, quando h se aproxima de zero ou, usando notação matemática, precisamos calcular o. = lim

(1)

Limite de Fun¸

c˜

oes

6.1 O conceito de limite

No Cap´ıtulo 5, determinamos a inclina¸c˜ao da reta tangente `a par´abola y = f (x) = a x2+ b x + c num ponto (x0, f(x0)).

O método empregado consistiu em obter esta inclina¸cão a partir das declividades das retas secantes que passam pelos pontos (x0, f (x0))e (x0+ h, f (x0+ h)), tomando valores arbitrariamente pequenos para h, isto é, fazendo h tender

a zero. Este m´etodo pode ser empregado para uma fun¸c˜ao f qualquer. De fato, para determinar a declividade da reta tangente a uma curva qualquer y = f (x) basta estudar o comportamento do quociente f (x0+h)−f(x0)

h , quando h se aproxima de zero ou, usando nota¸c˜ao matem´atica, precisamos calcular o

lim h_→0 f (x0+ h)− f(x0) h = limx→x0 f (x)− f(x0) x− x0

Para que isso seja poss´ıvel, ´e preciso aprofundar um pouco mais o estudo do conceito matem´atico de limite. Come¸caremos este estudo de maneira intuitiva, por meio de alguns exemplos.

Exemplo 1

Vamos estudar o comportamento da fun¸c˜ao f deﬁnida por f (x) = x2_{− x + 2 para valores de x pr´oximos de 2. A}

primeira tabela a seguir mostra os valores de f (x) quando x se aproxima de 2 por valores menores do que 2. Neste caso, dizemos que x se aproxima de 2 pela esquerda. A segunda mostra os valores de f (x) quando x se aproxima de 2 por valores maiores do que 2, isto ´e, quando x se aproxima de 2 pela direita.

              x f (x) 1.0 2.0 1.5 2.75 1.8 3.44 1.9 3.71 1.95 3.8525 1.99 3.9701 1.995 3.985025 1.999 3.997001                             x f (x) 3.0 8.0 2.5 5.75 2.2 4.64 2.1 4.31 2.05 4.1525 2.01 4.0301 2.005 4.015025 2.0001 4.003001               Veja este comportamento ilustrado no gr´aﬁco abaixo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1 2_x 3 4

Tanto as tabelas acima quanto o gráfico da parábola mostram que `a medida que x se aproxima de 2 quer pela direita, quer pela esquerda, f (x) se aproxima de 4, ou seja, podemos fazer f (x) ficar t˜ao perto de 4 quanto quisermos, bastando para isso tomarmos x suficientemente pr´oximo de 2. Para descrever este comportamento matematicamente, usamos a nota¸cão

lim x→2(x

2_{− x + 2) = 4}

(Lˆe-se: o limite de f (x), quando x tende a 2, ´e 4).

(2)

De um modo geral, dizer que

lim x→x0

f (x) = L

significa que, `a medida que x se aproxima de x0, os valores de f (x) ficam próximos de L, e, mais do que isso, podemos

melhorar cada vez mais esta aproxima¸cão, isto ´e, podemos tornar a diferen¸ca entre f (x) e L, em valor absoluto, t˜ao pequena quanto quisermos, bastando para isso escolher x suficientemente próximo de x0.

• Usando as tabelas constru´ıdas neste exemplo, verifique quão próximo x deve estar de 2, para que | f(x)−4 | < 0, 01.

Na defini¸c˜ao de limite, dizer que “x se aproxima de x0” significa que, para o cálculo de limites, podemos tomar

x bem pertinho de x0, sem que x seja igual a x0. De fato, para o cálculo de limites não interessa o valor da fun¸cão

no ponto x = x0, mas somente como a fun¸c˜ao f se comporta perto deste ponto. Este fato ´e ilustrado nos gr´aﬁcos a

seguir. No primeiro deles, f n˜ao est´a deﬁnida em x = 1; no terceiro, f (1)̸= 2; nos dois casos temos que lim

x→1f (x) = 2. –1 0 1 2 3 –2 –1 1_x 2 –1 0 1 2 3 –2 –1 1_x 2 –1 0 1 2 3 –2 –1 1 2 x –1 0 1 2 3 –2 –1 1 2 x Exemplo 2

Nesse exemplo estudaremos o comportamento da fun¸c˜ao f (x) = x3_{para valores de x pr´}_{oximos de}_−2.

Graﬁcamente temos: –16 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 0

Para observar numericamente o comportamento dessa fun¸c˜ao, estude as tabelas dadas a seguir. Na primeira, a fun¸c˜ao f ´e calculada para uma seq¨uˆencia de valores de x se aproximando de−2, pela direita. Na segunda, calculamos

f (x) quando x se aproxima de−2, pela esquerda.

                  x x3 −1.500000000 −3.375000000 −1.750000000 −5.359375000 −1.875000000 −6.591796875 −1.937500000 −7.273193359 −1.968750000 −7.630828857 −1.984375000 −7.813961029 −1.992187500 −7.906615734 −1.996093750 −7.953216493 −1.998046875 −7.976585381 −1.999023438 −7.988286971                                     x x3 −2.500000000 −15.62500000 −2.250000000 −11.39062500 −2.125000000 −9.595703125 −2.062500000 −8.773681641 −2.031250000 −8.380889893 −2.015625000 −8.188968658 −2.007812500 −8.094116688 −2.003906250 −8.046966612 −2.001953125 −8.023460396 −2.000976563 −8.011724473                  

(3)

O gr´aﬁco e as tabelas acima sugerem que lim x→(−2)x 3 =−8. Exerc´ıcio 1 Considere a fun¸c˜ao f (x) = x3_.

1. Usando o m´etodo descrito acima, tente achar um prov´avel valor para lim x_→2x

3_.

2. Determine qu˜ao pr´oximo x deve estar de 2 para quex3− 8< .0001.

Exemplo 3

Vamos estudar agora o comportamento da fun¸c˜ao g, cuja defini¸cão e gráficos são dados abaixo à esquerda, para valores de x pr´oximos de 1. Observe, graficamente, o que ocorre com essa fun¸cão nas proximidades do ponto 1 no gráfico à direita. > _{g:=piecewise(x<1,x-2,x>=1,x+1);} g := {_x_{− 2 x < 1} x + 1 1≤ x –4 –3 –2 –1 1 2 3 x –4 –3 –2 –1 1 2 3 x

Observe separadamente o comportamento desta fun¸c˜ao quando x se aproxima de 1 pela esquerda (primeiro gr´afico) e pela direita (segundo gráfico).

–4 –3 –2 –1 1 2 3 x –4 –3 –2 –1 1 2 3 x

Observe, agora, numericamente, esse comportamento. Na primeira tabela, x se aproxima de 1 pela direita. Na segunda, pela esquerda._

                 x g(x) 1.500000000 2.500000000 1.250000000 2.250000000 1.125000000 2.125000000 1.062500000 2.062500000 1.031250000 2.031250000 1.015625000 2.015625000 1.007812500 2.007812500 1.003906250 2.003906250 1.001953125 2.001953125 1.000976563 2.000976563                                     x g(x) .5000000000 −1.500000000 .7500000000 −1.250000000 .8750000000 −1.125000000 .9375000000 −1.062500000 .9687500000 −1.031250000 .9843750000 −1.015625000 .9921875000 −1.007812500 .9960937500 −1.003906250 .9980468750 −1.001953125 .9990234375 −1.000976563                  

Notamos, nesse caso, que o comportamento de g(x) difere daquele dos exemplos anteriores, pois a fun¸c˜ao assume diferentes valores quando x se aproxima de 1 pela direita ou pela esquerda. As tabelas acima sugerem que quando x se aproxima de 1 pela direita a fun¸c˜ao g(x) se aproxima de 2 e, quando x se aproxima de 1 pela esquerda, g(x) se aproxima de−1. A nota¸cão matemática para essa situa¸cão é

lim

(4)

(Lˆe-se: o limite de g(x) quando x tende a 1 pela direita é 2 e o limite de g(x) quando x tende a 1 pela esquerda ´e−1.) Esses limites são chamados, respectivamente, limite lateral à direita e limite lateral à esquerda. Quando, como nesse caso, os limites laterais são diferentes, dizemos que a fun¸cão n˜ao tem limite no ponto x = x0.

Assim, o limite de uma fun¸c˜ao em um ponto x0existe, quando os limites laterais existem e s˜ao iguais.

• Confirme essa afirma¸cão para as fun¸cões estudadas nos exemplos anteriores.

Exerc´ıcio 2

Estude o comportamento da fun¸c˜ao f (x) = | x |

x para valores de x pr´oximos de zero, isto ´e, calcule limx_→0+f (x) e

lim

x→0− f (x) e conclua se existe o limx→0f (x). Como nos exemplos anteriores, fa¸ca uma an´alise gráfica e numérica.

Sugest˜ao: Qual o valor de f (x) para x > 0? E para x < 0?

Exemplo 4: Uma aplica¸c˜ao

Retornemos, agora, ao problema estudado no cap´ıtulo anterior, de encontrar a inclina¸cão da reta tangente à par´abola y = f (x) = x2 no ponto x0= 1. Como vimos, este problema é equivalente a estudar o comportamento da

fun¸c˜ao g(x) = f (x)− f(x0)

x− x0

, quando x se aproxima de x0.

Como nos exemplos anteriores, faremos uma análise gráfica e numérica. As tabelas a seguir mostram o com-portamento desta fun¸c˜ao quando x se aproxima de 1. A tabela da esquerda mostra o comportamento do quociente

g(x) = x

2_{− 1}

x− 1 quando x se aproxima de 1 pela esquerda, isto ´e, por valores menores que 1. A outra tabela mostra

este mesmo comportamento quando x se aproxima de 1 pela direita, ou seja, por valores maiores que 1. Nos dois casos, `a medida que x se aproxima de 1 os valores do quociente x

2_{− 1}

x− 1 se aproximam de 2. Observa-se este mesmo

comportamento no gr´aﬁco da fun¸c˜ao g mostrado ao lado.                     x x 2_{− 1} x− 1 .5000000000 1.500000000 .7500000000 1.750000000 .8750000000 1.875000000 .9375000000 1.937500000 .9687500000 1.968750000 .9843750000 1.984375000 .9921875000 1.992187500 .9960937500 1.996093750 .9980468750 1.998046875 .9990234375 1.999023438                                         x x 2_{− 1} x− 1 1.500000000 2.500000000 1.250000000 2.250000000 1.125000000 2.125000000 1.062500000 2.062500000 1.031250000 2.031250000 1.015625000 2.015625000 1.007812500 2.007812500 1.003906250 2.003906250 1.001953125 2.001953125 1.000976563 2.000976563                     –1 0 1 2 3 –2 –1 1 2 x

As tabelas e o gr´aﬁco sugerem que lim

x_→1g(x) = 2. Neste exemplo, este limite representa a declividade da reta tangente `a curva f (x) = x2 _{no ponto x}

0= 1. Repare, uma vez mais, que ao estudarmos o limite de uma fun¸c˜ao num

ponto x0, estamos interessados em conhecer o que acontece com os valores dessa fun¸c˜ao nas proximidades do ponto

x0. Este comportamento independe do valor da fun¸c˜ao em x0, visto que esta fun¸c˜ao, como neste exemplo, nem ao

menos precisa estar definida nesse ponto! O ponto (1, 2) aparece no gr´afico anterior marcado por um pequeno disco para enfatizar que o ponto x = 1 n˜ao pertence ao dom´ınio da fun¸c˜ao g. Para x ̸= 1, temos que g(x) = x + 1 pois, nesse caso, podemos simplificar a express˜ao que define g e obter

x2_{− 1}

x− 1 =

(x + 1) (x− 1)

x− 1 = x + 1.

A nota¸c˜ao lim

x→1g(x) = 2 significa que à medida que os valores de x se aproximam de 1 quer pela direita, quer pela esquerda, os valores de g se aproximam de 2, e que podemos tornar a diferen¸ca| g(x) − 2 | tão pequena quanto quisermos, bastando para isso escolhermos x suficientemente pr´oximo de 1, sem nunca, no entanto, alcan¸car este valor. Repare a mensagem emitida pelo Maple quando tentamos calcular a fun¸c˜ao g no ponto x = 1.

> _g(1);

(5)

Neste exemplo:

- Qu˜ao pr´oximo x deve estar de x0para que a distˆancia de g(x) a 2 seja menor que 1/100?

- Qu˜ao pr´oximo x deve estar de x0para que a distˆancia de g(x) a 2 seja menor que 1/1000?

No exemplo acima, vimos que embora g(x) não esteja definida em x0= 1, os valores de g(x) se aproximam de 2 à

medida que x se aproxima de 1, e se quisermos tornar a diferen¸ca entre g(x) e 2 menor que 1/10 basta tornarmos a diferen¸ca entre x e x0menor que 1/10; se quisermos que| g(x) − 2 | <₁₀₀1 , basta fazermos| x − x0| < ₁₀₀1 . Experimente!

Exemplo 5: Limites infinitos

Considere agora a fun¸c˜ao y = f (x) = _x12. Pode-se concluir imediatamente que y sempre ser´a positivo e que y n˜ao

est´a deﬁnido quando x = 0. Mas o que acontece quando x se aproxima de zero?

Observe as tabelas a seguir. A da esquerda mostra o comportamento desta fun¸c˜ao para valores de x positivos e se aproximando de zero. A da direita, mostra o comportamento desta fun¸c˜ao para valores negativos de x se aproximando de zero.                     x 1 x2 .5000000000 4. .2500000000 16. .1250000000 64. .06250000000 256. .03125000000 1024. .01562500000 4096. .007812500000 16384. .003906250000 65536. .001953125000 262144. .0009765625000 .1048576 107                                         x 1 x2 −.5000000000 4. −.2500000000 16. −.1250000000 64. −.06250000000 256. −.03125000000 1024. −.01562500000 4096. −.007812500000 16384. −.003906250000 65536. −.001953125000 262144. −.0009765625000 .1048576 107                    

Neste caso, notamos que `a medida que x se aproxima de zero, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores correspondentes de f (x) “explodem”, isto ´e, crescem, sem limite, em valor absoluto. Dizemos, ent˜ao, que quando x tende a zero a fun¸cão tende a +∞ . Em nota¸cão matemática escrevemos lim

x→0f (x) =∞ ou f(x) → ∞ quando x → 0. Observe esse comportamento no seguinte gráfico (Veja o texto eletrônico):

0 20 40 60 80 100 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Note que, neste exemplo, `a medida que x se aproxima de zero, os valores de f (x) n˜ao se aproximam de nenhum n´umero, portanto o lim

x→0f (x) n˜ao existe. A nota¸cão limx→0f (x) =∞ serve, somente, para indicar que podemos tornar os valores de f (x) arbitrariamente grandes, bastando para isso tomarmos x suficientemente pr´oximo de zero. Na nota¸cão usada acima para indicar este comportamento, não estamos considerando∞ como um número, nem afirmando que o limite existe. Ela serve somente para indicar a maneira especial como a fun¸cão se comporta perto do zero.

• Você é capaz de dar outros exemplos de fun¸cões que apresentem este mesmo comportamento? • Considere a fun¸cão g(x) = −1

x2 e analise o seu comportamento quando x se aproxima de zero. Vocˆe poder´a veriﬁcar

que g(x) decresce sem limite, isto ´e, tende a−∞. Neste caso escrevemos lim

x→0g(x) =−∞.

Nos dois casos acima, quando x se aproxima de zero o gr´aﬁco da fun¸c˜ao se aproxima da reta x = 0. A reta x = 0 ´

e chamada de ass´ıntota vertical ao gr´aﬁco da fun¸c˜ao y = g(x).

(6)

Considerando novamente a fun¸c˜ao f (x) = _x12, vamos agora observar o que acontece com os seus valores quando x

cresce em valor absoluto e se torna muito grande.

As tabelas seguintes mostram os valores de f calculados para valores positivos de x, sucessivamente crescentes e para valores de x sucessivamente decrescentes, respectivamente:

                      x 1 x2 1024. .9536743164 10−6 2048. .2384185791 10−6 4096. .5960464478 10−7 8192. .1490116119 10−7 16384. .3725290298 10−8 32768. .9313225746 10−9 65536. .2328306437 10−9 131072. .5820766091 10−10 262144. .1455191523 10−10 524288. .3637978807 10−11 .1048576 107 _{.9094947018 10}−12                                             x 1 x2 −1024. .9536743164 10−6 −2048. .2384185791 10−6 −4096. .5960464478 10−7 −8192. .1490116119 10−7 −16384. .3725290298 10−8 −32768. .9313225746 10−9 −65536. .2328306437 10−9 −131072. .5820766091 10−10 −262144. .1455191523 10−10 −524288. .3637978807 10−11 −.1048576 107 _{.9094947018 10}−12                       Veja no texto eletrônico a anima¸cão gráfica correspondente.

Nesse caso dizemos que o limite da fun¸cão ´e zero quando x tende para +∞ ou −∞, isto é, quando x cresce sem limite (x→ +∞) ou quando x decresce sem limite (x → −∞). Em nota¸cão matemática escrevemos:

lim

x→∞f (x) = 0 e x→−∞lim f (x) = 0

Novamente, os s´ımbolos +∞ e −∞ não são números. Estes s´ımbolos indicam somente que estamos considerando valores de x cada vez maiores, em valor absoluto.

Observe tamb´em que, quando x cresce em valor absoluto, isto é, x → +∞ ou x → −∞, o gráfico da fun¸cão se aproxima da reta y = 0. Nesse caso, a reta y = 0 ´e chamada de ass´ıntota horizontal ao gráfico da fun¸c˜ao f .

6.1.1 Ass´ıntotas ao gr´

afico de uma fun¸

c˜

ao

Pelos dois exemplos anteriores, intuitivamente podemos concluir que uma reta é uma ass´ıntota ao gráfico de uma fun¸cão quando, à medida que um ponto se move ao longo da curva, a distância desse ponto à reta se aproxima de zero indefinidamente, sem nunca chegar a zero.

As defini¸cões a seguir expressam as idéias de ass´ıntotas verticais e horizontais ao gráfico de uma fun¸c˜ao y = f (x) em termos matemáticos mais precisos:

Ass´ıntota vertical

Dizemos que uma reta x = a é uma ass´ıntota vertical ao gr´afico de uma fun¸c˜ao y = f (x) se uma das condi¸c˜oes se verifica:

lim

x_→a+f (x) =∞, lim_x_→a+ f (x) =−∞, lim_x_→a−f (x) =∞ ou limx_→a− f (x) =−∞.

Ass´ıntota horizontal

Dizemos que uma reta y = a ´e uma ass´ıntota horizontal ao gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao y = f (x) se lim

x→∞f (x) = a ou se x→−∞lim f (x) = a

. • Você é capaz de definir uma condi¸cão que permita determinar quando uma reta y = mx + b é uma ass´ıntota inclinada ao gráfico de uma fun¸c˜ao y = f (x)? (Veja Problema 9 da Se¸cão Problemas Propostos).

• É poss´ıvel determinar uma condi¸cão que permita afirmar quando uma fun¸cão f(x) se aproxima de uma outra fun¸cão

qualquer, n˜ao necessariamente uma reta, quando x→ +∞ ou quando x → −∞? (Veja Projeto: Ass´ıntotas e outras

(7)

6.1.2 Exerc´ıcios

1. Para a fun¸c˜ao f cujo gr´aﬁco ´e dado a seguir, estime o valor dos seguintes limites, caso existam: (a) lim x→1+f (x) (b) lim x→1−f (x) (c) lim x→1f (x) (d) lim x→2+f (x) (e) lim x→2−f (x) (f) lim x→2f (x) (g) lim x→0+f (x) (h) lim x→0−f (x) –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y –4 –3 –2 –1 1 2_x 3 4

2. Para a fun¸c˜ao f cujo gr´aﬁco ´e dado a seguir, estime os seguintes limites, caso existam: (a) lim x→−π 2+ f (x) (b) lim x_→−π 2− f (x) (c) lim x_→−π 2 f (x) (d) lim x→π 2+ f (x) (e) lim x→π 2− f (x) (f) lim x→π 2 f (x) –6 –4 –2 0 2 4 6 y –6 –4 –2 2 x 4 6

Determine as equa¸c˜oes das ass´ıntotas verticais.

3. (a) Esboce o gr´aﬁco da fun¸c˜ao g(x) =        2− x se x < −1 x se −1 ≤ x < 1 4 se x = 1 4− x se x > 1

(b) Use o gr´aﬁco esbo¸cado no item anterior para estimar o valor dos seguintes limites, caso existam: i. lim x→−1− g(x) ii. lim x→1− g(x) iii. lim x→−1+g(x) iv. lim x→1+g(x) v. lim x_→−1g(x) vi. lim x→1g(x) 4. Considere a fun¸c˜ao y =_x1.

(a) Qual o seu dom´ınio? (b) Quais suas ass´ıntotas?

(c) Qual o comportamento da fun¸c˜ao quando x se aproxima de zero pela direita? E quando x se aproxima de zero pela esquerda?

(d) Esboce o gráfico dessa fun¸cão escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais caracter´ısticas. 5. Considere a fun¸c˜ao y =_x₋₁x .

(a) Qual o seu dom´ınio? (b) Quais suas ass´ıntotas?

(c) Descreva o comportamento da fun¸c˜ao no ponto x = 1.

(d) Esboce o gráfico dessa fun¸cão escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais caracter´ısticas. 6. (a) Determine o dom´ınio, a imagem e as ass´ıntotas da fun¸c˜ao y = x +1_x.

(b) Qual o comportamento desta fun¸c˜ao no ponto x = 0? (c) Esboce o seu gr´aﬁco.

(8)

6.2 Defini¸

c˜

oes

Na se¸cão anterior, “calculamos” intuitivamente limites de fun¸cões por meio da análise dos seus gráficos e também pela observa¸c˜ao de tabelas que listavam valores de pontos do tipo (x, f (x)). Essas pesquisas gr´aficas e/ou numéricas são úteis para obter informa¸c˜oes preliminares e nos ajudar a prever um valor para o limite procurado. Embora, na

maioria das vezes sugiram o valor correto do limite (veja nas atividades de laborat´orio alguns exemplos onde este procedimento conduz a conclusões erradas), não constituem uma demonstra¸cão no sentido em que os matemáticos a entendem.

Para obtermos uma demonstra¸cão, no sentido matemático do termo, de uma afirma¸cão envolvendo limites, torna-se necessário definir com rigor e precisão o que significam expressões do tipo “`a medida que x se aproxima de xo, os valores de f (x) se aproximam de L” ou “podemos tornar a diferen¸ca entre f (x) e L, em valor absoluto, t˜ao pequena quanto quisermos, bastando para isso considerar x bastante próximo de xo, sem no entanto nunca atingir esse valor”. Na verdade, o significado preciso de expressões do tipo acima foi alvo de discussões acaloradas e acirradas entre os matemáticos durante séculos. Foi somente no final do século XIX que o matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) formulou a defini¸cão de limite que usamos nos dias de hoje e que apresentamos a seguir.

6.2.1 Defini¸

c˜

ao 1: Limite de uma fun¸

c˜

ao em um ponto

Na se¸cão anterior, conclu´ımos que, dada uma fun¸c˜ao y = f (x), dizemos que L é o limite de f (x) quando x se aproxima de x0ou quando x tende a x0, se pudermos tornar a diferen¸ca entre f (x) e L tão pequena quanto quisermos, bastando

para isso considerar x suﬁcientemente pr´oximo de x0. Nesse caso escrevemos

lim x_→x0

f (x) = L.

O ponto central nessa idéia é o de que podemos obter estimativas do valor limite e que estas estimativas, para qualquer propósito prático, podem estar tão próximas quanto se queira do valor exato.

Para isso come¸camos com uma fun¸c˜ao m(x) que nos d´a uma fam´ılia de estimativas. Imagine, por exemplo, uma fun¸c˜ao m que, para cada valor de x, nos dˆe uma estimativa para a declividade da reta tangente `a curva y = f (x) no ponto x0= 0, 5. Neste caso,

m(x) = f (x)− f(0, 5) x− 0, 5

que ´e a declividade da reta secante que passa pelos pontos (x0, f (x0)) e (x, f (x)).

Existe um valor ideal que gostar´ıamos que x assumisse. Neste exemplo, a declividade exata da reta tangente seria obtida quando o segundo ponto (x, f (x)), coincidisse com o primeiro (x0, f (x0)) e, conseq¨uentemente, a reta secante

coincidisse com a reta tangente. Este valor ideal na realidade, ´e imposs´ıvel de ser atingido. Veriﬁque no exemplo dado, que a fun¸c˜ao m n˜ao est´a deﬁnida para x = 0, 5.

Na maioria das aplica¸cões práticas, não necessitamos da resposta exata, mas de uma resposta aproximada com um certo erro permitido. A letra grega ε ´e, tradicionalmente, usada para denotar este erro permitido. Dependendo da situa¸c˜ao o erro ε pode ser grande ou muito, muito pequeno.

Para cada erro permitido, existe uma tolerˆancia, de tal maneira que se x dista do valor ideal x0 menos do que a

tolerância, então a estimativa está dentro do padrão de erro tolerado, isto é, a diferen¸ca entre o valor exato e o valor aproximado encontrado, em valor absoluto, é menor do que o erro permitido.

Colocando estas idéias em termos matemáticos precisos, temos a defini¸cão abaixo.

Defini¸c˜ao: A express˜ao

lim x_→x0

f (x) = L

significa que para todo erro permitido ε > 0, não importa quão pequeno ele seja, existe uma tolerância δ > 0, tal que se 0 <| x − x0| < δ então | f(x) − L | < ε.

(9)

y = f(x) L L +ε ε L -xoxo +δ δ xo

-Os pontos do gr´afico de y = f (x) que satisfazem a desigualdade | f(x) − L | < ε são os pontos que estão entre as duas retas horizontais y = L− ε e y = L + ε (por quê?). Este é o afastamento (erro) permitido do valor exato L. Da mesma forma, os pontos desse gráfico que satisfazem a desigualdade| x − x0| < δ são aqueles que estão entre as

retas verticais x = x0− δ e x = x0+ δ. Esta é a faixa de tolerância. Dessa maneira, a defini¸cão de limite nos diz que:

sendo dadas duas retas horizontais y = L− ε e y = L + ε (ε > 0), faixa de erro permitido, ´e poss´ıvel escolher duas retas verticais x = x0− δ e x = x0+ δ (δ > 0), faixa de tolerˆancia, de tal maneira que se x estiver dentro da faixa de

tolerˆancia, f (x) estar´a dentro da faixa de erro permitido. (Veja a anima¸c˜ao no texto eletrˆonico.)

Repare ainda que não importa quão próximas estejam as retas horizontais (isto é, qu˜ao pequeno seja ε, o erro permitido), sempre será poss´ıvel determinar duas retas verticais – faixa de tolerˆancia – tais que sempre que x estiver dentro da faixa de tolerˆancia, f (x) estar´a dentro da faixa de erro permitido. Observe a veracidade desta afirma¸cão ilustrada no diagrama a seguir. Execute a anima¸cão correspondente no texto eletrônico.

Está claro, agora, para você o significado geom´etrico da frase: podemos tornar a distância| f(x) − L | tão pequena quanto quisermos, bastando para isso considerar x suficientemente próximo de x0?

Repare, mais uma vez, que o valor do limite de uma fun¸c˜ao f (x) em um ponto x0n˜ao tem necessariamente rela¸c˜ao

com o valor desta fun¸cão neste ponto. Este é um importante aspecto do estudo de limites. Uma fun¸cão não precisa estar necessariamente definida no ponto x0para que exista o limite de f (x) em x0, basta apenas que a fun¸c˜ao f esteja

deﬁnida em alguma vizinhan¸ca restrita de x0, isto ´e, em um conjunto obtido de um intervalo aberto contendo x0,

excluindo-se esse ponto. Por exemplo, para estudar o lim x→x0

f (x) basta que f esteja deﬁnida em intervalos abertos do

tipo (x0− 0.5, x0) e (x0, x0+ 0.5) ou (x0− 0.1, x0) e (x0, x0+ 0.1) ou equivalentes.

Exemplo 1

Vamos usar a deﬁni¸c˜ao acima para provar rigorosamente que lim

x_→33 x− 4 = 5.

Para isso ´e preciso descobrir um modo de achar um valor de δ (tolerˆancia) que torne verdadeira a implica¸cão existente na defini¸c˜ao de limite, qualquer que seja o valor de ε (erro permitido) dado. O método de achar δ depende da fun¸cão

f e dos valores de x0 e de L.

Dado ε > 0, deve-se achar δ > 0 tal que

| (3 x − 4) − 5 | < ε se 0 < | x − 3 | < δ.

Ora,

| (3 x − 4) − 5 | = | 3 x − 9 | = 3 | x − 3 | .

Assim, se tomarmos δ = ε₃, teremos que a desigualdade |x − 3| < ε₃ implicar´a que

| (3 x − 4) − 5 | = |3 x − 9| = 3 | x − 3 | < 3ε

3 = ε, como quer´ıamos.

(10)

Logo, qualquer que seja o n´umero ε > 0 dado a priori, basta escolher δ =₃ε para obtermos as desigualdades desejadas. Este exemplo ilustra tamb´em o fato de que o n´umero δ ´e, em geral, escolhido em fun¸c˜ao do n´umero ε.

Exerc´ıcio 1

Tendo em vista a rela¸c˜ao obtida acima para o valor de δ, calcule qu˜ao perto x deve estar de 3 para que 3 x− 4 diste de 5 menos do que ₁₀₀₀₀1 .

Exemplo 2

Vamos provar que lim x→23 x

2_{+ 5 = 17.}

Para isso, dado ε > 0, precisamos achar δ > 0 tal que(3 x2_{+ 5)}_{− 17}_{< ε toda vez que tivermos 0 <}_{| x − 2 | < δ.}

Como(3 x2_{+ 5)}_{− 17} _{= 3}_x2_{− 4} _{= 3}_{| x + 2 | | x − 2 |, a id´eia ´e provar que 3 | x + 2 | | x − 2 | pode tornar-se}

t˜ao pequeno quanto se queira, desde que se escolha| x − 2 | suﬁcientemente pequeno.

Para isso, basta observar que se| x − 2 | é suficientemente pequeno, o valor de | x + 2 | = | (x − 2) + 4 | ≤ | x − 2 |+4 não pode ser muito grande.

Assim, por exemplo, se| x − 2 | < 1, ent˜ao | x + 2 | < 5, portanto,

| x − 2 | < 1 ⇒(3 x2+ 5)− 17< 15| x − 2 | (∗)

Por sua vez, para tornarmos essa ´ultima express˜ao menor do que ε, basta escolhermos | x − 2 | < ₁₅ε. Assim, escolhendo δ como o menor dentre os dois n´umeros 1 e ₁₅ε, teremos que,

se 0 <| x − 2 | < δ, ent˜ao(3 x2+ 5)− 17< 15| x − 2 | < ε,

como quer´ıamos demonstrar. Note que a primeira desigualdade vale porque δ < 1 e portanto (*) ´e verdadeira e a ´

ultima desigualdade vale porque δ < ₁₅ε, portanto,| x − 2 | < ₁₅ε.

Exerc´ıcio 2

Tendo em vista a demonstra¸c˜ao anterior, calcule δ para que 3 x2+ 5 diste de 17 menos do que ₃₀₀₀1 .

Exerc´ıcio 3

Considere f (x) = x3_{. Dado ε = .0001 determine 0 < δ que satisfa¸ca a deﬁni¸}_c˜_{ao de limite para x}

0= 2, isto ´e,

determine qu˜ao pr´oximo x deve estar de 2 para quex3_{− 8}_{< .0001}

Exerc´ıcio 4

Aplique a deﬁni¸c˜ao de limite para mostrar que: (a) lim x→a x 2 = a2 (b) Se a > 0, lim x→a √

x =√a. Sugest˜ao: Use a identidade|√x−√a| = √|x−a|_x+√_a.

6.2.2 Defini¸

c˜

ao 2: Limites laterais

Da mesma forma, podemos definir em termos matemáticos precisos as no¸cões de limites laterais à direita e à esquerda.

Defini¸c˜ao 2.1: Limite lateral `a direita

Suponha uma fun¸c˜ao f deﬁnida no intervalo aberto (x0, a), a > x0. Dizemos que o n´umero L ´e o limite lateral `a

direita de f (x) no ponto x0, quando podemos fazer os valores de f (x) t˜ao perto de L quanto quisermos, bastando para

isso escolher x, no intervalo (x0, a), suﬁcientemente pr´oximo de x0.

Em linguagem matem´atica, temos lim x→x0+

f (x) = L, se, dado qualquer número ε > 0, n˜ao importa quão pequeno ele seja, é sempre poss´ıvel achar um n´umero δ > 0 tal que| f(x) − L | < ε para todo x que satisfizer as desigualdades

x0< x < x0+ δ.

Veja a anima¸cão no texto eletrônico que ilustra essa defini¸cão.

Observamos, uma vez mais, que a fun¸c˜ao f (x) n˜ao precisa estar deﬁnida em x0, mas apenas no intervalo (x0, a).

Defini¸c˜ao 2.2: Limite lateral `a esquerda

Suponha uma fun¸c˜ao f deﬁnida no intervalo aberto (a, x0), a < x0. Dizemos que o n´umero L ´e o limite lateral `a

esquerda de f (x) no ponto x0 quando podemos tornar os valores de f (x) t˜ao perto de L quanto quisermos, bastando

(11)

Em linguagem matem´atica, dizemos que lim x_→x−₀

f (x) = L se, dado qualquer número ε > 0, n˜ao importa quão pequeno ele seja, é sempre poss´ıvel achar um n´umero δ > 0 tal que | f(x) − L | < ε para todo x que satisfizer as desigualdades x0− δ < x < x0.

Observe a anima¸c˜ao correspondente no texto eletrˆonico.

Como no caso anterior, a fun¸c˜ao f (x) n˜ao precisa estar deﬁnida em x0, mas apenas no intervalo (a, x0).

Repare que quando os dois limites laterais no ponto x0 existem e s˜ao iguais, temos que dado qualquer n´umero

ε > 0, n˜ao importa quão pequeno ele seja, é sempre poss´ıvel achar um n´umero δ > 0 tal que |f(x) − L| < ε para todo x que satisfizer as desigualdades x0 < x < x0+ δ e x0− δ < x < x0 simultaneamente, isto ´e, para todo x tal

que x0− δ < x < x0+ δ. Esta última desigualdade é equivalente a| x − x0| < δ, portanto, obtemos a defini¸cão de

lim x→x0

f (x) = L. Por isso, a existˆencia e igualdade dos limites laterais é uma condi¸cão necessária e suficiente para a existência do limite no ponto. Veja a anima¸cão no texto eletrônico que ilustra essa afirma¸cão.

Como vimos na se¸c˜ao anterior, quando os limites laterais num ponto x0 qualquer s˜ao diferentes, n˜ao existe o

lim x→x0

f (x). Execute a anima¸cão do texto eletrônico para visualizar esta afirma¸cão.

Exerc´ıcio 5

Se f (x) =

{_{x + 1} ₂_{≤ x}

−x x < 2, calcule f (2), limx→2+f (x) e o lim_x_→2− f (x). Exerc´ıcio 6

(a) Calcule lim x→0+ √ x. (b) Existe o lim x→0 √

x? Justiﬁque sua resposta.

6.2.3 Defini¸

c˜

ao 3: Limites Infinitos

Na se¸cão anterior, vimos também que, dada uma fun¸c˜ao y = f (x), se f (x) cresce sem limite à medida que x se aproxima de x0, dizemos que

lim x→x0

f (x) = +∞.

De um modo mais geral, dado qualquer n´umero positivo N , t˜ao grande quanto quisermos, sempre podemos achar um n´umero positivo δ, tal que, se

0 <| x − x0| < δ, ent˜ao f(x) > N

Observamos novamente que a fun¸c˜ao n˜ao precisa estar necessariamente deﬁnida no ponto x0, mas apenas em um

intervalo aberto contendo x0.

Exerc´ıcio 7

Calcule δ para que a fun¸c˜ao f (x) = _x12 seja maior que 100000 toda vez que| x | < δ.

Exerc´ıcio 8

Deﬁna em termos matem´aticos precisos o que entendemos por lim x→x0

f (x) =−∞

Exerc´ıcio 9

O que signiﬁcam precisamente as express˜oes: lim x→x+₀

f (x) =−∞ e lim

x→x−₀

f (x) = +∞. Dˆe exemplo de uma fun¸c˜ao

que apresente esse comportamento no ponto x0= 0 e de uma outra fun¸c˜ao que apresente este comportamento em um

ponto x0 qualquer.

6.2.4 Defini¸

c˜

ao 4: Limites no infinito

Na se¸cão anterior, vimos ainda alguns exemplos de fun¸c˜oes y = f (x), que se aproximavam de um valor L `a medida que x crescia em valor absoluto. Em nota¸cão matemática escrevemos:

lim

x_→∞f (x) = L oux_→−∞lim f (x) = L. Neste caso, a reta y = L ´e uma ass´ıntota horizontal ao gr´aﬁco da fun¸c˜ao f .

De um modo mais geral, dado qualquer n´umero positivo ε, t˜ao pequeno quanto quisermos, sempre podemos achar um n´umero positivo N , tal que:

(12)

| f(x) − L | < ε sempre que | x | > N.

Exerc´ıcio 10

Calcule N para que a fun¸c˜ao f (x) = 1

x diste de zero menos que

1

1000 , isto ´e, diga qu˜ao grande devemos considerar

x para que1

x<

1 1000.

6.3 Teoremas e propriedades operat´

orias

Nas se¸cões anteriores vimos que, para calcular limites, não podemos nos basear, exclusivamente, em estimativas numéricas que apenas sugerem o valor do limite e podem por vezes serem enganosas (veja exemplos desta afirma¸cão nas atividades de laboratório) nem em aplica¸cões diretas da defini¸cão de limite para tentar provar o que tais estimativas sugerem, porque essas defini¸cões são muito dif´ıceis para serem aplicadas comumente.

Para calcular limites com facilidade, precisamos de regras ou leis que simplifiquem o processo de cálculo de limites, tornando-o mais simples. Essas regras são na realidade teoremas que são demonstrados a partir das defini¸cões rigorosas de limite, dadas na se¸cão anterior.

Uma vez demonstrados, podemos usar estes resultados apropriadamente para calcular limites, o que reduz esse cálculo, como veremos a seguir, a manipula¸cões algébricas, em geral simples.

Teorema 1: Unicidade do limite

Se lim

x→x0

f (x) = L1 e lim

x→x0

f (x) = L2, ent˜ao L1= L2.

A idéia da demonstra¸cão ´e supor que L1̸= L2 . Se a partir dessa hipótese chegarmos a uma conclusão absurda,

teremos provado que n˜ao ´e poss´ıvel que L1̸= L2 e, portanto, L1= L2.

Demonstra¸c˜ao

Se L1̸= L2, podemos considerar o n´umero positivo ε = |L1−L₂ 2|. Como lim

x→x0

f (x) = L1, sabemos que existe um

n´umero δ1tal que se 0 <| x − x0| < δ1, ent˜ao| f(x) − L1| < ε.

Al´em disso, como lim x→x0

f (x) = L2, sabemos que existe, tamb´em, um n´umero δ2tal que se 0 <| x − x0| < δ2, ent˜ao

| f(x) − L2| < ε.

Seja δ = min(δ1, δ2), isto ´e, seja δ o menor dentre os n´umeros δ1 e δ2. Ent˜ao |f(x) − L1| < ε e |f(x) − L2| < ε,

portanto,

|L1− L2| = |L1− f(x) + f(x) − L2| ≤ |L1− f(x)| + |f(x) − L2| < ε + ε = 2 ε.

Da´ı, temos

| L1− L2| < | L1− L2|

Como o n´umero |L1− L2| n˜ao pode ser estritamente menor do que ele mesmo, chegamos a um absurdo, portanto,

a hip´otese que ﬁzemos (supor L1̸= L2) n˜ao pode ser verdadeira. Assim, temos necessariamente que L1= L2, o que

prova a unicidade do limite.

Teorema 2: Limite da fun¸

c˜

ao identidade

Se f (x) = x, ent˜ao lim

x→x0

f (x) = x0.

Este teorema ´e inteiramente intuitivo e diz simplesmente que, `a medida que x se aproxima de x0, f (x) = x se

aproxima, como é óbvio, do mesmo valor. Para demonstrar, rigorosamente, este teorema, basta tomar na defini¸cão de limite δ = ε e a conclus˜ao segue trivialmente.

Teorema 3: Limite da fun¸

c˜

ao constante

Se f (x) = c, onde c ´e uma constante qualquer, ent˜ao lim

x_→x0

f (x) = c.

Este é outro resultado bastante intuitivo. Se a fun¸c˜ao, independente de qual seja o valor de x, sempre assume o mesmo valor constante c , n˜ao importa quão pr´oximo x esteja de x0, o valor de f , e portanto o valor do limite, será

sempre igual a c.

Usando a defini¸cão formal de limite, precisamos mostrar que, para qualquer n´umero positivo escolhido ε, e para qualquer valor de δ (n˜ao importa quão pr´oximo x esteja de x0), se | x − x0| < δ, então | f(x) − c | < ε.

Esta conclusão é verdadeira qualquer que seja o n´umero positivo ε, pois a diferen¸ca f (x)− c será sempre zero.

(13)

Se lim x→x0 f (x) = L e lim x→x0 g(x) = M , ent˜ao lim x→x0 (f (x) + g(x)) = L + M .

Este teorema diz, simplesmente, que se f (x) está perto de L, e se g(x) está perto de M quando x está perto de x0,

ent˜ao f (x) + g(x) est´a perto de L + M quando x est´a perto de x0.

Seja ε > 0. Como lim x_→x0

f (x) = L, existe um δ1 tal que

(i ) se 0 <| x − x0| < δ1, ent˜ao| f(x) − L | < ε₂.

Al´em disso, como lim x→x0

g(x) = M , existe um δ2 tal que

(ii ) se 0 <| x − x0| < δ2, ent˜ao| g(x) − M | < ε₂.

Considere agora δ = min(δ1, δ2), ent˜ao, se 0 <| x − x0| < δ, (i) e (ii) valem simultaneamente, e podemos concluir

que

| (f(x) + g(x)) − (L + M) | ≤ | f(x) − L | + | g(x) − M | < ε

2 +

ε

2 < ε , que ´e o resultado desejado.

Teorema 5: Limite da diferen¸

ca

Se lim x→x0 f (x) = L e lim x→x0 g(x) = M , ent˜ao lim x→x0 (f (x)− g(x)) = L − M.

A demonstra¸cão desse resultado é análoga à anterior. Tente demonstrá-lo.

Teorema 6: Limite do produto

Se lim x→x0 f (x) = L e lim x→x0 g(x) = M , ent˜ao lim x→x0 (f (x) g(x)) = L M .

Este teorema afirma, simplesmente, que podemos fazer o produto f (x) g(x) t˜ao pr´oximo de LM quanto quisermos, bastando para isso escolher x suficientemente próximo de x0.

A demonstra¸cão é baseada na observa¸cão de como os erros nas medidas do comprimento e da largura de um retângulo afetam a sua área. Suponha que queremos construir um retˆangulo cujo comprimento seja L e cuja largura seja M . Conseq¨uentemente, sua área ser´a L M .

Se cometermos um erro ao medirmos o comprimento deste retângulo e um outro erro ao medirmos a sua largura, estes erros serão propagados para a área do retângulo. Veja a figura a seguir, onde o erro total cometido na medida da área está representado por linhas pontilhadas.

LM M

L

Como a figura sugere, o erro na área pode ser dividido em três partes. A primeira parte pode ser entendida como o produto do erro cometido no comprimento pela a largura do retângulo original; a segunda é o produto do erro cometido na largura pelo comprimento do retângulo original, finalmente, a terceira pode ser entendida como a área de um outro retângulo cujas medidas dos lados são o erro cometido no comprimento e na largura do retângulo original, respectivamente. Como é poss´ıvel controlar a área destes três retângulos, controlando o tamanho do erro cometido na medida de L e M , podemos controlar o erro total cometido ao medirmos a ´area do retângulo original, isto é, o erro total cometido no produto L M .

(14)

Seja ε > 0 . Sabemos que existem n´umeros positivos δ1 , δ2e δ3 tais que :

(i ) se 0 <| x − x0| < δ1, ent˜ao|f(x) − L| < 1, o que implica |f(x)| < |L| + 1

(ii ) se| x − x0| < δ2, ent˜ao| g(x) − M | < ε 2 (|L| + 1). (iii ) se 0 <| x − x0| < δ3, ent˜ao| f(x) − L | < ε 2 (|M| + 1).

Considere agora δ = min(δ1, δ2, δ3), ent˜ao, se 0 <| x − x0| < δ, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente e podemos

concluir que | (f(x) g(x)) − (L M) | < | f(x) | | g(x) − M | + (| M | + 1) | f(x) − L | < ε 2 + ε 2 < ε , o que demonstra o teorema.

Teorema 5: Limite do quociente

Se lim x→x0 f (x) = L, lim x→x0 g(x) = M e M̸= 0, ent˜ao lim x→x0 (f (x) g(x)) = L M.

Este teorema aﬁrma que se f (x) est´a pr´oximo de L e g(x) est´a pr´oximo de M quando x est´a pr´oximo de x0, ent˜ao,

desde que M ̸= 0, o quociente f (x)_g(x) est´a pr´oximo de _ML quando x est´a pr´oximo de x0.

Tendo em vista o teorema anterior, como f (x)

g(x) = f (x)

1

g(x), basta provar que

lim x_→x0 1 g(x) = 1 M.

Para isso, devemos mostrar que qualquer que seja o n´umero positivo ε, existe um n´umero positivo δ, tal que se 0 <| x − x0| < δ, ent˜ao _g(x)1 − 1 M = | g(x) − M |_{| M | | g(x) |}< ε. Como lim x→x0

g(x) = M , sabemos que, desde que x esteja suﬁcientemente pr´oximo de x0, podemos tornar a diferen¸ca

| g(x) − M | t˜ao pequena quanto quisermos.

A idéia, então, é mostrar que|g(x)| não pode ser muito grande desde que |g(x) − M| seja pequena . Sejam δ1e δ2números positivos tais que

(i ) se 0 <| x − x0| < δ1, ent˜ao| g(x) − M | < |M|₂ .

Para esses valores de x, temos que |M|₂ <|g(x)|, o que ´e equivalente a 1 |g(x)| < 2 |M|, portanto, 1 g(x)− 1 M = 2| g(x) − M | M2 . (ii ) se 0 <| x − x0| < δ2,| g(x) − M | < ε| M |2 2 .

Considere agora δ = min(δ1, δ2). Ent˜ao, se 0 <| x − x0| < δ, (i ) e (ii) valem simultaneamente e podemos concluir

que g(x)1 − 1 M < 2 ε M2 M22 = ε ,

(15)

Observe que este teorema n˜ao aﬁrma nada sobre o que acontece quando M = 0. De fato, se M = 0, qualquer coisa pode acontecer, mesmo no mais simples dos casos.

Seja, por exemplo, f (x) = k x e g(x) = x, onde k ´e um número qualquer. Então f (x)_g(x) = k x_x = k para x̸= 0 e além disso, o lim

x→x0

f (x)

g(x) = k, qualquer que seja o valor de x0. Veja esse fato ilustrado no diagrama a seguir para k = 2 e a = 0. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

O disco neste gráfico ressalta o fato de que a fun¸cão não está definida neste ponto; no entanto, seu limite neste e em todos os outros pontos ´e igual a k, que, nesse exemplo, foi tomado como sendo 2, mas poderia ser qualquer outro número.

Já estudamos uma situa¸c˜ao semelhante a esta quando tentamos calcular a declividade m da reta tangente ao gráfico de uma fun¸cão como o limite das declividades de retas secantes `a curva y = f (x), isto ´e, quando calculamos

lim x→x0

f (x)− f(x0)

x− x0

.

Nesse caso, quando x se aproxima de x0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero. Este

teorema não se aplica a essa situa¸cão e nada podemos afirmar quanto ao valor de limites deste tipo.

Para buscar solu¸c˜oes para situa¸c˜oes como estas, basta observar que o numerador e o denominador desse quociente tˆem x− x0 como fator comum, e como estamos interessados no comportamento da fun¸c˜ao quando os valores de x

se aproximam de x0, sem nunca chegar a atingir esse valor, podemos simplificar a expressão que define o quociente

dividindo numerador e denominador pelo seu fator comum e, depois desta simplifica¸cão, calcular o valor do limite. Repare, no exemplo abaixo, que o Maple faz essa simplifica¸cão automaticamente quando tra¸ca o gráfico de fun¸cões definidas por expressões deste tipo.

> m:=x->(x^2-4)/(x-2); m := x→ x 2_{− 4} x− 2 > plot(m(x),x=-4..4); –2 0 2 4 6 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x Exerc´ıcio 11

Qual o limite da fun¸c˜ao acima quando x→ 2?

Embora simplifica¸cões desse tipo sejam válidas e empregadas normalmente para o cálculo de limites, devemos sempre lembrar que as fun¸c˜oes y = x + 2 e m = x2−4

x−2 não são iguais, pois seus dom´ınios são diferentes, embora esse fato não seja mostrado no gráfico acima.

Exerc´ıcio 12

Se lim x→x0

f (x) = L, lim

x→x0

g(x) = 0, o que se pode aﬁrmar a respeito do lim

x→x0

(f (x)

g(x))? Nesse caso, qual o

comporta-mento da fun¸c˜ao quociente quando x→ x0?

Teorema 6: Teorema do Sandu´ıche

Suponha que f (x)≤ g(x) e que g(x) ≤ h(x) numa vizinhan¸ca restrita de x0e que lim

x_→x0 f (x) = L = lim x_→x0 h(x). Ent˜ao lim x→x0 g(x) = L.

(16)

Este teorema é chamado Teorema do Sandu´ıche, ou do Confronto, porque diz, simplesmente, que se uma fun¸cão, numa certa vizinhan¸ca de x0 onde estamos interessados em estudar o seu comportamento, está comprimida entre

outras duas que tendem ao mesmo limite L, ent˜ao o seu limite nesse ponto tamb´em deve ser L. Veja a id´eia geom´etrica ilustrada a seguir: –0.15 –0.1 –0.05 0 0.05 0.1 0.15 –0.4 –0.3 –0.2 –0.1 0.1 0.2_x 0.3 0.4 Demonstra¸c˜ao

Seja ε > 0 e sejam δ1e δ2tais que :

(i ) se 0 <| x − x0| < δ1, ent˜ao| f(x) − L | < ε, isto ´e, L − ε < f(x) < L + ε.

(ii ) se 0 <| x − x0| < δ2, ent˜ao| h(x) − L | < ε, isto ´e, L − ε < h(x) < L + ε.

Dizer que f (x)≤ g(x) ≤ h(x), numa vizinhan¸ca restrita de x0, signiﬁca dizer que existe um n´umero p tal que

(iii ) f (x)≤ g(x) ≤ h(x) para todo x pertencente ao intervalo (x0− p, x0+ p).

Seja δ = min(δ1, δ2, p). Ent˜ao, se 0 < | x − x0| < δ, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente, e podemos concluir

que

L− ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε.

Estas últimas desigualdades são equivalentes a afirmar que

| g(x) − L | < ε,

como quer´ıamos demonstrar.

Os resultados enunciados a seguir, são conseqüência direta dos teoremas anteriores. Deixamos suas demonstra¸cões como exerc´ıcio para o leitor.

Corol´ario 1: Mostre que lim x_→a x

n _{= a}n_.

Corol´ario 2: Se lim

x→a f (x) = L e C ´e uma constante qualquer, ent˜ao lim

x_→aC f (x) = C L .

Corol´ario 3 Sejam a0, a1, a2, . . . , an constantes quaisquer.

Se f (x) = anxn+ an₋₁x(n−1)+ ... + a1x + a0, ent˜ao lim

x→af (x) = f (a). Corol´ario 4 Sejam a0, a1, a2, . . . , an e b0, b1, b2, . . . , bn constantes quaisquer. Considere

f (x) = anxn+ an−1x(n−1)+ ... + a1x + a0,

g(x) = bnxn+ bn−1x(n−1)+ ... + b1x + b0 e

h(x) = f (x)

g(x).

Prove que se a pertence ao dom´ınio de h, ent˜ao limx→a h(x) = h(a).

Os teoremas enunciados nesta se¸cão transformam, na maioria dos casos, o cálculo de limites em simples cálculos algébricos. Exemplos de aplica¸cão dos teoremas no cálculo de limites são mostrados na próxima se¸cão.

(17)

6.4 Exemplos de aplica¸

c˜

oes dos teoremas no c´

alculo de limites

Exemplo 1 Calcule lim

x→3x

2_{+ 4 x + 4.}

Solu¸c˜ao Aplicando a regra da soma, temos:

lim x_→3x 2_{+ 4 x + 4 = ( lim} x_→3x 2_{) + ( lim} x_→34 x) + ( limx_→34) Pela regra do produto e da multiplica¸c˜ao por constante, temos que:

( lim x→3x

2_{) + ( lim}

x→34 x) + ( limx→34) = ( limx→3x) ( limx→3x) + ( limx→34) ( limx→3x) + 4 Logo, conclu´ımos que

lim x→3x

2_{+ 4 x + 4 = 3}2_{+ 4 (3) + 4 = 25}

o que transforma o cálculo desse limite num simples cálculo algébrico.

x→3

2 x + 5

x2_{+ 4 x + 4}.

Solu¸c˜ao No exemplo anterior, vimos que o lim

x→3x

2_{+ 4 x + 4}_{̸= 0, portanto, podemos aplicar a regra do quociente}

para aﬁrmar que:

lim x→3 2 x + 5 x2_{+ 4 x + 4} = lim x_→32 x + 5 lim x→3x 2_{+ 4 x + 4} = 2 (3) + 5 32_{+ 4 (3) + 4} = 11 25.

x_→1 [ (x2− x) 1 3 _{+ (x}3_{+ x)}9 ] . Solu¸c˜ao lim x→1 [ (x2− x) 1 3 _{+ (x}3_{+ x)}9 ] = lim x→1(x 2_{− x)}13 _{+ lim} x→1(x 3_{+ x)}9₌[_lim x→1(x 2_{− x)}] 1 3 + [ lim x→1(x 3_{+ x)}]9 = [ lim x→1x 2_{− lim} x→1x ]1 3 + [ lim x→1x 3_{+ lim} x→1x ]9 = (12_{− 1)}13 _{+ (1}3_{+ 1)}9_{= 2}9_{= 512} .

Observa¸c˜ao Se f (x) = x2_{+ 4 x + 4, ent˜}_{ao f (3) = 25 e, no Exemplo 1, poder´ıamos ter obtido o valor correto de}

lim

x→3f (x) calculando, simplesmente, f (3). Esta mesma observa¸cão vale para os Exemplos 2 e 3. As fun¸cões dos Exemplos 1 e 2 são polinômios e fun¸cões racionais (veja próximo cap´ıtulo), respectivamente e, os Corolários 3 e 4 garantem que, se f (x) ´e um polinômio ou uma fun¸c˜ao racional e a pertence ao dom´ınio de f , ent˜ao lim

x→a f (x) = f (a). Fun¸cões para as quais vale esta propriedade são chamadas de fun¸cões cont´ınuas e serão estudadas no Cap. 8.

Exemplo 4 Ache lim

x→1

x2_{− 1}

x− 1 .

Solu¸c˜ao Seja f (x) = x_x2₋₁−1. Neste caso, n˜ao podemos calcular o limite simplesmente substituindo x = 1 na express˜ao que define f , pois f (1) n˜ao est´a definida. Nem podemos aplicar o t eorema do Quociente, porque o limite do denominador é zero. A idéia é trabalhar algebricamente com a expressão dada, fazendo algum tipo de simplifica¸cão antes de tentar calcular o limite pedido. Assim,

x2_{− 1}

x− 1 =

(x + 1) (x− 1) (x− 1) .

O numerador e o denominador tˆem o fator comum x−1. Quando x se aproxima de 1, temos que x ̸= 1, ent˜ao x−1 ̸= 0. Logo, podemos cancelar o fator comum e calcular o limite como fazemos a seguir.

lim x→1 x2− 1 x− 1 = limx→1 (x + 1) (x− 1) (x− 1) = limx→1(x + 1) = 1 + 1 = 2 .

(18)

Exemplo5 Ache o lim

x→1g(x), onde g(x) = {

x + 1 se x̸= 1

π se x = 1

Solu¸c˜ao Neste exemplo g est´a deﬁnida em x = 1 e g(1) = π, mas, para uma fun¸c˜ao qualquer, o valor do limite

em um ponto independe do valor da fun¸c˜ao neste ponto. Como g(x) = x + 1 para x̸= 1, lim

x→1g(x) = limx→1(x + 1) = 2.

Note que as fun¸cões dos Exemplos 4 e 5 s˜ao iguais, exceto quando x = 1, portanto, elas tendem para o mesmo limite quando x→ 1. Veja os gráficos destas duas fun¸cões, mostrados a seguir.

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y –4 –3 –2 –1 1 2_x 3 4 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y –4 –3 –2 –1 1 2_x 3 4

h→0

(3 + h)2− 9

h .

Solu¸c˜ao Seja F (h) = (3+h)_h2−9. Como no Exemplo 4, precisamos simpliﬁcar F (h) antes de calcular o limite.

Assim, temos F (h) = (9 + 6 h + h 2₎_{− 9} h = 6 h + h2 h = 6 + h.

(Lembre-se de que quando h→ 0 estamos considerando h ̸= 0, portanto os cálculos algébricos acima estão corretos.) Em vista das igualdades acima, temos que

lim h→0

(3 + h)2− 9

h = limh→0(6 + h) = 6 .

t→0

√

t2_{+ 9}_{− 3}

t2 .

Solu¸c˜ao N˜ao podemos aplicar o teorema do quociente imediatamente porque o limite do denominador ´e zero.

Aqui, o algebrismo consiste em racionalizar o numerador para tentarmos algum tipo de simpliﬁca¸c˜ao. Assim,

√ t2_{+ 9}_{− 3} t2 = √ t2_{+ 9}_{− 3} t2 · √ t2_{+ 9 + 3} √ t2_{+ 9 + 3} = (t2+ 9)− 9 t2₍√_t2_{+ 9 + 3)} = 1 √ t2_{+ 9 + 3}.

As igualdades acima permitem concluir que lim t→0 √ t2_{+ 9}− 3 t2 = lim_t_→0 1 √ t2_{+ 9 + 3} = 1 √ lim t→0(t 2_{+ 9) + 3} = 1 3 + 3 = 1 6

Para calcular alguns limites, é preciso calcular, separadamente, os limites laterais à esquerda e à direita. Os teoremas da se¸cão anterior para limites, valem, também para limites laterais. Os dois exemplos abaixo ilustram casos onde é necessário o cálculo separado dos limites laterais.

Exemplo 8 Mostre que lim

x→0| x | = 0.

Solu¸c˜ao Como| x | = x, para x > 0, tem-se

lim

x_→0+ | x | = limx_→0+ x = 0.

Como,| x | = −x, ent˜ao

lim

(19)

Conseqüentemente, como os limites laterais existem e são iguais, então lim x→0| x | = 0. Exemplo 9 Se f (x) = { √ x− 4 se x > 4

8− x se x < 4 . Determine, se existir, limx_→4f (x).

Solu¸c˜ao Como f (x) =√x− 4, para x > 4, temos que

lim

x→4+f (x) = lim_x_→4+

√

x− 4 =√4− 4 = 0. Como f (x) = 8− x, para x < 4 temos que

lim

x_→4− f (x) = limx_→4+(8− x) = 4.

Como os limites laterais s˜ao diferentes, n˜ao existe lim x_→4f (x).

6.5 Atividades de laborat´

orio

Usando um computador e o Maple, fa¸ca as atividades propostas no arquivo lab2.mws da vers˜ao eletrˆonica deste texto.

6.6 Exerc´ıcios

1. Se lim

x_→a f (x) = 4, limx_→ag(x) =−2 e limx_→ah(x) = 0, calcule os seguintes limites: (a) lim x→a(f (x)− g(x)) (b) lim x→a f (x) g(x) (c) lim x→a(g(x)) 2 (d) lim x→a h(x) f (x) (e) lim x→a 1 (f (x) + g(x))2.

2. (a) O que est´a errado na identidade x

2_{+ x}_{− 6}

x− 2 = x + 3?

(b) Tendo em vista o item anterior, explique por que a identidade lim x_→2 x2_{+ x}_{− 6} x− 2 = limx_→2(x + 3) est´a correta. 3. Se lim

x→a(f (x) + g(x)) = 2 e limx→a(f (x)− g(x)) = 1, calcule limx→a(f (x) g(x)).

6.7 Problemas propostos

1. Nos ´ıtens a seguir, aplique as propriedades operat´orias de limites para calcular os limites que existam: (a) lim x→05 x 4_{− 4 x}3_{+ 2 x}_{− 14} (b) lim x→−12 x− x 4 (c) lim x_→−1(x 2_{− 2)}5 (d) lim x_→1 x + 1 x2_{− 2 x − 2} (e) lim x→3 x2_{− 9} x− 3 (f) lim y_→3 1 y− 1 3 y− 3 (g) lim t→−4 √ t + 8 25− t2 (h) lim x→0 √ x + 4− 2 x (i) lim x→4 x− 4 √ x− 2 (j) lim x_→1 x2_{+ x}_{− 2} x2− 4 x + 3 (k) lim x→2 (x− 2)2 x4_{− 16} (l) lim x→0 √ 1 + x−√1− x x

2. Calcule os seguintes limites: (a) lim x→0− x 2− | x | (b) xlim→0+ x 2− | x |

(20)

(c) Tendo em vista os dois itens anteriores, o que se pode aﬁrmar a respeito do lim x→0 x 2− | x |? (d) lim x→3− √ 9− x2 _{(e) lim} x→2 2− x | x − 2 | (f) limx→0f (x), onde { f (x) = x2 _se _x_{≤ 0} f (x) =−x se x > 0

3. Para cada uma das seguintes fun¸c˜oes, ache lim x→3 f (x)− f(3) x− 3 . (a) f (x) = 2 x2 (b) f (x) = 3 x2 (c) f (x) =x₂2 (d) f (x) = m x, (m=constante) (e) f (x) = 2 x2+ 3 x + 1 (f) f (x) = 1 x, para x̸= 0 (g) f (x) = x3

(h) O que representa geometricamente esse limite?

4. Para as fun¸c˜oes do problema anterior, ache lim x_→x0

f (x)− f(x0)

x− x0

para um ponto x0 qualquer.

5. No cap´ıtulo sobre retas tangentes, vimos, geometricamente, que não existe reta tangente `a curva y = | x | no ponto x0= 0. Usando a defini¸cão de declividade de reta tangente e a teoria dos limites desenvolvida nesse

cap´ıtulo, prove analiticamente esta aﬁrma¸c˜ao.

6. (a) Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salobra contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada para o tanque, a uma taxa de 25 l/min. Mostre que a concentra¸cão de sal no tanque ap´os t minutos (em g/l) ´e dada por C(t) = 30 t

200 + t.

(b) O que acontece com a concentra¸c˜ao quando t→ ∞. 7. Ache lim x_→∞f (x) se 4 x− 1 x < f (x) < 4 x2+ 3 x x2 para todo x > 5.

8. Suponha que| f(x) | ≤ g(x) para todo x. Se lim

x_→ag(x) = 0, calcule limx_→a f (x).

9. O gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao y = f (x) tem uma ass´ıntota inclinada de equa¸c˜ao y = m x + b se lim

x→∞(f (x)−(mx +b)) = 0 ou se lim

x→−∞(f (x)− (mx + b)) = 0. (Os valores de m e b podem ser diferentes em cada caso.) (a) Prove que a reta y = x ´e uma ass´ıntota ao gr´aﬁco da fun¸c˜ao y = x + 1_x.

(b) O gr´aﬁco da fun¸c˜ao f (x) = x(1

3)(1−x)(23)tem uma ass´ıntota inclinada. Encontre a equa¸c˜ao dessa ass´ıntota.

Sugest˜ao No caso em que x→ +∞, m = lim

x→∞

f (x)

x e b = limx→∞(f (x)− mx). Analogamente, se calcula m e b no caso em que x→ −∞.

(c) Tendo em vista a defini¸cão de ass´ıntota inclinada, por que as express˜oes acima para m e b s˜ao válidas? 10. Dizemos que uma fun¸c˜ao f (x) ´e limitada quando existe um n´umero M tal que | f(x) | ≤ M, para todo x no

dom´ınio de f . Suponha que f ´e limitada. Mostre que: (a) lim

x→0x f (x) = 0 (b) lim

x→a g(x) = 0, ent˜ao limx→a g(x) f (x) = 0. Dê um contra-exemplo para mostrar que, se f n˜ao é limitada, essa conclusão não vale.

(c) Mostre que se lim

x→af (x) = 0, ent˜ao limx→af (x) sen(x) = 0. 11. Suponha que lim

x→af (x) = f (a) > 0. Prove que existe uma vizinhan¸ca de a na qual f (x) > 0, isto ´e, prove que existe um δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x no intervalo (a− δ, a + δ).

12. Considere a fun¸c˜ao f (x) deﬁnida por f (x) = {

0, para x irracional

1, para x racional .

Explique por que qualquer que seja o n´umero real a, o lim