EQUAÇÃO CONSTITUTIVA
QUADRÁTICA
PARA
SOLOS
(estudos em desenvolvimento) Elysio R. F. RuggeriEngenheiro civil pela ESCOLA DE MINAS DE OURO PRETO Ex-engenheiro de FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS SA
Goiânia – GO 2015
II
APRESENTAÇÃO
É sabido que a mecânica fornece as condições necessárias para estudo do movimento ou do equilíbrio dos corpos quando sujeitos à ação de esforços. Dispõe-se sempre de uma teoria explicativa cujas bases, contidas na Mecânica do Contínuo, são princípios e hipóteses que podem ser aceitas consensualmente com algum bom senso.
À física cabe fornecer as condições suficientes para o mesmo estudo, estando estritamente relacionadas com ensaios e medições em laboratório ou em campo. E esta é a parte mais complexa de todas as atividades porque medir às vezes é fácil e muitas vezes é extremamente difícil quando possível.
Os procedimentos para medida das grandezas escalares nem sempre são simples, mas são conhecidos e os instrumentos desenvolvidos e disponíveis para tal atendem satisfatoriamente as necessidades comuns da prática. As grandezas vetoriais, já um pouco mais complexas que as escalares, são, ainda mensuráveis com alguma dificuldade a mais. Tanta facilidade não parece acontecer com as grandezas tensoriais de segunda ordem, dentre as mais comuns destacando-se as tensões e as deformações, grandezas comuns nos problemas de engenharia.
Creio que por volta de 2015, o Laboratório de Mecânica de Rochas do Centro Tecnológico de Engenharia Civil, de Furnas Centrais Elétricas, em Goiânia (GO), adquiriu uma aparelhagem para ensaio triaxial para solos, referida como TTA (True Triaxial Apparatus ou aparelhagem para triaxial verdadeiro). Com esta aparelhagem – a única ainda existente no Brasil – é possível aplicar, com diferentes velocidades de carregamento, diferentes tensões em três direções ortogonais (uma delas com carga dinâmica, se necessário) e medirem-se simultaneamente as deformações ocorridas e a poro pressão. Gera-se, assim, uma lista enorme de pares de tensores correspondentes de tensão e deformação: foi meu sonhado maná! Em vão, procurei durante alguns anos por informações desta natureza, para quaisquer materiais. Encontrei no Laboratório de Mecânica de Rochas (de Furnas) a primeira oportunidade (em 2001), trabalhando com maciços rochosos. Campanhas de ensaios de campo, complexos e caros, mas bem feitos e esperançosos (existem relatos neste site) foram estabelecidos.
Com a disponibilidade do aparelho ATT (já em 2015), ocorreu-me a ideia de montar um projeto com a finalidade de estudar as equações constitutivas dos diferentes tipos de solos; eu o redigi e passamos a executá-lo timidamente. Fundem-se, no presente livreto, embasamento teórico, trabalho experimental acurado realizado por técnicos experientes (para preparo de amostras e operação do aparelho) e algum cálculo numérico combinado com um necessário tratamento estatístico que originalmente, em meu livro "Lições de Cálculo Poliádico" [1], intitulei "Estatística Poliádica" (Tomo II,Cap.X). Esta estatística, digo de passagem, eu a descobri por necessidade, na prática da engenharia, muito antes de conhecer a chamada estatística multivariada, esta de formulação mais geral e de aplicação bastante diversificada.
Lamentavelmente, com minha aposentadoria em julho de 2017, estes estudos foram paralisados e provavelmente esquecidos, mas espero que o aparelho TTA, com toda a sua versatilidade, tenha sido bem utilizado nas vária atividades que caracterizam aquele Depatamento de Furnas.
O leitor verá aqui o pouco da minha experiência neste projeto em que fiz o papel de pesquisador, almejando substanciosa contribuição de Furnas ao desenvolvimento da engenharia de solos. Que esta minha experiência sirva de inspiração para novos estudos.
Em muitos aspectos, para inteligibilidade do texto, tive que exigir conhecimentos, um pouco requintados talvez, de Matemática e Mecânica do Contínuo; não foi o que eu queria, mas foi o que o problema exigiu.
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ... II
OS SOLOS ... 1
ASPECTOS MATEMÁTICOS E FÍSICOS... 2
1 – AS EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS BÁSICAS ... 4
2 - O CÁLCULO DAS CONSTANTES F E S ... 8
2.1–CÁLCULOS DAS CONSTANTES F COM UM ESTÁGIO DE CARGA ... 8
2.2-CÁLCULO DAS CONSTANTES F COM VÁRIOS ESTÁGIOS ... 9
2.3-CÁLCULO DAS S COM VÁRIOS ESTÁGIOS DE CARGA... 10
3 – AS CONSTANTES F E S E AS EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS ... 11
3.1-EXPRESSÕES ALGÉBRICAS LITERAIS DAS EQUAÇÕES ... 12
3.2-EXPRESSÕES MATRICIAIS DAS EQUAÇÕES ... 14
4 - ASPECTOS GEOMÉTRICOS ... 15
4.1-RELATIVO ÀS =() ... 15
Quádricas ... 16
CÁLCULOS LITERAIS, NUMÉRICOS E MUDANÇA DE SISTEMAS DE COORDENADAS ... 17
4.2-RELATIVO ÀS =() ... 26
5 - ESTADOS PARTICULARES DE SOLICITAÇÃO ... 28
5.1-EM TENSÕES ... 28
5.1.1 – Compressão uniaxial ... 28
5.1.2 – Estado de tensão triaxial convencional ... 31
5.1.3 – Estado hidrostático de tensão... 35
5.1.4 – Estado de cisalhamento puro ... 36
5.1.5 - Variação da dilatância... 37
5.2-DEFORMAÇÃO ... 38
5.2.1 - Deformação uniaxial ... 38
5.2.2 - Deformação triaxial prismática ... 39
6 - QUÁDRICA DE RUPTURA ... 42
7 - MATERIAIS HIPOELÁSTICOS ... 46
7.1-INCREMENTOS DE TENSÕES ... 48
7.2-INCREMENTOS DE ELONGAÇÕES ... 51
7.3-MÉTODO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO... 51
7.4-NOVOS DESENVOLVIMENTOS... 53
8 - VELOCIDADES DE TENSIONAMENTO E DEFORMAÇÕES ... 53
8.1-AS VELOCIDADES E OS INCREMENTOS, NOS ENSAIOS. ... 54
8.2-NOVOS CÁLCULOS DAS CONSTANTES ELÁSTICAS. ... 55
9 - VARIAÇÃO DAS CONSTANTES ... 56
10 - CONCLUSÃO ... 56 BIBLIOGRAFIA ... 57 APÊNDICES ... 58 APÊNDICE 1 ... 58 Estados de solicitação ... 58 APÊNDICE 2 ... 60
Energia potencial do sólido deformado ... 60
ANEXOS ... 62
ANEXO 1... 62
Relatório sobre um ensaio de laboratório ... 62
ANEXO 2... 69
Planilha de cálculos das constantes F com Excel (conforme (2.06)) ... 69
ANEXO 3... 83
Sugestão de modelo de tabela-guia, para ser preenchida em laboratório, cujas informações serão utilizadas para se efetuarem os cálculos das constantes elásticas pelo método dos incrementos ... 83
ANEXO 4... 85
Planilhas de cálculo das constantes elásticas ... 85
IV
4.2 - Método dos incrementos de elongações ... 87
4.3 - Método da energia de deformação ... 88
APÊNDICE 1 ... 90
REDUÇÃO DA EQUAÇÃO DA QUÁDRICA (3.04,A) ... 90
APÊNDICE 2 ... 93
Método poliádico ...101
Os solos
Os solos são materiais multifásicos, compostos por grãos minerais que interagem entre si e entre os quais ocorrem espaço (vazios) ocupados total ou parcialmente por ar e/ou água. A caracterização matemática do comportamento mecânico deles - tema principal deste trabalho - seria idealmente baseado na consideração do comportamento dos seus elementos constituintes e da interação entre eles. Esta abordagem é complexa e, embora correta, ainda não é de uso ordinário no campo da engenharia.
Para muitas aplicações práticas, por conseguir-se razoável conciliação entre teoria e realidade, é satisfatória a abordagem macroscópica, ou fenomenológica, em que os efeitos microscópicos são considerados "em média" de forma a poder aplicar-se a Mecânica (clássica) do Contínuo (MC) nesse estudo, sob a regência de uma matemática relativamente simples. Entretanto, deve considerar-se a predominância da fase sólida dos solos à qual se aplicaria a MC, mas jamais sem levar em consideração a influência da água e do ar ocupantes dos interstícios entre seus grãos sólidos. Chama-se a isto: aplicação do princípio da tensão efetiva, ou seja, de que a tensão total sobre uma amostra (um "ponto" de um corpo), gerada por esforços exteriores aplicados ao corpo (pela gravidade ou sobre sua superfície), é distribuída (assimilada) de forma contínua por todo o seu esqueleto sólido. A tensão efetiva é a que efetivamente atua no esqueleto. Dos valores das tensões internas atuantes no ponto (decorrências das forças externas) deverá ser subtraída a tensão hidrostática local aplicada pelos fluidos intersticiais. Os grãos apresentam-se com um estado de empacotamento - uma tradução da interação dos grãos e fluidos intersticias - que tem alta representatividade no seu comportamento mecânico. Uma avaliação qualitativa daquele estado pode ser feita comtemplado-se o conjunto de algumas de suas propriedades: massa específica, índice de vazios, porosidade e volume específico.
Estas propriedades estão, de certa forma, relacionadas com a sua coesão. Solos pouco coesivos ou não
coesivos são aqueles cujas forças de interação têm um efeito muito pequeno no seu comportamento
mecânico, como no caso dos cascalhos, das areias e das areias siltosas; uns são ditos soltos, outros
densos. Ao contrário, nos solos coesivos as forças de interação exercem forte influência no
comportamento mecânico, como nas argilas e argilas siltosas. O histórico das tensões atuantes em um solo coesivo é fator importante para a sua caracterização; o que é definido pelo índice de consolidação. Quando este índice é igual a 1 diz-se que o solo é normalmente consolidado; quando maior que 1,
superconcolidado. Existem algumas semelhanças qualitativas entre os comportamentos dos solos
coesivos normalmente consolidados e os solos não coesivos soltos, bem como entre os comportamentos dos solos coesivos super consolidados e os solos densos.
Esforços externos atuantes em uma massa de solo fazem com que essa massa se torne um campo de tensões, de deformações e deslocamentos. A relação tensão-deformação - ou equação constitutiva dos solos - pode ser algo complicada devido às condições gerais dos seus grãos, traduzidas por: forma, porte, textura, mineralogia e cimentação; mas, também, pela densidade, pelo teor de humidade, pelas condições de drenagem, pelo grau de saturação dos vazios, pela taxa de carregamento (velocidade de carregamento), pela pressão confinante, pelo histórico de carregamento ou de tensões (logo, pelo estado atual de tensões e pela trajetória das tensões) e anisotropias de propriedades mecânicas induzidas por tensões ou por deformações elevadas.
Como se vê, são muitas as variáveis que podem influenciar a formulação de uma equação constitutiva, devendo-se selecionar ou preparar corpos de prova para estudos e testes, cuidando para levar-se em conta a maior quantidade possível delas, na tentativa de expressar uma realidade impiedosa. É este o grande desafio que se nos apresenta.
Destaque-se que, mesmo com muitos cuidados especiais, as trajetórias de tensões (uma infinidade delas) e os históricos correspondentes de tensões, sejam eles ocorridos in natura ou em laboratório, influenciam o comportamento dos solos e, portanto, no processo de determinação de sua equação constitutiva. É, pois, imperioso, simularem-se ensaios com diferentes trajetórias de tensões e deformações para que cada uma destas possibilidades introduza sua alíquota representativa nos valores das constantes que irão caracterizá-lo. A permissividade da introdução simultânea de variáveis influentes no processo é uma das grandes vatagens da máquina TTA (True Triaxial Apparatus) utilizada pelo laboratório de Furnas.
2 Aspectos matemáticos e físicos
Tamanha é a diversidade do fenômeno que não é absurdo admitir-se que um mesmo solo possa ter duas ou mais equações constitutivas, cada uma podendo representá-lo em uma condição específica de utilização. De fato, para um maciço a ser construído, por exemplo, poder-se-ia admitir, digamos, certa previsão aproximada de trajetória de tensões em um ponto importante deste maciço, com diferentes condições de drenagem, determinar a equação constitutiva com um ensaio adequado para, em seguida, efetuarem-se previsões de variação de tensões, deformações e deslocamentos.
Aspectos matemáticos e físicos
Conceitualmente devemos considerar que um maciço terroso é sede de vários fenômenos (físicos e químicos). O maciço é campo desses fenômenos. De forma um pouco mais ampla, no presente contexto,
campo é toda região D do espaço ocupada por matéria. Referida a um sistema ortogonal O-xyz, a cada
ponto P(x,y,z) de D está associada alguma propriedade (física ou química). Esta propriedade, representada por um poliádico de certa valência, é definida (ou representada) por uma função poliádica unívoca e contínua do ponto P, cujos argumentos, em geral representantes de outras propriedades, podem ser outros poliádicos que são funções de P, ou, mesmo, constantes [1].
Ordinariamente, os campos de fenômenos mecânicos são sintetizados pelo movimento de corpos naturais submetidos à ação de estímulos (como forças e variação de temperatura) - estudados pela Mecânica do Contínuo - neste movimento ocorrendo grandezas escalares, vetoriais e diádicas, variáveis com P e o tempo t. Como grandeza escalar, podemos citar a temperatura T, com T=T(P,t); como grandeza vetorial, o vetor deslocamento u do ponto genérico (um monádico), com u = u(P,t); as grandezas diádicas são representadas pelo diádico de tensão = (P,t) e o de deformação, = (P,t), independentes.
Com base em pura geometria deve-se:
1) - definir o campo - isto é, a região D do espaço a considerar num instante inicial t0, ocupada
por massa material (o corpo físico real, propriamente) - pelas equações:
) , , ( z z ) , , ( y y ) , , ( x x , em que F E D C B A
, (A,B,C,D,E e F números reais dados), (I);
2) - introduzir o conceito de deformação instantânea em cada ponto (elongações: variação relativa de distâncias e distorção: variação de ângulos entre os instantes t e t+dt) e os modos de medir essas deformações em cada ponto de D, bastando, para tal, estudar a deformação de um tetraedro qualquer, no entorno do ponto, no espaço e no tempo;
3) – definir o vetor deslocamento instantâneo, u(P,t), de cada ponto de D;
4) - estabelecer o diádico simétrico de deformações, (P,t), associado ao ponto, em função de u:
) ( 2 1 T T u . u u u , (II). Nota 1:
As equações (I) são o ponto de partida da “discretização” de D para a resolução dos problemas pelo método dos elementos finitos.
Com base na mecânica newtoniana (dos corpos rígidos) e sob certas hipóteses, demonstra-se a simetria do diádico de tensões, (P,t), associado a cada ponto de D, deduzindo-se a equação vetorial do movimento: 2 2 t div f u, (III),
em que =massa específica do material (suposta constante para os solos) e f força mássica por unidade de massa (tipo gravidade, g, constante). A derivada no segundo membro representa a aceleração do ponto. Juntam-se a estas equações as condições dos vínculos do corpo com seu exterior: são as condições no contorno, geralmente traduzidas em tensões; e as condições desse corpo relativas ao tempo: são as condições iniciais de movimento, traduzidas por valores específicos de tensões ou deslocamentos em pontos específicos (raramente especificando-se deformações).
Aspectos matemáticos e físicos 3 Estas condições são necessárias ao entendimento do movimento, mas não são suficientes porque o corpo real não é rígido, tornando-se imperiosa a intervenção de sua deformação.
Com base na Física, pela Termodinâmica, particularmente, buscam-se as condições suficientes para o estudo, isto é, recorre-se às leis de conservação de energia e aos princípios gerais da Termodinâmica para se obterem daí várias equações constitutivas. Uma dessas equações conecta os diádicos de tensão (P,t) e deformação (P,t) do campo em todo P, sendo expressas, em geral, por polinomios diádicos invertíveis; são denominadas funções resposta do corpo às solicitações impostas e, em princípio, são supostas independentes das trajetória (ou história) de tensões e deformações que venham acontecer no ponto do corpo1. Os coeficientes da conexão entre as variáveis (P,t) e (P,t) na equação constitutiva são, a rigor,
componentes de poliádicos característicos do material, isto é, representantes de grandezas características do material, específicas para o movimento por deformação em estudo. No caso presente, a temperatura do corpo será considerada praticamente constante e o sistema: meio ambiente e corpo, adiabático (não ocorrerão trocas de energia, o que nem sempre ocorre).
Como imposição primordial, considerar-se-ão aqui apenas os materiais mecanicamente isotrópicos, isto é, aqueles cujas propriedades mecânicas são invariantes em qualquer ponto de sua massa e em qualquer direção por esse ponto (são constantes)2; é o que admitiremos para os solos aqui considerados3. Neste
caso, a conexão entre os diádicos de tensão e deformação nas mencionadas equações constitutivas é realizada por poliádicos 4H e 6H ou por 4G e 6G, ditos todos isotrópicos4, como nas equações
(quadráticas) seguintes, que têm o mesmo estatus em Mecânica, 4 6 4 . H : H , ou 4G:6G4. , (IV).
Estas equações podem e devem ser estabelecidas simultaneamente; elas e os poliádicos que as definem serão denominados, doravante, duais.
Nestas equações (IV) faz-se referência a uma operação entre poliádicos, dita multiplicação ponteada múltipla (denotadas pelos sinais: : e 4. ), sobre as quais muito se deveria dizer [1] para justificar a simplificação que será apresentada na seção seguinte. Ademais, é conveniente lembrar que essas leis são estabelecidas impondo-se a condição de que os diádicos de tensão e de deformação (além de simétricos) tenham as mesmas direções principais ortogonais entre si.
A isotropicidade do material é de importância fundamental na proposta aqui apresentada porque qualquer amostra do material (coletada em qualquer ponto de uma massa em estado natural, ou de uma massa artificial) pode ser considerada um representante do mesmo do ponto de vista do seu comportamento mecânico. Isto significa que com um único corpo de prova, adequadamente preparado com o material do maciço, é possível simular o que pode acontecer em qualquer ponto do maciço.
As equações (II), (III) e (IV), acrescidas das condições de contorno e iniciais, são as necessárias e suficientes para o estudo do movimento de D (em termos de deslocamentos, deformações e variações de energia). Estando estabelecidas as equações (II) e (III), restará definir-se (IV), ou os poliádicos duais constantes 4H e 6H, ou 4G e 6G. Então, estando definidos os esforços exteriores, as condições de contorno
(vínculos do corpo com o exterior) e as condições iniciais (em relaçãao o tempo), a solução do sistema de equações (II), (III) e (IV), fornecerá as expressões das variáveis de campo: , e u. Dando-se forma e dimensões adequadas ao corpo estas variáveis poderão assumir valores admissíveis para que o corpo desempenhe satisfatoriamente a sua função como participante de um engenho qualquer (fixo ou em movimento).
Devemos reconhecer que a equação (IV) tem permitido resolver problemas técnicos com os materiais ditos hiperelásticos (os clássicos elásticos na concepção original do termo): são aqueles materiais que se deformam dentro dentro de um período de trabalho, dito elástico, e que retomam suas formas originais quando descarregados (concretos, rochas e aços, por exemplo). Rigorosamente, não é o caso dos solos,
1 Os materiais que se enquadram nesta teoria são ditos materiais de Cauchy e parece serem os mais simples.
2 Diz-se, sinteticamente, que essas propriedades são invariantes para qualquer translação e qualquer rotação pela massa do corpo. 3 Podem ser considerados casos de solos não isotrópicos, embora este estudo seja bem mais complexo que o aqui desenvolvido. 4 Há várias referências a esses poliádicos em meu livro, [1]; e podem ser procuradas pelo índice analítico lá apresentado.
4 1 – As equações constitutivas básicas
mas de um ponto de vista teórico mais elevado, entretanto, é possível o uso da equação (IV) com um enfoque diferente (incremental), como veremos, válido para os materiais ditos hipoelásticos.
Um aparelho fundamental
Imagine-se agora uma aparelho sobre a qual se possa exercer total controle e comando para aplicar a um corpo de prova (cp) do solo, continua e gradativamente, com pequenos acréscimos e velocidade adequada, tensões normais ou elongações conhecidas, em três direções ortogonais. Cada acréscimo estabelece um estágio no estado tensão/deformação do cp, desde o estado inicial (em que tensões e elongações são nulas, em geral5) até o final desejado e/ou possibilitado pelo aparelho.
Este aparelho é conhecido por triaxial verdadeiro (True Triaxial Apparatus - TTA) e opera com um cp prismático reto (75x75x150 mm). Quando é aplicado às faces do cp dado conjunto de três tensões de intensidades adequadas - que definem um tensor principal de tensões - o aparelho fornece as elongações resultantes em cada uma das direções, constuindo estas as componentes do tensor principal correspondente de deformações. Quando, ao contrário, são impostas elongações em cada direção, o aparelho fornece as tensões normais correspondentes.
Em resumo, o aparelho permite que se conheçam pares de diádicos correspondentes (,) das equações (IV), atuantes no cp, tantos pares quanto se queiram, cada par relativo a um estágio de tensão normal/elongação, os quais, em um conjunto, devem satisfazer as equações fundamentais (II), (III) e (IV) acima citadas.
Tendo-se os pares de cada estágio e uma quantidade suficiente de estágios, será possível o cálculo indireto dos poliádicos duais (4H, 6H), (4G e 6G) e, portanto, o estabelecimento das (duas) leis duais
inversas (IV).
Convenção de sinais
Mantém-se aqui a conveção clássica de sinais para tensões e deformações de uso em Geotecnia: as tensões i de compressão são consideradas positivas;
as elongações i (variação de distância por unidade de distância) são consideradas positivas
quando ocorre encurtamento de distância entre pontos; são consideradas negativas em caso contrário, ie, em caso de estiramento (aumento de distância).
as distorções ij (ou variações dos ângulos retos relativos a duas direções i e j) são consideradas
positivas quando um ângulo reto diminui de valor no processo de deformação; e negativas em caso contrário.
Estrutura deste documento
Trataremos aqui do estabelecimento apropriado das equações constitutivas duais (IV), ou melhor, de suas representações cartesianas, assumindo inicialmente que os solos possam se hiperelásticos. Transformando adequadamente estas equações (seções 2 e 3), será possível explicitar as constantes elásticas do material em função de tensões e deformações fornecidas pela máquina TTA. Seguem-se interpretações geométricas (seção 4), estudos de alguns estados particulares de tensões (seção 5) e o estabelecimento de uma zona de falha (seções 5 e 6).
Na seção 7 desenvolveremos, também, outros processos para a determinação das constantes: um, por incrementaçao adequada de tensoes ou deformações, outro baseado na existência da função densidade de energia de deformação, entendendo o solo como material hipoelástico. Na seção 8 faremos uma introdução ao estudo da influência do tempo de carregamento na variação das constantes elásticas.
1 – As equações constitutivas básicas
Considerações teóricas sobre os poliádicos exibidos nas equações constitutivas fundamentais6 permitem
reduzi-las, não sem muito trabalho e não sem menção a muitos conceitos previamente definidos e estudados no Cálculo Poliádico [1], aos polinômios quadráticos completos seguintes, compostos formas (poliádicas) lineares e quadráticas:
5 Estado inicial nulo nem sempre ocorre; equando existe, as tensões e deformações correspondentes são ditas "in situ", sendo comuns para rochas (devidos a efeitos tectônicos) e aços (devidos ao processo de fabricação).
1 - As equações constitutivas básicas 5 2 6 E 5 4 3 2 E 2 E 1 F F || ||) (F F ) F F ( , (1.01), ou quadrática forma 2 6 E 5 2 E 3 2 E 2 linear forma 4 E 1 F (F F ) F F F , (1.01,a); e 2 6 E 5 4 3 2 E 2 E 1 S S || ||) (S S ) S S ( , (1.02). ou quadrática forma 2 6 E 5 2 E 3 2 E 2 linear forma 4 E 1 S (S S ) S S S , (1.02,a).
em que os Fs e os Ss são constantes características do solo em estudo, E e E são os denominados
escalares dos diádicos e 7 e 2
E = |||| a norma de (conceito equivalente à norma do vetor).
Observa-se, de imediato que as constantes F1 e F4 m (1.01) têm a dimensão do inverso da tensão e que as demais
constantes têm a dimensão do inverso do quadrado da tensão. Em (1.02) todas as constantes têm a dimensão da tensão. Mais à frente transformaremos estas equações poliádicas em sistemas de equações algébricas e em equações matriciais; neste último caso, os esclares poderão ser denominados traços das matrizes e o escalar do quadrado (a norma), a soma dos quadrados de todos os seus elementos.
Deve ser observado inicialmente que, em tudo o que for aqui tratado, todas as tensões serão consideradas de compressão ou não negativas (o aparelho TTA impõe essa condição), isto é,
0 , , 2 3 1
e, portanto, E 0, | || | 2E 0, sendo, ainda, (E)2 2 E, (1.03),
pois ) ( 2 || || ) ( 2 ) ( ) 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 E .
Veremos as implicações das condições (1.03) em todo o estudo a seguir. As elongações e distorções, entretanto, poderão assumir valores positivos e negativos.
A dilatância E do solo em certo estágio tensão/deformação – diferença do volume inicial do cp para o
volume neste estágio, dividida pelo volume inicial8 - pode ser determinada tomando-se o escalar de
ambos os membros de (1.01). Dilatância positiva num ponto P de uma massa de solo representa contração (diminuição) de volume; dilatância negativa, expansão (aumento) de volume. Estando os solos sujeitos a tensões de compressão (todas positivas), jamais apresentará dilatância negativa, embora alguma componente de possa ser negativa e possa haver expansão entre dois estágios (ambos com dilatâncias positivas). Assim. 0 ) F (3F ) F (3F ) F F 3 ( quadrática fração 2 E 6 3 2 E 5 2 linear fração E 4 1 E , (1.04).
Da mesma forma, para os solos podemos escrever:
0 ) S S 3 ( ) S S 3 ( ) S S 3 ( quadrática fração 2 E 6 3 2 E 5 2 linear fração E 4 1 E , (1.05).
As equações (1.01) e (1.02) são as formas mais simples e as mais gerais de expressão da equação constitutiva quadrática de um solo (a rigor, de qualquer material sólido) e constituem, também, a parte de menor custo do processo de estabelecimento da equação constitutiva. O modo clássico de resolver problemas com sólidos é baseado na (clássica) lei linear de Hooke que não se aplica satisfatoriamente a todos os materiais sólidos (tão pouco aos solos), exceto aos corpos elásticos que, por imposição, vão trabalhar dentro dos seus respectivos períodos elásticos (caso dos concretos estruturais, em geral).
7 É oportuno lembrar que os tensores e (representados por diádicos) têm ambos os mesmos autovetores ou direções principais (ortogonais entre si), aqui denotadas por 1, 2 e 3 e que o produto ponteado deles é comutativo (. = .).
8 Definição diferente da normalmente adotada para materiais em geral (concretos, aços) para que as dilatâncias sejam sempre positivas em geotecnia.
6 1 – As equações constitutivas básicas É claro que (1.01), por exemplo, encampa o modelo linear:
(F1 E)I(F4) , (desde que F1 < 0 e F4 > 0),
no qual não aparece nenhum produto de tensões. Aliás, esta expressão pode ser comparada com a clássica (Tr ) E E 1 , (1.06), logo com F4= (1+)/E e F1 = -/E. Os modelos lineares podem ser usados, por exemplo, como equações
constitutivas nos casos de estruturas de concreto (mas nem sempre em concretos protendidos), de estruturas de aço e de madeira (geralmente, anisotrópicas); mas tem pouco significado para solos.
Em vista do teorema C-H, ie, da existência da identidade (diádica) ~ 3 E 2 E 3 | | , donde: 3 ~ E 2 E 3 | | , (1.07),
dispensa-se a presença da parcela em 3 em uma ventual forma cúbica que se venha juntar às duas já
presentes em (1.01,a). Contudo, observando que todas as parcelas da identidade (1.07) são do mesmo grau 3, podemos induzir um modelo, ainda quadrático (se formos considerar o polinômio em ), adicionando a (1.01,a) parcelas de (1.07), mas com coeficientes constantes a determinar. Neste caso a expressão de (1.01,a) torna-se:
cúbica forma 2 E 9 ~ E 8 3 7 quadrática forma 2 6 E 5 2 E 3 2 E 2 linear forma 4 E 1 F (F F ) F F F F| | F F , (1.08),
ou, expressando-a como um polinômio do 2 grau em :
2 E 9 6 ~ E 8 E 5 4 3 7 2 E 3 2 E 2 E 1 F F F ) (F F F| |) (F F ) F ( , (1.09).
É óbvio que existe a expressão correlata de (1.08),
cúbica forma 2 E 9 ~ E 8 3 7 quadrática forma 2 6 E 5 2 E 3 2 E 2 linear forma 4 E 1 S (S S ) S S S S | | S S , (1.10),
bem como a correspondente a (1.09) Nomenclatura:
O modelo polinomial não pode passar do grau 2 em vista do teorema CH, mas as formas que o definem podem ser de todos os graus. Isto dificulta 0 encontro da nomenclatura adequada. Para distinguir o modelo (1.01) de (1.09), vamos nos referir a este como modelo cúbico, embora ambos sejam polinômio diádicos do segundo grau.
A ruptura dos solos
Os solos são materiais eminentemente plásticos e seu comportamento mecânico, quando sujeito à ação de esforços, é sempre do tipo não linear. Por isso mesmo sua equação constitutiva – que estabelece uma conexão entre os tensores de tensão e deformação em todo ponto de dada massa de solo -, se escolhida da forma polinomial, deve ser quadrática como (1.01) ou (1.02), cúbica como (1.08) ou (1.10), ou com formas de graus mais elevados.
Os solos podem ter ampla resistência à deformação por encurtamento, mas resistência muito pequena à deformação por estiramento. Para certos estados de tensão (de compressão), os correspondentes estados de deformação dos solos podem indicar estiramento em alguma direção principal, ie, elongações com valores negativos.
As ações de cargas exteriores sobre um solo são traduzidas internamente por um tensor de deformações em cada ponto de sua massa; este expressa o estado de deformação do corpo naquele ponto. Para a medida da deformação requer-se a introdução das características físicas do material, o que vem associado a um segundo tensor, o de tensões. A conexão entre estes tensores é feita, precisamente, pelos poliádicos que descrevem as propriedades mecânicas do material que permitem, assim, o estabelecimento de algum estado de ruptura, ou de iminência de ruptura. Um solo poderá estar submetido a grandes tensões de compressão em um ponto e não se romper (o estado hidrostático é o melhor exemplo); mas ele não aceita valores quaisquer de deformações nesse mesmo ponto.
1 - As equações constitutivas básicas 7 A ruptura dos solos (perda total de resistência a esforços) não é do tipo frágil em geral (como a de um vidro), mas dútil (porque ele é plástico). Em qualquer ponto de um solo, os incrementos d de deformações decorrentes de incrementos d de tensões internas não são proporcionais e diminuem com o aumento destas últimas; mas tendem para zero, sempre. Atinje-se, nesta condição, um estado de alerta, para além do qual o solo tem sua capacidade de reação diminuída significativamente, tendendo para uma
ruptura, ou colapso, em algum estágio posterior. Definição:
Diremos que um solo entrará em ruptura ou colapso sempre que sua resistência à deformação por estiramento for igual a zero.
Assim, com um valor aceitável de deformação por estiramento, em qualquer direção, para além do estado de alerta - que poderia ser denominado de estado admissível - se poderá estabelecer um bom critério para a fixação de um limite de segurança do solo à ruptura. Essa questão será bem explorada nas próximas seções.
No momento, o problema está em como determinar as seis constantes F e as seis S, contidas nas equações (1.01) e (1.02), quando aplicada a solos; os as nove constantes dos modelos cúbicos. Neste caso, é natural denominá-las constantes elásticas (tal como E, são ditas constantes elásticas para os corpos elásticos).
A máquina perfeita e o solo ensaiado
É sobejamente conhecida dos geotécnicos a chamada máquina de ensaio triaxial convencional que aplica a um cp cilíndrico9, cujo eixo é coincidente com o da máquina, uma tensão
1 variável segundo esse eixo
e tensão hidrostática fixa nas direções normais à primeira. Algumas limitações da máquina convencional foram superadas pelo aparelho TTA (triaxial verdadeiro), embora ambas posam realizar ensaios drenados e não drenados, com medição de pressão nos poros, com aplicação de tensões e/ou deformações diferentes em variados estágios de carregamento.
Vale lembrar que a aplicação das equações (1.01), (1.02) ou (1.08) e (1.10) para o solo (poroso) ensaiado exige a aplicação do princípio das tensões efetivas (introdução), ie, de que os diádicos de tensões e deformações sejam os efetivos, denotados por e , ou seja, os que efetivamente atuam no esqueleto sólido. Assim, se maq é o tensor de tensões aplicado pela máquina ao cp e se ’ é a pressão (hidrostática)
nos poros, maq '. Como a deformação nos poros (deformação sofrida pela água intersticial) é
praticamente nula, o tensor efetivo de deformação, , é idêntico ao imposto ao cp pelo aparelho.
Vale lembrar, ainda, que os tensores maq e têm as mesmas direções principais, o que, de fato, se
verifica. Se nˆ é uma das direções principais, então deve ser .nˆ maq.nˆ' nˆ; e sendo maq.nˆ
paralelo a nˆ (maq é diagonal), será também .nˆ paralelo a nˆ ('nˆ já o é).
Temos destacado que o solo, com o qual é moldado o cp, é suposto isotrópico e que, por isso, os diferentes estados de tensões principais em uma mesma amostra de solo (o que se consegue com o aparelho TTA), podem representar o que se passa em qualquer ponto de um maciço (de onde proveio a amostra), pouco importando as direções principais nesse ponto (no maciço). Lembramos, ainda, que tensões e deformações devem variar continua e gradualmente entre dois valores quaisquer. Isto, aliás, é o que acontece na prática quando se executam aterros ou, mesmo, cortes.
Nota 2:
Os modelos lineares podem ser usados como equações constitutivas de concretos, por exemplo, embora seja necessário, para estes, um aparelho TTA com maior capacidade de aplicação de tensões, pois são bem mais resistentes que os solos.
O solo ensaiado (como aplicação desta teoria) é uma areia fina e seca, moldada à vácuo, em forma de prisma reto, com arestas 75x75x150mm. Provisoriamente, consideramos dispensável uma descrição detalhada dessa areia dentro do presente tema.
8 2 – O cálculo das constantes F e S
2 - O cálculo das constantes F e S
Método algébrico
2.1 – Cálculos das constantes F com um estágio de carga
Referida às direções principais comuns de e de - direções essas coincidentes com os eixos de simetria do prisma com que se molda o cp e ao longo dos quais o aparelho aplica tensões -, a equação (1.01) pode ser escrita na forma matricial:
2 3 2 2 2 1 6 3 2 1 5 4 3 2 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 0 ) Tr F F ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) | | | | F ) (Tr F Tr F ( 0 0 0 0 0 0 .
Com um pequeno malabarismo algébrico, comprova-se facilmente que esta expressão matricial pode ser escrita na forma equivalente
6 5 4 3 2 1 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 2 1 F F F F F F ) σ ( Tr σ σ | | | | ) Tr ( Tr ) σ ( Tr σ σ | | | | ) Tr ( Tr ) σ ( Tr σ σ | | | | ) Tr ( Tr ε ε ε , (2.01),
em que se destaca a coluna das constantes elásticas incógnitas, F, todos os elementos das demais matrizes podendo ser deduzidos dos dados fornecidos pelo aparelho TTA (tensões aplicadas ao cp, pressão nos poros e deformações ocorridas). Assim, por transposição em (2.01), tem-se:
6 5 4 3 2 1 3 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 2 F F F F F F . M ) ( ) ( ) ( Tr Tr Tr | | | | | | | | | | | | ) Tr ( ) Tr ( ) Tr ( Tr Tr Tr com 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 2 ) ( Tr | | | | ) Tr ( Tr ) ( Tr | | | | ) Tr ( Tr ) ( Tr | | | | ) Tr ( Tr . ) ( ) ( ) ( Tr Tr Tr | | | | | | | | | | | | ) Tr ( ) Tr ( ) Tr ( Tr Tr Tr M ,
ou seja, com a matriz simétrica M:
T 4 3 3 2 2 3 2 2 4 3 3 3 2 2 2 4 2 2 4 3 2 4 3 3 2 3 2 M ) ( Tr ) ( Tr ) Tr ( ) ( Tr | | | | | | | | ) Tr ( | | | | ) Tr ( ) ( Tr ) Tr ( | | | | ) Tr | | | | ) Tr ( | | | | ) Tr ( ) Tr ( ) Tr ( ) ( Tr | | | | ) Tr ( | | | | | | | | ) Tr ( ) Tr ( ) Tr ( | | | | | | | | ) Tr ( | | | | ) Tr ( | | | | 3 | | | | ) Tr ( 3 | | | | ) Tr ( 3 | | | | ) Tr ( ) Tr ( ) Tr ( | | | | ) Tr ( 3 ) Tr ( 3 ) Tr ( 3 | | | | ) Tr ( ) Tr ( ) Tr ( | | | | ) Tr ( 3 ) Tr ( 3 ) Tr ( 3 M .
É fácil demonstrar que esta matriz é degenerada (independentemente das medidas oferecidas pelo aparelho). Basta, por exemplo, em seu determinante, dividir a quinta coluna de detM por Tr (pois Tr ≠ 0) para, então, verificar que esta nova coluna é igual à quarta (o que comprova a nulidade do
2.2 – O cálculo das constantes F com vários estágios 9 determinante). Isto significa que o sistema (2.01) admite uma infinidade de soluções e não resolve o problema proposto.
Em outras palavras: com apenas um estágio de carga é impossível determinar todas as constantes elásticas da lei (1.01).
2.2 - Cálculo das constantes F com vários estágios
Com dois estágios independentes de carga, ou seja, com os pares de medidas ((1),(1)) e ((2),(2)) entre as
quais não haja relação linear entre os s nem entre os s, pode fazer-se um empilhamento das matrizes correspondentes na lei (2.01) aplicada a cada estágio. Assim, para simplificar a escrita vamos usar as notações:
T 3 ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( } { , {F}
F1 F2 F3 F4 F5 F6
T, matrizes colunas 6x1 e 2 3 (i) (i) 3 (i) 3 (i) (i) 2 (i) (i) 2 2 (i) (i) 2 (i) 2 (i) (i) 2 (i) (i) 2 1 (i) (i) 1 (i) 1 (i) (i) 2 (i) (i) 6 3 (i) ) ( Tr | | | | ) Tr ( Tr ) ( Tr | | | | ) Tr ( Tr ) ( Tr | | | | ) Tr ( Tr B x , (i=1,2) (2.02),matriz retangular 3x6, uma para cada estágio (i). Assim, em forma compacta podemos escrever:
6x1 6 6 (2) (1) 1 6 {F} . ] [B ] [B } { x x , (2.03). Vem, de (2.03):
.{F} ] B [ ] B [ . ] B [ ] B [ } { . ] B [ ] B [ (2) ) 1 ( T ) 2 ( T ) 1 ( T ) 2 ( T ) 1 ( .O primeiro membro é igual à matriz coluna 6x1 cujos elementos, de cima para baixo, todos conhecidos, são: )] Tr( )[ (Tr(1) (1)(2) , (Tr(1))2(Tr((1))(Tr(2))2(Tr((2)), | |(1)| |(Tr((1))| |(1)| |(Tr((1)), (1) :(1)(2) :(2), (Tr(1)(1) :(1))(Tr(2)(2) :(2)), (1) :((1)(1))(2) :((2)(2)).
O segundo membro pode ser escrito na forma: ([B(1)]T.[B(1)][B(2)]T.[B(2)]).{F}, calculando-se ] B .[ ] B ([ (1) T (1) e ([B(2)]T.[B(2)] com o uso de (2.02).
Agora, invertendo-se, se possível, a soma dessas duas matrizes obtém-se, enfim, a solução, pela expressão: { ] ] [B ] [B .[ ) ] .[B ] [B ] .[B ] [B ( {F} (1) T (1) (2) T (2) 1 (1) T (2) T , (2.04). Por caminho e raciocínio idênticos aos anteriores pode desenvolver-se uma expressão geral para o cálculo das constantes F considerando n medidas. A equação correspondente a (2.03) será
10 2 – O cálculo das constantes F e S } F .{ ] B [ ... ] B [ ] B [ } { ) n ( ) 2 ( ) 1 ( , (2.05),
a coluna do primeiro membro tendo agora 3n linhas, as matrizes [B(i)] (para i = 1, 2, ..., n) - todas 3x6 -
mantendo a estrutura apresentada por (2.02). Resultará:
} .{ ] ] B ...[ ] B [ ] B [ .[ ) ] B [ . ] B [ ... ] B [ . ] B [ ] B [ . ] B ([ } F { (1) T (1) (2) T (2) (n) T (n) 1 (1) T (2) T (n) T , (2.06). Observações:
1 - Para efeito de determinação das constantes do modelo, esse método elimina preocupações com ensaios particulares e eventuais traçados de gráficos; mas isto pode ser processado a posteriori para interpretação das constantes e outros esclarecimentos.
2 – Se for viável a realização de mais de um ensaio, cada um com vários estágios, acima da quantidade mínima necessária e suficiente para tal (que ainda desconhecemos por falta de prova analítica), haverá também a necessidade de preparação de programas computacionais que, recebendo as informações do aparelho, apresentem as respostas imediatamente. Quem deve indicar a impossibilidade de inversão necessária em (2.06) é o programa utilizado para a realização dos cálculos.
3 – Como o modelo é não linear, não é possível a aplicação do princípio da superposição de efeitos, isto é, nenhum estágio de deformação deve ser uma combinação linear de dois outros. Mas é possível impor ao aparelho TTA um estágio de tensão normal (ou de elongação) que seja a soma de dois outros anteriores, embora o estágio soma não acrescente uma equação (2.01) completamente independente para a determinação das constantes.
2.3 - Cálculo das S com vários estágios de carga
As equações (1.01) e (1.02) têm formas idênticas; uma pode ser obtida da outra trocando-se as letras por e F por S. Isto significa que as fórmulas finais para cálculo das constantes são idênticas também. Para as constantes S tem-se, então:
} .{ ] ] C ...[ ] C [ ] C [ .[ ) ] C [ . ] C [ ... ] C [ . ] C [ ] C [ . ] C ([ } S { (1) T (1) (2) T (2) (n) T (n) 1 (1) T (2) T (n) T , (2.07), sendo, para o i-ésimo estágio de deformação:
2 3 (i) (i) 3 (1) 3 (i) (i) 2 (i) (i) 2 2 (i) (i) 2 (1) 2 (i) (i) 2 (i) (i) 2 1 (i) (i) 1 (1) 1 (i) (i) 2 (i) (i) ) i ( ) ( Tr | | | | ) Tr ( Tr ) ( Tr | | | | ) Tr ( Tr ) ( Tr | | | | ) Tr ( Tr C , (2.08),
Para o cálculo das constantes Ss repetem-se os mesmos passos de cálculo expostos em 2.1 e 2.2.
Trajetórias de tensões e deformações
A cada estágio de carga escolhido para um ensaio (com vários estágios) corresponderá um ponto no espaço de tensões definido por eixos (1, 2, 3) e o conjunto desses pontos define a trajetória de tensões
para o ensaio. A cada ensaio corresponderá uma trajetória de tensões, havendo uma infinidade delas, todas, aparentemente, com o mesmo estatus. É imperioso observar-se que as constantes das leis (1.01) não podem depender da trajetória das tensões utilizada para a execução do ensaio porque a lei é universal; do contrário, o modelo não seria apropriado, ou seria válido apenas em situações particulares de trajetórias. Mas os solos podem ser exceções, com veremos oportunamente.
O aparelho TTA permite, ainda, escolher-se uma trajetória de elongações, dentre infinitas existentes, aplicar ao cp elongações escolhidas e, por (1.02), determinar a lei constitutiva correspondente, que é inversa de (1.01). As constantes F, ou as S, de (1.01) ou (1.02), constituiriam a “carteira de identidade” do solo em termos de comportamento mecânico, tal como as constantes de Lamé, ou o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson, todos positivos, identificam um sólido elástico pelo modelo linear. Esta é a visão do solo como um material hiperelástico em que a equação constitutiva independe das trajetórias de tensões e deformaçoes.
3 - As constantes F e S e as equações constitutivas 11 Considerem-se três eixos arbitrários com origem comum, 1', 2' e 3', graduados em tensões. Sobre cada eixo, escolha-se um ponto (ao qual corresponde um valor de tensão) de forma que 1' ≥ 2' ≥ 3'. Cada
estágio de carga estará definido por um triângulo com vértices nos eixos 1', 2' e 3'. Se nesta configuração não existirem triângulos formando feixes (triângulos com reta comum), ficará assegurada a independência dos estados de carga (não haverá proporcionalidade entre dois estados quaisquer de tensões). Isto garantirá a inversão da matriz indicada em (2.06). O mesmo resultado pode ser aplicado ao espaço das tensões 1 ≥ 2 ≥ 3 (Figura, seção 4.1 à frente), de eixos 1, 2 e 3, onde a cada triângulo corresponde um
estágio de carga, ou um ponto do espaço. O conjunto destes pontos define a trajetória de tensões do ensaio, a qual não apresentará pontos colineares. O mesmo raciocínio poderá ser aplicado em relação a elongações.
Não obstante, existem muitas alternativas de trajetórias que podem ser consideradas como, por exemplo, a substituição das retas 1, 2 e 3, da configuração idealizada, por curvas (ou outras retas) 1', 2' e 3' arbitrárias.
Como dito (na introdução), existem solos cujos comportamentos mecânicos dependem da trajetória de tensões a que foi submetido, mantidos os demais fatores influentes. Então, para saber se dado solo se enquadra neste tipo de comportamento, basta que se façam dois ensaios com o mesmo, no mínimo nas mesmas condições de saturação e drenagem, cada um com uma trajetória bem "distinta" do outro e se compararem os valores das constantes obtidas em cada caso. Esta feição importante dos solos - de aceitar variação das constantes com a trajetória de tensões - pode, eventualmente, gerar uma classificação dos solos no tocante ao seu comportamento mecânico.
Estamos, assim, em face de duas situações: 1) - calculamos as constantes F e S com cada uma de N trajetórias adotadas, a cada trajetória correspondendo um par de equações constitutivas; 2) - juntamos os pares (,) de todos os N ensaios e calculamos um único par de constantes F e S, gerando apenas um par de equações constitutivas. Apesar dos poucos dados disponíveis (2N sextetos de números), com os dados da primeira situação será possível fazer-se uma estatística para se obterem "valores médios" e certos "desvios". Poder-se-á, ainda, usar parte das 2N equações, conforme as condições de trabalho a que este solo vier a ser submetido para se definirem equações constitutivas. Na segunda situação existe a esperança de que cada trajetória imponha aos valores das constantes calculadas a influência que lhe é devida, mas as constantes seriam únicas, ou a equação constitutiva seria uma só.
Como se vê, existem muitas alternativas para estudo futuro, com tipos diferentes de solos e em variadas situações.
3 – As constantes F e S e as equações constitutivas
As 6 constantes do modelo quadrático (1.01) e as 6 do modelo (1.02) foram determinadas com o uso do Excel levando-se em conta 8 dentre os 10 pares de medidas registrados em laboratório, ou melhor, foram considerados os estágios 3 a 10. Seguiu-se, para tal, o roteiro apresentado na seção 2, que é equivalente a um ajuste dos dados ao modelo quadrático aplicando o método dos mínimos quadrados de erros. Um resumo dos cálculos para as constantes F e S, em planilhas Excel, está apresentado no Anexo 2. As constantes F e S encontradas são as seguintes:
MPa 1 0104363246 , 0 F1 , 2 (MPa) 1 0431655591 , 0 F2 , 2 (MPa) 1 056303626 , 0 F3 , (3.01,a). MPa 1 044987138 , 0 F4 , 2 ) MPa ( 1 134441445 , 0 F5 , 2 ) MPa ( 1 1864738382 , 0 F6 , e MPa 519721107 , 28 S1 , S2 3.049,9473669765MPa, S3 1.130,7429506079MPa, (3.01,b), MPa 672790 0230 , 15 S4 , S5 2318,3861561617MPa, S6 1.467,4879648655MPa,
Observam-se três constantes positivas e três negativas em (3.01,a) e apenas duas negativas em (3.01,b). Se as constantes F fossem todas positivas, a função (1.01) seria crescente com o aumento das tensões e a elongação imposta ao solo (ou sua resposta às tensões aplicadas) poderia assumir qualquer valor, ficando este limitado apenas pela capacidade do aparelho de aplicar tensões. O que se passaria, então, em uma
12 3 – As constantes F e S e as equações constitutivas
solicitação por compressão uniaxial? Esta mesma observação pode ser feita em relação às constantes S. Enquanto um solo se deforma, a tensão deve crescer sempre?
Se identificássemos a parte linear do modelo com a lei linear de Hooke, (Tr ) E E 1
, com F4=(1+)/E e F1 = -/E,
obteríamos, considerando os valores (3.1,a) de F1 e F4: E=30,36 MPa e = 0,365 para a areia ensaiada.
As seguintes equações para a areia ensaiada (constantes com apenas 5 casas decimais) são, assim:
2 2 0,18325 ] ) (Tr 0,13175 0,04586 [( ] | | | | 0,05983 ) (Tr 0,04375 ) (Tr 0,012049 [ I , (3.02,a). e 2 E 2 E E 6 1.467,4879 ) 6 2.318,3861 15,02307 ( | | ) | | 74295 , 130 . 1 94737 , 049 . 3 28,51972 ( Ι , (3.02,b).
Do ponto de vista da hiperelasticidade estas equações são “universais” ou tensoriais, isto é, são válidas em qualquer sistema de referência, para o material ensaiado, não só no triortogonal usado para gerá-la, porque tanto o diádico quanto são tensores. Mas isto não significa que elas sejam aplicáveis a algum solo em quaisquer condições. As matrizes associadas aos diádicos são simétricas e quaisquer, em geral, não só diagonais como aquelas utilizadas para o cálculo das constantes.
NOTA IMPORTANTE:
O tempo transcorrido entre um estágio e outro deve ser o mais longo possível para reproduzir-se com maior aproximação o que se passa na prática, quando se constrói um aterro ou se faz uma escavação. Parece que os três primeiros estágios de carga acarretam muita perturbação no cp, o que pode ser observado pelos gráficos apresentados pelo relatório de laboratório. Em vista disso, foram eliminados os dois primeiros estágios, o que poderá indicar constantes mais expressivas em vista da aparente eliminação (quase total) das perturbações.
3.1 - Expressões algébricas literais das equações
Equações para deformações, = () e gráficos
A equação (1.01) é equivalente ao seguinte sistema de equações algébricas (não lineares nas variáveis 1,
2 e 3): , F F ) F F ( ) F F 2 ( F 2 ) F F 2 ( ) F F ( ) F F ( ) F F F F ( 3 1 2 1 1 4 1 1 3 5 2 3 2 2 2 1 5 2 2 3 3 2 2 2 3 2 2 1 6 5 3 2 1 (3.03.a). , F ) F F ( F F 2 F F 2 ( ) F F 2 ( ) F F ( ) F F F F ( ) F F ( 3 1 2 4 1 1 1 1 3 2 3 2 5 2 2 1 5 2 2 3 3 2 2 2 6 5 3 2 2 1 3 2 2 (3.03.b), , ) F F ( F F ) F F 2 ( ) F F 2 ( F 2 ) F F F F ( ) F F ( ) F F ( 3 4 1 2 1 1 1 1 3 5 2 3 2 5 2 2 1 2 2 3 6 5 3 2 2 2 3 2 2 1 3 2 3 (3.03,c),
em que os coeficientes são relações entre as constantes F já determinadas (quatro constantes para a forma quadrática: F2, F3, F5 e F6 e duas para a forma linear: F1 e F4). Expressões análogas podem ser escritas
para as elongações (como será visto pelas equações (3.10)), bastando trocar nas equações (3.03) por , por e as constantes F pelas constantes S.
3.1 - Expressões algébricas literais das equações 13 Considere-se agora que qualquer uma das equações (3.03) pode ser posta na forma
, F F ) F F ( ) F F 2 ( F 2 ) F F 2 ( ) F F ( ) F F ( ) F F F F ( k 1 j 1 i 4 1 i k 5 2 k j 2 j i 5 2 2 k 3 2 2 j 3 2 2 i 6 5 3 2 i (3.03,i),
para i≠j≠ki; ou na forma seguinte (obtida da primeira por permutação circular dos índices i, j e k)
, F F ) F F ( ) F F 2 ( F 2 ) F F 2 ( ) F F ( ) F F ( ) F F F F ( i 1 k 1 j 4 1 j i 5 2 i k 2 k j 5 2 2 i 3 2 2 k 3 2 2 j 6 5 3 2 j (3.03,j).
Deve ser lembrado que, no estágio de carga n, a distorção de duas direções principais ortogonais i e j, ij,
é a variação (do ângulo reto) dessas direções, desde o estado inicial até ao estágio (n). No plano bissetor do diedro (original) definido pelos planos ij e jk (para i≠j≠ki), agora deformado no estágio genérico, a tensão tangencial é ij e a tensão normal é Nik, grandezas essas dadas por
) ( 2 1 j i ij , ( ) 2 1 j i ij e ( ) 2 1 j i Nk , (3.03,d).
Então, considerando estas expressões, subtraindo membro a membro as expressões expostas de i e j,
agrupando termos e observando a ocorrência do fator (i - j 0) comum a todas as parcelas, resulta:
) ( F F F C 4 5 E 6 E k ij ij ij
, (para i≠j≠ki) e ij 0, (3.03,e),
ou, ainda, ) F 2 F F ( 4 5 E 6 Nk ij ij , (para i≠j≠ki) (3.03,f). Para as direções 1 e 3, particulamente, no estágio genérico de carga, ij e ij (i=1, j=3, logo k=2) assumem
seus valores máximos, 13 = max e 13 = max, sendo, então:
) ( 2 1 3 1 max , ( ) 0 2 1 3 1 max e ( ) 0 2 1 3 1 2 N , (3.03,d '),
devendo notar-se que N2 não é necessariamente a maior das tensões normais sobre planos bissetores. Em
resumo: no estágio genérico de carga em que o diádico de tensões é e o de deformações é :
) ( F F F C 4 5 E 6 E 2 max max 13 , (max 0)) (3.03,e '), ou, ainda, ) F 2 F F ( 4 5 E 6 N2 max max , (3.03,f '). Nota:
As tensões ij e Nk, dadas por (3.03,d), podem ser calculadas, evidentemente, em cada estágio
de carga. Vê-se, assim, claramente, que (3.03,f) permite o cálculo das constantes F4, F5 e F6
com poucos estágios de carga.
A equação (1.02) é equivalente ao seguinte sistema de equações algébricas (não lineares nas variáveis 1,
2 e 3): , S S ) S S ( ) S S 2 ( S 2 ) S S 2 ( ) S S ( ) S S ( ) S S S S ( 3 1 2 1 1 4 1 1 3 5 2 3 2 2 2 1 5 2 2 3 3 2 2 2 3 2 2 1 6 5 3 2 1 (3.04.a), , F ) F F ( F F 2 F F 2 ( ) F F 2 ( ) F F ( ) F F F F ( ) F F ( 3 1 2 4 1 1 1 1 3 2 3 2 5 2 2 1 5 2 2 3 3 2 2 2 6 5 3 2 2 1 3 2 2 (3.04.b),
14 3 – As constantes F e S e as equações constitutivas , ) F F ( F F ) F F 2 ( ) F F 2 ( F 2 ) F F F F ( ) F F ( ) F F ( 3 4 1 2 1 1 1 1 3 5 2 3 2 5 2 2 1 2 2 3 6 5 3 2 2 2 3 2 2 1 3 2 3 (3.04,c).
Deduzem-se, também, as equações correlatas de (3.03,d) a (3.03,f') seguintes:
) ( 2 1 j i ij , ( ) 2 1 j i ij e ( ) 2 1 j i Nk , (3.04,d), ) ( S S S D 4 5 E 6 E k ij ij ij
, (para i≠j≠ki) e ij 0, (3.04,e),
ou, ainda, ) S 2 S S ( 4 5 E 6 Nk ij ij , (para i≠j≠ki) (3.04,f). Para as direções 1 e 3, particulamente, no estágio genérico de carga, ij e ij (i=1, j=3, logo k=2) assumem
seus valores máximos, 13 = max e 13 = max, sendo, então:
) ( 2 1 3 1 max , ( ) 0 2 1 3 1 max e ( ) 0 2 1 3 1 2 N , (3.04,d '),
devendo notar-se que N2 não é necessariamente a maior das elongações nas direções normais aos planos
bissetores. Em resumo: no estágio genérico de carga em que o diádico de tensões é e o de deformações é : ) ( S S S D 4 5 E 6 E 2 max max 13 , (max 0)) (3.04,e '), ou, ainda, ) S 2 S S ( 4 5 E 6 N2 max max , (3.04,f ').
3.2 - Expressões matriciais das equações
Equações para deformações, = ()
É interessante considerar o sistema de três equações (3.03) nas formas matriciais equivalentes seguintes:
.
F F F F
. , F F F ) F F 2 ( 2 1 F F F ) F F 2 ( 2 1 ) F F 2 ( 2 1 ) F F 2 ( 2 1 F F F F . 3 2 1 1 1 4 1 3 2 1 3 2 2 5 2 2 3 2 5 2 5 2 5 2 6 5 3 2 3 2 1 1 (3.05,a),
.
F F F F
. , F F ) F F 2 ( 2 1 F ) F F 2 ( 2 1 F F F F ) F F 2 ( 2 1 F ) F F 2 ( 2 1 F F . 3 2 1 1 4 1 1 3 2 1 3 2 5 2 2 5 2 6 5 3 2 5 2 2 5 2 3 2 3 2 1 2 (3.05.b),
.
F F F F
. , F F F F ) F F 2 ( 2 1 ) F F 2 ( 2 1 ) F F 2 ( 2 1 F F F ) F F 2 ( 2 1 F F F . 3 2 1 4 1 1 1 3 2 1 6 5 3 2 5 2 5 2 5 2 3 2 2 5 2 2 3 2 3 2 1 3 (3.05,c).4.1 – Relativo às =() 15
Equações para tensões, = () e gráficos
Como já dito, expressões análogas a (3.03, a, b e c) podem ser escritas para as elongações, bastando trocar nela por , por e as constantes F pelas constantes S. Existe, então, o sistema matricial
.
S S S S
. , S S S ) S (2S 2 1 S S S ) S (2S 2 1 ) S (2S 2 1 ) S (2S 2 1 S S S S . 3 2 1 1 1 4 1 3 2 1 3 2 2 5 2 2 3 2 5 2 5 2 5 2 6 5 3 2 3 2 1 1 (3.06,a),
.
S S S S
. , S S ) S S 2 ( 2 1 S ) S S 2 ( 2 1 S S S S ) S S 2 ( 2 1 S ) S S 2 ( 2 1 S S . 3 2 1 1 4 1 1 3 2 1 3 2 5 2 2 5 2 6 5 3 2 5 2 2 5 2 3 2 3 2 1 2 (3.06.b),
.
S S S S
. , S S S S ) S S 2 ( 2 1 ) S S 2 ( 2 1 ) S S 2 ( 2 1 S S S ) S S 2 ( 2 1 S S S . 3 2 1 4 1 1 1 3 2 1 6 5 3 2 5 2 5 2 5 2 3 2 2 5 2 2 3 2 3 2 1 3 (3.06,c).4 - Aspectos geométricos
4.1 - Relativo às
=
(
)
O espaço das tensões aplicadas a um cp é um paralelepípedo reto retângulo com três arestas coiniciais num ponto T. Pode constituir-se com as arestas desse paralelepípedo um sistema de eixos cartesianos 1, 2 e 3 e graduá-los em tensões. No eixo T-1 marcam-se tensões aplicadas ao cp segundo o eixo 1 do aparelho TTA, a vertical ascendente do lugar. No eixo T-2 marcam-se tensões aplicadas no eixo 2 do aparelho e no eixo T-3, tensões aplicadas na direção 3. O triedro T-123 deve ser direto.
Conforme ensaio realizado nos laboratórios de Furnas,
MPa 293 , 2
01 1lim , 0 2 2lim 1,253MPa e 03 3lim 1,026MPa, (4.01),
tendo sido considerado que, em qualquer estágio de carga,
1 ≥ 2 ≥ 3, (4.01,a).
Fica, assim, definida uma região interna ao paralelepípedo acima considerado correspondente ao ensaio realizado; vamos denominá-lo espaço T. A Figura a seguir ilustra esse algo complicado espaço T, constituído pelo prisma de bases trapezoidais DEFG e HIJK, cujos pontos apresentam 1
2lim, 2, 3, o poliedro de bases paralelas
DEFG e ABC cujos pontos apresentam coordenadas 1, 2 3lim, 3; e a pirâmide
de vértice O e base ABC cujos pontos têm coordenadas 13lim, 23lim, 3.
Não existe a possibilidade de ser, isoladamente, 1 = 3, exceto nas condições
