Métodos Numéricos Para Engenharia

Texto

(1)Métodos Numéricos para Engenharia Quinta Edição. Steven C. Chapra Raymond P. Canale.

(2) Métodos Numéricos para Engenharia QUINTA EDIÇÃO. Steven C. Chapra Berger Chair em Computação e Engenharia Universidade de Tufts. Raymond P. Canale Professor Emérito de Engenharia Civil Universidade de Michigan. Tradução Técnica Helena Castro Professora Doutora do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo — IMEUSP. Versão impressa desta obra: 2008. 2011.

(3) Métodos Numéricos para Engenharia Tradução da Quinta Edição ISBN 978-85-86804-87-8 A reprodução total ou parcial deste volume por quaisquer formas ou meios, sem o consentimento, por escrito, da editora é ilegal e configura apropriação indevida dos direitos intelectuais e patrimoniais dos autores. Copyright© 2008 by McGraw-Hill Interamericana do Brasil Ltda. Todos os direitos reservados. Av. Brigadeiro Faria Lima , 201, 17 o andar São Paulo – SP – CEP 05426-100 Copyright © 2008 by McGraw-Hill Interamericana Editores, S.A. de C.V. Todos os direitos reservados. Prol. Paseo de la Reforma 1015 Torre A Piso 17, Col. Desarrollo Santa Fé, Delegación Alvaro Obregón México 01376, D.F., México Tradução da quinta edição em inglês de Numerical Methods for Engineers, publicada pela McGraw-Hill, uma unidade de negócios da McGraw-Hill Companies Inc., 1221 Avenue of the Americas, New York, NY, 10020. © 2006 by McGraw-Hill Companies, Inc. Edições publicadas anteriormente sob o título Numerical Methods for Engineers: With Software and Programming Applications. © 2002, 1998, 1988, 1985 by McGraw-Hill Companies, Inc. ISBN: 0-07-291873-X Editora de Desenvolvimento: Marileide Gomes Supervisora de Produção: Guacira Simonelli Produção Editorial: Nilcéia Esposito Preparação de Texto: Marcos Soel e Maria Alice da Costa Design de Capa: Ron Bissell Ilustração de Capa: © Jack Novak/ SuperStock Diagramação: ERJ Composição Editorial e Artes Gráficas Ltda. MATLABTM é uma marca registrada de The MathWorks,Inc. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) C467m. Chapra, Steven C. Métodos numéricos para engenharia [recurso eletrônico] / Steven C. Chapra, Raymond P. Canale ; tradução técnica: Helena Castro. 5. ed. Dados eletrônicos. Porto Alegre : AMGH, 2011. Publicado também como livro impresso em 2008. ISBN 978-85-8055-011-5 1. Engenharia P. II. Título.. Método numérico. I. Canale, Raymond. CDU 62:51 Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus CRB 10/2052 A McGraw-Hill tem forte compromisso com a qualidade e procura manter laços estreitos com seus leitores. Nosso principal objetivo é oferecer obras de qualidade a preços justos, e um dos caminhos para atingir essa meta é ouvir o que os leitores têm a dizer. Portanto, se você tem dúvidas, críticas ou sugestões, entre em contato conosco — preferencialmente por correio eletrônico ( mh_brasil@mcgraw-hill.com) — e nos ajude a aprimorar nosso trabalho. Teremos prazer em conversar com você. Em Portugal use o endereço servico_clientes@mcgraw-hill.com..

(4) Para Margaret e Gabriel Chapra Helen e Chester Canale.

(5) SUMÁRIO PREFÁCIO xv VISÃO GERAL DO LIVRO xviii SOBRE OS AUTORES xxi. PARTE UM MODELAGEM, PT1.1 Motivação 2 COMPUTADORES, E PT1.2 Fundamentos Matemáticos 4 ANÁLISE DE ERROS 1 PT1.3 Orientação 6 CAPÍTULO 1 Modelagem Matemática e Resolução de Problemas de Engenharia 9 1.1 Um Modelo Matemático Simples 9 1.2 Leis de Conservação e Engenharia 15 Problemas 18 CAPÍTULO 2 Programação e Software 21 2.1 Pacotes e Programação 21 2.2 Programação Estruturada 22 2.3 Programação Modular 30 2.4 Excel 31 2.5 MATLAB 35 2.6 Outras Linguagens e Bibliotecas 38 Problemas 39 CAPÍTULO 3 Aproximações e Erros de Arredondamento 43 3.1 Algarismos Significativos 41 3.2 Exatidão e Precisão 45 3.3 Definições de Erros 46 3.4 Erros de Arredondamento 49 Problemas 62 CAPÍTULO 4 Erros de Truncamento e Séries de Taylor 63 4.1 A Série de Taylor 63 4.2 Propagação de Erros 77 4.3 Erro Numérico Total 81 4.4 Enganos, Erros de Formulação e Incerteza nos dados 82 Problemas 83 vii.

(6) viii. SUMÁRIO EPÍLOGO: PARTE UM 86 PT1.4 Prós e Contras 86 PT1.5 Relações e Fórmulas Importantes 89 PT1.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 89. PARTE DOIS RAÍZES DE EQUAÇÕES 92. PT 2.1 Motivação 92 PT 2.2 Fundamentos Matemáticos 94 PT 2.3 Orientação 95 CAPÍTULO 5 Métodos que Isolam a Raiz em Intervalos 98 5.1 Métodos Gráficos 98 5.2 Método da Bisecção 101 5.3 O Método da Falsa Posição 108 5.4 Buscas Incrementais e Determinação de Aproximações Iniciais 113 Problemas 114 CAPÍTULO 6 Métodos Abertos 116 6.1 Iteração de Ponto Fixo Simples 116 6.2 O Método de Newton-Raphson 121 6.3 O Método da Secante 125 6.4 Raízes Múltiplas 130 6.5 Sistemas de Equações Não Lineares 132 Problemas 136 CAPÍTULO 7 Raízes de Polinômios 138 7.1 Polinômios na Engenharia e Ciência 138 7.2 Cálculos Computacionais com Polinômios 140 7.3 Métodos Convencionais 143 7.4 O Método de Miller 144 7.5 O Método de Bairstow 147 7.6 Outros Métodos 152 7.7 Localização de Raízes com Bibliotecas e Pacotes 152 Problemas 160 CAPÍTULO 8 Estudos de Caso: Raízes de Equações 162 8.1 Leis dos Gases Ideais e Não-Ideais (Engenharia Química e Bioquímica) 162 8.2 Escoamento de Canal Aberto (Engenharia Civil/Ambiental) 164 8.3 Projeto de um Circuito Elétrico 168 8.4 Análise de Vibração (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 170 Problemas 175 EPÍLOGO: PARTE DOIS 184 PT2.4 Prós e Contras 184 PT2.5 Relações e Fórmulas Importantes 185 PT2.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 185. PARTE TRÊS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES 188. PT3.1 Motivação 188 PT3.2 Fundamentos Matemáticos 190 PT3.3 Orientação 196.

(7) SUMÁRIO CAPÍTULO 9 Eliminação de Gauss 199 9.1 Resolução de um Número Pequeno de Equações 199 9.2 Eliminação de Gauss Ingênua 205 9.3 Armadilhas nos Métodos de Eliminação 211 9.4 Técnicas para Melhorar Soluções 215 9.5 Sistemas Complexos 221 9.6 Sistemas de Equações Não-Lineares 222 9.7 Gauss-Jordan 223 9.8 Resumo 225 Problemas 225 CAPÍTULO 10 Decomposição LU e Inversão de Matrizes 228 10.1 Decomposição LU 228 10.2 A Matriz Inversa 236 10.3 Análise de Erro e Condicionamento do Sistema 239 Problemas 244 CAPÍTULO 11 Matrizes Especiais e Gauss-Seidel 246 11.1 Matrizes Especiais 246 11.2 Gauss-Seidel 250 11.3 Equações Algébricas Lineares com Bibliotecas e Pacotes 256 Problemas 262 CAPÍTULO 12 Estudos de Caso: Equações Algébricas Lineares 264 12.1 Análise do Estado Estacionário de um Sistema de Reatores (Engenharia Química/ Bioengenharia) 264 12.2 Análise de uma Treliça Estaticamente Determinada (Engenharia Civil/Ambiental) 267 12.3 Correntes e Voltagens em Circuitos Resistores (Engenharia Elétrica) 269 12.4 Sistemas Massa/Mola (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 271 Problemas 273 EPÍLOGO: PARTE TRÊS 282 PT3.4 Prós e Contras 282 PT3.5 Relações e Fórmulas Importantes 283 PT3.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 283. PARTE QUATRO OTIMIZAÇÃO 285. PT4.1 Motivação 286 PT4.2 Fundamentos Matemáticos 290 PT4.3 Orientação 292 CAPÍTULO 13 Otimização Unidimensional sem Restrições 294 13.1 Busca da Razão Áurea 295 13.2 Interpolação Quadrática 300 13.3 O Método de Newton 302 Problemas 304 CAPÍTULO 14 Otimização Multidimensional sem Restrições 306 14.1 Métodos Diretos 306. ix.

(8) x. SUMÁRIO 14.2 Métodos Gradiente 310 Problemas 321 CAPÍTULO 15 Otimização Restrições 323 15.1 Programação Linear 323 15.2 Otimização com Restrições Não-lineares 332 15.3 Otimização com Pacotes 333 Problemas 343 CAPÍTULO 16 Estudos de Caso: Otimização 345 16.1 Projeto de Menor Custo de um Tanque (Engenharia Química/Bioengenharia) 345 16.2 Tratamento de Baixo Custo para Dejetos Líquidos (Engenharia Civil/Ambiental) 349 16.3 Potência Máxima Transferida para um Circuito (Engenharia Elétrica) 353 16.4 Projeto de Montain Bike (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 356 Problemas 358 EPÍLOGO: PARTE QUATRO 363 PT4.4 Prós e Contras 363 PT4.5 Referências Adicionais 364. PARTE CINCO AJUSTE DE CURVAS 366. PT5.1 Motivação 366 PT5.2 Fundamentos Matemáticos 368 PT5.3 Orientação 376 CAPÍTULO 17 Regressão por Mínimos Quadrados 379 17.1 Regressão Linear 379 17.2 Regressão Polinomial 393 17.3 Regressão Linear Múltipla 396 17.4 Mínimos Quadrados Linear Geral 398 17.5 Regressão Não Linear 403 Problemas 406 CAPÍTULO 18 Interpolação 409 18.1 Polinômios Interpoladores por Diferenças Divididas de Newton 409 18.2 Polinômios Interpoladores de Lagrange 419 18.3 Coeficientes de um Polinômio Interpolador 423 18.4 Interpolação Inversa 424 18.5 Comentários Adicionais 425 18.6 Interpolação por Splines 426 Problemas 436 CAPÍTULO 19 Aproximação de Fourier 438 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7. Ajuste de Curvas com Funções Senoidais 439 Série de Fourier Contínua 444 Domínios de Freqüência e Tempo 447 Integral e Transformada de Fourier 450 Transformada de Fourier Discreta (TFD) 452 Transformada Rápida de Fourier (FFT) 454 O Espectro de Potência 459.

(9) SUMÁRIO 19.8 Ajuste de Curvas com Bibliotecas e Pacotes 460 Problemas 467 CAPÍTULO 20 Estudos de Caso: Ajuste de Curvas 470 20.1 Regressão Linear e Modelos Populacionais (Engenharia Química/Bioengenharia) 470 20.2 Uso de Splines para Estimar Transferência de Calor (Engenharia Civil/Ambiental) 473 20.3 Análise de Fourier (Engenharia Elétrica) 475 20.4 Análise de Dados Experimentais (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 476 Problemas 477 EPÍLOGO: PARTE CINCO 486 PT5.4 Prós e Contras 486 PT5.5 Relações e Fórmulas Importantes 487 PT5.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 489. PARTE SEIS INTEGRAÇÃO DERIVAÇÃO NUMÉRICAS 491. PT 6.1 Motivação 491 PT 6.2 Fundamentos Matemáticos 499 PT 6.3 Orientação 501 CAPÍTULO 21 Fórmulas de Integração de Newton-Cotes 504 21.1 A Regra do Trapézio 505 21.2 Regras de Simpson 513 21.3 Integração com Segmentos Desiguais 521 21.4 Fórmulas de Integração Abertas 524 21.5 Integrais Múltiplas 524 Problemas 526 CAPÍTULO 22 Integração de Equações 528 22.1 Algoritmos de Newton-Cotes para Equações 528 22.2 Integração de Romberg 530 22.3 Quadratura de Gauss 534 22.4 Integrais Impróprias 540 Problemas 543 CAPÍTULO 23 Derivação Numérica 545 23.1 Fórmulas de Derivação de Alta Precisão 545 23.2 Extrapolação de Richardson 548 23.3 Derivadas de Dados Desigualmente Espaçados 549 23.4 Derivadas e Integrais para Dados com Erros 550 23.5 Integração e Derivação Numéricas com Bibliotecas e Pacotes 551 Problemas 554 CAPÍTULO 24 Estudos de Caso: Integração e Derivação Numéricas 545 24.1 Integração para Determinar a Quantidade Total de Calor (Engenharia Química/Bioengenharia) 545 24.2 Força Efetiva no Mastro de um Veleiro de Corrida (Engenharia Civil/Ambiental) 559 24.3 Corrente Eficaz por Integração Numérica (Engenharia Elétrica) 561. xi.

(10) xii. SUMÁRIO 24.4 Integração Numérica para Calcular o Trabalho (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 563 Problemas 566 EPÍLOGO: PARTE SEIS 575 PT6.4 Prós e Contras 575 PT6.5 Relações e Fórmulas Importantes 576 PT6.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 576. PARTE SETE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 578. PT7.1 Motivação 578 PT7.2 Fundamentos Matemáticos 582 PT7.3 Orientação 584 CAPÍTULO 25 Métodos Runge-Kutta 587 25.1 Método de Euler 588 25.2 Melhorias no Método de Euler 597 25.3 Métodos de Runge-Kutta 604 25.4 Sistemas de Equações 612 25.5 Métodos de Runge-Kutta Adaptativos 617 Problemas 623 CAPÍTULO 26 Rigidez e Métodos de Passo Mútiplo 625 26.1 Rigidez 625 26.2 Métodos de Passo Múltiplo 628 Problemas 646 CAPÍTULO 27 Problemas de Contorno e de Autovalor 648 27.1 Métodos Gerais para Problemas de Contorno 649 27.2 Problemas de Autovalor 654 27.3 EDOs e Autovalores com Bibliotecas e Pacotes 664 Problemas 670 CAPÍTULO 28 Estudos de Caso: Equações Diferenciais Ordinárias 673 28.1 Usando EDOs para Analisar a Resposta Transiente de um Reator (Engenharia Química/Bioengenharia) 673 28.2 Modelos Predador-Presa e Caos (Engenharia Civil/Ambiental) 788 28.3 Simulando Correntes Transientes para um Circuito Elétrico (Engenharia Elétrica) 682 28.4 O Pêndulo Oscilante (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 686 Problemas 689 EPÍLOGO: PARTE SETE 695 PT7.4 Prós e Contras 695 PT7.5 Relações e Fórmulas Importantes 696 PT7.6 Métodos Avançados e Referências Adicionais 696. PARTE OITO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 699. PT8.1 Motivação 699 PT8.2 Orientação 702.

(11) SUMÁRIO CAPÍTULO 29 Diferenças Finitas: Equações Elípticas 705 29.1 A Equação de Laplace 705 29.2 Técnicas de Solução 707 29.3 Condições de Contorno 712 29.4 A Abordagem por Volume de Controle 717 29.5 Software para Resolver Equações Elípticas 720 Problemas 721 CAPÍTULO 30 Diferenças Finitas: Equações Parabólicas 722 30.1 A Equação de Condução do Calor 722 30.2 Métodos Explícitos 723 30.3 Um Método Implícito Simples 726 30.4 O Método de Crank-Nicolson 730 30.5 Equações Parabólicas em Duas Dimensões Espaciais 732 Problemas 735 CAPÍTULO 31 Método dos Elementos Finitos 736 31.1 A Abordagem Geral 737 31.2 Aplicação de Elementos Finitos em uma Dimensão Um 740 31.3 Problemas Bidimensionais 748 31.4 Resolvendo EDPs com Bibliotecas e Pacotes 751 Problemas 756 CAPÍTULO 32 Estudos de Caso: Equações Diferenciais Parciais 758 32.1 Balanço de Massa Unidimensional de um Reator (Engenharia Química/Bioengenharia) 758 32.2 Deflexões em uma Placa (Engenharia Civil/Ambiental) 762 32.3 Problemas de Campo Eletrostáticos Bidimensionais (Engenharia Elétrica) 763 32.4 Solução por Elementos Finitos de uma Série de Molas (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 766 Problemas 769 EPÍLOGO: PARTE OITO 771 PT 8.3 Prós e Contras 771 PT 8.4 Relações e Fórmulas Importantes 771 PT 8.5 Métodos Avançados e Referências Adicionais 772 APÊNDICE A: A SÉRIE DE FOURIER 773 APÊNDICE B: INICIAÇÃO AO MATLAB 774 BIBLIOGRAFIA 781 ÍNDICE REMISSIVO 785. xiii.

(12) PREFÁCIO Já se passaram 20 anos desde a publicação da primeira edição deste livro. Nesse período, nossa asserção de que os métodos numéricos e os computadores figurariam mais proeminentemente nos currículos de engenharia — particularmente em seus primeiros anos — se tornou dramaticamente verdadeira. Muitas universidades agora oferecem cursos tanto em introdução à computação quanto de métodos numéricos em seus primeiros três anos. Além disso, muitos de nossos colegas estão integrando problemas orientados para o computador em outros cursos em todos os níveis do currículo. Logo, esta nova edição ainda está fundamentada na premissa básica de que é preciso oferecer aos estudantes de engenharia uma introdução forte e o mais cedo possível aos métodos numéricos. Conseqüentemente, embora tenhamos expandido nossa cobertura nesta nova edição, tentamos manter muitas das características que tornaram a primeira edição acessível a estudantes tanto do início quanto do final da graduação. Elas incluem: •. •. •. •. •. Orientação para problemas. Os estudantes de engenharia aprendem melhor quando motivados por problemas. Isso é particularmente verdadeiro para matemática e computação. Então, adotamos uma abordagem de uma perspectiva de resolução de problemas. Pedagogia Orientada para o Estudante. Desenvolvemos diversas características para tornar este livro tão amigável ao estudante quanto possível. Elas incluem a organização geral, o uso das introduções e dos epílogos para consolidar os tópicos principais e o uso extensivo de exemplos trabalhados e estudos de casos de todas as áreas da engenharia. Tentamos também manter nossas explicações simples e orientadas para a prática. Abordagem por “Caixas Transparentes”. Embora enfatizemos a resolução de problemas, acreditamos que é autolimitante para os engenheiros abordar os algoritmos numéricos como “caixas pretas”. Assim, incluímos teoria suficiente para permitir que os usuários entendam os conceitos básicos por trás dos métodos. Em particular, enfatizamos a teoria relacionada à análise de erros, as limitações desses métodos e os prós e contras entre os métodos. Orientação para Computadores Pessoais. Inicialmente, quando escrevemos este livro, existia um grande abismo entre o mundo batch dos computadores de grande porte e o mundo interativo dos PCs. Hoje em dia, conforme o desempenho dos PCs aumenta, essa distinção está desaparecendo. Dito isso, este livro ainda enfatiza as visualizações e os cálculos iterativos, que são os marcos dos computadores pessoais. Capacitação dos Estudantes. Obviamente, introduzimos os estudantes aos recursospadrão, prontos para o uso, de pacotes como o Excel e o software MATLAB. Entretanto, também é mostrado aos estudantes como desenvolver programas simples, bem estruturados, para estender os recursos básicos desses ambientes. Esse conhecimento se transporta para linguagens de programação padrão como Visual Basic, Fortran 90 e C/C++. Acreditamos que a fuga da programação de computadores representa um pouco de uma queda nos currículos de engenharia. O ponto principal é que, enquanto os engenheiros não estiverem satisfeitos em ficar limitados pelas ferramentas, precisarão escrever códigos. Só que agora eles podem ser chamados de “macros” ou “M-files”. Este livro é projetado para capacitá-los a fazer isso. xv.

(13) xvi. PREFÁCIO. Além desses cinco princípios originais, a principal melhoria da quinta edição é uma grande revisão e expansão dos conjuntos de problemas dos finais dos capítulos. A maioria dos problemas foi modificada, de modo que fornecem soluções numéricas diferentes das edições anteriores. Além disso, diversos novos problemas foram incluídos. Como nas edições anteriores, incluímos tanto problemas matemáticos quanto aplicados de todos os ramos da engenharia. Em todos os casos, nosso propósito é fornecer aos estudantes exercícios para verificarem seu entendimento e para ilustrar como os métodos numéricos podem ajudá-los a resolver problemas mais eficientemente. Como sempre, nossa principal intenção ao escrever este livro é fornecer aos estudantes uma sólida introdução aos métodos numéricos. Acreditamos que os estudantes motivados que apreciem os métodos numéricos, a computação e a matemática irão, no final, tornar-se melhores engenheiros. Se nosso livro estimular um entusiasmo por esses assuntos, consideraremos nossos esforços um sucesso. Agradecimentos. Gostaríamos de agradecer a nossos amigos na McGraw-Hill. Em particular, Amanda Green, Suzanne Jeans e Peggy Selle, que forneceram uma atmosfera positiva e de apoio para a criação desta edição. Como sempre, Beatrice Sussman fez um excelente trabalho na edição do manuscrito e Michael Ryder fez importantes contribuições durante a produção do livro. Agradecimentos especiais aos professores Wally Grant, Olga Pierrakos, Amber Phillips, Justin Griffee e Kevin Mace (Virginia Tech) e à professora Theresa Good (Texas A&M), que contribuiu com problemas para nosso livro ao longo dos anos. Como nas edições passadas, David Clough (Universidade do Colorado) e Jerry Stedinger (Universidade de Cornell) generosamente compartilharam seu discernimento e suas sugestões. Sugestões úteis também foram feitas por Bill Philpot (Universidade de Cornell), Jim Guilkey (Universidade de Utah), Dong-Il Seo (Universidade Nacional de Chungnam, Coréia) e Raymundo Cordero e Karim Muci (ITESM, México). A presente edição também se beneficiou das revisões e sugestões fornecidas pelos seguintes colegas: Ella M. Atkins, University of Maryland Betty Barr, University of Houston Florin Bobaru, University of Nebraska–Lincoln Ken W. Bosworth, Idaho State University Anthony Cahill, Texas A&M University Raymond C. Y. Chin, Indiana University–Purdue, Indianapolis Jason Clark, University of California, Berkeley John Collings, University of North Dakota Ayodeji Demuren, Old Dominion University Cassiano R. E. de Oliveira, Georgia Institute of Technology Subhadeep Gan, University of Cincinnati Aaron S. Goldstein, Virginia Polytechnic Institute and State University Gregory L. Griffin, Louisiana State University Walter Haisler, Texas A&M University Don Hardcastle, Baylor University Scott L. Hendricks, Virginia Polytechnic Institute and State University David J. Horntrop, New Jersey Institute of Technology Tribikram Kundu, University of Arizona Hysuk Lee, Clemson University Jichun Li, University of Nevada, Las Vegas Jeffrey S. Marshall, University of Iowa George Novacky, University of Pittsburgh Dmitry Pelinovsky, McMaster University Siva Parameswaran, Texas Technical University Greg P. Semeraro, Rochester Institute of Technology Jerry Sergent, Faifield University Dipendra K. Sinha, San Francisco State University Scott A. Socolofsky, Texas A&M University.

(14) PREFÁCIO. xvii. Robert E. Spall, Utah State University John C. Strikwerda, University of Wisconsin-Madison Karsten E. Thompson, Louisiana State University Kumar Vemaganti, University of Cincinnati Peter Wolfe, University of Maryland Yale Yurttas, Texas A&M University Nader Zamani, University of Windsor Viktoria Zoltay, Tufts University Devemos enfatizar que, embora tenhamos recebido sugestões úteis das pessoas mencionadas, somos responsáveis por quaisquer imprecisões ou erros que possam ser detectados nesta edição. Por favor, contate Steve Chapra por e-mail se detectar algum erro. Finalmente, gostaríamos de agradecer a nossa família, amigos e estudantes por sua paciência e seu apoio permanentes. Em particular, Cyntia Chapra e Claire Canale estão sempre lá, fornecendo compreensão, perspectiva e amor. Steven C. Chapra Medford, Massachusetts steven.chapra@tufts.edu Raymond P. Canale Lake Leelanau, Michigan.

(15) VISÃO GERAL DO LIVRO PT 3.1. PT 3.2 Fundamentos matemáticos. Motivação. PT 3.6 Métodos avançados. Para fornecer uma perspectiva dos métodos numéricos, organizamos o texto em partes e apresentamos informações unificadoras nos elementos Motivação, Fundamentos Matemáticos, Orientação e Epílogo.. PT 3.3 Orientação. PARTE 3. 9.1 Sistemas pequenos. 9.2 Eliminação de Gauss ingênua. Equações Algébricas Lineares. PT 3.5 Fórmulas importantes. EPÍLOGO. 9.3 Armadilhas dos métodos de eliminação. CAPÍTULO 9. 9.4 Técnicas para melhorar soluções. Eliminação de Gauss. 9.5 Sistemas complexos. PT 3.4 Prós e contras 9.7 Gauss-Jordan. 10.1 Decomposição LU. 12.4 Engenharia mecânica. 12.3 Engenharia elétrica. 9.6 Sistemas de equações não-lineares. CAPÍTULO 12. CAPÍTULO 10. Estudos de Caso: Equações Algébricas Lineares. Decomposição LU e Inversão de Matrizes. 10.2 A matriz inversa. CAPÍTULO 11 12.2 Engenharia civil. 10.3 Condicionamento do sistema. Matrizes Especiais e Gauss-Seidel 12.1 Engenharia química. 11.3 Bibliotecas e pacotes. 11.1 Matrizes especiais 11.2 GaussSeidel. PROBLEMAS. 436. 18.6.4 Algoritmo Computacional para Splines Cúbicos O método para calcular splines cúbicos delineados na seção anterior é ideal para implementação computacional. Lembre-se de que, por algumas manipulações engenhosas, o método reduziu o problema à resolução de n − 1 equações simultâneas. Um benefício adicional da dedução é que, como especificado pela Equação (18.37), o sistema de equações é tridiagonal. Como descrito na Seção 11.1, estão disponíveis algoritmos para resolver tais sistemas de maneira extremamente eficiente. A Figura 18.18 esboça um esquema computacional que incorpora essas características. Observe que a rotina na Figura 18.18 retorna um único valor interpolado, yu, para um dado valor da variável independente xu. Essa é apenas uma das formas como a interpolação por splines pode ser implementada. Por exemplo, você poderia querer determinar os coeficientes uma única vez e então fazer muitas interpolações. Além disso, a rotina retorna tanto a primeira (dy) quanto a segunda (dy2)derivadas em xu. Embora não seja necessário calcular essas quantidades, elas se mostram úteis em muitas aplicações de interpolação por splines.. Todos os capítulos contêm problemas para casa novos e revisados. Oitenta por cento dos problemas são novos ou revisados. No texto, são incluídos problemas desafiadores tirados de todas as disciplinas de engenharia.. PROBLEMAS 18.1 Faça uma estimativa do logaritmo comum de 10 usando interpolação linear. (a) Interpole entre log 8 0,9030900 e log 12 1,0791812. (b) Interpole entre log 9 0,9542425 e log 11 1,0413927. Para cada interpolação, calcule o erro relativo percentual baseado no valor verdadeiro. 18.2 Ajuste um polinômio interpolador de Newton de 2o grau para fazer uma estimativa de log 10 usando os dados do Problema 18.1 em x 8, 9 e 11. Calcule o erro relativo percentual verdadeiro. 18.3 Ajuste um polinômio interpolador de Newton de 3o grau usando os dados do Problema 18.1. 18.4 Considere os dados x f( ). 1,6. 2. 2,5. 3,2. 4. 4,5. 2. 8. 14. 15. 8. 2. 18.9 Use interpolação inversa para determinar o valor de x que corresponde a f (x) 0,85 para os seguintes dados tabulados: x. 0. 1. 2. 3. 4. 5. f (x). 0. 0,5. 0,8. 0,9. 0,941176. 0,961538. 7.7 LOCALIZAÇÃO DE RAÍZES COM BIBLIOTECAS E PACOTES. Observe que os valores na tabela foram gerados com a função f (x) x3(2 x3). (a) Determine o valor correto analiticamente. (b) Use interpolação cúbica de x em função de y. (c) Use interpolação inversa com interpolação quadrática e a fórmula quadrática. (d) Use interpolação inversa com interpolação cúbica e bissecção. Para as partes (b) a (d) calcule o erro relativo percentual verdadeiro.. 7.7.2 MATLAB Como resumido na Tabela 7.1, o software MATLAB é capaz de localizar raízes de uma única equação algébrica ou transcendental. Ele é excelente na manipulação e determinação de raízes de polinômios. A função fzero é projetada para localizar uma raiz de uma única equação. Uma representação simplificada de sua sintaxe é fzero(f,x0,options). onde f é a função que você está analisando, x0 é a aproximação inicial, e options são os parâmetros de otimização (estes são mudados usando-se a função optimset). Se options for omitido, serão usados valores-padrão. Observe que podem ser utilizadas uma ou duas aproximações. Se forem usadas duas aproximações, é suposto que elas cerquem uma raiz. O exemplo a seguir ilustra como fzero pode ser usado.. Seções do texto, bem como problemas para casa, são dedicados à implementação de métodos numéricos com o Excel da Microsoft e o software MATLAB do The MathWorks, Inc.. TABELA 7.1 Funções comuns no MATLAB relacionadas com a localização de raízes e manipulação de polinômios.. EXEMPLO 7.6. xviii. 155. Função. Descrição. fzero roots poly polyval polyvalm residue polyder conv deconv. Raiz de uma única função. Encontra raízes de polinômios. Constrói polinômios com raízes especificadas. Calcula valores de polinômios. Calcula valores de polinômios com argumentos matriciais. Expansão em frações parciais (resíduos). Deriva polinômios. Multiplica polinômios. Divide polinômios.. Usando o MATLAB para a Localização de Raízes.

(16) 10.2 A MATRIZ INVERSA. EXEMPLO 10.3. 237. Inversão de Matrizes Enunciado do Problema. Utilize a decomposição LU para determinar a inversa da matriz do sistema do Exemplo 10.2. 3 −0,1 −0,2 [A] = 0,1 7 −0,3 0,3 −0,2 10 Lembre-se de que a decomposição resultou nas seguintes matrizes triangulares superior e inferior: 1 0 0 3 −0,1 −0,2 [L] = 0,0333333 [U ] = 0 1 0 7,00333 −0,293333 0,100000 −0,0271300 1 0 0 10,0120. Nosso texto apresenta diversos exemplos trabalhados para fornecer ao estudante ilustrações passo a passo de como os métodos numéricos são implementados.. Solução. A primeira coluna da matriz inversa pode ser determinada efetuando-se o procedimento de solução da substituição progressiva com um vetor unitário (com o 1 na primeira linha) como vetor do lado direito. Assim, a Equação (10.8), o sistema triangular inferior, pode ser escrito como d1 1 0 0 1 0,0333333 1 0 d2 = 0 0,100000 −0,0271300 1 0 d3 e resolvido com substituição progressiva para determinar {D}T = 1 −0,03333 −0,1009. Esse vetor pode ser usado como lado direito na Equação (10.3), x1 1 3 −0,1 −0,2 0 7,00333 −0,293333 x2 = −0,03333 −0,1009 0 0 10,0120 x3 a qual pode ser resolvida por substituição regressiva para determinar {X}T = 0,33249 −0,00518 −0,01008, que é a primeira coluna da matriz, 0,33249 0 0 [A]−1 = −0,00518 0 0 0 01008 0 0. Há 28 estudos de casos de engenharia para ajudar os estudantes a ligar os métodos numéricos aos principais campos da engenharia.. CAPÍTULO. 8 Estudos de Caso: Raízes de Equações O propósito deste Capítulo é usar os procedimentos numéricos discutidos nos Capítulos 5, 6 e 7 para resolver problemas reais de engenharia. As técnicas numéricas são importantes nas aplicações práticas porque a engenharia freqüentemente encontra problemas que não podem ser abordados usando-se técnicas analíticas. Por exemplo, modelos matemáticos simples que podem ser resolvidos analiticamente nem sempre são aplicáveis quando problemas reais estão envolvidos. Logo, modelos mais complicados precisam ser usados. Nesses casos, é apropriado implementar uma solução numérica com o computador. Em outras situações, problemas de projeto de engenharia exigem soluções para as variáveis implícitas em equações complicadas. Os estudos de caso a seguir são encontrados rotineiramente nos cursos de graduação mais avançados e nos de pós-graduação. Além disso, são representativos dos problemas tratados profissionalmente. Tais problemas são tirados de quatro ramos importantes da engenharia: química, civil, elétrica e mecânica. Essas aplicações também servem para ilustrar os prós e contras entre as diversas técnicas numéricas. A primeira aplicação, tirada da engenharia química, fornece um exemplo excelente de como os métodos para localizar raízes permitem usar fórmulas realísticas na prática da engenharia. Além disso, também ilustra como a eficiência da técnica de Newton-Raphson é usada com vantagem quando um grande número de localizações de raízes é necessário. Os problemas de projeto em engenharia seguintes são tirados da engenharia civil, elétrica e mecânica. A Seção 8.2 usa tanto os métodos que isolam as raízes em intervalos quanto os métodos abertos para determinar a profundidade e a velocidade da água escoando em um canal aberto. A Seção 8.3 mostra como as raízes das equações transcendentais podem ser utilizadas no projeto de um circuito elétrico. As Seções 8.2 e 8.3 também ilustram como os métodos gráficos fornecem percepção do processo de localização de raízes. Finalmente, a Seção 8.4 usa a localização de raízes de polinômios para analisar a vibração de um automóvel.. 8.1 LEIS DOS GASES IDEAIS E NÃO-IDEAIS (ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA) Fundamentos. A lei dos gases ideais é dada por pV = nRT. (8.1). Recursos Disponíveis no Site O Online Learning Center (Centro de Aprendizagem Online) no endereço www.mhhe.com/chapra oferece recursos para o estudante e para o professor. Esses materiais estão disponíveis em inglês e alguns são comerciais, ou seja, você precisa comprá-los. Os professores brasileiros necessitam obter uma senha junto à McGraw-Hill do Brasil para acessarem os recursos on-line. A senha deve ser solicitada por e-mail (divulgacao_brasil@mcgraw-hill.com). Na Europa, a senha deve ser obtida junto à McGraw-Hill de Portugal (servico_clientes@mcgraw-hill.com). Todos os softwares utilizados nos recursos on-line foram desenvolvidos pela McGraw-Hill dos EUA. A McGraw-Hill Interamericana do Brasil não oferece suporte para esses softwares nem se responsabiliza por qualquer falha que possa ocorrer durante o seu uso. Caso tenha algum problema, acesse o suporte técnico em www.mhhe.com/support ou ainda o site do produto em www.cosmosm.com. xix.

(17) SOBRE OS AUTORES Steve Chapra leciona no Departamento de Engenharia Civil e Ambiental na Universidade de Tufts, onde ocupa a posição de Louis Berger Chair na Computação e Engenharia. Seus outros livros incluem Surface Water-Quality Modeling and Applied Numerical Methods with MATLAB. Dr. Chapra recebeu diplomas de engenharia do Manhattan College e da Universidade de Michigan. Antes de se juntar ao corpo docente da Tufts, trabalhou para a Agência de Proteção Ambiental e para a Administração Nacional Atmosférica e Oceânica e lecionou na Universidade A&M do Texas e na Universidade do Colorado. Seus interesses gerais em pesquisa se concentram na modelagem da qualidade da água superficial e em aplicações computacionais avançadas na engenharia ambiental. Ele recebeu diversos prêmios por suas contribuições acadêmicas, incluindo a medalha Rudolph Hering (ASCE) de 1993 e o Prêmio de Autor Notável da MeriamWiley de 1987 (Sociedade Norte-Americana para Educação em Engenharia). Também foi reconhecido como um professor destacado entre o corpo docente tanto da Universidade A&M do Texas (Prêmio Tenneco de 1986) quanto da Universidade do Colorado (Prêmio Hutchinson de 1992). Raymond P. Canale é professor emérito da Universidade de Michigan. Durante sua carreira de mais de 20 anos na universidade, e ministrou diversos cursos na área de computadores, métodos numéricos e engenharia ambiental. Também dirigiu programas de pesquisa extensivos na área de modelagem matemática e computacional de ecossistemas aquáticos. Ele foi autor ou co-autor de diversos livros e publicou mais de cem artigos e relatórios científicos. Também projetou e desenvolveu software para computadores pessoais para facilitar a educação em engenharia e a solução de problemas de engenharia. Ele ganhou o Prêmio de Autor Notável da Meriam-Wiley da Sociedade Norte-Americana para Educação em Engenharia por seus livros e software e diversos prêmios por suas publicações técnicas. O professor Canale está atualmente dedicando suas energias a problemas aplicados, nos quais trabalha com empresas e indústrias de engenharia e agências governamentais como consultor e perito.. xxi.

(18) PT1.1 MOTIVAÇÃO. 1. PARTE UM.

(19) MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS PT1.1 MOTIVAÇÃO Os métodos numéricos são técnicas pelas quais os problemas matemáticos são formulados de modo que possam ser resolvidos com operações aritméticas. Embora existam muitos tipos de métodos numéricos, eles têm uma característica em comum: invariavelmente envolvem grande número de cálculos aritméticos tediosos. Não é nada surpreendente que, com o desenvolvimento de computadores digitais rápidos e eficientes, o papel dos métodos numéricos na resolução de problemas de engenharia aumentou dramaticamente nos últimos anos. PT1.1.1 Métodos Não-computacionais Além de fornecer uma capacidade computacional aumentada, a disponibilidade muito difundida dos computadores (especialmente dos computadores pessoais) e a parceria com métodos numéricos vêm tendo uma influência significativa na resolução moderna de problemas de engenharia. Na era antes do computador, em geral havia três formas diferentes pelas quais os engenheiros abordavam a solução de problemas: 1. As soluções eram deduzidas para alguns problemas usando-se métodos analíticos ou exatos. Essas soluções eram freqüentemente úteis e forneciam uma visão excelente do comportamento de alguns sistemas. Entretanto, as soluções analíticas podem ser deduzidas apenas para uma classe limitada de problemas, que incluem os que podem ser aproximados por modelos lineares e aqueles que têm uma geometria simples e dimensão baixa. Conseqüentemente, as soluções analíticas têm valor prático limitado porque, em sua maioria, os problemas reais são não-lineares e envolvem formas e processos complexos. 2. As soluções gráficas eram usadas para caracterizar o comportamento dos sistemas; em geral, elas tinham a forma de gráficos ou nomógrafos. Embora as soluções gráficas freqüentemente possam ser usadas para resolver problemas complexos, os resultados não são muito precisos. Além disso, soluções gráficas (sem a ajuda de computadores) são extremamente tediosas e inconvenientes para implementar. Finalmente, as técnicas gráficas, com freqüência, são limitadas a problemas que podem ser descritos usando-se três dimensões ou menos. 3. Calculadoras e regras de cálculos eram usadas para implementar os métodos numéricos manualmente. Embora, em teoria, tais abordagens fossem perfeitamente adequadas para resolver problemas complexos, na realidade, eram encontradas muitas dificuldades. Os cálculos manuais são lentos e tediosos. Além disso, resultados consistentes são esquivos por causa de enganos simples que acontecem quando tarefas manuais numerosas são realizadas. Na era pré-computador, uma quantidade significativa de energia era gasta na técnica de resolução propriamente dita, em vez de na definição e interpretação do problema (Figura PT1.1a). Essa situação lamentável existia porque muito tempo e trabalho pesado eram necessários para obter respostas numéricas usando-se as técnicas pré-computador. Hoje em dia, os computadores e os métodos numéricos fornecem uma alternativa para tais cálculos complicados. Usando o poder do computador para obter diretamente soluções, é possível abordar esses cálculos sem o recurso de hipóteses simplificadoras ou 2.

(20) PT1.1 MOTIVAÇÃO. FORMULAÇÃO As leis fundamentais eram explicadas resumidamente. SOLUÇÃO. FIGURA PT1.1 Há três fases de resolução de problemas de engenharia (a) na era pré-computador e (b) na era do computador. O tamanho das caixas indica o nível de ênfase direcionada a cada fase. Os computadores facilitaram a implementação da técnica de resolução e, portanto, permitiram mais ênfase nos aspectos criativos da formulação do problema e na interpretação dos resultados.. Método elaborado e, em geral, complicado para tornar os problemas tratáveis. 3. FORMULAÇÃO Exposição profunda da relação entre o problema e as leis fundamentais. SOLUÇÃO Método computacional fácil de usar. INTERPRETAÇÃO. INTERPRETAÇÃO. Análise profunda limitada pela solução demorada. Facilidade de cálculos permite o desenvolvimento de pensamentos holísticos e da intuição; a sensibilidade e o comportamento do sistema podem ser estudados. (a). (b). técnicas para economizar tempo. Embora as soluções analíticas ainda sejam extremamente valiosas tanto para soluções dos problemas quanto para fornecer uma visão geral, os métodos numéricos representam alternativas que aumentam enormemente os recursos para confrontar e resolver problemas. Como resultado, mais tempo fica disponível para ser usado em habilidades criativas. Portanto, mais ênfase pode ser posta na formulação do problema e na interpretação da solução e na incorporação do sistema total, ou percepção “holística” (Figura PT1.1b). PT1.1.2 MÉTODOS NUMÉRICOS E PRÁTICA DA ENGENHARIA Desde o fim da década de 1940, a vasta disponibilidade dos computadores digitais levou a uma verdadeira explosão no uso e desenvolvimento dos métodos numéricos. Inicialmente, esse crescimento foi um pouco limitado pelo custo do acesso a computadores de grande porte — conseqüentemente, muitos engenheiros continuaram a usar a abordagem analítica simples em uma parte significativa do seu trabalho. É claro que a recente evolução dos computadores pessoais baratos forneceu pronto acesso a recursos computacionais poderosos. Existem diversas razões adicionais pelas quais se deve estudar métodos numéricos: 1. Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na resolução de problemas. Eles são capazes de lidar com um grande número de equações, nãolinearidades e geometrias complicadas que não são incomuns na prática da engenharia e, em geral, são impossíveis de resolver analiticamente. Dessa forma, eles aumentam enormemente a capacidade de resolver problemas. 2. Durante a carreira, o profissional da engenharia freqüentemente terá ocasião de usar pacotes comercialmente disponíveis, ou programas de computador “enlatados” que envolvem métodos numéricos. O uso inteligente desses programas depende, com freqüência, do conhecimento da teoria básica fundamental dos métodos..

(21) 4. MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS. 3. Muitos problemas não podem ser abordados utilizando programas enlatados. Se o engenheiro estiver familiarizado com métodos numéricos e souber programar o computador, poderá projetar seu próprio programa para resolver problemas sem ter de comprar ou contratar softwares caros. 4. Os métodos numéricos são um veículo eficiente para o aprendizado do uso de computadores. É bem conhecido que uma forma eficiente de aprender a programar é realmente escrever um programa de computador. Como os métodos numéricos são, na maior parte, projetados para implementação em computadores, eles se mostram ideais para esse propósito. Além disso, são especialmente adequados para ilustrar o poder e as limitações dos computadores. Quando se implementam com sucesso métodos numéricos em um computador e, então, eles são aplicados para resolver problemas intratáveis de outra forma, tem-se acesso a uma demonstração dramática de como os computadores podem ajudar o desenvolvimento profissional. Ao mesmo tempo, aprende-se a identificar e a controlar os erros das aproximações, que são parte essencial de cálculos numéricos em grande escala. 5. Os métodos numéricos fornecem um veículo para o profissional reforçar seu entendimento da matemática. Como uma função dos métodos numéricos é reduzir a matemática mais avançada a operações aritméticas básicas, eles chegam aos detalhes práticos de alguns tópicos que, de outra forma, seriam obscuros. Aprimoramento do entendimento e da percepção pode resultar dessa perspectiva alternativa.. PT1.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Todas as partes deste livro usam alguns fundamentos matemáticos. Conseqüentemente, o material introdutório para cada parte inclui uma seção, como a presente seção, sobre fundamentos matemáticos. Como a Parte Um propriamente dita é devotada à revisão de material em matemática e computadores, esta seção não envolve uma revisão de um tópico matemático específico. Em vez disso, aproveita-se a oportunidade para introduzir o tipo de assuntos da matemática cobertos neste livro. Como resumido na Figura PT1.2, esses assuntos são: 1. Raízes de Equações (Figura PT1.2a). Esses problemas dizem respeito ao valor de uma variável ou a um parâmetro que satisfaz uma única equação não-linear. Eles são especialmente importantes no contexto de projetos de engenharia, em que freqüentemente é impossível resolver explicitamente as equações para os parâmetros do projeto. 2. Sistemas de Equações Algébricas Lineares (Figura PT1.2b). Esses problemas são similares aos das raízes de equações, no sentido de que dizem respeito aos valores que satisfazem tais equações. Entretanto, em contraste a satisfazer uma única equação, é procurado um conjunto de valores que satisfaça simultaneamente um conjunto de equações algébricas lineares. Essas equações aparecem em uma grande variedade de contextos de problemas e em todas as disciplinas da engenharia. Em particular, elas se originam na modelagem matemática de grandes sistemas de elementos interconectados, como estruturas, circuitos elétricos e redes de fluidos. Entretanto, também são encontradas em outras áreas dos métodos numéricos, como ajustes de curva e equações diferenciais. 3. Otimização (Figura PT1.2c). Esses problemas envolvem a determinação de um valor ou valores de uma variável independente que corresponde ao “melhor” valor ou ao valor ótimo de uma função. Portanto, como na Figura PT1.2c, a otimização envolve a identificação de máximos e mínimos. Tais problemas ocorrem rotineiramente no contexto de projetos de engenharia. Eles também aparecem em uma variedade de outros métodos numéricos. A otimização sem restrições é tratada tanto em uma variável quanto em muitas variáveis. Também é descrita a otimização restrita, com ênfase particular na programação linear..

(22) PT1.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS. (a) Parte 2: Raízes de equações. 5. f(x). Resolva f(x) = 0 determinando x.. Raiz x. (b) Parte 3: Equações algébricas lineares x2. Dados os a’s e os c’s, resolva a11x1 + a12x2 = c1 a21x1 + a22x2 = c2 para determinar os x’s.. Solução. x1. (c) Parte 4: Otimização Determine x que dê o valor ótimo de f(x).. f(x). Mínimo x. (d) Parte 5: Ajuste de curvas f(x). f(x). Interpolação. Regressão x. (e) Parte 6: Integração I = 兰ab f (x) dx Encontre a área sob a curva.. x f(x). I x. ( f ) Parte 7: Equações diferenciais ordinárias. y. Dada dy ⌬y ⯝ = f (t, y) dt ⌬t. Inclinação = f(t i , y i ). resolva, encontrando y como função de t. yi + 1 = yi + f (ti , yi ) ⌬t. ⌬t ti. (g) Parte 8: Equações diferenciais parciais. ti + 1. t. y. Dada ⭸2u + ⭸2u = f (x, y) ⭸x2 ⭸y2 resolva, encontrando u como função de x e y. FIGURA PT1.2 Resumo dos métodos numéricos cobertos neste livro.. x.

(23) 6. MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS. 4. Ajuste de Curvas (Figura PT1.2d). Freqüentemente é necessário ajustar curvas a conjuntos de dados. As técnicas desenvolvidas para esse propósito podem ser divididas em duas categorias gerais: regressão e interpolação. A regressão é empregada quando existe um grau significativo de erro associado aos dados. Os resultados experimentais são geralmente desse tipo. Para tais situações, a estratégia é desenvolver uma única curva que represente a tendência geral dos dados, sem necessariamente coincidir com nenhum ponto individual. Em contraste, a interpolação é usada quando o objetivo é determinar valores intermediários entre dados relativamente livres de erros — usualmente, é o caso para informações tabuladas. Para tais situações, a estratégia é ajustar a curva diretamente pelos pontos dados e usar essa curva para prever os valores intermediários. 5. Integração (Figura PT1.2e). Como descrito, uma interpretação física de integração numérica é a determinação da área sob a curva. A integração tem muitas aplicações na prática da engenharia, variando da determinação de centróides de objetos de forma estranha a cálculos de quantidades totais baseados em conjuntos de medidas discretas. Além disso, as fórmulas de integração numérica desempenham um papel importante na solução de equações diferenciais. 6. Equações Diferenciais Ordinárias (Figura PT1.2f). As equações diferenciais ordinárias têm um grande significado na prática da engenharia, e isso ocorre porque muitas leis físicas são descritas em termos da taxa de variação de uma quantidade em vez do valor da quantidade propriamente dita. Os exemplos variam de modelos de previsão populacional (taxa de variação da população) à aceleração de um corpo em queda livre (taxa de variação da velocidade). Dois tipos de problemas são tratados: problemas de valor inicial e valor de contorno. Além disso, o cálculo de autovalores também é coberto. 7. Equações Diferenciais Parciais (Figura PT1.2g). As equações diferenciais parciais são usadas para caracterizar sistemas de engenharia nos quais o comportamento de uma quantidade física é determinado pela sua taxa de variação em relação a duas ou mais variáveis independentes. Os exemplos incluem a distribuição estacionária de temperaturas em uma chapa aquecida (duas dimensões espaciais) ou a temperatura dependendo do tempo de uma haste aquecida (tempo e uma dimensão espacial). Duas abordagens fundamentalmente diferentes são empregadas para resolver equações diferenciais parciais numericamente. Neste texto, serão enfatizados os métodos de diferença finita, que aproximam a solução de maneira pontual (Figura PT1.2g). Entretanto, também será apresentada uma introdução aos métodos de elementos finitos, que usam uma abordagem por partes.. PT1.3 ORIENTAÇÃO Alguma orientação pode ser útil antes de prosseguir com a introdução aos métodos numéricos. O que segue deve ser visto como uma visão geral do material na Parte Um. Além disso, alguns objetivos foram incluídos para focalizar os esforços do aluno ao estudar este material. PT1.3.1 Escopo e Visão Geral A Figura PT1.3 é uma representação esquemática do material na Parte Um. Esse diagrama foi projetado para fornecer uma visão global desta parte do livro. O sentido de “perspectiva geral” é crítico no desenvolvimento da intuição nos métodos numéricos. Quando se lê um texto, é fácil perder-se nos detalhes técnicos. Sempre que o estudante sentir que está perdendo a perspectiva geral, deve consultar a Figura PT1.3 para se reorientar. Todas as partes deste livro incluem uma figura similar. A Figura PT1.3 também serve como uma breve apresentação prévia do material coberto na Parte Um. O Capítulo 1 foi projetado para orientar o estudante nos métodos numéricos e para fornecer motivação, mostrando como essas técnicas podem ser usadas no processo de modelagem da engenharia. O Capítulo 2 é uma introdução e revisão de aspectos dos métodos numéricos relacionados com o computador e sugere o nível de ha-.

(24) PT1.3 ORIENTAÇÃO. PT 1.1 Motivação. 7. PT 1.2 Fundamentos matemáticos. PT 1.3 Orientação. 1.1 Um modelo matemático simples. PARTE 1 Modelagem, Computadores e Análise de Erros. PT 1.6 Métodos avançados. PT 1.5 Relação e fórmulas importantes. 1.2 Leis de conservação e engenharia. CAPÍTULO 1 Modelagem Matemática e Resolução de Problemas de Engenharia. EPÍLOGO PT 1.4 Prós e contras. 2.1 Pacotes e programação 4.4 Enganos, erros de formulação e incerteza nos dados. 4.3 Erro numérico total. 2.2 Programação estruturada. CAPÍTULO 4 Erros de Truncamento e Séries de Taylor. CAPÍTULO 2 Programação e Software. 4.2 Propagação de erros. 2.4 Excel. CAPÍTULO 3 Aproximações e Erros de Arredondamento. 4.1 A série de Taylor 3.4 Erros de arredondamento. 3.3 Definição de erros. 2.3 Programação modular. 2.6 Linguagens e bibliotecas. 2.5 MATLAB. 3.1 Algarismos significativos 3.2 Acurácia e precisão. FIGURA PT1.3 Esquema da organização do material da Parte Um: Modelagem, Computadores e Análise de Erros.. bilidades computacionais que é necessário adquirir para aplicar de forma eficiente as informações que vêm a seguir. Os Capítulos 3 e 4 dizem respeito ao importante tópico da análise de erros, que precisa ser entendido para o uso eficiente dos métodos numéricos. Além disso, é incluído um epílogo, no qual são introduzidos os prós e contras, que têm um grande significado para a implementação efetiva dos métodos numéricos. PT1.3.2 Metas e Objetivos Objetivos de Estudo. Após completar a Parte Um, o estudante deverá estar adequadamente preparado para embarcar em seus estudos sobre os métodos numéricos. Em geral, deve ter adquirido um entendimento fundamental sobre a importância dos computadores e sobre o papel das aproximações e dos erros na implementação e no desenvolvimento dos métodos numéricos. Além dessas metas gerais, deve ter dominado cada um dos objetivos de estudo específicos listados na Tabela PT1.1..

(25) 8. MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS TABELA PT1.1 Objetivos de estudo específicos para a Parte Um. 1. Reconhecer a diferença entre soluções analítica e numérica. 2. Entender como as leis de conservação são empregadas para desenvolver modelos matemáticos do sistema físico. 3. Definir projeto por refinamento e modular. 4. Definir as regras que fundamentam a programação estruturada. 5. Ser capaz de compor programas estruturados e modulares em uma linguagem de computação de alto nível. 6. Saber como traduzir fluxogramas estruturados e pseudocódigos para códigos em uma linguagem de alto nível. 7. Começar a se familiarizar com todos os pacotes de software que serão usados junto com este texto. 8. Reconhecer a distinção entre erros de truncamento e de arredondamento. 9. Entender os conceitos de algarismos significativos, acurácia e precisão. 10. Reconhecer a diferença entre erro relativo verdadeiro ε t, erro relativo aproximado ε a, e erro aceitável ε s, e entender como ε a e ε s são usados para finalizar um cálculo iterativo. 11. Entender como os números são representados em computadores digitais e como essa representação induz a erros de arredondamento. Em particular, saber a diferença entre precisão simples e estendida. 12. Reconhecer como a aritmética do computador pode introduzir e ampliar erros de arredondamento nos cálculos. Em particular, analisar o problema do cancelamento na subtração. 13. Entender como a série de Taylor e seu resto são empregados para representar funções contínuas. 14. Saber a relação entre as diferenças divididas finitas e as derivadas. 15. Ser capaz de analisar como os erros se propagam por meio das relações funcionais. 16. Estar familiarizado com os conceitos de estabilidade e condicionamento. 17. Familiarizar-se com os prós e contras delineados no Epílogo da Parte Um.. Objetivos Computacionais. Quando completar a Parte Um, o estudante deve ter adquirido habilidades computacionais suficientes para desenvolver seu próprio software para os métodos numéricos neste texto. Deve ser capaz de desenvolver programas de computador bem estruturados e confiáveis com base em pseudocódigo, fluxogramas e outras formas de algoritmos. Também deve ter desenvolvido a capacidade de documentar seus programas de forma que eles possam ser usados efetivamente pelos usuários. Finalmente, além dos seus próprios programas, o aluno pode usar pacotes de softwares juntamente com este livro. Os pacotes como Excel ou The MathWorks, Inc. MATLAB® são exemplos de tais softwares. O estudante deve estar familiarizado com esses pacotes, de forma que possa usá-los confortavelmente para resolver problemas numéricos mais adiante neste texto..

(26) CAPÍTULO. 1 Modelagem Matemática e Resolução de Problemas de Engenharia O conhecimento e o entendimento são pré-requisitos para a implementação efetiva de qualquer ferramenta. Não importa quão incrível seja sua caixa de ferramentas, você terá dificuldades para consertar um carro se não entender como ele funciona. Isso é particularmente verdade quando se usam computadores para resolver problemas de engenharia. Embora tenham uma utilidade potencial imensa, os computadores são praticamente inúteis sem um entendimento fundamental de como os sistemas da engenharia funcionam. Esse conhecimento é adquirido inicialmente de forma empírica — isto é, por observação e experiência. Entretanto, embora tal informação adquirida empiricamente seja essencial, ela é apenas metade da história. Durante anos e anos de observação e experiência, os engenheiros e cientistas notaram que certos aspectos dos seus estudos empíricos ocorrem repetidamente. Tal comportamento geral pode então ser expresso como leis fundamentais que essencialmente representam o conhecimento acumulado da experiência passada. Portanto, a resolução da maioria dos problemas de engenharia usa uma abordagem com as duas vertentes, a do empirismo e a da análise teórica (Figura 1.1). Deve ser enfatizado que as duas vertentes são intimamente ligadas. Conforme novas medidas são feitas, as generalizações podem ser modificadas, ou novas generalizações desenvolvidas. Analogamente, as generalizações podem ter uma forte influência nas experiências e observações. Em particular, as generalizações podem servir como princípios organizatórios empregados para resumir resultados de observações e experiências em uma estrutura coerente e abrangente, a partir das quais são tiradas conclusões. Da perspectiva de resolução de problemas de engenharia, tal estrutura é mais útil quando expressa na forma de um modelo matemático. O objetivo primário deste capítulo é introduzi-lo à modelagem matemática e ao seu papel na resolução de problemas de engenharia. Vamos também ilustrar como os métodos numéricos figuram no processo.. 1.1. UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES Um modelo matemático pode ser definido, de forma geral, como uma formulação ou equação que expressa as características essenciais de um sistema ou processo físico em termos matemáticos. Em um sentido muito geral, ele pode ser representado como uma relação funcional da forma Variável = f dependente. . Variáveis termos , parâmetros, independentes forçantes. (1.1). onde a variável dependente é uma característica que usualmente reflete o comportamento ou estado do sistema; as variáveis independentes usualmente são dimensões, como tempo e espaço, ao longo das quais o comportamento do sistema está sendo determinado; os parâmetros refletem propriedades ou composição do sistema; os termos forçantes são as influências externas agindo sobre o sistema. 9.

(27) 10. MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA. Definição do problema. Modelo matemático. TEORIA. DADOS. Ferramentas para a resolução de problemas: computadores, estatística, métodos numéricos, gráficos etc.. Resultados numéricos ou gráficos Interface social: planejamento, otimização, comunicação, interação com o público etc.. FIGURA 1.1 O processo de resolver problemas de engenharia.. Implementação. A expressão matemática real da Equação (1.1) pode variar de uma simples relação algébrica a um conjunto grande e complicado de equações diferenciais. Por exemplo, com base em suas observações, Newton formulou sua segunda lei do movimento, que afirma que a taxa de variação no tempo do momento de um corpo é igual à força resultante agindo nele. A expressão matemática, ou modelo, da segunda lei é a equação bem conhecida F = ma. (1.2). onde F é a força resultante agindo no corpo (N, ou kg m/s2), m massa do objeto (kg) e a é a sua aceleração (m/s2). A segunda lei pode ser reescrita na forma da Equação (1.1) simplesmente dividindo ambos os lados por m para obter a=. F m. (1.3). onde a é a a variável dependente refletindo o comportamento do sistema, F é o termo forçante e m é um parâmetro representando uma propriedade do sistema. Observe que, para esse caso simples, não há nenhuma variável independente, porque não estamos prevendo como a aceleração varia no tempo ou no espaço. A Equação (1.3) tem diversas características que são típicas de modelos matemáticos do mundo físico: 1. 2.. Ela descreve um processo ou sistema natural em termos matemáticos. Ela representa uma idealização e simplificação da realidade. Isto é, o modelo ignora detalhes desprezíveis do processo natural e se concentra nas suas manifestações essenciais. Portanto, a segunda lei não inclui os efeitos da relatividade, que são de importância mínima quando aplicados a objetos e forças que interagem sobre a ou perto da superfície da Terra, com velocidades e em escalas visíveis aos humanos..

(28) 1.1 UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES FU. FD. FIGURA 1.2 Diagrama esquemático das forças agindo em um páraquedista em queda livre. FD é a força devida à gravidade, para baixo. FU é a força devida à resistência do ar, para cima.. 3.. 11. Finalmente, ela produz resultados que podem ser reproduzidos e, conseqüentemente, ser usados para propósitos de previsão. Por exemplo, se a força sobre um objeto e a massa de um objeto são conhecidas, a Equação (1.3) pode ser usada para calcular a aceleração.. Por causa de sua forma algébrica simples, a solução da Equação (1.2) é facilmente obtida. Entretanto, outros modelos matemáticos de fenômenos físicos podem ser muito mais complexos e, ou não podem ser resolvidos exatamente, ou exigem técnicas matemáticas mais sofisticadas que a álgebra simples para sua solução. Para ilustrar um modelo mais complexo deste tipo, a segunda lei de Newton pode ser usada para determinar a velocidade terminal de um corpo em queda livre, perto da superfície da Terra. Nosso corpo em queda livre será um pára-quedista (Figura 1.2). Um modelo para esse caso pode ser deduzido expressando a aceleração como taxa de variação no tempo da velocidade (dv/dt) e substituindo-a na Equação (1.3) para obter dv F = (1.4) dt m onde v é a velocidade (m/s) e t é o tempo (s). Portanto, a massa multiplicada pela taxa de variação da velocidade é igual à força resultante agindo no corpo. Se a força resultante for positiva, o objeto irá acelerar. Se for negativa, o objeto vai desacelerar. Se a força resultante for nula, a velocidade do objeto permanecerá em um nível constante. A seguir, vamos expressar a força resultante em termos das variáveis e parâmetros mensuráveis. Para um corpo em queda livre na vizinhança da Terra (Figura 1.2), a força resultante é composta de duas forças opostas: a força gravitacional, para baixo, FD e a força da resistência do ar, para cima, FU : F = FD + FU. (1.5). Se associarmos um sinal positivo à força para baixo, a segunda lei pode ser usada para escrever a força devida à gravidade como FD = mg. (1.6). onde g é a constante gravitacional, ou a aceleração devida à gravidade, que é aproximadamente igual a 9,8 m/s2. A resistência do ar pode ser formulada de diversas maneiras. Uma abordagem simples é assumir que ela é linearmente proporcional à velocidade1 e age no sentido para cima, como em FU = −cv. (1.7). onde c é uma constante de proporcionalidade chamada de coeficiente de arrasto (kg/s). Portanto, quanto maior a velocidade de queda, maior a força para cima devida à resistência do ar. O parâmetro c representa as propriedades de objetos em queda livre, como a forma ou a aspereza da superfície, que afetam a resistência do ar. No caso presente, c poderia ser uma função do tipo de macacão ou da orientação usada pelo pára-quedista durante a queda livre. A força resultante é a diferença entre a força para baixo e a força para cima. Portanto, as Equações (1.4) até (1.7) podem ser combinadas para fornecer dv mg − cv = dt m. (1.8). ou, simplificando o lado direito, dv c =g− v dt m. 1. (1.9). Na realidade, a relação é realmente não-linear e poderia ser mais bem representada por uma relação do tipo potência, como FU cv2. Vamos explorar como tais não-linearidades afetam o modelo em um problema no final deste capítulo..