CAPÍTULO 8. Seções Cônicas. 8.1 A Elipse. Iniciar o MathKernel

(1)

Seções Cônicas

Iniciar o MathKernel

In[1]:= 2+ 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗L

Out[1]= 4

Já falamos da perábola e da hipérbole no primeiro volume, porém, apenas como gráficos das funções y = k x2_{e y} = k/x, e de funções obtidas dessas por translação.

8.1 A Elipse

A elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é F− e F+ é

constante. Os pontos F− e F+ são chamados focos da elipse e o ponto médio do segmento F−F+ = 2c é chamado

centro.

Equação canônica da elipse ÅÅÅÅÅÅÅx_a22 +

y2

ÅÅÅÅÅÅÅ_b2 = 1. Os segmentos a e b são chamados semi-eixos maior e menor da elipse, respectivamente. A excentridade da elipse é definida pelo qociente e = c/a.

A circunferência é uma elípse em que a = b = r. O segmento r é chamado o raio da circunferência.

In[1]:= << Graphics`ImplicitPlot`

Show@Graphics@Circle@80, 0<, 82, 1<DD,

Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;

-2 -1 1 2 -1 -0.5 0.5 1 EXEMPLO 1. H∗ A equação 2 x2_{+ 3 y}2 _{= 6 ∗}L

(2)

In[3]:= << Graphics`ImplicitPlot` H2 x^2 + 3 y^2 − 6L ê 6 êê Expand; Print@% + 1, "= 1" D x2 3 + y2 2 = 1

Os semi− eixos da elípse são a = è!!!3 e b = è!!!2 .

In[6]:= ShowAGraphicsACircleA80, 0<, 9è!!!!3, è!!!!2=EE,

Axes → True, AspectRatio → AutomaticE;

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1 -0.5 0.5 1

EXEMPLO 2. H∗ A equação 9 x2_{+ 4 y}2 _{+ 54 x − 16 y + 61 = 0 representa um elipse∗}L 9 x2_{+ 4 y}2_{+54 x - 16 y + 61 =0}

Agrupando os termos em x e em y, vem 9 Hx2 _{+ 6 x}L + 4 Hy2 _{- 4 y}L + 61 = 0 Completando os quadrados

9 Hx2 _{+ 3}L2 _{- 81 + 4}Hy2 _{- 2}L2 _{- 16 + 61 = 0} ou

9 Hx2 _{+ 3}L2 _{+ 4}Hy2 _{- 2}L2 _{= 36} Dividindo amnos os lados por 36, resulta

Hx + 3L2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ₄ +ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHy - 2L₉ 2 = 1.

(3)

In[7]:= Show@Show@Graphics@Circle@8−3, 2<, 82, 3<DD, Axes → True, PlotRange →88−6, 1<, 8−2, 6<<,

AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@88−3, 0<, 8−3, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,

PlotStyle→8Dashing@8.02<D<, DisplayFunction → IdentityD,

DisplayFunction→ $DisplayFunctionD; -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -2 -1 1 2 3 4 5 6

EXEMPLO 3. (* Achar a equação da elipse de semi eixo a = 3 e b = 3/2 centrada no ponto (2,-1) *)

Do exemplo anterior podemos afirmar que a equação canônica da elipse de aimi-eixos a e b centrada no ponto (x0,y0) é dada por Hx-x0L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a2 + Hy-y0L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b2 = 1

Portanto, a equação canônica da elipse de aimi-eixos a = 3 e b = 3/2 centrada no ponto (x0,y0) = (2,-1) é Hx-2L2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ₉ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHy+1L_9ê42 = 1.

Multiplicado os dois lados da equação por 9 vem Hx - 2L2 + 4(y +1L2_{= 9.}

Efetuando os quadrados obtemos a equação da elipse. x2 + 4 y2 - 4 x + 8 y - 1 = 0

In[8]:= Show@Show@Graphics@Circle@82, −1<, 83, 3 ê 2<DD, Axes → True, PlotRange →88−2, 6<, 8−3, 2<<,

ListPlot@880, −1<, 82, −1<, 82, 0<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction→ $DisplayFunctionD; -2 -1 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 1 2

(4)

Exercícios

Determinar os semi-eixos a e b, os focos e a ecentricidade das elipses de equações dadas nos Exercícios 1 a 6. Faça os gráficos respectivos.

1. x2 + 4 y2 = 8

A equação canônica da elipse é

x2 8 + y2 2 = 1. In[1]:= a=è!!!!8 b=è!!!!2 c= Sqrt@a^2 − b^2D e= cê a Out[1]= 2 è!!!2 Out[2]= è!!!2 Out[3]= è!!!6 Out[4]= è!!!₃ 2

Os semi-eixos a = 2è!!!2 e b = è!!!2 , os focos ±è!!!6 e a ecentricidade c = è!!!3 /2 . In[5]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 82 Sqrt@2D, Sqrt@2D<DD,

-2 -1 1 2 -1 -0.5 0.5 1 2. 9 x2 _{+ 2 y}2_{= 18}

x2 2 + y2 9 = 1. In[6]:= a=è!!!!2 b= 3 c= Sqrt@b^2 − a^2D e= cê a Out[6]= è!!!2 Out[7]= 3 Out[8]= è!!!7 Out[9]= $%%%%%%7 2

(5)

Os semi-eixos a = è!!!2 e b = 3 , os focos ±è!!!7 e a ecentricidade c = è!!!!!!!!!7ê 2 . In[10]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 8Sqrt@2D, 3<DD,

-1-0.5 0.5 1 -3 -2 -1 1 2 3 3. 3 x2 _{+ 5 y}2 _{= 10}

x2 10ê 3 + y2 2 = 1. In[11]:= a=è!!!!!!!!!!!!!10ê 3 b=è!!!!2 c= Sqrt@a^2 − b^2D e= cê a Out[11]= $%%%%%%%%%10 3 Out[12]= è!!!2 Out[13]= è!!!2 3 Out[14]= $%%%%%%2 5

(6)

In[15]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 8Sqrt@10 ê 3D, Sqrt@2D<DD,

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -1 -0.5 0.5 1 4. 4 x2 _{+ 9 y}2 _{+ 4 x - 12 y - 31 = 0}

Primeiro,vamos determinar a equação canônica da elípse. Agrupando os termos em x e em y, vem

4 Hx2 _{+ x}L + 9 Hy2 _{- 4 y}ê 3L - 31 = 0 Completando os quadrados

4 Hx + 1 ê 2L2_{- 1 + 9}_{Hy - 2 ê 3L}2_{- 4 - 31= 0} ou

4 Hx + 1 ê 2L2_{+ 9}_{Hy - 2 ê 3L}2_{- 36 = 0} Dividindo amnos os lados por 36, resulta

Hx + 1ê2L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ₉ +ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHy - 2ê3L₄ 2 = 1. In[16]:= a= 3 b= 2 c= Sqrt@a^2 − b^2D e= cê a Out[16]= 3 Out[17]= 2 Out[18]= è!!!5 Out[19]= è!!!₅ 3

(7)

In[20]:= Show@Show@Graphics@Circle@8−1 ê 2, 2 ê 3<, 83, 2<DD, Axes → True, PlotRange →88−4, 3<, 8−2, 3<<,

ListPlot@88−1 ê 2, 0<, 8−1 ê 2, 2 ê 3<, 80, 2 ê 3<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction→ $DisplayFunctionD; -4 -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 5. 5 x2 + 9 y2 - 10 x + 18 y - 31 = 0

5 Hx2 _{- 2 x}L + 9 Hy2 _{+ 2 y}L - 31 = 0 Completando os quadrados

5 Hx - 1L2_{- 5 + 9(y + 1L}2_{- 9 - 31= 0} ou

5(x -1L2_{+ 9(y +1}L2_{- 45 = 0}

Dividindo amnos os lados por 45, resulta Hx -1L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ₉ +ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHy + 1L₅ 2 = 1. In[21]:= a= 3 b=è!!!!5 c= Sqrt@a^2 − b^2D; e= cê a Out[21]= 3 Out[22]= è!!!5 Out[24]= 2 3

(8)

In[25]:= ShowAShowAGraphicsACircleA81, −1<, 93, è!!!!5=EE, Axes → True, PlotRange →88−3, 6<, 8−4, 2<<,

AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityE,

ListPlot@881, 0<, 81, −1<, 80, −1<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction→ $DisplayFunctionE; -2 2 4 6 -4 -3 -2 -1 1 2 6. 10 x2 + 4 y2 + 40 x - 24 y + 36 = 0

10 Hx2 _{+ 4 x}L + 4 Hy2 _{- 6 y}L + 36 = 0 Completando os quadrados

10 Hx + 2L2_{- 40 + 4(y - 3L}2_{- 36 + 36= 0} ou

10(x + 2L2_{+ 4(y - 3}L2_{- 40 = 0}

Dividindo amnos os lados por 45, resulta Hx + 2L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ₄ +ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHy - 3L₁₀ 2 = 1. In[26]:= a= 2 b=è!!!!!!10 c= Sqrt@b^2 − a^2D e= cê a Out[26]= 2 Out[27]= è!!!!!!10 Out[28]= è!!!6 Out[29]= $%%%%%%3 2

(9)

In[30]:= ShowAShowAGraphicsACircleA8−2, 3<, 92, è!!!!!!10=EE, Axes → True, PlotRange →88−4, 1<, 8−1, 8<<,

AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityE,

ListPlot@88−2, 0<, 8−2, 3<, 80, 3<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction→ $DisplayFunctionE; -4 -3 -2 -1 1 2 4 6 8

10. Calcule o semi-- eixo menor da órbita da Terra. Ecentricidade igual a 0,017. Trace o gráfico da órbita In[31]:= Clear@aD

b= 10;

Solve@Sqrt@b^2 − a^2D ê a 0.017, aD

Out[33]= 88a → 9.99856<<

In[34]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.99856, 10<DD,

-10 -5 5 10

11. Desenhe as óbtitas de Mercúrio (ecentricidade igual a 0,206) e de Marte (ecentricidade igual a 0,093 Órbita de Mercúrio

(10)

In[35]:= Clear@aD

b= 10;

Out[37]= 88a → 9.79434<<

In[38]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.79434, b<DD,

-10 -5 5 10 -10 -5 5 10 Órbita de Marte In[39]:= Clear@aD

b= 10;

Out[41]= 88a → 9.95703<<

In[42]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.95703, b<DD,

-10 -5 5 10

(11)

8.2 A Hipérbole

A hiperbóle é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos é F− e F+

é constante. Os pontos F− e F+ são chamados focos da hipérbole e o ponto médio do segmento F−F+ = 2c é

chamado centro.

Equação canônica da elipse ÅÅÅÅÅÅÅx_a22

-y2

ÅÅÅÅÅÅÅ_b2 = 1. Os segmentos a e b são chamados semi-eixos maior e menor da hipér-pole, respectivamente. A excentridade da elipse é definida pelo qociente e = c/a.

Uma hipérbole é dita equlátera quando a = b. Neste caso a equação canônica passa a ser x2_{+ y}2_{= a}2_.

Os gráficos da hiperbóle x2ê b2 _{- y}2ê b2 _{= 1 e das duas assintotas y = ± b x/a, sendo a = 4 e b = 4}ë è!!!2 In[1]:= << Graphics`ImplicitPlot`

a= 4;

b= 4ê Sqrt@2D;

Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@x2ê a2− y2ê b2 1,

8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,

AspectRatio→ Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-10 -5 5 10 -6 -4 -2 2 4 6

(12)

In[5]:= a= 4;

Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@x2− y2 a2, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,

-10 -5 5 10

Os gráficos da hiperbóle equilátera y2 _{- x}2 _{= a}2_{e das duas assintotas y = ± x, sendo a = 4.}

In[7]:= a= 4; Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@y2− x2 a2, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,

-10 -5 5 10 -10 -5 5 10

Exercícios

Determinar os semi-eixos a e b, os focos e a ecentricidade das hipérboles de equações dadas nos Exercícios 1 a 16. Faça os gráficos respectivos.

1. x2 ê 9 - y2ê 4 = 1

A equação canônica da hipérbole é

x2 9 −

y2 4 = 1.

(13)

In[1]:= a= 3 b= 2 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[1]= 3 Out[2]= 2 Out[3]= è!!!!!!13 Out[4]= è!!!!!!₁₃ 3

Os semi-eixos a = 3 e b = 2 , os focos (±è!!!!!!13 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!13 /3 .

In[5]:= Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@x^2 ê a2− y ^ 2ê b2− 1 0,

-10 -5 5 10 -6 -4 -2 2 4 6 2. x2 ê 4 - y2ê 9 = 1

A equação canônica da hipérbole é

x2 4 − y2 9 = 1. In[6]:= a= 2 b= 3 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[6]= 2 Out[7]= 3 Out[8]= è!!!!!!13 Out[9]= è!!!!!!₁₃ 2

(14)

-10 -5 5 10 -15 -10 -5 5 10 15 3. 4 x2_{- 25 y}2 _{= 100}

Dividindo os dois lados da equação 4 x2 _{− 25 y}2 _{= 100 por 100, vem}

x2 25 − y2 4 = 1. In[11]:= a= 5 b= 2 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[11]= 5 Out[12]= 2 Out[13]= è!!!!!!29 Out[14]= è!!!!!!₂₉ 5

-10 -5 5 10 -4 -2 2 4 4. 25 x2 - 9 y2= 225

(15)

Dividindo os dois lados da equação 25 x2 _{− 9 y}2 _{= 225 por 225, vem} x2 9 − y2 25 = 1. In[16]:= a= 3 b= 5 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[16]= 3 Out[17]= 5 Out[18]= è!!!!!!34 Out[19]= è!!!!!!₃₄ 3

-10 -5 5 10 -15 -10 -5 5 10 15 5. x2_{- y}2_{= 9}

Dividindo os dois lados da equação x2 − y2 = 9 por 9, vem

x2

9 −

y2

(16)

In[21]:= a= 3 b= 3 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[21]= 3 Out[22]= 3 Out[23]= 3 è!!!2 Out[24]= è!!!2

Os semi-eixos a = 3 e b = 3 , os focos (±3 è!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!2 .

In[25]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@x^2 − y^2 9, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,

-10 -5 5 10 -10 -5 5 10 6. y2 _{- x}2_{= 25}

Dividindo os dois lados da equação y2 − x2 = 25 por 25, vem

y2 25 − x2 25 = 1. In[26]:= a= 5 b= 5 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[26]= 5 Out[27]= 5 Out[28]= 5 è!!!2 Out[29]= è!!!2

(17)

In[30]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@y^2 − x^2 25, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,

-10 -5 5 10 -10 -5 5 10 7. x2- y2 = 4

Dividindo os dois lados da equação x2 − y2 = 4 por 4, vem

x2 4 − y2 4 = 1. In[31]:= a= 2 b= 2 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[31]= 2 Out[32]= 2 Out[33]= 2 è!!!2 Out[34]= è!!!2

Os semi-eixos a = 2 e b = 25 , os focos (±2è!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!2 .

In[35]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@ x ^ 2ê a2− y ^ 2ê b2− 1 0,8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,

-10 -5 5 10 -10 -5 5 10 8. y2 - x2 = 4

Dividindo os dois lados da equação y2 − x2 = 4 por 4, vem

y2 4 −

x2 4 = 1.

(18)

In[36]:= a= 2 b= 2 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[36]= 2 Out[37]= 2 Out[38]= 2 è!!!2 Out[39]= è!!!2

Os semi-eixos a = 2 e b = 2 , os focos (±2è!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!2 .

In[40]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@ y ^ 2ê a2− x ^ 2ê b2− 1 0,8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,

-10 -5 5 10 -10 -5 5 10 9. x2_{- 4 y}2 _{= 1}

Reescrevendo da equação x2 − 4 y2 = 1, vem

x2 1 − y2 1ê 4 = 1. In[41]:= a= 1 b=è!!!!!!!!!!1ê 4 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[41]= 1 Out[42]= 1 2 Out[43]= è!!!₅ 2 Out[44]= è!!!₅ 2

(19)

In[45]:= Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@x^2 − 4 y^2 − 1 0, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD<,

-4 -2 2 4 -2 -1 1 2 10. 9 x2 _{- y}2 _{= 1}

Reescrevendo da equação 9 x2 _{− y}2 _{= 1, vem}

x2 1ê 9 − y2 1 = 1. In[46]:= a=è!!!!!!!!!!1ê 9 b= 1 c= Sqrt@a^2 + b^2D e= cê a Out[46]= 1 3 Out[47]= 1 Out[48]= è!!!!!!₁₀ 3 Out[49]= è!!!!!!10

Os semi-eixos a = 1/3 e b = 1 , os focos (±è!!!!!!10ë 3, 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!10 .

In[50]:= Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −1, 1<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@9 x^2 − y^2 − 1 0, 8x, −1, 1<, DisplayFunction → IdentityD<,

-1-0.5 0.5 1 -3 -2 -1 1 2 3 11. x2 _{- 25 y}2 _{= 1}

(20)

Reescrevendo a equação x2 − 25 y2 = 1, vem x2 1 − y2 1ê 25 = 1. In[51]:= a= 1 b= 1ê 5 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[51]= 1 Out[52]= 1 5 Out[53]= è!!!!!!₂₆ 5 Out[54]= è!!!!!!₂₆ 5

Os semi-eixos a = 1 e b =1/ 5 , os focos (±è!!!!!!26ë 5, 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!26 /5 . In[55]:= Show@8Plot@8b ê a x, −b ê a x<, 8x, −4, 4<,

PlotRange→8−2, 2<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@

x ^ 2− 25 y ^ 2 − 1 0, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD<,

-4 -2 2 4 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 12. 4 y2_{- x}2 _{= 1}

Reescrevendo a equação 4 y2 _{− x}2 _{= 1, vem}

y2 1ê 4 − x2 1 = 1. In[56]:= a= 1ê 2 b= 1 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[56]= 1 2 Out[57]= 1 Out[58]= è!!!₅ 2 Out[59]= è!!!5

(21)

In[60]:= Show@8Plot@8a ê b x, −a ê b x<, 8x, −2, 2<,

PlotRange→8−2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@4 y^2 − x^2 − 1 0, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD<,

-2 -1 1 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 13. 4 x2 _{- 9 y}2 _{- 8 x - 36 y - 68 = 0} Agrupando os termos em x e em y, vem 4 Hx2 _{- 2 x}L - 9 Hy2 _{+ 4 y}L - 68 = 0 Completando os quadrados 4 Hx - 1L2_{- 4 - 9}_{Hy + 2L}2 + 36 - 68= 0 ou 4(x - 1L2_{- 9(y + 2}L2_{- 36 = 0}

Dividindo amnos os lados por 36, resulta Hx -1L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ₉ -ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHy + 2L₄ 2 = 1. In[61]:= a= 3 b= 2 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[61]= 3 Out[62]= 2 Out[63]= è!!!!!!13 Out[64]= è!!!!!!₁₃ 3

(22)

In[65]:= Show@8Plot@8b ê a Hx − 1L − 2, −b ê a Hx − 1L − 2<,

8x, −10, 12<, PlotRange → 8−10, 8<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@Hx − 1L^2 ê 9 − Hy + 2L^2 ê 4 − 1 0,

-10 -5 5 10 -10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 14. y2 _{- x}2 _{+ 2 x - 4 y - 22 = 0} Agrupando os termos em x e em y, vem -Hx2 _{- 2 x}L + Hy2 _{- 4 y}L - 22 = 0 Completando os quadrados

- Hx - 1L2 + 1 + Hy2 _{- 2}L2_{- 4 - 22= 0} ou

(x - 1L2 + (y + 2L2_{- 25 = 0}

Dividindo amnos os lados por 25, resulta Hx -1L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ₂₅ -ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHy + 2L₂₅ 2 = 1. In[66]:= a= 5 b= 5 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[66]= 5 Out[67]= 5 Out[68]= 5 è!!!2 Out[69]= è!!!2

(23)

In[70]:= Show@8Plot@8Hx − 1L − 2, −Hx − 1L − 2<, 8x, −10, 12<,

Hx − 1L^2 − Hy + 2L^2 25, 8x, −10, 12<, DisplayFunction → IdentityD<,

-10 -5 5 10 -10 -5 5 10 15. x2 _{- y}2 _{+ 4 x - 6 y - 9 = 0} Agrupando os termos em x e em y, vem Hx2_{+ 4 x}L - Hy2 _{+ 6 y}L - 9 = 0 Completando os quadrados (x + 2L2 - 4 - Hy + 3L2 + 9 - 9 = 0 ou (x + 2L2_{- (y + 3}L2_{- 4 = 0}

Dividindo amnos os lados por 4, resulta Hx + 2 L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ₄ -ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHy + 3L₄ 2 = 1. In[71]:= a= 2 b= 2 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[71]= 2 Out[72]= 2 Out[73]= 2 è!!!2 Out[74]= è!!!2

(24)

In[75]:= Show@8Plot@8Hx + 2L − 3, −Hx + 2L − 3<, 8x, −10, 6<,

Hx + 2L^2 − Hy + 3L^2 4, 8x, −10, 6<, DisplayFunction → IdentityD<,

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 16. 2 y2 _{- 3 x}2 _{+ 12 x - 12 y + 12 = 0} Agrupando os termos em x e em y, vem 2Hy2 _{- 6 y}L - 3 Hx2 _{- 4 x}L + 12 = 0 Completando os quadrados

2(y - 3L2_{- 18 - 3}Hx - 2L2_{+ 12 + 12 = 0} ou

2(y - 3L2_{- 3 (x - 2}L2_{- 6 = 0}

Dividindo amnos os lados por 6, resulta Hy - 3 L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ₃ -ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHx - 2L₂ 2 = 1. In[76]:= a=è!!!!3 b=è!!!!2 c=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a ^ 2+ b ^ 2 e= cê a Out[76]= è!!!3 Out[77]= è!!!2 Out[78]= è!!!5 Out[79]= $%%%%%%5 3

(25)

In[80]:= ShowA9PlotA9è!!!!!!!!!!3ê 2 Hx − 2L + 3, −è!!!!!!!!!!3ê 2 Hx − 2L + 3=,

8x, −3, 8<, PlotRange → 8−3, 8<, DisplayFunction → IdentityE,

ImplicitPlot@HHy − 3L^2L ê 3 − HHx − 2L^2L ê 2 1,

8x, −3, 8<, DisplayFunction → IdentityD=,

AspectRatio→ Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;

-2 2 4 6 8 -2 2 4 6 8

Em cada um dos Exercícios 17 a 20 ache a equação da hip[erbole de parâmetros dados e faça um gráfico.

17. Focos (-1, 0), (5, 0) e semi-eixo horizontal igual a 2. Hx - 2 L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 -y2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 = 1.

In[81]:= ShowA9PlotA9è!!!!5 ë 2 Hx − 2L, −è!!!!5 ë 2 Hx − 2L=, 8x, −4, 8<,

PlotRange→8−8, 8<, DisplayFunction → IdentityE, ImplicitPlot@

HHx − 2L^2L ê 4 − Hy^2L ê 5 1,8x, −4, 8<, DisplayFunction → IdentityD=,

AspectRatio→ Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;

-4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

18. Focos (-1, 0), (5, 0) e semi-eixo horizontal igual a 2. 4 Hy - 3 ê 2 L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 25 -x2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 = 1.

(26)

In[82]:= Show@8Plot@85 ê 2 x + 3 ê 2, −5 ê 2 x + 3 ê 2<,

ImplicitPlot@4 HHy − 3 ê 2L^2L ê 25 − Hx^2L 1,

-4 -2 2 4 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 19. Focos (-1, 1), (4, 1) e excentricidade e = 5/3. 4 Hx - 3 ê 2 L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 -Hy - 1 L2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 = 1.

In[83]:= Show@8Plot@84 ê 3 Hx − 3 ê 2L + 1, −4 ê 3 Hx − 3 ê 2L + 1<,

ImplicitPlot@4 HHx − 3 ê 2L^2L ê 9 − HHy − 1L^2L ê 4 1,

-6 -4 -2 2 4 6 8 -6 -4 -2 2 4 6 8

(27)

8.3 A Parábola

A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de uma reta fixa e de um ponto fixo. A reta é chamada diretriz e o ponto fixo é o foco da parábola.

Equação canônica da parábola x2₊Hy - pL2 ₌ _{Hy + pL}2_{ou equivalentemente x}2_{= 4 py. O eixo de simetria é}

chamado o eixo da parábola. A origem do sistema de coordenadas, que pertence à parábola, é chama o deu vértice. A equação da diretriz é y = - p e o foco é o ponto F = (0, p).

A equação y2 _{= 4 px também representa uma parábola em que a diretriz é x = p e o foco F = (p, 0).}

In[1]:= p1= Show@Plot@x^2, 8x, −2, 2<,

Epilog→8Text@"F", 8.2, 1.5<D, Text@"D", 81.8, 0.3<D<,

DisplayFunction→ IdentityD, ListPlot@88−2, −1<, 82, −1<<,

PlotJoined→ True, DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@880, 1.5<<,

PlotStyle→8PointSize@.03D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@88−3 ê 2, −1<, 8−3 ê 2, 9 ê 4<, 80, 3 ê 2<<,

PlotJoined→ True, DisplayFunction → IdentityDD;

In[2]:= p2= Show@Plot@−x^2, 8x, −2, 2<,

Epilog→8Text@"F", 8.2, −1.5<D, Text@"D", 81.8, 0.7<D<, DisplayFunction→ IdentityD, ListPlot@88−2, 1<, 82, 1<<,

PlotJoined→ True, DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@880, −1.5<<,

PlotStyle→8PointSize@.03D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@88−3 ê 2, 1<, 8−3 ê 2, −9 ê 4<, 80, −3 ê 2<<,

PlotJoined→ True, DisplayFunction → IdentityDD;

In[3]:= Show@GraphicsArray@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionDD;

-2 -1 1 2 -1 1 2 3 4 F D -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 F D

Exemplo 1

(* p.147 *)

H∗ Encontar a equação da parábola com foco F= H1,2L e diretriz a reta y = −1 ∗L

Neste caso o vértice é o ponto V = (1, 3/2) e a equação da parábola é Hx - 1L2 ₊ _{Hy - 2L}2 ₌ _{Hy - 1L}2

(28)

isto é

x2 _{- 2 x + 1 - 4 y + 4 = -2 y + 1} e finalmente,

y = x2ê 2 - x + 2

In[19]:= << Graphics`ImplicitPlot`

Show@Plot@81, x^2 ê 2 − x + 2<, 8x, −2, 4<, PlotRange → 80, 4<, Epilog→8Text@"F", 81.2, 2.2<D, Text@"D", 83.8, 1.2<D<,

DisplayFunction→ IdentityD,

ListPlot@881, 0<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,

ListPlot@881, 2<<, PlotStyle → 8PointSize@.02D<,

DisplayFunction→ IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-2 -1 1 2 3 4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 F D

Exemplo 2

(* p.147 *)

H∗ Toda equação do segundo grau y =

ax2 _{+ bx + c representa uma parábola. ∗}L

Para provarmos isso, cpmeçamos por completar o quadrado no dsegundo membro

y = aHx2_{+ 2 xb}ê 2 aL + c =

= aHx2 _{+ 2 xb}ê 2 a + b2ê 4 b2L + c - b2ê 4 b2 _{= a}Hx + b ê 2 aL2 ₊ _{H4 ac - b^2L ê 4 a} Portanto,

Hx + 2 xb ê 2 a L2 ₌ _ÅÅÅÅ1

a Hy + H b^2 - 4 ac L ê 4 a L Isto sugere a transformação de eixo dada por,

X = x + bê 2 a e Y = y + Hb2 _{- 4 ac}L/4a

Pondo ainda p = 1/4a, a equação da parabóla assume a forma canônica

X2_{= 4pY}

O foco é ara provarmos isso, cpmeçamos por completar o quadrado no dsegundo membro

y = aHx2+ 2 xbê 2 aL + c =

(29)

Portanto,

Hx + 2 xb ê 2 a L2 ₌ _ÅÅÅÅ1

a Hy + H b^2 - 4 ac L ê 4 a L Isto sugere a transformação de eixo dada por,

X = x + bê 2 a e Y = y + Hb2 - 4 acL/4a

Pondo ainda p = 1/4a, a equação da parabóla assume a forma canônica

X2 = 4pY

Exercícios

Faça o gráfics das equações dadas nos Exercícios 1 a 7, indicando a diretriz, o foco e o vértice, em cada caso.

1. y= x2 In[198]:= << Graphics`ImplicitPlot` ImplicitPlot@y − x2 0, 8x, −2, 2<D; -2 -1 1 2 1 2 3 4 2. y2= 6 x

In[34]:= ImplicitPlot@y^2 − 6 x 0, 8x, 0, 6<D;

1 2 3 4 5 6 -6 -4 -2 2 4 6 3. y2= - 5 x

(30)

In[36]:= ImplicitPlot@y^2 + 5 x 0, 8x, −6, 0<D; -6-5-4-3-2-1 -4 -2 2 4 4. y= 4 - x2 In[44]:= ImplicitPlot@y − 4 + x2 0, 8x, −3, 3<D; -3 -2 -1 1 2 3 -4 -2 2 4 5. y= x2_{+ 2 x - 1} In[46]:= ImplicitPlot@y − x2 − 2 x + 1 0,8x, −4, 2<D; -4 -3 -2 -1 1 2 -2 2 4 6 6. y= 3 x2 _{+ 12 x + 4}

(31)

In[51]:= ImplicitPlot@y − 3 x2 − 12 x − 4 0,8x, −5, 1<D; -5-4-3-2-1 1 -5 5 10 15 7. x= 2 y2 _{+ 6 y + 5} In[53]:= ImplicitPlot@x − 2 y2 − 6 y − 5 0,8x, −2, 4<D; 1 2 3 4 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

(32)

8.4 Rotação de eixos

In[183]:= q1= Show@ListPlot@881.5, 5<<, Ticks → False, PlotRange → 88−1, 2<, 8−6, 6<<, AxesLabel→8"x", "y"<, PlotStyle → 8PointSize@0.02D<,

Epilog→8Text@"X", 81.95, 3.8<D, Text@"Y", 8−.3, 5.5<D, Text@"θ", 8.5, .3<D, Text@"R", 8.8, 3.1<D<, DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@881.5, 0<, 81.5, 5<, 80, 5<<, PlotJoined → True,

ListPlot@880, 0<, 81.5, 5<<, PlotJoined → True,

PlotStyle→8RGBColor@0, 0, 1D<, DisplayFunction → IdentityDD;

In[109]:= q2= Show@ListPlot@880, 0<, 82.5, 4.2<<, PlotJoined → True,

PlotStyle→8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@88.5, −14<, 8−.5, 14<<, PlotJoined → True,

PlotStyle→8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@881.6, 3<, 81.5, 5<, 8−.1, 2.2<<, PlotJoined → True, PlotStyle → 8Dashing@8.02<D, RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityDD;

In[184]:= Show@8q1, q2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

x y X Y θ R

Transformção direta Transformção inversa x = X cosq - Y senq X = x cosq + y senq

y = X senq + Y cosq Y = -x senq + y cosq

(33)

In[201]:= k= 8;

Plot@8x, −x, k ê x<, 8x, −10, 10<,

PlotRange →88−10, 10<, 8−10, 10<<, AspectRatio → AutomaticD;

-10-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 -10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 In[204]:= k= −8; Plot@8x, −x, k ê x<, 8x, −10, 10<,

PlotRange →88−10, 10<, 8−10, 10<<, AspectRatio → AutomaticD;

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 -10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10

(34)

8.5 As Quádricas

A equação geral do segundo grau em duas variáveis x e y tem a forma

ax2 _{+ b x y + c y}2 _{+ dx + ey + f = 0 (1)}

Chama-se quádricas toda curva plana cujos pontos (x, y) são soluções da equação (1).

O parâmetro D = 4 a c - b2_{é chamado o discriminante da equação (1). O discriminante é invariante com relação} à rotação dos eixos de coordenadas.

O discriminante é usado para distinguir as quádricas:

Caso 1: D = 4 a c - b2 _{> 0. A equação (1) representa uma elípse, um ponto ou um conjunto vazio.} Caso 2: D = 4 a c - b2 _{< 0. A equação (1) representa uma hipérbole ou duas retas.}

Caso 3: D = 4 a c - b2_{= 0. A equação (1) representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o} con-junto vazio.

EXEMPLO 1.

A equação 13 x2_{− 10 x y + 13 y}2 _{+ 34 è!!!}₂_{x − 2 è!!!}₂_{y − 22 = 0 representa uma elipse} Valor do discriminante D = 4 a c - b2

In[218]:= a= 13; b = −10; c = 13; 4 a c − b2

Out[219]= 576

O discriminante é maior que zero, portanto a equação representa, de fato, uma elípse. In[203]:= << Graphics`ImplicitPlot` ImplicitPlotA 13 x ^ 2 − 10 x y + 13 y ^ 2 + 34è!!!!2 x − 2è!!!!!2 y − 11 0,8x, −6, 2<E; -4 -3 -2 -1 -3 -2 -1 1

(35)

EXEMPLO 2. A equação 2 x2_{− x y + 5 x − y + 3 = 0 representa duas retas} Valor do discriminante D = 4 a c - b2

In[220]:= a= 2; b = −1; c = 0; 4 a c − b2

Out[221]= −1

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas. In[113]:= Factor@2 x^2 − x y + 5 x − y + 3D

Out[113]= H1 + xL H3 + 2 x − yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = -1 e y = 2x + 3. In[115]:= Plot@8−1, 2 x + 3<, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2

2 4 6

EXEMPLO 3. A equação x2_{− 9 y}2_{+ 2 x − 6 y = 0 representa duas retas} Valor do discriminante D = 4 a c - b2

In[222]:= a= 1; b = 0; c = −9; 4 a c − b2

Out[223]= −36

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas. In[122]:= Factor@x^2 − 9 y^2 + 2 x − 6 yD

Out[122]= Hx − 3 yL H2 + x + 3 yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: y = x/3 e y = -x/3 - 2/3. In[124]:= Plot@8x ê 3, −x ê 3 − 2 ê 3<, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2

-1 -0.5 0.5

(36)

Exercícios

Indique, nos Exercícios 1 a 18, as quádricas de equações dadas e efetue as transformações necessárias para se obterm as respectivas equações cônicas. Faça o gráfico em cada caso.

1. 3 x2 _{+ 2 è!!!}₃_{x y + y}2 _{- 5 x = 0} Valor do discriminante D = a c - b2

In[214]:= a= 3; b = 2 è!!!!3 ; c= 1; 4 a c − b2

Out[215]= 0

O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representar uma parábola. In[133]:= FactorA3 x2+ 2 è!!!!3 x y + y2 − 5 xE

Out[133]= −5 x + 3 x2+ 2 è!!!3 x y+ y2

In[134]:= ImplicitPlotA3 x2+ 2 è!!!!3 x y + y2 − 5 x 0,8x, −2, 10<E;

2 4 6 8 10 -25 -20 -15 -10 -5 2. x2 _{- 3 x y + x = 0} Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[216]:= a= 1; b = −3; c = 0; 4 a c − b2 Out[217]= −9

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas. In[138]:= Factor@x2− 3 x y + xD

(37)

Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = 0 e y = x/3 + 1/3. In[140]:= Plot@80, x ê 3 + 1 ê 3<, 8x, −2, 2<D; -2 -1 1 2 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3. 2 x2 _{+ 3 x y + 2 y}2 _{- x - 5 = 0} Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[224]:= a= 2; b = 3; c = 2; 4 a c − b2 Out[225]= 7

O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio. In[142]:= Factor@2 x2+ 3 x y + 2 y2 − x − 5D Out[142]= −5 − x + 2 x2+ 3 x y + 2 y2 In[145]:= ImplicitPlot@2 x2+ 3 x y + 2 y2 − x − 5 0,8x, −2, 4<D; -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 4. 2 y2 _{- 4 x y - y = 0} Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[226]:= a= 0; b = −4; c = 2; 4 a c − b2 Out[227]= −16

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas. In[147]:= Factor@2 y2− 4 x y − yD

Out[147]= yH−1 − 4 x + 2 yL

(38)

In[148]:= Plot@80, 2 x + 1 ê 2<, 8x, −2, 2<D; -2 -1 1 2 -2 2 4 5. x2 _{- x y + 1 = 0} Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[228]:= a= 1; b = −1; c = 0; 4 a c − b2 Out[229]= −1

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas. In[156]:= Factor@x2− x y + 1D Out[156]= 1+ x2− x y In[167]:= ImplicitPlot@x2− x y + 1 0,8x, −3, 3<D; -3 -2 -1 1 2 3 -4 -2 2 4 6. x y+ x + y = 0 Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[230]:= a= 0; b = 1; c = 0; 4 a c − b2 Out[231]= −1

(39)

In[161]:= Factor@x y + x + yD Out[161]= x+ y + x y In[170]:= ImplicitPlot@x y + x + y 0, 8x, −3, 2<D; -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 7. x y- x + y - 1 = 0 Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[232]:= a= 0; b = 1; c = 0; 4 a c − b2 Out[233]= −1

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas. In[172]:= Factor@x y − x + y − 1D

Out[172]= H1 + xL H−1 + yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = -1 e y = 1.

In[175]:= Show@Plot@1, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@88−1, −1<, 8−1, 2<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-2 -1 1 2 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 8. x2 + è!!!3 x y - 1 = 0 Valor do discriminante D = 4 a c - b2

(40)

In[234]:= a= 1; b = è!!!!3 ; c= 0; 4 a c − b2

Out[235]= −3

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas. In[177]:= FactorAx2 + è!!!!3 x y − 1E

Out[177]= −1 + x2+ è!!!3 x y

In[185]:= ImplicitPlotAx2 + è!!!!3 x y − 1 0,8x, −2, 2<E;

-2 -1 1 2 -3 -2 -1 1 2 3 9. x2 _{+ 2 x y + y}2 _{- 1 = 0} Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[236]:= a= 1; b = 2; c = 1; 4 a c − b2 Out[237]= 0

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas,uma reta ou o conjunto vazio.

In[187]:= Factor@x2 + 2 x y + y2− 1D

Out[187]= H−1 + x + yL H1 + x + yL

(41)

In[188]:= Plot@8−x + 1, −x − 1<, 8x, −2, 2<D; -2 -1 1 2 -3 -2 -1 1 2 3 10. x2 _{+ x y + y}2 _{+ x - 2 y = 0} Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[238]:= a= 1; b = 1; c = 1; 4 a c − b2 Out[239]= 3

O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio. In[190]:= Factor@x2 + x y + y2 + x − 2 yD Out[190]= x+ x2− 2 y + x y + y2 In[192]:= ImplicitPlot@x2 + x y + y2 + x − 2 y 0,8x, −4, 2<D; -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 11. x2 - 4 x y + 4 y2 - 9 = 0 Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[240]:= a= 1; b = 4; c = 4; 4 a c − b2 Out[241]= 0

O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas,uma reta ou o conjunto vazio.

In[194]:= Factor@x2 − 4 x y + 4 y2 − 9D

Out[194]= H−3 + x − 2 yL H3 + x − 2 yL

(42)

In[195]:= Plot@8x ê 2 − 3 ê 2, x ê 2 + 3 ê 2<, 8x, −2, 2<D; -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 12. x2 _{+ y}2 _{- 3 x + y + 1 = 0} Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[242]:= a= 1; b = 0; c = 1; 4 a c − b2 Out[243]= 4

O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio. In[197]:= Factor@x2 + y2 − 3 x + y + 1D Out[197]= 1− 3 x + x2+ y + y2 In[199]:= ImplicitPlot@x2 + y2 − 3 x + y + 1 0,8x, 0, 3<D; 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.5 -1 -0.5 0.5 13. y2 - 4 x2- 3 y + 6 x = 0 Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[244]:= a= −4; b = 0; c = 1; 4 a c − b2 Out[245]= −16

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hiperbóle ou duas retas. In[201]:= Factor@ y2 − 4 x2 − 3 y + 6 xD

Out[201]= −H2 x − yL H−3 + 2 x + yL

(43)

In[202]:= Plot@82 x, −2 x + 3<, 8x, −2, 2<D; -2 -1 1 2 -4 -2 2 4 6 14. 4 x y + 4 x2 _{+ y}2 _{- x - y + 1 = 0} Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[246]:= a= 4; b = 4; c = 1; 4 a c − b2 Out[247]= 0

O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio. In[6]:= Factor@ 4 x y + 4 x2 + y2− x − y + 1D Out[6]= 1− x + 4 x2− y + 4 x y + y2 In[13]:= ImplicitPlot@4 x y + 4 x2 + y2− x − y + 1 0, 8x, −4, 0<, PlotRange → 88−4, 1<, 80, 12<<D; -4 -3 -2 -1 1 2 4 6 8 10 12 15. 4 x y - x2_{- 4 y}2 _{= 0} Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[248]:= a= −1; b = 4; c = −4; 4 a c − b2 Out[249]= 0

O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio.

(44)

In[15]:= Factor@ 4 x y − x2 − 4 y2D

Out[15]= −Hx − 2 yL2

Daqui segue-se que a equação original representa uma reta: y = x/2. In[16]:= Plot@x ê 2, 8x, −2, 2<D; -2 -1 1 2 -1 -0.5 0.5 1 16. 4 x2 _{+ 12 x y + 9 y}2 _{+ y - 10 = 0} Valor do discriminante D = 4 a c - b2 In[250]:= a= 4; b = 12; c = 9; 4 a c − b2 Out[251]= 0

O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio. In[18]:= Factor@ 4 x2 + 12 x y + 9 y2 + y − 10D Out[18]= −10 + 4 x2+ y + 12 x y + 9 y2 In[21]:= ImplicitPlot@ 4 x2 + 12 x y + 9 y2+ y − 10 0,8x, −20, 20<D; -15 -10 -5 5 10 15 20 -15 -10 -5 5 10 17. x2 + x y + y2 = 0 Valor do discriminante D = 4 a c - b2

(45)

In[252]:= a= 1; b = 1; c = 1; 4 a c − b2

Out[253]= 3

O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio. In[23]:= Factor@ x2 + x y + y2D

Out[23]= x2+ x y + y2

Daqui segue-se que a equação original representa o ponto (0, 0).

18. x2 - 3 y2+ 2 x y - x + y = 0 Valor do discriminante D = 4 a c - b2

In[254]:= a= 1; b = 2; c = −3; 4 a c − b2

Out[255]= −16

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hyperbóle ou duas retas. In[27]:= Factor@ x2 − 3 y2 + 2 x y − x + yD

Out[27]= Hx − yL H−1 + x + 3 yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas reta: y = x e y = -x/3 + 1/3 In[28]:= Plot@8x, −x ê 3 + 1 ê 3<, 8x, −2, 2<D; -2 -1 1 2 -2 -1 1 2