Algebra Linear e Aplicações - Carlos A. Callioli

CARLOS A. CALLIOLI

Prof. Titular - Faculdade de Engenharia Industrial (São Paulo)

HYGINO H. DOMINGUES

Prof. Adjunto - Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

-UNESP ( Rio Preto)

ROBERTO C.

f.

COSTA

Praf. Livre-Docente - Instituto de Matemática e Estatística - USP

ÁLGEBRA LINEAR

".,.

E APLICACOES

_"'

.

6~ edição reformulada

12'!

reimpressã~"!IF

ATUAJ.

EDITORA

CARLOS A. CALLIOLI

Prof. Titular - Faculdade de Engenharia Industrial (São Paulo)

HYGINO H. DOMINGUES

Prof. Adjunto - Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

-UNESP ( Rio Preto)

ROBERTO C.

f.

COSTA

Praf. Livre-Docente - Instituto de Matemática e Estatística - USP

ÁLGEBRA LINEAR

".,.

E APLICACOES

_"'

.

6~ edição reformulada

12'!

reimpressã~"!IF

ATUAJ.

EDITORA

124 133 137 149 151 158 161 172 176 192 195 197 199 203 208 212 214 217 218 221 222 225 228 232 235 Capítulo 7 - Determinantes 1. Permutações . 2. Determinantes .

3. Propriedades dos Determinantes .

4. Cofatores .

5. Adjunta Clássica e Inversa .

6. Regra de Cramer .

7. Determinante de um Operador Linear ..

Apêndice IV - Determinante de um Produto de Matrizes . Capítulo 6 - Espaços com Produto Interno

1. Produtos Internos . 2. Norma e Distância ~ . 3. Ortogonalidade . 4. Isometrias . 5. Operadores Auto-adjuntos . 6. Espaços Hermitianos .

Capítulo 8 - Formas Bilineares e Quadráticas Reais

1. Formas Bilineares ..

2. Matriz de uma Forma Bilinear ..

3. Matrizes Congruentes - Mudança de Base para uma Forma Bilinear 4. Formas Bilineares Simétricas e Anti-simétricas .

5. 'Formas Quadráticas .

6. Redução de Formas Quadráticas: Algoritmos .. , Capítulo 4 - Transformações Lineares

L Noções sobre Aplicações 102

2. Transformações Lineares 104

3. Núcleo e Imagem 111

4. Isomorfismos e Automorfismos 114

(C;~~~::::-;)

Matriz de uma Transformação Linear

--1-:

-Op~ações com Transformações Lineares .

2. Matriz de uma Transformação Linear : .

3. Matriz da Transformação Composta .

4. Espaço Dual . 5. Matrizes Semelhantes . 2 4 6 8 16 18 27 31 39 42 44 50 54 56 57 59 66 67 74 76 78 80 81 89 91 99 Capítulo 1 - Sistemas Lineares - Matrizes

1. Sistemas Lineares .

2. Sistemas Equivalentes .

3. Sistemas Escalonados ..

4. Discussão e Resolução de um Sistema Linear ..

5. Matrizes .

6. ,Operações com Matrizes .

7. ~,Matrizes Inversíveis .

8. Sistemas de Cramer .

~Apêndice I - Matrizes Elementares ..

íNDICE

1~ PARTE: ÁLGEBRA LINEAR

Capítulo 2 - Espaços Vetoriais

1. Introdução .

2. Espaços Vetoriais ' .

3. Primeiras Propriedades de um Espaço Vetorial .

4. Sub-espaços Vetoriais ..

5. Somas de Sub-espaços .

6. Combinações Lineares ..

7. Espaços Vetoriais Finitamente Gerados ..

Apêndice 11 - Exemplo de Espaço que não é Finitamente Gerado Capítulo 3 - Base e Dimensão

1. Dependência Linear ..

2. Propriedades da Dependência Linear ..

3. Base de um Espaço Vetorial Finitamente Gerado .

4. Dimensão ..

5. Processo Prático para Determinar uma Base de um Sub-espaço de [Rn

(ou Cn

) : •••••••

6. Dimensão da Soma de Dois Sub-espaços ..

7. Coordenadas ..

8. Mudança de Base ..

2~ PARTE: APLlCACÕES

(

ê~;;';'~ magO~alizaç.O

d,O do"" Lio"",,,, Fonna d, Jo . "T'"'-"VâÍc>res e Vetores Próprios 246

2. Diagonalização de Operadores 253

3. Diagonalização de Operadores Auto-adjuntos (ou de Matrizes Simétri-cas Reais) oooo• • • • • • • • • •o• • • • • • • • • • • • • • • •o• • • • •o• • •o o• o• • • • • 262 4. Aplicação da Diagonalização: Potências de uma Matriz ..o• o• •oo o 266 5. Aplicação da Diagonalização: Séries de Matrizes (Noções) 268 6. Lema de Gergoshin .o• ooo• ooooo• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 270 7. Forma de Jordan .o• • • • •o• • • • • • • • • • • • • • • • • • •o• • • • • •o• •oo . . . . 272

Capítulo 2 - Curvas e Superfícies de Segundo Grau

1. As Curvas de Segundo Grau o • oooo• • • • • • • • • • • • •oo• • • • •• • 284 2. As Superfícies de Segundo Grau o• ooo• • • • • • • • • • •oooo• • • • • 292 Capítulo 3 - Polinômios de Lagrange

1. Valores Numéricos o• • • • • • • •o• • • • • • • • • •oo • • • • • • • • 298 2. Polinômios de Lagrange o• • • • • • • •o• • • • • • • • • •oo • • • • • • • • 299 Capítulo 4 - Seqüências Recorrentes Lineares

1. Seqüências Recorrentes o • o• • • • • •o • o• • • • •o• • • •ooo oo• • • • • •• • 305 2. Aplicação oo• • • • • • •ooo• • • • • • • • • • •oooo• •• • 311 Capítulo 5 - Equações e Sistemas de Equações Diferenciais Lineares com

Coeficientes Constantes

1. Operadores Diferenciais oooo• • • • • • • • • • o• • • • • • • 315 2. Álgebra dos Operadores oo• • • • • • • • • • oo• • • • • 317 3. Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes ooo• • 319 4. Equações Homogêneas de Segunda Ordem oo• • • •• • • • • • • 321 5. Equações Homogêneas de Ordem Qualquer ooo• • • • • • • • • •o• • 324 6. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes

Constantes ....oooo• • o• • • • • • • • • •o o• • • • • • • • • • • • • •oo • o• • • • • • •o 327 Capítulo 6 - Método dos Mínimos Quadrados

1. O Espaço Euclidiano [Rn: Revisão ooo• oo• • • • • • • • • • o• • •• • 334 2. Aproximação por Projeções .oooo• • • • • • • • • •o o• oooo• • • • • • •o• oo • 335 3. Ajuste de Curvas o• o• • • • • • • • • •o oo• •o• • • • • •o• oo o• • 338 Respostas ...o• • oo• • • • • • • • • • • • • • • •oo o• oo• •oooo• • • • • • • • • • ooooo• • • • 342 Bibliografia o ' o• • • • • • • •o• • • • • • •o• • • • • •o• •oo• • • • • • • • • • • • •o• • • • • • • • 350 Índice Remissivo % o• • • oo• ooo• • • • • •o o• • • • •o• •o o• • • • • • • • •o• • • •o• •oo 351

CAPíTULO

1

Sistemas Lineares -

Matrizes

1. SISTEMAS LINEARES

Neste capítulo procederemos inicialmente a um estudo dos sistemas lineares sobre IR. Não nos moverá aqui nenhuma preocupação de formalismo ou rigor exces-sivos. Além disso limitar-nos-emos a ver sobre o assunto apenas o que é necessário para desenvolver os capítulos posteriores. De uma maneira geral este capítulo 1 constitui apenas um pré-requisito para o restante deste livro.

Definição 1 - Dados os números reaisai, ... , a_{n ,}{3 (n~1),àequação

aI Xl

+ ... +

_{a n xn}

=

(3

onde os Xi são variáveis em IR, damos o nome de equação linear sobreJR nas incógnitas xb . . . , x n.

Uma solução' dessa equação é uma seqüência de n números reais(*) (não

neéessariamente distintos entre si), indicada por (bl , . . . , bn), tal que

aIbl

+ ... +

a nbn

=

{3 é uma frase verdadeira.

Exemplo - Dada a equação:2XI - X2

+

X3

=

1, a terna ordenada (1,1, O) é uma solução dessa equação pois 2 • 1 - 1

+

°

=

1 é verdadeira.

Definição 2 - Um sistema de m equações lineares com n incógnitas

(m, n~ 1)(**) é um conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n incóg-nitas, consideradas simultaneamente. Um sistema linear se apresenta do seguinte modo:

{

allxl

+

+

alnxn

=

(31

S:

~~1.~1. ~ ~.~~~~.~ .~.

frml XI

+ .. , +

amnx n

=

13m

(*) Também chamada n-upla de números reais.

Umasolução do sistema acima é uma n.upla (bl , . . . ,bn ) de números reais

que é solução de cada uma das equações do sistema.

Exemplo - Dado o sistema

{

2X - y

+

z

=

1 S:

'x

+

2y

=

6

uma solução de S é (O, 3, 4). Notemos que essa solução não é única: a terna

(~

, 1

51

,~

também é solução de S.

Se, no sistema S, tivermos{31

=

{32

= ..• =

13_m

=

0, o sistema S será homo-gêneo. A n-upla (O, 0, ... , O) é solução de S neste caso e por isso todo sistema homogêneo é compatível, de acordo com a definição 3 a seguir. A solução (O, 0, ... , O) chama-sesolução trivial do sistema homogêneo.

Definição 3 -' Dizemos que um sistema linear S é incompatível se, S não

admite nenhuma solução. Um sistema linear que admite uma única solução é chamado compatível determinado. Se um sistema linear S admitir mais do que

uma solução então ele recebe o nome de compatível indeterminado. Exemplos

1) Um sistema do tipo

all x l

+ '" +

alnx n

=

{31

OXl

+ ... +

_OXn

=

{3i ({3i =1= O)

frml Xl

+ ... +

amnxn

=

13m

é necessariamente incompatível: como nenhuma n-upla é solução da equação i-ésima, então nenhuma n-upla é solução do sistema.

2) Um sistema do tipo

{

X' ••

~'

•••...••..••.••• : .

~

xn = {3n

(**) _{Se m= n simplesmentesistema linear de ordem n.}

3) O sistema

{

2X - y

+

z

==

1

x

+

2y = 6

(111)Somara uma das equações do sistema uma outra equação desse sistema multiplicada por um número real. Deixamos como exercício a verificação de que o sistema:

" d t . d . c: •

(8 11 )

e m e ermma o pOlS, conlorme VImos atrás, as temas (O, 3,4)e

5' 5'

O são soluções deste sistema. Conforme veremos, existem infinitas soluções deste sistema. Tente achar uma.

CXm1Xl

+ ... +

CXmnXn = ~m

2. SISTEMAS EQUIVALENTES

Seja S um sistema linear de m equações com n incógnitas. Interessa-nos considerar os sistemas que podem ser obtidos de S de uma das seguintes maneiras:

.(I) Permutar duas das equações de S. Éevidente que se81 indicar o sistema assim obtido, então toda solução de SI é solução de S e vice-versa.

(11)Multiplicar uma das equações de S por um número realÀ=1=O.Indicando por SI o sistema assim obtido mostremos que toda solução de SI é solução de8e vice-versa.

assim obtido e o sistema S ou são ambos incompatíveis ou admitem ambos as mesmas sbluções. Sugerimos ao leitor que faça alguns casos particulares antes de tentar o caso geral.

Deflilição 4 - Dado um sistema linear S, uma qualquer das modificações explicadas acima em(I), (11)e(I1I)que se faça com esse sistema recebe o nome de

ope-ração elementar comS. Se um sistema linear 81 foi obtido de um sistema linear S através de um número finito de operações elementares, dizemos que SI é

equivalen-tea S. Notação: SI ~ S. Éfácil ver que para a relação ~assim definida valem as seguintes propriedades:

Devido a (I) podemos supor que a equação multiplicada seja a primeira. Como as demais equações de S e SI coincidem basta verificar nossa afirmação quanto à primeira equação.

(a) S ~ S (reflexiva);

(b) SI ~ S ~ S ~ SI (simétrica);

(c) SI ~ S e S ~ S2====> SI ~ S2 (transitiva). Se (b1 , ••• ,bn )é uma solução de S (conforme definição 2), então:

Multiplicando porÀesta igualdade obteremos:

Convém frisar, por último, que em virtude do que já vimos neste parágrafo, se SI ~ S, então toda solução de S é solução de SI e vice-versa. Em particular, se SI é incompatível, o mesmo acontece com S.

Desta forma criamos um mecanismo extremamente útil para a procura de solu-ções de um sistema linear S. Procuramos sempre' encontrar um sistema linear equivalente a S e que seja "mais simples". Veremos um exemplo. Considere-mos o sistema: { X + z = l S: 2x

=

~

+

z

=

4 x - 2y

+

2z = O (1) (2) o que mostra que (b1 , •.• ,bn )é também solução da primeira equação de SI'

Por outro lado, se (b1 , .•• , b n) é solução de SI, então a igualdade (2) é verdadeira. Dividindo (2) por À obtemos (1). Portanto (b_{1 , . . • ,} b_{n )} pertence ao conjunto das soluções de S.

Demonstração -

Sem perder a generalidade podemos supor:

Proposição 1 - Todo sistema linear S é equivalente a um sistema escalo-nado.

Para estudar este sistema deve-se aplicar a ele uma série de operações ele-mentares visando fazer com que o número de coeficientes iniciais nulos seja maior em cada equação (a partir da segunda) do que na precedente. Vejamos como se pode fazer isso.

{ X - Y

+

z

=

1 * {X - y

+

z

=

1 **{X - Y

+

z

=

1 2x - y

+

z

=

4 ~ y - z

=

2 ~ y - z

=

2 x - 2y -I- 2z

=

O - y

+

z

= -

1 . O

=

1

S:

Xl

+

Cl12X2

+ ...

-I- CllnXn

=

{31 Cl21Xl

+

Cl22X2 -1- .••

+

Cl2nxn = {32 . . . .0 · 0. . . .

S:

*

Multiplicamos por - 2 a primeira equação e somamos oresultad~com a segunda equação; multiplicamos a primeira equação por -1 e somamos com a tercerra.

**

Somamos a segunda equação com a terceira.

Como este último sistema é incompatível, o mesmo acontece com o sistema S dado inicialmente.

3. SISTEMAS ESCALONADOS

Consideremos um sistema linear de m equações com n incógnitas que tem o seguinte aspecto:

CllIl xr1

+ . . . .. +

CllnXn= {31

Qzr2xr2

+

+

QznXn = {32

Clkrkxrk

+ ... +

ClknXn = {3k

OXn={3k+ 1 onde Cl1rl =1= O, Cl2f2 =1= O, ... , Clkrk =1= O e cada ri:> 1.

Se tivermos 1

<

ri

<

r2

< ... <

r k

<

n diremos que S é um

sistema

li-near escalonado.

Éclaro que se {3k +1 =: O,a última equação de S pode ser elimina-da do sistema. Logo, num sistema escalonado o número de coeficientes iniciais nulos em cada equação, a partir da segunda, é maior .do que na precedente.

Exemplo de sistema escalonado:

{

2X - y -

z -

3t

=

O z - t

=

1

2t

=

2

Para cada Clü :::f=O(i= 2, 3, ... ,m) multipliquemos por (-Cl_{ü )}a primeira equação e somemos o resultado à equação i-ésima. Com algumas permutações convenientes de equações (se for o caso) obteremos um sistema SI do seguinte tipo:

Xl

+ ... +

Cllrlxrl

+ ... +

CllnXn = {31 72fl xr1

+ '" +

72nXn

=

{3;

...

onde 72fl =1= O e ri:> 2, que é equivalente aS.

Dividindo a segunda equação de SI por 72fl óbtemos um sistema S2' ainda equivalente a S1> com o qual começamos a repetir o raciocínio feito até aqui, porém a partir da sua segunda equação. Evidentemente, depois de aplicar um certo número finito de vezes esse raciocínio chegaremos a um sistema escalonado equivalente a S. •

A importância dos sistemas escalonados reside na Proposição 1. Sendo todo sistema equivalente a um sistema escalonado, bastará que saibamos lidar com os sistemas escalonados e saibamos reduzirumsistema qualquer a um escalonado.

Nota:

Convém observar que as equações do tipo O= Oque por ventura aparecerem no processo de escalonamento devem ser suprimidas, como é óbvio.

Exemplo -

Escalonemos o seguinte sistema:

1

2X - y

+

z -

t = 4 . 3x

+

2y - z

+

2t = 1

S:

2x- y - z - t=O 5x

+

2t = 1

4. DISCUSSÃO E RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Observe o leitor que (1, 2, 2, - 2) é a única solução de S, pois é a única solução do sistema escalonado. O 2

- - 3

I z

=

3 y

=

'Y1

=

'Y2 X X_n

=

'Yn 2 3 2

**

- - 3

1 z

=

3 y I x - y

*

r-

y+

z = 1

-r-

y+z= S ~ 3y = -2 y - z = - l 2y - 2z = -2 3y = -2

{

x - y + z=

r-y+'~

I ~ y - z = -1 _~ y - z = - l 3z = 1 z= -3 { x - y + z=l S: 2x + y + 2z = O 3x - y

+

z

=

I

Neste caso S' poderá ser transformado, por equivalência, no seguinte sistema (11) Obtém-se um sistema escalonado do seguinte tipo:

( Xl + G'12 X2 + + G'lnXn : ~1 X2 + + G'2nXn - ~

s:

• • e • • • • • • • • • • • • • Xn

=

~n

Exemplo - Discutir e resolver o seguinte sistema:

Logo S é compatível determinado e ('Y1' 'Y2, ... , 'Yn) é a sua solução. Z

+

2x - y - t

=

4 1 1 X+sY+st= 1 14 14 - s y - s t

=

O Y

+

t

=

-4

(

z

+

2x - y - t

=

4 ~ 5x

+

y

+

t

=

5 4x - 2y - 2t = 4 5x

+

2t

=

1 5x

+

2t

=

1 Z

+

2x - y - t

=

4 1 1 x + - y + - t =

5

5

4x - 2y 2t = 4 ( Z

+

2x - y - t

=

4 S ~ - Z + 3x + 2y + 2t = 1 - Z

+

2x - y - t

=

O 5x

+

2t

=

1 ( z + 2x - y - t = 4

(Z

+ 2x - y - t = 4 5x + y + t = 5 ~ 5x + y + t = 5 y+t=O y+ t=O Y - t = 4 - 2t = 4

Discutir um sistema linear S significa efetuar um estudo de S visando a

classificá-lo segundo a definição 3. Resolver um sistema linear significa determinar todas as suas soluções. O conjunto dessas soluções recebe o nome de conjunto

solução do sistema.

Seja S um sistema linear de m equações com n incógnitas. Procedendo ao escalonamento de S chegaremos a uma das três seguintes situações:

(I) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtém-se um sistema:

Como S' é incompatível, então o mesmo se pode dizer de S. (Ver exemplo no parágrafo 2).

* Somamos a terceira equação à segunda.

** Somamos a segunda equação àprimeira.

Exemplo - Discutir e resolver o sistema: { x-2y- z=1 S: 2x

+

y - 3z

=

O x - 7y

=

3

{

X-

2y -

z

=

1

{X -

2y-

z

=

I S ~ 5y -

z

=

-2 ~ 5y -

z

=

-2 - 5y

+

z

=

2 O

=

O 2

=-3'

I z por

3'

Logo o sistema é compatível determinado e

(o, -

~

,

~)

é a sua solução. Observação: Depois de conseguir o escalonamento poderíamos ter achado a solução do sistema por substituição do seguinte modo:

Como z =

1-

e y - z = - I então y -

1-

= - I Daí y =

...!.. -

I

3 ' 3 ' 3

Agora, se na primeira equação do sistema substituirmos y por -

~

e acharemos x =

o,

Logo, {

(~

+

~

z, -

~

+

i

z, z):Z E

IR}

é o conjunto de todas as soluções

(1 7 2 1 )

de S(conjunto soluçãode S). Dizemos também que

5

+

5"

z,

-"5

+

"5

z, z ,com z E

IR,

é asolução geraldo sistema lirlear S.

z= _{- Sz=}7

_S-

1 I 2 y - S z = - S { X=

1-+2z

. 5 5 2 1 Y

=

_.

--+-z

_{5 5}

{

X-

2y-y-~z=-~

Daí tiramos:

(I1I) Obtém-se um sistema escalonado do tipo abaixo:

Xl

+ .. , +

aU2xr2

+ ... +

alr3Xr3

+ , .. +

_{a1r pXrp}

+ , , . +

aln Xn = 131

Xr2

+ .. , +

azr3Xr3

+ ... +

_{aztpXr p}

+ .. , +

a2nXn =

l3z

S': _Xr3

+ , .. +

a3rpXrp

+ ... +

a3nXn = 133

onde p

<

n.

É fácil então ir eliminando, por meio de operações elementares, o termo em xr2 na primeira equação, os termos em xr3 da primeira e segunda equações, , .. , os termos em xrp da primeira

à

(p - l).ésima equação, Por exemplo, multi-plicando a segunda equação por (-aU2) e somando o resultado com a primeira eliminando o termo a1r2xr2'

Feito. isto, passamos para o segundo membro de cada equação todas as parcelas, exceção feita à primeira. Teremos então algo como:

Xl

=

f1 xr2 = f2 Xrp = fp

onde cada fi é uma expressão linear nas variáveis Xj com j=1= I, j=1=f2, ',' . ,j=1= _rp'

A cada seqüência de valores que dermos então a estas n - p variáveis(variáveis livres) obteremos valores para Xl, Xr", ... , Xr . e conseqüentemente uma solução

P .

do sistema. Como p

<

n, teremos mais do que uma solução (infinitas na verdade) e o sistema é indeterminado neste caso.

RESUMO DA DISCUSSÃO

A discussão feita acima pode ser resumida do seguirlte modo:

Suponhamos que um sistema tenha sido escalonado e, retiradas as equações do tipo O = O, restam p equações com n irlcógnitas.

(I) Se a última das equações restantes é

OX1

+ .. , +

_{OXn =}

I3

p

(l3

p =1= O)

então o sistema éincompatível;

Caso contrário, sobram duas alternativas:

(11) Se p = n o sistema é compatível determinado;

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. Resolver por escalonamento: 1. Resolver por escalonamento:

{ 5X - 2y + 2z = 2 s: 3x + y + 4z= -1 4x - 3y + z = 3

{"

y + z ;:: 2 x - y z= -3

s:

2x + y + 2z = I 3x + 2y + 3z = 3 Solução

De z = O, tiramos x = Oe daí teremos y = - 1. { Y

+

3x

+

4z = -1

-c

S - - 2y + 5x + 2z = 2 - 3y + 4x + z = 3

-{'+

3x + 4z = -1

{+

llx + 10z = O x + z = O 3x + 4z = -1 llx + 10z = O 13x + 13z = O 3x + 4z= -1 x + z = O z= O Solução

s-{

x + y + z = 2 2y 2z ~5 y -3 y -3 Daí:y=3,z= _-II e x = _-2"'I

Resposta: Osistemaé compatível determinado, sendo ( -

~,

3, -

~)

sua única solução. Resposta: (O, - 1, O)é a única solução; o sistema é compatível determinado. _{5. Resolver por escalonamento:}

2. Resolver por escalonamento:

{ X + Y + z + 3t = 1

s:

x + y - z + 2t = O { 3X + 3y 2z - t = 2

s:

Sx + 2y + z - 2t = I 2x - y + 3z - t

= -

I Solução Solução

3. Resolver por escalonamento:

Resposta: Osistemaé incompatível, por causa da igualdade O = 1.

Resposta: {(-2 + 5z - y,y,z,1 - 2z) IY,z E IR} éo conjunto solução do sistema. O sistemaé compatível indeterminado, pois tem infinitas soluções.

{ X - 2y ~ 3z

=

O

s:

x +4y - z= O 2x - y + Z = O

r'

+ 3x + 3y ~ 2z = 2 S - - 2t +Sx + 2y + z = I - t + 2x - y + 3z = ~1

-{

- 3x ~ 3y +2z = -2 _ { t ~ 3x ~ 3y + 2z = ~2 x - 4y + Sz = -3 x + 4y - Sz = 3 x - 4y + Sz = -3

Daí: x= -4y + Sz + 3 e t = ~9y + 13z + 7

Resposta: {(-4y +Sz +3, y, z, ~9y +13z +7) Iy, zE IR}éo conjunto das soluções e portanto o sistemaé compatível indeterminado.

6. Resolver o sistema homogêneo por escalonamento:

= -2 +5z - y t = 1 - 2z { X + Y + z = 1 {X + Y + z = 1 y+ z=-1 - y+z=-1 2y + 2z = - 1 O= 1 { X+Y+Z=1 s: x - y - z= 2 2x+ y + z= 3 { X + Y + z + 3t = 1 {x

s-

-2z + t = 1 Solução { X+ Y + z

=

1 S - - 2y - 2z = 1 - y - z=1 12 13

Solução - 2y - 3z == O 6y + 2z == O 3y +7z == O { X 2y - 3z == O -

y+~z==O

3y +7z == O - 2y - 3z == O 1 y +Tz == O 6z == O

li. Resolver o sistema:

{

x2 + y2

=

34 S·_{. _ x 2 + y2 = 16}

Solução: Este sistemanãoélinear, pois x e y aparecem em segundo grau. Mas podemos

intro-I ' . , . 2 2 d - ' { u+v=34

(UZIIasvarlavels u

=

x e v

=

y toman o-se então o sIstema S em _ u

+

v

=

16 cuja

solução(única)éu

=

9, v

=

25. Daí obtemos x 2

=

9e y2

=

25, ou seja, x

=

± 3 e y

=

± 5. Há portanto 4 soluções para o sistema S:(3,5), (3, - 5), (- 3,5) e (- 3, - 5).

Daí: x == O, y == O e z== O.

O sistema admite somente a solução trivial (O, 0, O), sendo portanto determinado. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7. Resolver o sistema homogêneo por escalonamento:

I. Resolver os sistemas abaixo:

s: { : :

2x + y+ z+t==O y 2z + t == O y + 2z -- t == O y + Z = 1 y + 2z = 2 6y + 3z = 3 [ X + b) x -y + Z = Y+ Z 2y -2 -3

O conjunto {(2t, - 3t, O, t) ItEIR} éo conjunto solução; o sistema linearécompatível inde-terminado. Observe que o valor da incógnita zédeterminado, istoé,não depende de 1. 8. Determinar o valor deapara que o sistema linearS admita uma única solução e determiná-la:

Daí, necessariamente a =

°

e o sistema S é equivalente a {x Resposta: a = O e {(l,O)}éa solução única de S.

{ X +y +z+ t== O - y +3t =O z

=

O 2y = 6 y -2 y O

[

::

x

:

+ e a

[H2Y2,-

t = 2x - 2y - 2z - 3t -1 2x 2y z 5t 9 3x y + z - mt = O -a

o

2

[

3: :

7~

: :

5x + 3y 5a + 2b x + 2y a + b - 1 compatível e determinado. Em seguida resolver o sistema. 2. Determinar os valores deaeb que tornam o sistema

3. Discutir os seguintes sistemas lineares (em função dea):

5. Resolver os sistemas homogêneos abaixo:

[3;

y + 2z - t = O b) [: + y + z + w - t = O a) + y + 3z + t = O z - 5t = O Y - z + 2w - t = O Y

-4. Determinar os valores dem para os quais o sistema é determinado:

1 O· + Y Y ==0 -- 2t ==O + 3t ==O z y

. {X+

Y₌₌₁ - y == O O== a y == 1 y == 2 3y == a

r

y == 1 y==O 3y == a { X + S: 2x + { x+ S - -{ x+ y Y + z t==O + 3t ==O ==0 { X + Y+ z + t ==O S~ - 3z == O - y - 3t ==O Solução Solução

6. Mostrar queumsistema linear homogêneo de m equações e n incógnitasécompatível indeter-minado se n> m. { 4X + 3y - z +t

=

o c) x -

y

+ 2z - t =

o

{ 3X +2y - l2z

=

o

d) x -

y

+ z=

o

2x - 3y + 5z = o Exemplo - A matriz

éuma matriz real 3 X 2. Logo A E M3x2(R).

LINHAS E COLUNAS Dada uma matriz:

5. MATRIZES

Definição 5 - Sejam m ;;;, I e n ;;;, I dois números inteiros. Uma matriz

m X n real é uma dupla seqüência de números reais, distribuídos em m linhas e

n colunas, formando uma tabela que se indica do seguinte modo:

A

= (:::...

~

..

~~

...

~:

)

am1 am2 ' . ' amn

as linhas são (1, O, 1)e (O, 6, - 5) ao passo que as colunas são as m seqüências horizontais

(1)

«

).

A(m) = (a a . .. amn)

A = a11, a12' ... , a1n , ... , m1, m2, , são chamadas linhas da matriz A, enquanto que as n seqüências verticais

a11 am

~1 a2n

A(l) , ... , A(n)

am1 amn

são as colunas de A.É de se notar que cada A(i)EM1xn(R) e cada A(j)EMmx1(R).

Exemplo - Na matriz2 X 3

A~G ~-:)

Abreviadamente esta matriz pode ser expressa por (aij)1E;; i O;; m ou apenas

lO;; j O;; n

(aij), se não houver possibilidade de confusão quanto à variação dos índices. Cada número que compõe uma matriz chama-se termo dessa matriz. Dada a matriz (aij)l';;; i.;;; m, ao símbolo aij que representa indistintamente todos os seus

1';;;j.;;;n

termos daremos o nome de termo geral dessa matriz.

Notações - Indicaremos porM_{m x n (IR) o conjunto das matrizes reais m x n.} Se m

=

n, ao invés deMn x n (IR), usa-se a notaçãoMn (IR). Cada matriz deMn (IR) chama-se matriz quadrada de ordem n. Em contraposição, quando m =1= n, uma ma-triz m x n se diz uma mama-triz retangular. Uma mama-triz I x I (a11) se identifica com o número real a11 .

Cada matriz costuma ser denotada por uma letra maiúscula do nosso alfa-beto.

IGUALDADE DE MATRIZES

Consideremos duas matrizes reais m X n: A

=

(aij) e B

=

(bij). Dizemos que A

=

Bse, e somente se,

aij = bij (i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ... ,n). Exemplos 1)

z)

F:-:

(~

2

~) ~ (~

2

<=>

x -1 O t = O z = 1 2)

G

O1

:)*G

D

3) (:

:) *G

2

_D

2 3 3 O

6. OPERAÇÕES COM MATRIZES

(a) ADIÇÃO

Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes m X n. Indicamos por A + B e cha-mamos soma de A com B a matriz m X n cujo termo geral é aij + bij, ou seja

A

+

B=

(~:'.

+b:,

.a.'~.+b~

~:~~b~

)

am1 + bm1 am2 + bm2- . .. amn + bmn

A operação que transforma cada par (A, B) de matrizes do mesmo tipo na ma-triz A + B chama-seadição de matrizes. É uma operação no conjunto Mm xn (IR).

Exemplo _ Se A =

(1 21)

e B =

(O 1-2),

então

O 1 2 2 4 7

(1 3-1)

A+B=

2 5 9

Para a adição de matrizes acima definida valem as seguintes propriedades:

(1) _{A + (B + C) = (A + B) + C, V A, B, C E Mmxn(R) (associativa);}

(lI) A + B = B + A, VA, BE Mmxn(R) (comutativa);

(III) Existe uma matriz O E Mmxn (R) tal que A + O = A, VA E Mmx n (R) (existe elemento neutro);

N) Dada uma matriz A E _{Mmxn (R), existe uma matriz (-A), também} m X n, tal que A + (-A) = O (existe aoposta de qualquer matriz).

A verificação da propriedade associativa se faz assim: Se A = (aij), B = (bij) e C

=

(ciD, então

*

(A + B) + C

=

(aij + bij) + (Cij)

=

((aij + bij) +Cij)

=

=

(aij + (bij + Cjj»

=

(aij) + (bij + Cij)

=

A + (B + C). Quanto à (I1I) é fácil ver que:

O =

(~

..

~

.. ::: ..

~)

O O ..• O

Esta matriz chama-se matriz nula m X n.

Por último, se A

=

(aij), é evidente que (- A)

= (-

aij). Por exemplo, se

( l a -

2)

(- 1 -

a

A = então -A =

-2 1 O' 2 -1

(b) MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NúMERO

Dada uma matriz real A = (aij), m

x

n, e dado um número real a, oproduto

de a por Aéa matriz real m x n dada por:

Nas condições acima, a operação que transfonna cada par de matrizes (A, B) na matriz AB chama-se multiplicação de matrizes.

Para essa operação que transfonna cada par (a, A) de m. _{X Mmxn}(m.)na matriz real exA E M_{mxn (R.), valem as seguintes propriedades:}

(I) (ex{j)A = ex ({jA);

(11) (ex

+

{j)A = exA

+

(jA;

(I1I) ex(A

+

B) = exA

+

exB;

(N) IA = A; ,~I(\;12'-

J

2

l' O Exemplo --'- Sejam A

= (.

O 1 2 Então:

Proposição2 - Sejam A= (aij), B= (bjk) e C=(Ckr) matrizes reais m Xn, n X p e p X q, respectivamente. Então A(BC)= (AB)C.

Demonstração - O tenno geral de A(BC) é dado por: quaisquer que sejam as matrizes A e B e quaisquer que sejam os números reais

ex e{j.

Provemos (11).

Suponhamos A = (aij). Então:

(ex + (j) •A= ((ex + (j) •aij) = (ex •aij + (j •aij) =

= (ex •aij)

+

({j •aij)

=

exA

+

(jA.

Ex=p~

-

S, •

~

20 A

~

C

~ ~).

,ntão

.A

~

G

~

D

( 2 ·3

+

1 • O

+

O • 1 AB = 0·3+1·0+2·1

=(6810).

2 O 2 2·4+1·0+0·0 0·4+1·0+2·0 2.5+1.0+0.1)= O· 5+1 ·0+2·1 (c) MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES (1)

Usando a notação de matriz linha e a de matriz coluna a definição acima significa que

Consideremos a matriz A = (aij) de tipo~.x n e a matriz B = (bjk) de tipo n

x

p. Oprodu toA • B (também indicado por AB)é a matriz m

x

p cujo termo geral é dado por:

n

Cik =

L

aij . bjk = ail • b lk

+ ... +

ain • bnk

j=l )

*

ao passo que o tenno geral de (AB)C é dado por:

(2)

As propriedades da adição e da multiplicação de números reais nos ensinam, contudo, que (1)

=

(2). Então a proposição está demonstrada.

-(* )O símbolo~é uma letra do alfabeto grego, correspondente ao nosso S.

AB=

A(1) •B(l) A (2) • B(l)

A (1) • B(p) A(2) •B(p)

Proposição 3 - Sejam A, B e C matrizes reais m X n, n X p e n X p, respec-tivamente. Então A(B

+

C) = AB

+

AC.

Demonstração - Usa-se o mesmo tipo de raciocínio da demonstração anterior. Fica como exercício.

-Nota: Analogamente, se A e B são matrizes m X n e C é n X p, então (A

+

B)C

=

AC

+

BC.

EXERCÍCIOS RESOLVIOOS

1

matrizes de MZx 3(IR). Calcular 3(A - TB) +C. Solução { X + Z - 2Y = B {X + Z - 2Y = B - - Z + 3Y = A - 2B - - Z + 3Y = A - 2B - 4Z + 7Y = C - 3B - 5Y = -- 4A +5B + C.

O O) - (O 5 O) - (O O

e Z=

(+

-3 -

~

) Daí:Y= i(4A - 5B - C)= +«4 Analogamente, X =

(+

O 1)

(: : :)

B~ (~

: :) ,

C~(:

2

~)

A= 1. Sejam: Solução 1 3 3(A - TB) + C= 3A - 2"B + C =

3.

Dadas as matrizes reais,

I

X 3, A = (1

O O),

B =

(O

1

O)

e C=

(O .O

1),deter·, minar as matrizes X, Y e Z de Mlx3 (IR) tais que:

c

O : ) n

L

dkjbji = Ski j=1

~

'

I' I ,O 2-1+1-1) 1·1+0-1 0-1+1-1 B= BA

~

( : : ) 2·0+1-1 1·0"+0·1 0·0+1-1 ( 2-1+1,0 AB= 1·1+0·0 0·1+1·0 Solução Analogamente:

desde que as operações aí indicadas estejam definidas. Provemos (IV) já que as três pri-meiras são imediatas.

n n

rik =

L

aijCjk =

L

bjidkj =

j=1 j=1

o que mostra que de fato (AB)t = Bt At. Solução

Sejam A = (aij) , At = (bji), B = (Cjk) e Bt = (dkj).

Então bji

=

aij e dkj

=

Cjk. Supondo AB = (rik) e BtAt = (ski), temos: 4. Dadas as matrizes A e B abaixo, determinar os produtos AB e BA:

A~0 ~)

O/Dada uma matriz A = (aij) E Mmxn(IR) denomina-se transposta de A e indica-se por At a seguinte matriz nXm: At = (bji), onde bji = aij (i= I, ... ,m;j = 1, ... , n).

Valem as seguintes relações: a) (A+B)t=At+Bt ;

b) (a<A)t = a<At, onde a<E IR; c) (At)t = A; d) (AB)t = BtAt ; { X - 2Y + Z = B ~ 3Y - Z = A - 2B 7Y - 4Z= C - 3B = 1- ( 20 5 -29 { X - 2Y + Z = B S ~ 2X +Z = A -Z=C + 2C). Logo

X

=

1-~(14

7 O)

(O O

12) +

(6 4

O)~

=

5

~

7 14 7 36 24 12 O 2 O

~

~: -~:)

=

(-:9

:~ ~

152).

- 5 - -5- - 1 { 2X - Y + Z = A S: X - 2Y + Z = B 3X + Y - Z = C. ( 6 3

O)

(O O

3) + (3 2

O)

=

(9

5 - 3). 3 6 3

9

6 3

O

1

O

-6

O

Solução

+

(X + A) = 3 (X + (B - A» - C = > X + A = 6 (X + (B - A» - 2C = > = >X + A = 6X + 6B - 6A - 2C= >5X = 7A - 6B + 2C > X = ; (7A-- 6B

2. Determinar a matriz XE Mzx 3 (IR) tal que

~

(X + A) = 3 (X + (B - A» - C, sendo A, B e C as matrizes do exercício 1.

6. Para cada número realO<consideremos a matriz:

ou seja, todas as matrizes X de tipo 2 X 2 tais que AX = XA.

(:

:)(::) (:

:)-(: :)

A=(: :)

Solução'

F~,odo

X

= (:

:)

então

(:

:)

(:

_{: ) = (:}

:)

<=>

r

+ z = 1

(,.,'

'y+t ) { : ) <=> 2y + t = O <=> x+z y+ t O x +z =0 Y +t = 1

Resolvamos o sistema obtido por escalonamento:

{:

+ z =0

-{"

+ z =0

-{"

+ Z =0 Y + t == 1 y + t = 1 y + t = 1 + Z = 1 -z = 1 2y + t = O 2y +t=O 2y + t = O -z = 1

-{'

+ Z O

-{'

+ Z O - { ' y , y +t= Y +t= 1 = -1 - t = ~2 z = -1 = -1 - z t= 2 t= 2 Logo:

C:

-:)

X=

determinar uma matriz X E M2(IR)de maneira que AX = 12

Logo X = (x

Y)

onde x e y são números quaisquer. O x-y

EXERCiClOS PROPOSTOS

'I. Dada a matriz

;"'-...

'?mmm

.",guiut"

:.:(~

dr;} B

=(: :

n

Mostre queAB = BA. Pode-se concluir daí que é válida a propriedade comutativa da multiplicação em M3 (IR)?

Explique bem sua resposta.

) { x+z=x

~

<=> y+t =x O=z Solução Su!"M.mo, X= ( : : ) . Eu"o

AX~XA<=>

(: : ) ( : ) ( : :)(: Solução _ ( cosa - sena ) Ta

-sena cosO< a) Mostrar queTaT/3 = Ta + /3; b) Calcular T-O<'

Solução

a) Sejam A e B as matrizes. Então (A + B)t = At + Bt = A + B. Logo A + B é simé-trica. Analogamente, se A e B são anti-simétricas, (A + B)t = At + Bt= - A + (- B) = = -(A+B).

b) (AB)t = BtAt = BA,seAeBsãosimétricas. ComoemgeralAB i= BA,entãonemsem-pre o produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica. Por exemplo:

8. Determinar todas as matrizes que comutam com a matriz

A=(: :).

ToT,

~ (::~:

- : : : )

(:~:

: : : )= ( cos(a + /3) - sen (a + /3») ::: To< +/3, sen(a + /3) cos(a +

m

To =

(:~;~::

- : : ; : : ) { : :

:::)~

Td (';:):;ma matriz quadrada A se diz simétrica se At = A e anti-simétrica se At = - A.

"',._~,,-,...'

a) Mostrar que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica. Mostre que o mesmo vale para matrizes anti"simétricas.

b) Oproduto de duas matrizes simétricas de ordem né uma matriz simétrica?

24

"

(2jse A, BE Mn (R) e se AB = BA, prove que: a) (A ~ B)2= A 2 - 2AB + B 2 ;

b) (A - B)(A + B)= A2 _{~ B2 ;} c) (A ~ B)(A2 _{+ AB + B}2_{) = A}3 _{~B3 .}

3. Send~ A e B as matrizes do exercício proposto 1, determine matrizes X, YE M₃(R) de

maneIra que:

{

2X - Y= A+B

X+Y=A-B

4. O produto de duas matrizes anti-simétricas de mesma ordeméuma matriz anti-simétrica?

Justifique sua resposta. .

5. Determinar uma matriz A E M2(R) tal que A

*"

Oe A2 = AA = O(matriz nula). 6. Efetue os produtos AB e BA onde

A

~

U) ,

B

~

(1 2 1)

7. Mostrar que se:

A=(: :),

então A2 ~ 6A +512 = O (matriz nula).

8. Mostrar que as matrizes

(:

:)

onde y é um número real não nulo, verificam a equação X2 = 2X.

9. Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz:

onde a é um número real.

10. Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz

c: :)

mostre que AB = BA.

11. Seja B uma matriz real 2 X 2 que comuta com a matriz

A~(:

:)

Mostre que existem números reais a e b tais que: B = aA +b12 •

12. Se A, BE _{Mn (R) são tais que AB = O (matriz nula), pode-se concluir que BA também}é

a matriz nula? Prove ou contra-exemplifique.

7.

MATRIZES INVERSÍVEIS

Consideraremos neste parágrafo apenas matrizes quadradas de ordem n. Neste caso a multiplicação transforma cada par de matrizes de ordem n numa outra matriz, também de ordem n. E além das propriedades dadas pelas propo-sições 2 e 3 acima (associativa e distributiva em relação àadição) a multiplicação, neste caso, gozada propriedade de admitir elemento neutro que é a matriz

In

(~,

..

~

.. ::: ..

~.)

O O . .. I

e que evidentemente verifica as condições

AIn

=

InA

=

A,

para toda matriz A de ordem n. A matriz In chama-se matriz identidade de ordem n. Definição 6 - Uma matriz A de ordem n se diz inversível se, e somente se, existe uma matriz B, também de ordem n, de modo que:

AB

=

BA

=

In

Exemplos

1) A matriz

é inversível uma vez que, tomando

então

AB

~

DA

~ (~ ~) ~ ~.

Logo adiante ensinaremos um algorítmo (processo) para determinar a inversa de uma matriz, caso esta inversa exista.

2) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz A é nula, então A não é inver-sível. Suponhamos a linha i-ésima de A nula, isto é, A(i)

=

(O, 0, ... ,O).Dada

então uma matriz X qualquer de ordem n, como

(AXP)

=

A(i)X

=

(O O O)

(ver definição de produto), então

AX

~(O::O::·::.:~)

*

In. pMa roda mam

X.

3) Se A e B são matrizes de ordem n, ambas inversíveis, então AB também é inversível e (AB)-l

=

B- l • A- l .

De fato

(AB) • (B- l • A- l )

=

A(B • B- l ) • A- l

=

A • In • A- l "'= A • A-i

=

In, e analogamente (B- l . A-1) . (AB)

=

In.

4) Se A é inversível, então A-1 também o é e vale a seguinte igualdade:

(A-1)-1

=

A. 28

DETERMINAÇÃO DA INVERSA

Daremos aqui um algoritmo (= método) para determinar a inversa de uma matriz A, caso A seja inversível. Contudo a demonstração do teorema em que se baseia esse método somente será feita no Apêndice I, ao fim do capítulo.

Definição7 - Dada uma matriz A entendemos poroperações elementarei"') com as linhas de A, uma qualquer das seguintes alternativas:

(I) Permutar duas linhas de A;

(11) Multiplicar uma linha de A por um número =1= O.

(III) Somar a uma linha de A uma outra linha de A multiplicada por um

número.

Se uma matriz B puder ser obtida de A através de um número finito dessas operações, diz-se que B é equivalente a A e escreve-se B~ A. Para esta relação valem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.

Teorema - Uma matriz A é inversível se, e somente se, In ~A. Neste caso, a mesma sucessão de operações elementares que transformam A em In, transformam In em A-l

.

Demonstração

Está feita no apêndice 1, ao fim do capítulo.

Exemplos

1) Verificar se a matriz

A~G ~

D

é inversível e determinar A-1, caso esta matriz exista.

Devemos orientar nosso trabalho no sentido de transformar (se possível) a matriz A na matriz 13 , Como essa mesma sucessão de operações levará 13 em A-1, então convém reunir A e 13 numa mesma matriz e operar a partir daí.

L'(

I O 1 O

D-

L,

(' I

O:I 1 O

D-Lz

O I 1 O I

_Lz

O 1 I : O I

I

L3 1 O 2 O O L;

=

L3 - Ll O - 1 2: -1 O

(*) _{Tal como para sistemas lineares, ver § 2.}

1

Como a matriz A é equivalente à matriz

1 O:

1

I I 11 O I 1

:.::l

: 3 1 O: I

,

I' O

_I I O 3:-1 ( 1 L,

O

4"

= L,

+

L; O all ... aln ) (Xl ~l ••• ~n X2 ... X

=

e B

=

aml .•• amn Xn

A=

Seja

8. SISTEMAS DE CRAMER

1

allxl

+

+

atnXn = bl

s:

~l.~l. ~ '.~. ~.~~~.~

.:. lltrl1Xl

+

+

antnxn = bn

que não é inversível (tem uma linha nula) então A também não é inversível.

AX = B

<===>

A-l (AX) = K l B

<===>

X = A-l B,

AX = B

de tipos m x n, n x 1 e m xl, respectivamente, então S poderá ser escrito sob a forma matricial

onde A recebe o nome de matriz dos coeficientes de S.

Um sistema de Cramer éum sistema linear de n equações com n incógnitas cuja matriz dos coeficientes é inversível. Se AX = B éum sistema de Cramer, como

então esse sistema é compatível determinado e sua única solução é dada

por

A-I B. Em particular um sistema quadrado e homogêneo cuja matriz dos coet1.

cientes é inversível só admite a solução trivial.

um sistema linear de m equações com n incógnitas sobre R. Se formarmos as matrizes:

A~G

2

D

1 3

G

2

6 : 1 O

0)

C

2

6: 1 O

D-I I 1

5

I O 1 O ~ O 1

5:

O 1

,

I I 3 7 I O O 1 O -1

-5 :-2

O I

-

(~

2

6: 1 O

D

I I

5:

O I I O

0:-2

1

2) Vejamos o mesmo problema com a matriz

Ll 1 1 O'I 1

O

O I I 1

2

1 ~ L,'= L, - L;" _O 1 O:

_T

_{3 - 3}

I I 1 1 1

4'''

O O 1 II

-"3

"3

"3

J Ll'= _{Ll - L,'} 1 O O

+2 -2

-3 3 L,' 1 O 1

2

3 3 L'"3 O O 1 -1 1 3 3

Logo a matriz A é inversível e

-2

3

~+C

-2

-:)

A- l =

2

3

2

1 -1 1 3

O2)

O -1. -1 1

TT

1 1 2 O O -1 1 1 2 O 1 1

-2

O O 1 1 O 1

~.)-(~

:

1 O -1

~)-C

:

~ -~)-(~ ~

1- 1-

_{2 2 ,} O O 1: 1 I 2I O I 1: O 2 1 1 2 1 O 2 1 O

Exemplo - A matriz dos coeficientes do sistema

{ X

+

Y

=

1 Y

+

z

=

1 x +2z=0 é a matriz:

A~

G

~

D

que já vimos ser inversível (parágrafo 7); já determinamos também

O O 1 O 1 O

(

-} -} ;) 1(-1-1 3)

1 O -1 ==

2

2 0 - 2 1 1 1 -2 2 2 -1 1 1 A-l == Logo A é inversível e 2 -2 _-1 3 3 3 A-l ₌ 1 2 -1 3 3 3 -1 1 1 3 3 3 Logo:

e a solução do sistema é (O, 1, O).

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Verificar se a matriz A abaixo é inversível e, se o for, determinar sua inversa:

A~C

: :)

Solução

Utilizaremos o processo explicado no §,7.

Solução 2 1 3

o

fato de a matriz: 2 2 4 1 O O O 1 O 2 1 O 2 1 1 2: 1 O I 2 I O 1 I 0:-1 -1 2: 1 I 2 I O I 2 : -1 O 1 O

32

₃₃

0:0

que é equivalente a A, ter uma linha nula, basta para concluir que A não é inversível.

a) Determinar se possível x e y em IR a fim de que a matriz

(

../2

x )

y

f i

seja ortogonal.

b) Provar que o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal.

seja inversível em M3 (R). Solução

~(~;,) (~:,)

G:)=>

( 2

+

x

2

.J2y

+

.J2

x) (01 01) < >

.J2y

+

.J2x

y2

+

2

{

X2

+

2= 1

{X2

=-1 <__> y2

+

2= 1 < > y2 "= _1 x +y=O x+y= O ( ) - dm" I - " - 2 1 2 1 Portanto o problema em M2 R nao a lte so uçoes pOiS as equaçoes x = - ey

=-não têm solução em R.

b) Sejam A e B matrizes ortogonais de ordem n. Sendo A e B inversíveis, então já vimos que AB também é inversível e que (AB)-l = B-lA-l. Daí

(AB)-l

=

B-1A-l

=

BtAt

=

(AB)t.

SOIUçãO(~ ~ ~) (~_~ ~) (~_~ ~) ~

1 2 a O 1 a-I O O a-1

5. Determinar aE IR a fim de que a matriz real

O 1 O 1 -2 -3 ~1 3 4 O 1

~ -~ ~)~

5 1 1 1

-8

2-8

: 7 1 3)

O -1: 8 -2

S-I 1 1 3

O:

8" 2 -8 ~ : 5 1 1

: -8

T-8

O 1 -1 1 -3

i

j)

1 -1 -4 1 4 1

8

5 -8 O 1 O 1 O O A-1

=

(i

~

-i)

=

~

( :

: -:)

5 1 1 -5 4-1

-8

2 - 8

A inversa de A é portanto a matriz:

A ' " ' I A-1 - At 4. Uma matriz quadrada A se dizortogonal se e mvemve e - .

-

(~ ~ ~) (~ ~ ~)

se a - I

*"

O.

O O a-I O O 1

Logo A é inversível para a

*"

1. Se a = 1, então a matriz A é equivalente a uma matriz com uma linha nula e portanto não é inversível.

7. Resolver ,o seguinte sistema de Cramer:

{

x+y-z=O

2x

+

y

+

z= 1 3x - y +z = 1 Solução

A matriz dos coeficientes do sistemaé:

6. Resolver o seguinte sistema linear:

{ X

+

2y

+

z = 1 y + 2z = -4 x+ y+ z= 2

(

I 1_1)

A= :

_~ ~

que é inversível conforme já vimos (exercício resolvido 3) e sua inversaé a matriz: 1 O 1

4"

"4

1 1 3

8

2 -S

5 1 1

-S

_2" -8 Logo: 1 O 1 1

G}

"4

"4

C)~

4 1 1 3 1

8

"2

-s

₈

5 1 1 3 -g

₂

_-s

S

Então o sistema fica AX= B. Já vimos no exercício resolvido nl? 1, que a matriz A é

inversível e Façamos Solução

Logo trata-se de um sistema de Cramer cuja solução é dada por:

( 1 1

-2 -2

X

=

A-IB

=

1 O 1 1

-2

2

-;) (-D

~

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Seja A uma matriz quadrada inversível. Mostre que A-I também é inversível e que (A-1)-1 = A.

2. Mostrar que a matriz real

6)

+

-+

(-2;

~

+

""2

A seqüência ( ; , -1, -

~)

é a solução do sistema.

é inversível Va, b, c E R e que:

O

1

-c

~)

3. Verificar quais das seguintes matrizes são inversíveis e determinar as inversas respectivas:

A=C

~),

B=C

o

2

APÊNDICE I

Matrizes Elementares

5. Determinar mE IRde modo que o sistema abaixo seja de Cramer e,aseguir, resolvê-lo:

7. Se A, B e C são matrizes inversíveis de mesma ordem, determinar a matriz X de maneira que A(B-IX) = C-IA.

6. Sejam A, B e C matrizes reais de ordem n. Se A é inversível, prove que AB = AC- >

= >

B = C e que BA = CA

= >

B = C. { y+ z=2 : - +2z=1 x +2y +mz = O E,

=G

~

D

e

~

=G

!

D

são matrizes elementares. A primeira se obtém de 13 multiplicando por 2 a segunda linha; a segunda se obtém de 1₃ somando à segunda linha desta matriz a sua primeira linha multiplicada por 3.

Prop9sição 4 - Seja E uma matriz elementar de ordem n. Se aplicarmos, então, em uma matriz A, também de ordem n, a mesma operação elementar que transformou In em E, obteremos a matriz EA.

Demonstração

Faremos a demonstração apenas para a operação elementar (IU) ficando os dois casos restantes como exercício.

Suponhamos que a linha j-ésima de E seja a soma da linha j-ésima de In com a linha i-ésima de In multiplicada por a, enquanto que as demais linhas de E e de In coincidem, ou seja

Defmição 8 - Uma matriz elementarde ordem n é uma matriz E obtida de In por meio de uma e uma só operação elementar.

Exemplos { x+ Y+ z=2 b) x - Y

+

z= O y+2z=0 { x - y + z + t=O x + y - z + t = J c) -x +y +z - t = O . 2x - y - z +3t = 1

a) {x -

y = 4 x +Y= O

4. Resolver os seguintes sistemas de Cramer:

8. Dada a matriz A =(

~

_ :)CalCUlarA2 = AA,A3 = AAA, ... ,An =A... A(nvezes).

9. Determinar x, y e z de modo que a matriz

seja ortogonal.

10. Existe alguma matriz inversível A tal que A2 = O (matriz nula)? Justifique.

e

E(k)

=

In(k), k =1=j.

Como (EA)(r)

=

E(r)A, para todo r entre 1 e n, então (EA)(j)

=

E(j) • A

=

=

(IJj)

+

aln(i))A

=

In(j) • A

+

a (IJi) • A)

=

(InA)(j)

+

a (InAP)

=

A(j)

+

aA(i) ,

o que vem provar que a linha j-ésima de EA é igual à linha j-ésima de A mais a linha i-ésima de A multiplicada por a. Por um raciocínio análogo se prova que as demais linhas de EA coincidem com as respectivas de A.

Logo, as mesmas operações que transformaram In em E irão transformar A

emEA.-Proposição 5 - Toda matriz elementar E é inversível.

Demonstração

Por hipótese obtém-se E de In por meio de uma certa operação elementar. Consideremos a operação elementar inversa que transforma E em In. Se aplicar-mos esta última em In obtereaplicar-mos uma matriz elementar E 1. Devido à proposição anterior teremos E1 • E = In, Oque é suficiente para concluir que E é inversível e E1 é a sua inversa (por quê?).•

Exemplo - Consideremos a matriz elementar:

E~

G

!

D

A operação elementar que transfonnou 13 em E consiste em somar à segunda linha de 13 o triplo da primeira linha. Então E será transformada em 13 somando

à

sua segunda linha a primeira multiplicada por (-3). Logo a matriz inversa de E, obtida efetuando em 13 esta última operação elementar, é:

Teorema - Uma matriz A de ordemn é inversível se, e somente se, In ~A. Neste caso, a mesma sucessão de operações que transformam A em In, transforma In em A-1

•

Demonstração

« = )

Como cada operação elementar com A é o mesmo que multiplicar A (à esquerda) por uma matriz elementar, então existem matrizes elementares E 1, ... , Et de, maneira que:

E_{t • Et - 1 •...• E1 • A} = In. Logo

A = E -11 • E-12 • • • • • E- 1t • In·

Como cada matriz do segundo membro é inversível, então A é inversível (um produto de matrizes inversíveis é inversível, conforme já vimos). Além disso, observando que:

40

segue que

A-1 = E_{t •} Et_l • '" _{• E 1 • In}

O que prova a última afinnação do teorema.

( = » Observemos primeiro que se B ~ A, então A é inversível se, e somente se, B é inversível. Isto por que seB ~ A, entãoB

=

PA, onde P é uma matriz inversível (P é um produto de matrizes elementares). Nossa observação decorre então dessa igualdade.

Façamos o escalonamento da matriz A por meio de operações elementares, isto é, façamos com que cada uma das suas linhas (a partir da segunda) tenha mais zeros iniciais do que a precedente. Como a última linha de A não é nula (pois A é inversível) obteremos:

A

~

(T ..

~:

·.·.·..

~~

)

O O _ann

onde cada aíi=1=O.Mas esta última matriz é equivalente à matriz In. Logo In '" A.•

Nota final: Toda a teoria desenvolvida neste capítulo sobre sistemas lineares

e matrizes seria feita da mesma maneira se substituíssemos o conjunto :IR dos números reais pelo conjunto (C dos números complexos.

=

a(!3ú)

=

aú

+

!3ú

=

aú

+

a1

(a!3)ú

(a

+

!3)ú

(-+ -+ a u

+

v) lÚ =u-+ para todos os números reais a e

!3

e vetores Ú e

1.

-+ -+ -+ - + - +

Se a = 1, au = u e se a = O, entãoau= O. Em geral lau 1= lallu

I.

Essa mul-tiplicação tem as seguintes propriedades já certamente vistas pelo leitor no seu curso de Cálculo Vetorial:

1. INTRODUÇÃO

CAPíTULO

2

Espaços Vetoriais

Examinemos certos aspectos relacionados com dois conjuntos certamente

já conhecidos do leitor.

a

primeiro é o conjunto V dos vetores da geometria, definidos através de segmentos orientados, e o outro é o conjunto M_mxn (IR) das matrizes reais m por n, onde m e n são números naturais dados (ambos maiores que zero).

À primeira vista pode parecer que tais conjuntos nada têm em comum. Mas não é bem assim conforme mostraremos a seguir.

No conjunto Mm xn (IR) também está definida uma adição, a adição de matri· zes estudada no capítulo 1. Conforme vimos nesse capítulo, essa adição é associa-tiva, comutaassocia-tiva, admite elemento neutro, que é a matriz nula

(

~

...

~

..

:::

..

~)

O O ••. O

Além disso podemos multiplicar um vetor

ti

por um número real a e isso se faz conforme esquema abaixo:

e toda matriz A de Mmxn(lR) tem uma oposta.

Como vemos o comportamento de Ve o de Mmxn(IR) quanto à adição é

o mesmo. Mas não ficam aí as coincidências.

,Pode-se também multiplicar uma matriz por um número real obtendo-se uma matriz da seguinte forma:

-;. u -;. -u -;. v

...

- - - 7 / / / / / / / / / " " - - - . - /

No conjunto V está definida uma adição (adição de vetores), conforme figu-ra ao lado, adição essa dotada das pro-priedades comutativa, associativa, além da existência de elemento neutro (vetor nulo) e do oposto para cada vetor de V.

a

vetor nulo pode ser representado por qualquer ponto do espaço e o oposto deÚ se determina conforme a figura ao lado. (a<-lI (a>II -;. au

/au

(O<a<11 -;. au ~(-l<a<OI au ,

Essa multiplicação apresenta as mesmas propriedades que as destacadas para V, linhas acima. auseja, valem sempre as igualdades:

(a

!3)A

=

a(!3A)

(a

+ !3)A

=

a.A

+ !3A

a(A

+

B)

=

aA

+

aB

Logo os conjuntos Ve Mm x n (IR) apresentam uma coincidência estrutural no que se refere a um par importante de operações definidas sobre eles. Nada então mais lógico do que estudar simultaneamente V, Mm xn (IR) e todos os conjuntos que apresentem essa mesma "estrutura" anteriormente apontada. Éisso o que co-meçaremos a fazer no parágrafo seguinte.

2. ESPAÇOS VETORIAIS

Vamos introduzir agora o conceito de espaço vetorial. Os espaços vetoriais constituem os objetos de estudo da Álgebra Linear.

Definição1 - Dizemos que um conjunto V

"*

.e

éum espaço vetorial sobre

IR quando, e somente quando:

I - Existe uma adição (u, v)~ u

+

v em V, com as seguintes proprie-dades:

a) u

+

v

=

v

+

u, \,lu, vE V (comutativa);

b) u

+

(v

+

w)= (u

+

v)

+

w, Vu, v,wE V (associativa);

c) Existe em V um elemento neutro para essa adição o qual será simboli-zado genericamente por

o.

Ou seja:

3 o E V

I

u

+

o

=

u, \lu E V;(*)

d) Para todo elemento u de V existe o oposto; indicaremos por (- u) esse oposto. Assim:

\luE V, 3(-u) E V

I

u

+

(-u)

=

0.(**)

11 - Está definida uma multiplicação de IR X Vem V, o que significa que a cada par (a, u) de IR X V está associado um único elemento de V que se indica por au, e para essa multiplicação tem-se o seguinte:

a) a({ju)

=

(amu b)(a

+

{j)u

=

au

+

(ju c) a(u

+

v)

=

au

+

av

d) 1u

=

u

Prova-se que éúnico esse elemento neutro (ver exercício resolvido n'? 1do §3). Prova-se que éúnico o oposto de um elemento (ver exercício resolvido n'? 2do §3)"

44

para quaisquer u, v de V e

a,

(j de IR.

Nota: De maneira análoga se define espaço vetorial sobre ~, conjunto dos números complexos. Deste capítulo até o capítulo V, inclusive, toda a teoria dos espaços vetoriais a ser aqui desenvolvida é a mesma quer sobre IR quer sobre

<r.

Por isso, embora venhamos a usar sempre espaços vetoriais sobre IR, deixamos registrado que seria tudo igual para espaços sobre ~. Quanto ao assunto do capí-tulo VI há diferenças lá apontadas. Porém iremos concentrar nossa atenção no caso real tendo em conta o caráter introdutório deste livro. Nos demais capítulos, salvo exceções que serão mencionadas, trabalharemos com espaços reais.

Exemplos

1) O espaço vetorial IR

Não é novidade para o leitor que a adição de números reais verifica as pro-priedades l-a, I-b, l-c e I-d da definição de espaço vetorial. Tão pouco que o produto de um número real por um outro é também um número real e que essa multiplicação obedece aos itens lI-a, II-b, lI-c e II-d da definição mencionada. Logo IR éum espaço vetorial sobre IR.

2) O espaço vetorial CC

Com a mesma argumentação acima verifica-se que

<r

é espaço vetorial sobre

CC. Mas

<r

também é um espaço vetorial sobre. IR. Quanto à adição não há novi-dades: tudo como no caso anterior. Agora, o produto de um número complexo por um número real é um número complexo e para essa multiplicação valem lI-a, II-b, lI-c e II-d como situações particulares das propriedades da multiplicação em CC.

3) O conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentos orientados é um espaço vetorial sobre IR (ver parágrafo 1).

4) O conjunto Mmxn (IR) é um espaço vetorial sobre IR(ver parágrafo 1). 5) O espaço IRn

Já vimos anteriormente que uma n-upla de números é uma seqüência finita de n números reais que se indica por (al' ... , an). O conjunto de todas as n-uplas de números reais é denotado por IRu. O lRn pode ser visto como espaço vetorial sobre IR desde que se definam adição e multiplicação da seguinte maneira:

(al' ... , an)

+

(b l , , bn)

=

(al

+

b l , ... , an

+

bn)

a(al, , an)

=

(aal' ... , aan)

Ora, tal afirmação pressupõe que se tenham verificado as oito,propriedades que constam da definição, o que não faremos aqui. Sugerimos tais verificações como exercício.

. Apenas ressaltaremos que o

=

(O, O, ... , O), se u

=

_{(al' ... , an), então} - u = (-_{al, ... , - an) e, a título de exemplo, que a prova da propriedade lI-a}

se faz do seguinte modo:

--. Seja u = _{(al> ... , an) um elemento de R.}n. Dados então

a

e {3 em R.,

(a

+

{3)u

=

((a

+

{3)al' , (a

+

{3)an)

=

(aal

+

_{{3al, ... , aan}

+

_{3an)

=

= _{(aal' ... , aan)}

+

({3al' _{, {3an)} = au

+

l3u.

Recomendamos ao leitor que procure justificar cuidadosamente cada pas-sagem desta última dedução.

Os matemáticos estão de acordo com a seguinte frase: o R.n é o espaço vetorial mais importante.

6)O espaço ~n

O conjunto <cn das n-uplas de números complexos é um espaço vetorial

sobre ~: basta definir adição e multiplicação por um número complexo como no exemplo anterior.

7) O espaço Pn (R.)

Seja n ;;;. Oum número natural. Indicaremos por Pn (R.) o conjunto dos polinômios reais de grau .;;;; n, mais o polinômio nulo.

O leitor, que já estudou os polinômios sobre R., não terá dificuldades em perceber que

(a) f(t), g(t) E _{Pn (R.)} = > f(t)

+

g(t) E _{Pn (lR)} (b) a E lR, f(t) E P_n(lR) > af(t) E P_n(lR).

Daí, lembrando as propriedades das operações com polinômios, concluirá que Pn(lR) é um espaço vetorial sobre lR.

8) O espaço Pn(<C)

Por Pn(<C) indicaremos o conjunto dos polinômios complexos de grau';;;; n além do polinômio nulo. Como no exemplo anterior, com as mudanças devidas, é possível provar que Pn(<C) é um espaço vetorial sobre <C.

9) Exemplo "Patológico"

Até aqui os exemplos dados, além de importantes, correspondem a situações por assim dizer usuais. Vejamos um caso que de uma certa forma ~scapadessa situação.

Seja V = {u E lR lu> O}. Suponhamos que consideremos a "adição" em V como sendo a multiplicação de números reais positivos, isto é,

u $ v

=

uv_, Vu v E V(*)_,

o

símbolo El:l serve, neste exemplo, paxa distinguir a "adição" aqui definida da usual.

e que a multiplicação de um elemento de V por um número real seja dada por:

au = ua , \tu E V e Va E lR.

Com isso o conjunto V se torna um espaço vetorial sobre lR. Observemos apenas que o elemento neutro da "adição" é o número I e que a verificação de H-c se faz assim:

a(u<±l v) = a(uv) = (uv)a = uaya = (au)(av) = em<±l avo

Nota: Na teoria dos espaços vetoriaisé comum aproveitar-se a terminologia do exemplo 3 acima. Assim é que os elementos de um espaço vetorial qualquer são chamados devetores, o elemento neutro da adição de vetor nulodesse espaço e os elementos de lR (ou C) de escalares.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Como já vimos IR2

=

{(x, y) I x, YE IR}. O IR2 pode ser visto como espaço vetorial

sobre IR desde que se definam adição e multiplicação por um número real assim: (Xl, Yl) +(X2, Y2)

=

(Xl +x2, Yl +Y2) e

a (x, y)

=

(ax, ay).

Faxemos aqui a verificação dos axiomas relativosàmultiplicação.

lI-a: (ab)(x, y) = «ab) x, (ab)y) = (a(bx), a(by)) = a(bx, by) = a(b(x, y)). lI-b: (a+b)(x, y) = «a+b)x, (a +b)y)= (ax+bx, ay +by)= (ax, ay) +

+ (bx, by)= a(x, y)+ b(x, y).

lI-c: a«xl, Yl) +(X2, Y2))= a(xl +x2, Yl +Y2) = (a(xl +X2), a(Yl +Y2))= = (axl +aX2, aYl +aY2)= (axl> aYl) + (ax2, aY2)= a(xl, Yl) +a(x2, Y2). lI-d: I (x, y)= (Ix, Iy) = (x, y).

2. O IR3 é o conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais. Ou.seja: IR3

=

=

{(x, Y, z) I x, Y, ZE IR}. A adição e a multiplicação por escalares são definidas no

IR3 por:

(Xl> Yl> Zl) +(X2, Y2, Z2)

=

(Xl +x2, Yl +Y2, zl +Z2) e

a(x, Y, z) = (ax, ay, az).

Faremos neste caso apenas a verificação dos axiomas relativos àadição. I-a: «Xl, Yl, Zl) + (X2, Y2, Z2)) + (x3, Y3' Z3)

=

= (Xl +x2, Yl +Y2, Zl +Z2) +(X3' Y3, Z3) = = «Xl +X2) +x3, (Yl +Y2) +Y3, (Zl +Z2) + Z3) =

=

(Xl + (x2 +x3), Yl + (Y2 +Y3), Zl +(Z2 +Z3))

=

=

(Xl, Yl, Zl) +(x2 +x3, Y2 +Y3, Z2 +Z3)

=

= (Xl> Yl> Zl) +«X2, Y2,. Z2) +(X3, Y3' Z3))·

I-b: (Xl, YI. Zl) + (XZ, Yz, ZZ) = (Xl + XZ, YI + YZ,zl + ZZ) = = (XZ + Xl,yz +Yl. Zz + ZÜ = (XZ, Yz, ZZ) + (Xl. YI. Zl). I-c: O vetor nulo é (O, 0, O).

I-d: Para cada u

=

(x, Y, z) E IR3, -u

=

(-X, -Y, -z) o que é evidente.

lI-a: ((ab)f)(O

=

(ab)f(t)

=

a(bf(t»

=

a((bf)(t»

=

(a(bf))(t), Vt E I.

lI-c: (a(f + g»(t)

=

a(f + g)(t)

=

a(f(t) +g(t»

=

af(t) + ag(t)

=

(af)(t) + + (ag)(t) = (af+ ag)(t),VtE I.

4. Sejam U e V espaços vetoriais sobre IR (ou lC). Mostrar que U XV ={(u, v)IuEU e vE V} é um espaço vetorial em relação ao seguinte par de operações:

(I) (UI, VI) + (uz, vz) = (UI + uz, vI + vz)

(11) a(u, v) = (au, av) . Provemos algumas das condições.

l-b: (UI, VI) + (uz,vz)

=

(UI + Uz, VI + vz)

=

(uz + UI,Vz + vI)

=

(uz,vz)

+

+ (UI, VI)'

l-c: O vetor nulo neste caso é(o, o),onde o primeirooéo vetor nulo deUe o segundo é o vetor nulo de V.

O espaço vetorial U X V acima def"mido chama-se espaço vetorialprodutode U e V. l1-d: I (u, v)

=

(lu, Iv)

=

(u, v).

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Y

(a,b,c)=af

+

br

+

ck

(a+c,b+d) 1 ./ V . / . / / . / / . / . / / / / / (C,d) --> --> i i --> k Z 113 x

Nota: Podemos associar a cada vetor (x, y) Y do IRz o vetor xi + yJdo cálculo vetorial, já do conhecimento do leitor.Ovetor nulo é o par (O, O). As definições dadas de adição e multiplicação por escalares concordam com as regras usuais para a adição de vetores

r

planos e multiplicação de um vetor plano -fl!::-;+;..",,--- _

por um número. I

uf

x

Fato análogo acontece com o IR3:podemos associar a cada (x, Y, z) E IR3 o vetor

xi + yJ + zk do cálculo vetorial. As

defi-nições dadas de adição e multiplicação por escalares estão de acordo com as regras para a adição de vetores e de multiplicação de um vetor por um número real no espaço geométrico estudado no Cálculo Vetorial.

Por último observemos que os elementos do IRz e os do IR 3 são de natureza distinta e assim sendo não deve o leitor cometer o engano de dizer que o IRzésubconjunto do IR3 • Mais adiante será explicado que o IRz pode, de uma certa maneira, ser considerado idêntico ao subconjunto {(x, Y, O) Ix, YE IR} do IR3.(Veja Capítulo 4, § 5, exercício resolvido n9 11).

3. Seja I um intervalo de IR e indiquemos por C(I) o conjunto das funções contínuas defi-nidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados f, g E C(I) e a E IR, definem-se f + g e af do seguinte modo:

f +g*: I~IR e (f + g)(t) = f(t) + g(t),Vt E I af: I~ IR e (aO(t)= af(t), VtE I.

1. Completar as verificações nos exercícios I, 2, 3 e 4 anteriores. 2. No conjunto V= {(x, y) Ix, Y E IR} definamos "adição" assim:

(Xl, YI) +(xz, yz) = (Xl + XZ, O)

e multiplicação por escalares como no IRz, ou seja, para cada a E IR, a(x, y) = (ax, ay).

Nessas condições V é um espaço vetorial sobre IR? Por quê? O Cálculo nos ensina que f + g e af são funções contínuas, istoé, f + g, af E CCI).

Temos então sobre CO) uma adição e uma multiplicação por escalares. E pode-se verificar qtte C(I) é um espaço vetorial com relação a esse par de operações. Verifiquemos alguns dos axiomas.

3. N~ conjunto V do exercício anterior definamos a "adição" como o fazemos habitual-mente no IRze a multiplicação por escalares assim:

a(x, y) = (ax, O). Éentão V um espaço vetorial sobre IR? Por quê? I-a: ((f + g) + h)(t)

=

(f + g)(t) + h (t)

=

([(O + g(t» + h (t)

=

f(t)+(g(t) + h(t»

=

=

f(t) + (g + h)(t)

=

(f + (g

+

h) )(t), V f, g, h E C (I) eVt EI.

I-c: A função e dada por e(t)

=

0, VtE I, é contínua, e, além disso, (e + O(t)

=

=

e(t) + fIO

= O

+ f(t)

=

f(t), Vt E I.

Função de I em IR.

4. Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais. V não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações sobre V:

a) (xI' YI) + (xz, yz)

=

(xl + xz,YI + Yz)e a(x, y)

=

(X, ay), e b) (Xl> YI) + (xz, yz) = (Xl' YI) e a(x, y) = (ax, ay).

Diga em cada caso quais dos 8 axiomas não se verificam.

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