Modelagem e Simulação CCMP0057

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Modelagem e Simulação

CCMP0057

www.univasf.edu.br/~brauliro.leal

Prof. Brauliro Gonçalves Leal

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Modelagem Conceitual de SF

Os pacotes chegam na Fila, um por vez, o Servidor os atendem também um por vez.

Um pacote aguardará na Fila se o Servidor estiver ocupado, caso contrário, será atendido.

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Modelagem Conceitual de SF

A figura abaixo é uma representação gráfica de Sistemas de Fila M/M/1 e seus elementos constituintes:

● o Sistema de Fila (SF) ● uma Fila (F)

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Modelagem Conceitual de SF

Variável Descrição

τ tempo entre chegadas, isto é, o intervalo de tempo entre duas _{chegadas sucessivas}

λ taxa média de chegada por unidade de tempo

s tempo de serviço, tempo requerido para processar pacotes ou _{tempo no Servidor}

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Modelagem Conceitual de SF

Os valores que ns pode assumir são 0 ou 1,

correspondendo a Servidor ocioso ou Servidor ocupado, respectivamente.

Os valores que nf pode assumir são os

inteiros positivos, nf ∈ [0,∞), temos também

que:

nsf = nf + ns.

As variáveis cpf, eps e sps, são as variáveis de estado do sistema, são eventos discretos no tempo.

Para o mesmo evento tem-se que:

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Modelagem Conceitual de SF

A figura ao lado é uma ilustração estática do Modelo Conceitual de Sistemas de Fila M/M/1.

Mas nela está implícito os aspectos dinâmicos deste modelo.

Pacotes chegam continuamente no sistema, os pacotes um a um, são encaminhados para o Servidor e após, ser processadas, saem do sistema.

Este fluxo permite gerar uma tabela com os valores de cpf, eps e sps, discutida a seguir.

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Modelagem Conceitual de SF

Cálculo de da taxa de chegada (λ) e do tempo de serviço (μ)

Os dados de entrada para a simulação de Sistemas de Fila M/M/1 são:

● a taxa média de chegada (λ) ou os valores de ic de cada pacote

● a taxa média de serviço(μ) ou os valores de ts de cada pacote

As unidades de ic e ts são segundo/pacote (s/p). Os valores de ic = 1/λ e ts = 1/μ.

O valor de ic depende do modelo de negócio. O tamanho do pacote, usado para calcular o valor de ts, depende do serviço prestado, que depende também do modelo de negócio.

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Modelagem Conceitual de SF

A figura abaixo é um infográfico da Nasdaq: DOMO de 11/08/2020, com o tráfego por minuto de plataformas e aplicativos mundiais. Com estes dados pode-se estimar o valor de ic destas plataformas e aplicativos, como ilustrado na tabela.

Plataforma Pacotes por Minuto λ (p/s) ic (s/p)

Amazon 6.659 111 0,00900

Facebook 150.000 2500 0,0004000

Zoom 208.333 3472 0,0002880

Instagram 347.222 5787 0,0001728

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Modelagem Conceitual de SF

Estimar o tamanho máximo de um pacote do Instagram?

Comprimentos máximos de itens de uma mensagem do aplicativo Instagram, em caracteres:

● legendas: 2.200 caracteres

● hashtags: 30 hashtags de até 24 caracteres ● biografia: 150 caracteres

● nome de usuário: 30 caracteres

Tamanho máximo de um pacote do Instagram = 2200 + 30 x 24 + 150 + 30 B = 3100 B ≈ 3 KB

Vale destacar que pacotes são partes dos protocolos de comunicação. Quando os pacotes são muito pequenos, o tamanho dos protocolos de comunicação não precisam ser considerados.

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Modelagem Conceitual de SF

Exemplo Estimar o tamanho máximo de um pacote do Twitter?

Comprimentos máximos de itens de uma mensagem do aplicativo Twitter, em caracteres, são destacados abaixo (sem DM):

● Tuíte: 140 caracteres ● Usuário: 15 caracteres

● Nome de perfil: 20 caracteres

Tamanho máximo de um pacote do Twitter = 140 + 15 + 20 B = 175 B

Observe que o datagrama do IPv6 (40 B) deve ser inserido no pacote do Twitter para fins de tráfego na Internet, desta forma, o pacote final terá 215 B.

O protocolo IPv6 representa 18,6% do tamanho do pacote final, o que é considerável.

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Modelagem Conceitual de SF

A memória RAM GDDR6X da Nvidia GeForce RTX 3080 tem taxa de transferência de 19 Gb/s. Qual o tempo de serviço desta RAM para pacotes de 5 MB?

Tamanho do pacote = 5 MB Taxa de serviço:

Tempo de serviço:

Ou seja, esta memória pode transferir, aproximadamente, 486 pacotes de 5 MB a cada segundo; o tempo requerido para transferir um único pacote de 5 MB é 0,00205 s. μ=19Gb /s=19 Gb s pacote pacote= 19 Gb pacote pacote s = 19Gb 5 MB pps= 19×1024 Mb 5 M×8 b =486,4 pps ts=_{μ =}1 1 486,4 pps=0,00205 s / p

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Modelagem Conceitual de SF

A Nvidia GeForce RTX 3080 tem taxa bruta de 29,77 Teraflops (TFLOPS) de performance computacional. Qual o tempo de serviço desta placa para multiplicação de matrizes quadradas de tamanho 5000?

O tempo de execução para a multiplicação de matrizes quadradas de ordem n é O(n³) – algoritmos convencionais.

Tamanho do pacote = 5000³= 1,25e11 FLOP Taxa de serviço:

Tempo de serviço:

Ou seja, esta placa pode multiplicar, aproximadamente, 238 matrizes quadradas de ordem 5000 a cada segundo, a duração de uma única multiplicação é 0,00420 s. μ=29,77TFLOPS=29,77TFLOP s pacote pacote= 29,77 TFLOP pacote pps= 29,771012FLOP 1,25×1011FLOP pps=238,2 pps ts=_{μ =}1 1 238,2 pps=0,00420 s/ p

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Modelagem Conceitual de SF

Sejam N = 10 pacotes que chegam em um Sistema de Fila M/M/1 com intervalo entre chegadas:

ic = { 8, 5, 12, 15, 8, 11, 9, 10, 7, 6 },

e tempos de serviço:

ts = { 11, 10, 9, 12, 9, 11, 14, 8, 9, 10 },

ic e ts em segundos (s).

A simulação do sistema é feita conforme mostrado na tabela ao lado.

p

ic

ts

cpf eps sps

1

8

11

2

5

10

3

12

9

4

15

12

5

8

9

6

11

7

9

14

8

10

8

9

7

9

10

6

10

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Modelagem Conceitual de SF

Valores Iniciais da Simulação

O estado inicial do Sistema de Fila:

● Fila vazia

● Servidor ocioso.

Para iniciar a contagem do tempo, o cronômetro é zerado:

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Modelagem Conceitual de SF

p

ic

ts

cpf

eps

sps

0

1

8

11

2

5

10

3

12

9

4

15

12

5

8

9

6

11

7

9

14

8

10

8

9

7

9

10

6

10

valores iniciais da simulação t = cpf = eps = sps = 0

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Modelagem Conceitual de SF

Valores Iniciais da Simulação

No exemplo, após 8 s chega o primeiro pacote:

p = 1, ic = 8 s/p, ts = 11 s/p

O pacote 1 chega na Fila em cpf = 8 s.

Como o Servidor está ocioso, ele recebe o pacote em eps = 8 s e demora 11 s para processá-lo, assim:

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Modelagem Conceitual de SF

p

ic

ts

cpf

eps

sps

0

1

8

11

8

19

2

5

10

3

12

9

4

15

12

5

8

9

6

11

7

9

14

8

10

8

9

7

9

10

6

10 p = 1 eps[1] = ic[1]

eps[1] = cpf[1]

sps[1] = eps[1] + ts[1]

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Modelagem Conceitual de SF

Cálculo de cpf

Quando o segundo pacote chega na Fila do sistema:

p = 2, ic = 5 s, ts = 10 s/p

O tempo transcorrido é a soma dos ic dos pacotes anteriores,

neste caso são 8+5 = 13 s/p. Esta soma é armazenada em

cpf, logo:

cpf[2] = cpf[1] + ic[2] = 8 + 5 = 11 s/p.

Generalizando:

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Modelagem Conceitual de SF

p

ic

ts

cpf

eps

sps

0

1

8

11

8

19

2

5

10

13

3

12

9

25

4

15

12

40

5

8

9

48

6

11

59

7

9

14

68

8

10

8

78

9

7

9

85

10

6

10

91 cpf[p] = cpf[p-1] + ic[p], p > 1

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Modelagem Conceitual de SF

Cálculo de eps

Quando o segundo pacote chega no Sistema de Fila, o Servidor pode estar ocioso ou ocupado.

Servidor Ocioso Servidor Ocupado

O Servidor recebe o pacote e o valor de eps é igual ao de cpf, ambos do segundo pacote.

O Servidor permanece ocupado até o tempo sps do pacote anterior e, assim, eps é igual ao valor de sps do pacote anterior

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Modelagem Conceitual de SF

Cálculo de eps

Desta forma, para o cálculo de eps[p], p ∈ [2,N], é necessário considerar duas alternativas, a saber:

● cpf[p] > sps[p-1] então eps[p] = cpf[p], o Servidor está ocioso e o pacote é

enviado a ele

● cpf[p] ≤ sps[p-1] então eps[p] = sps[p-1], o pacote aguarda na Fila e será

enviado ao Servidor assim que ele finalizar o pacote anterior

Servidor Ocioso Servidor Ocupado

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Modelagem Conceitual de SF

Na figura ao lado, estão representados três pacotes de um Sistema de Fila, Pi-2, Pi-1 e Pi. Cada pacote com seus três tempos

dos eventos discretos: ∎ - chegada de pacote na Fila (cpf), ∎ - entrada de pacote no Servidor (eps) e ∎ - saída de pacote do

Servidor (sps).

O valor de cpf de um pacote é calculado em função da taxa de chegada, já sps deste mesmo pacote depende da taxa de serviço e eps.

O valor de epsi depende do valor de spsi-1, ou seja, para

calcular epsi de um pacote é necessário o valor de sps do

pacote que o antecede.

Ao chegar no Sistema de Fila, o pacote será encaminhado ao Servidor se ele estiver ocioso. Servidor ocioso indica que o pacote anterior foi processado e, neste caso, cpfi > spsi-1. Por

outro lado, se o Servidor estiver ocupado então o pacote anterior ainda não foi processado e, neste caso, cpfi ≤ spsi-1.

Em termos matemáticos, o cálculo de eps de Pi-1 e Pi da figura acima é:

● eps_i-1 = sps_i-2 ● eps_i = cpf_i

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Modelagem Conceitual de SF

eps[p] = cpf[p] > sps[p-1] ? cpf[p] : sps[p-1], p > 1

p

ic

ts

cpf

eps

sps

0

1

8

11

8

19

2

5

10

13

19

3

12

9

25

29

4

15

12

40

5

8

9

48

52

6

11

59

61

7

9

14

68

72

8

10

8

78

86

9

7

9

85

94

10

6

10

91

103

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Modelagem Conceitual de SF

Cálculo de sps

Quando o segundo pacote sai do Servidor do Sistema de Fila,

o tempo transcorrido é igual ao valor de eps acrescido de ts,

ambos do segundo pacote.

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Modelagem Conceitual de SF

p

ic

ts

cpf

eps

sps

0

1

8

11

8

19

2

5

10

13

19

29

3

12

9

25

29

38

4

15

12

40

52

5

8

9

48

52

61

6

11

59

61

72

7

9

14

68

72

86

8

10

8

78

86

94

9

7

9

85

94

103

10

6

10

91

103

113 sps[p] = eps[p] + ts[p], p > 1

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Modelagem Conceitual de SF

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Modelagem Conceitual de SF

Algoritmo para Calcular nf

Para calcular o valor de nf é necessário comparar os valores de cpf de

um dado pacote com os de sps dos pacotes anteriores. Considerando o Servidor inicialmente ocioso, tem-se:

● o pacote p = 1, o primeiro a chegar no Sistema de Fila, vai

diretamente para o Servidor, isto é nf[1] = 0

● quando o segundo pacote (p = 2) chegar no Sistema de Fila, o

Servidor pode estar ocioso ou ocupado. Se o Servidor estiver ocioso, não há pacote na Fila, então cpf[2] ≥ sps[1] e nf[2] = 0. Se o

Servidor estiver ocupado então cpf[2] < sps[1] e nf[2] = 1

● o terceiro pacote (p = 3), ao chegar no Sistema de Fila, se cpf[3] ≥

sps[2] então o Servidor está ocioso e nf[3] = 0, caso contrário nf[3]

= 1, pelo menos o pacote 2 está na Fila. Se cpf[3] < sps[1] então o primeiro pacote ainda está na Fila e nf[3] = 2.

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Modelagem Conceitual de SF

Generalizando, quando o p-ésimo pacote chega no Sistema de Fila, o tamanho da Fila nf[p] será igual à contagem dos casos em que cpf[p] <

sps[c].

n

_f

[

p ]=

∑

c =1 p−1

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Modelagem Conceitual de SF

void Nf( int p ){ nf[p] = 0; for( int c = 0; c < p-1; c++ ) if( cpf[p] < sps[c] ) nf[p] += 1; } void Nf( int p ){ int c = p-1; nf[p] = 0; while( cpf[p] < sps[c] ){ nf[p] += 1; c--; } }

n

_f

[

p ]=

∑

c =1 p−1

1 , cpf [ p]<eps[c]

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Modelagem Conceitual de SF

Algoritmo para Calcular U

A Utilização é a razão entre o tempo de ocupação do Servidor e o tempo da simulação.

O tempo que o Servidor fica ocupado durante a simulação igual a soma dos valores de ts durante todo processo e U pode ser estimada pela

equação:

U =

tempo de ocupaçãp do Servidor

tempo da simulação

U =

1 T

∑

_p=1 N

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Modelagem Conceitual de SF

Algoritmo para Calcular U

U =

1 T

∑

_p=1 N

t

_s

[

p]

T = sps[N-1];

Sx = 0;

for( int p = 0; p < N; p++ )

Sx += sps[p]-eps[p];

U = Sx/T;

p0 = 1-U;

t

_s

[

p]=sps[ p ]−eps[ p]

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Modelagem Conceitual de SF

Sumário do Modelo Conceitual de Sistemas de Filas

Entrada N, λ e μ

Parâmetros ic e ts, com ic = 1/λ e ts = 1/μ

Eventos cpf, eps, sps

Saída T, U, E[nf], E[tf], E[ts], E[tsf], U, DP[nf], DP[tf], DP[ts], DP[tsf]

p = 1 eps[1] = cpf[1] = ic[1]_{sps[1] = cpf[1] +ts[1]}

2 ≤ p ≤ N cpf[p] = cpf[p-1] + ic[p]cpf[p] > sps[p-1] então eps[p] = cpf[p] senão eps[p] = sps[p-1] sps[p] = eps[p] + ts[p]

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Modelagem Conceitual de SF

No Sistema de Fila M/M/1 simulado abaixo, com N = 10 pacotes,

ic(s/p) = {3, 5, 4, 3, 8, 5, 9, 8, 7, 6 } e ts(s/p) = { 12, 12, 10, 9, 2, 2, 1, 3, 2, 5 } p ic ts cpf eps sps nf tf tsf 1 3 12 3 3 15 0 0 12 2 5 12 8 15 27 1 7 19 3 4 10 12 27 37 2 15 25 4 3 9 15 37 46 2 22 31 5 8 2 23 46 48 3 23 25 6 5 2 28 48 50 3 20 22 7 9 1 37 50 51 3 13 14 8 8 3 45 51 54 4 6 9 9 7 2 52 54 56 1 2 4 10 6 5 58 58 63 0 0 5 ∑ 58 58 19 108 166

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Modelagem Conceitual de SF

Tem-se que T = sps[10] = 63 s.

O tempo de espera na Fila é dada por tf[p] = eps[p]-cpf[p].

Os valores de tf estão calculados na tabela acima: E[tf] = ∑tf[p]/N = 108/10 = 10,8 s. O tamanho médio da Fila é E[nf] = ∑nf[p]/N = 19/10 = 1,9 ou E[nf] = 2

A utilização U = ∑tps[p]/T = 58/63 = 0,921 ou U = 92,1%. O cálculo de p0 = 1-U = 0,079 ou p0 = 7,9%. O cálculo de E[tps] = ∑tps[p]/N = 58/10 = 5,8 s. p ic ts cpf eps sps nf tf tsf 1 3 12 3 3 15 0 0 12 2 5 12 8 15 27 1 7 19 3 4 10 12 27 37 2 15 25 4 3 9 15 37 46 2 22 31 5 8 2 23 46 48 3 23 25 6 5 2 28 48 50 3 20 22 7 9 1 37 50 51 3 13 14 8 8 3 45 51 54 4 6 9 9 7 2 52 54 56 1 2 4 10 6 5 58 58 63 0 0 5 ∑ 58 58 19 108 166

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Modelagem Conceitual de SF

Será calculado o valor de nf[8] a título de exemplo, neste caso nf[8] = 4:

● o pacote 8 chegou na Fila no tempo cpf[8] = 45 s e entrará no Servidor no tempo sps[7] = 51 s, ou seja, no

tempo 51 s ela está na Fila pois cpf[8] < sps[7]

tempo 15 s ela não está na Fila pois cpf[7] > sps[3]

● os pacotes anteriores já foram processados em sps[7] = 51 s.

p ic ts cpf eps sps nf tf tsf 1 3 12 3 3 15 0 0 12 2 5 12 8 15 27 1 7 19 3 4 10 12 27 37 2 15 25 4 3 9 15 37 46 2 22 31 5 8 2 23 46 48 3 23 25 6 5 2 28 48 50 3 20 22 7 9 1 37 50 51 3 13 14 8 8 3 45 51 54 4 6 9 9 7 2 52 54 56 1 2 4 10 6 5 58 58 63 0 0 5 ∑ 58 58 19 108 166

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(40)

Exercícios

Preencha o quadro abaixo para:

N = 10 pacotes, ic(s/p) = { 3, 5, 4, 6, 5, 7, 6, 1, 5, 9 } e ts(s/p) = { 6, 8, 9, 9, 8, 2, 7, 4, 3, 5 } p ic ts cpf eps sps nf tf tsf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑

(41)

Exercícios

Preencha o quadro abaixo para:

N = 10 pacotes, ic(s/p) = { 3, 7, 6, 1, 5, 9, 5, 4, 6, 5 } e ts(s/p) = { 6, 8, 7, 4, 3, 5, 9, 9, 8, 2 } p ic ts cpf eps sps nf tf tsf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10