o resultado a 1/2.

Outline

3

Diferenciac¸ ˜ao de Vetores Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

4

Operadores Vetoriais Gradiente

Divergente Rotacional Laplaciano

5

Integrac¸ ˜ao

Integral Volum ´etrica Integral de Superf´ıcie Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes

6

Relac¸ ˜ oes Vetoriais

7

Equac¸ ˜ oes Diferencias Ordin ´arias

8

Sum ´ario

Gradiente

Gradiente em diferentes sistemas de Coordenadas

Cartesianas

∇V = ∂V

∂x a ~

+ ∂V

∂y a ~

+ ∂V

∂z a ~

Cilindricas

∇V = ∂V

∂ρ a ~

+ 1 ρ

∂V

∂θ a ~

+ ∂V

∂z a ~

Esf ´ericas

∇V = ∂V

∂r a ~

+ 1 r

∂V

∂θ a ~

+ 1 r sin θ

∂V

∂φ a ~

Gradiente

Gradiente

Gradiente

Propriedades do Gradiente

O vetor gradiente ´e senpre normal a superf´ıcie φ =cte.

O vetor ∇φ sempre aponta na direc¸ ˜ao de m ´axima variac¸ ˜ao de φ.

A derivada na direc¸ ˜ao ~ n ´e dada por:

~ n.∇φ

Divergente

Divergente em diferentes sistemas de Coordenadas

Cartesianas

∇ · ~ A = ∂A

∂x + ∂A

∂y + ∂A

∂z Cilindricas

∇ · ~ A = 1 ρ

∂(ρA

)

∂ρ + 1 ρ

∂A

∂θ + ∂A

∂z Esf ´ericas

∇ · ~ A = 1 r

∂(r

A

)

∂r + 1

r sin θ

∂(sin θA

)

∂θ + 1

r sin θ

∂A

∂φ

Rotacional

Rotacional em diferentes sistemas de Coordenadas

Cartesianas

∇× ~ A = ∂A

∂y − ∂A

∂z

a ~

+ ∂A

∂x − ∂A

∂z

a ~

+ ∂A

∂y − ∂A

∂x

a ~

Rotacional

Rotacional em diferentes sistemas de Coordenadas

Cilindricas

∇ × ~ A = 1

ρ

∂A

∂φ − ∂A

∂z

a ~

+ ∂A

∂z − ∂A

∂ρ

a ~

+ 1

ρ

∂ρA

∂θ − 1 ρ

∂A

∂ρ

a ~

Rotacional

Rotacional em diferentes sistemas de Coordenadas

Esf ´ericas

∇ × ~ A = 1 r sin θ

∂(sin θA

)

∂θ − ∂A

∂φ

a ~

+ 1 r

1 sin θ

∂A

∂φ − ∂(rA

)

∂r

a ~

+ 1 r

∂(rA

)

∂r − ∂A

∂θ

a ~

Laplaciano

Laplaciano em diferentes sistemas de Coordenadas

Cartesianas

∇

V = ∂

V

∂x

+ ∂

V

∂y

+ ∂

V

∂z

Cilindricas

∇

V = 1 ρ

∂

∂ρ

ρ ∂V

∂ρ

+ 1 ρ

∂

V

∂θ

+ ∂

V

∂z

Esf ´ericas

∇

V = 1 r

∂

∂r

r

∂V

∂r

+ 1 r

sin θ

∂

∂θ

∂(sin θV )

∂θ

+ 1

r

sin

θ

∂

V

∂φ

Outline

3

Diferenciac¸ ˜ao de Vetores Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

4

Operadores Vetoriais Gradiente

Divergente Rotacional Laplaciano

5

Integrac¸ ˜ao

Integral Volum ´etrica Integral de Superf´ıcie Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes

6

Relac¸ ˜ oes Vetoriais

7

Equac¸ ˜ oes Diferencias Ordin ´arias

8

Sum ´ario

Integral Volum ´etrica

Integral Volum ´etrica

Z

V

f(x , y , z)dV

Integral de Superf´ıcie

Integral de Superf´ıcie

Z

S

~ A · d ~ S Integral Fechada

I

S

~ A · d ~ S

Integral de Linha

Integral de Linha

Z

C

~ A · d~ s Integral Fechada

I

C

~ A · d~ s

Integral de Linha

Exemplos

Calcule o volume de um parabol ´oide de revoluc¸ ˜ao z = x

+ y

entre z = 0 e z = 1. Use coordenadas cilindricas e cartesianas.

Suponha agora que o parabol ´oide possua uma densidade que dependa com a altura com a express ˜ao ρ = e

. Determine a massa.

Considere uma casca cil´ındrica de raio unit ´ario localizada ao longo do eixo z. E considere o campo vetorial

F ~ = r a ~

+ 2 a ~

. Calcule o fluxo atrav ´es da superf´ıcie.

Represente o campo vetorial.

Calcule a circulac¸ ˜ao do fluxo F ~ = 2x a ~

+ y a ~

atrav ´es das linhas:

iniciando em (0,0) at ´e (2,4) atrav ´es de uma linha reta.

iniciando em (0,0) at ´e (2,4) atrav ´es da par ´abolay =x²

Integral de Linha

Exemplos

~ F = r a ~

+ 2 a ~

Teorema de Gauss

Teorema de Gauss

I

S

~ A · d~ a =

V

∇ · ~ AdV

Teorema de Stokes

Teorema de Stokes

I

C

~ A · d ~ l =

S

∇ × ~ A · dS

Outline

3

Diferenciac¸ ˜ao de Vetores Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

4

Operadores Vetoriais Gradiente

Divergente Rotacional Laplaciano

5

Integrac¸ ˜ao

Integral Volum ´etrica Integral de Superf´ıcie Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes

6

Relac¸ ˜ oes Vetoriais

7

Equac¸ ˜ oes Diferencias Ordin ´arias

8

Sum ´ario

Relac¸ ˜ oes Vetoriais

∇ · ( ~ A + ~ B) = ∇ · ~ A + ∇ · B ~

∇ · (u ~ A) = ~ A · ∇u + u(∇ · ~ A)

∇ · ( ~ A × B) = ~ B ~ · (∇ × A) ~ − ~ A · ∇ × B ~

∇ × (u ~ A) = ~ A × ∇u + u(∇ × ~ A)

Relac¸ ˜ oes Vetoriais

∇ × ( ~ A × B) = (∇ · ~ ~ B) ~ A − (∇ · ~ A) ~ B + ( ~ B · ∇) ~ A − ( ~ A · ∇) B ~

∇ × (∇ × ~ A) = ∇ · (∇ · ~ A) − ∇

~ A

∇ × (∇V ) = 0

Outline

3

Diferenciac¸ ˜ao de Vetores Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

4

Operadores Vetoriais Gradiente

Divergente Rotacional Laplaciano

5

Integrac¸ ˜ao

Integral Volum ´etrica Integral de Superf´ıcie Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes

6

Relac¸ ˜ oes Vetoriais

7

Equac¸ ˜ oes Diferencias Ordin ´arias

8

Sum ´ario

Definic¸ ˜ao

Formulac¸ ˜ao do problema:

F (y

, y

, . . . , y; x) = 0 Soluc¸ ˜ao:

y = y (C

, C

, . . . , C

; x )

Definic¸ ˜ao

Para determinar C

:

y (0) = D

. . . y

(0) = D

Se F ´e linear este problema ´e equivalente a soluc¸ ˜ao de um

sistema de n equac¸ ˜oes lineares.

Outline

3

Diferenciac¸ ˜ao de Vetores Vetor Velocidade e Acelerac¸ ˜ao

4

Operadores Vetoriais Gradiente

Divergente Rotacional Laplaciano

5

Integrac¸ ˜ao

Integral Volum ´etrica Integral de Superf´ıcie Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes

6

Relac¸ ˜ oes Vetoriais

7

Equac¸ ˜ oes Diferencias Ordin ´arias

8

Sum ´ario

Sum ´ario

C ´alculo vetorial ´e essencial para entender Eletromagnetismo.

C ´alculo vetorial ´e essencial para entender Mec ˆanica

Cl ´assica.