1

(1)

B

I

O

G

E

O

M

A

T

Q

U

Í

L

P

O

F

I

L

H

I

S

O

C

F

í

s

i

c

a

22

1

222

222 R

R

E

S

Capítulo 1 ...92 Capítulo 1 ...92 Módulo Módulo 1 ...101 ...1033 Módulo Módulo 2 ...12 ...10606 Módulo Módulo 3 ...13 ...10909 Módulo Módulo 4 ...4 ...111212 Capítulo 2 ... Capítulo 2 ...111616 Módulo Módulo 5 ...125 ...1244 Módulo Módulo 6 ...16 ...12828

(2)

(3)

I I R R Y Y N N A A R R A A S S K K O O / / D D R R E E A A M M S S T T I I M M E E . . C C O O M M 1.

1.Grandezas físicas: escalar e vetorialGrandezas físicas: escalar e vetorial 9494 2.

2.Operações com vetoresOperações com vetores 9696 3.

3.Decomposição vetorialDecomposição vetorial 9999 4.

4.Produto de um número real por umProduto de um número real por um vetor

vetor 100100

5.

5.Subtração vetorialSubtração vetorial 100100 6.

6.Organizador gráficoOrganizador gráfico 101022 Módulo 1

Módulo 1 – Grandezas físicas: escalar e – Grandezas físicas: escalar e vetorial

vetorial 103103

Módulo 2

Módulo 2 – Adição vetorial: regra do polí- – Adição vetorial: regra do polí-gono

gono 106106

Módulo 3

Módulo 3 – Adição vetorial: regra do para- – Adição vetorial: regra do para-lelogramo

lelogramo 109109

Módulo 4

Módulo 4 – Decomposição e diferença – Decomposição e diferença vetoriais

vetoriais 111122

•

• Reconhecer e discrimReconhecer e discriminar grandezasinar grandezas escalares e vetoriais.

escalares e vetoriais. •

• Efetuar operações que envEfetuar operações que envolvam gran-olvam gran-dezas escalares e vetoriais.

dezas escalares e vetoriais.

Efeito do vento sobre o voo Efeito do vento sobre o voo

O vento nada mais é que o deslocamento de ar de uma região de alta O vento nada mais é que o deslocamento de ar de uma região de alta pres- pres-são para uma de

são para uma de baixa pressão, por isso uma aeronave, ao se baixa pressão, por isso uma aeronave, ao se deslocar nessadeslocar nessa massa de ar, sofre os efeitos desse deslocamento.

massa de ar, sofre os efeitos desse deslocamento. Tipos de vento:

Tipos de vento:

1. neutro:

1. neutro: o piloto não precisa corrigir o curso do avião. Vento calmo (até o piloto não precisa corrigir o curso do avião. Vento calmo (até 11 km/h); 11 km/h); Menor consumo Menor consumo de combustível de combustível Maior consumo Maior consumo de combustível de combustível Proa = rota Proa = rota Sem vento Sem vento Proa Proa Deriva Deriva Com vento Com vento Vento Vento 2. favorável:

2. favorável:quando o vento sopra de cauda (de trás para frente), aumen-quando o vento sopra de cauda (de trás para frente), aumen-tando a velocidade do avião, podendo ou não

tando a velocidade do avião, podendo ou não causar afastamento lateral;causar afastamento lateral;

3. desfavorável:

3. desfavorável: quando o vento sopra na frente doquando o vento sopra na frente do avião (de proa), diminuindo a velocidade, podendo ou avião (de proa), diminuindo a velocidade, podendo ou não causar afastamento lateral;

não causar afastamento lateral;

4. indiferente:

4. indiferente: quando o vento sopra exatamente de lado quando o vento sopra exatamente de lado (través), sem necessariamente afetar a velocidade, (través), sem necessariamente afetar a velocidade, mas causando um pequeno ou um grande afastamento mas causando um pequeno ou um grande afastamento lateral.

(4)

9

3

O estudo de vetores é de extrema importância em diversas

áreas da ciência como na aviação, engenharia, fisioterapia,

odontologia, etc. Em geral, sempre que precisamos conhecer a

direção e o sentido de uma grandeza

direção e o sentido de uma grandeza podemos usar a represen-

podemos usar a

represen-tação vetorial para facilitar o entendimento e a resolução dos

tação vetorial para facilitar o entendimento e a resolução dos

problemas.

Vetores

₁

Desfavorável Desfavorável vv_avião_avião vv_resultante_resultante vv_resultante_resultante = 200 km/h = 200 km/h Tempo de viagem = 1 h Tempo de viagem = 1 h vv_vento_vento Favorável Favorável vv_avião_avião vv_resultante_resultante vv_resultante_resultante = 600 km/h = 600 km/h Tempo de viagem = 20 min Tempo de viagem = 20 min

vv_vento_vento Indiferente Indiferente vv_avião_avião vv_resultante_resultante vv_resultante_resultante = 346 km/h = 346 km/h Tempo de viagem

Tempo de viagem≈≈ 35 min 35 min

vv_vento_vento

A presença dos ventos durante um voo pode

favore-cer “empurrando” a aeronave, mas também pode

cer “empurrando” a aeronave, mas também pode

preju-dicá-la, caso eles estejam em sentido contrário. Nesse

dicá-la, caso eles estejam em sentido contrário. Nesse

caso, o piloto deverá aumentar a velocidade e, assim, a

aeronave irá consumir mais

aeronave irá consumir mais combustível.combustível.

Uma maneira simples e eficiente de calcular a

in-fluência do vento no voo é por meio da utilização de um

fluência do vento no voo é por meio da utilização de um

diagrama vetorial

diagrama vetorial..

Considerando uma viagem de 200 km, um

Considerando uma viagem de 200 km, um avião comavião com

velocidade de 400 km/h e um

(5)

1 2 2 1 F í s i c a 9 4 C i ê n c i a s d a N a t u r e z a e s u a s T e c n o l o g i a s E M I - 1 5 - 1 0

1. Grandezas físicas:

escalar e vetorial

A Física é a ciência que se propõe a descrever e com-preender os fenômenos físicos que ocorrem na natureza des-de o macro (Universo) até o micro (átomo).

A explicação dos fenômenos normalmente envolve medi-das de tempo, distância, massa, velocidade e muitas outras.

O ato de medir consiste em comparar com um determi-nado padrão, o que se deseja medir. Por exemplo, a medida do comprimento de um lápis pode ser obtida comparando-o a uma régua, que, por sua vez, foi comparada a uma barra--padrão. Um dos padrões internacionais, cujo comprimento é 1 m (um metro), encontra-se no Departamento Internacional de Pesos e Medidas, na França. No Brasil, o responsável por manter e conservar os padrões das unidades de medida é o Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia).

Toda vez que realizamos uma medida, esta deve vir acompanhada de uma unidade de medida. Sem ela, a medida efetuada não proporciona a ideia da magnitude da grandeza. Por exemplo, se a massa da Terra é fornecida apenas com o valor numérico de, aproximadamente, 6,0 · 1024_{, não}

con-seguimos entender a magnitude dessa medida. Ela está em gramas, kilogramas ou em toneladas?

T E N Y O M A R C H E V / D R E A M S T I M E . C O M

A massa aproximada da Terra é de 6,0 ·1024_kg.

Entretanto, se a medida da massa da Terra for fornecida como sendo 6,0 · 1024_{kg, teremos a noção da magnitude}

dessa medida. Podemos dizer que, para entender a dimensão de uma medida, ela deve vir acompanhada da sua unidade de medida. A isso denominamosgrandeza física.

As grandezas físicas estão divididas em dois grupos: as

escalares e as vetoriais. A. Grandeza escalar

Algumas grandezas físicas são perfeitamente caracteri-zadas apenas quando conhecemos a medida mais a unidade de medida. Por exemplo, quando recebemos a informação de que a duração de determinada viagem é de 2 horas e 45 mi-nutos, temos uma grandeza escalar (intervalo de tempo), ou seja, apenas a medida mais a unidade nos proporcionam a ideia da grandeza.

Podemos citar como exemplos de grandezas escalares o comprimento, o volume, a área, a massa, o tempo, a tempe-ratura, a densidade, a pressão, entre outros. No decorrer do estudo da Física, utilizaremos algumas grandezas escalares.

B. Grandeza vetorial

Algumas grandezas físicas não ficam perfeitamente caracterizadas conhecendo-se apenas a medida e a sua respectiva unidade. Por exemplo, consideremos uma caixa apoiada numa superfície plana, horizontal e muito lisa, con-forme mostra a figura.

Vamos empurrar essa caixa com uma força cujo valor nu-mérico é 20 N (N = newton: unidade de medida de força no Sistema Internacional de Unidades). O que acontecerá com a caixa: ela vai se movimentar ou não? Se ela se movimentar, para onde será o movimento?

Para entendermos o que vai ocorrer, necessitamos co-nhecer, além do valor numérico e da unidade da força, tam-bém adireção e osentido de aplicação dessa força.

Suponhamos que a força seja aplicada na caixa, na dire-ção horizontal e para a direita, conforme mostra a figura.

F = 20 N

Com essas informações, e sabendo que apenas a força é suficiente para colocar a caixa em movimento, chegamos à conclusão de que ela se movimentará para a direita.

Em contrapartida, aplicando-se o mesmo valor de força na vertical para baixo, perceberemos que ela não se moverá.

F = 20 N

Temos aqui um exemplo de grandeza vetorial (força): umagrandeza é dita vetorial quando, para caracterizá-la per-feitamente, torna-se necessário conhecer o valor da sua me-dida, aunidade, adireção e osentido.

A tabela seguinte apresenta alguns exemplos de gran-dezas físicas escalares e vetoriais, que serão estudados ao longo do curso de Física.

Grandeza física Escalar Vetorial

Deslocamento x Velocidade x Aceleração x Densidade x Força x Massa x Energia x Distância x Área x Volume x Quantidade de movimento x

(6)

Assista ao vídeo sobre grandezas físicas.

Acesse: <http://177.71.183.29/acessa_fisica/ index.php/acessafisica/Midias/Audiovisual/ Os-Curiosos-Grandezas>.

C. Vetores

As grandezas vetoriais são representadas pelos vetores. Um vetor é um segmento de reta que apresenta uma orienta-ção (seta), conforme mostra a figura.

Sentido

Módulo Direção

Origem do vetor Extremidade do vetor



F

F

Intensidade: valor do vetor (m dulo) mais a unidade (F ou

ó || |)

da reta suporte do vetor da seta do F  Dire o: Sentido: çã vetor     

No exemplo da caixa empurrada por uma força de 20 N, temos:  F F F   Intensidade: Dire o: | | = 20 N ou F = 20 N çã horizontal

SSentido: da esquerda para a direita ou, simplesmente, para a direita      C.1. Vetores iguais

Dois ou mais vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Eles devem ser representados por segmentos de reta de mesmo comprimento, paralelos entre si e apontando para o mesmo lado, conforme figura.

 F₁  F₂ F F  

1= 2 (mesmo módulo, mesma direção e mesmo

sentido)

F1 = F2 (mesmo módulo)

C.2. Vetores opostos

Dois vetores são considerados opostos quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção, mas sentidos contrários. Eles devem ser representados por segmentos de reta de mesmo comprimento, paralelos entre si e apontando para lados opostos.

 F 3  F 4 F F   3≠ 4 (vetores distintos) F₃ = F₄ (módulos iguais) F F  

3= − 4 (mesmo módulo, mesma direção e sentidos

contrários). O sinal de subtração não significa que F



4 é

negati-vo, mas que ele tem sentido contrário ao de F



3.

C.3. Vetores ortogonais

Dois vetores são classificados como ortogonais quando podem formar entre si um ângulo de 90°. Nesse caso, os veto-res serão perpendiculaveto-res entre si.

 F 5  F 6 F F   5≠ 6 (vetores distintos)

Os módulos de F₅ e F₆ podem ser iguais ou diferentes.

01.

Na figura a seguir, encontra-se representada uma força que atua em um corpo apoiado em uma superfície plana e horizontal. O lado de cada quadriculado corresponde à for-ça de intensidade 1 N. Caracterize a intensidade, a direção e o sentido dessa força.

Resolução F F   Intensidade: Dire o: Se F = 6 N ou | | = 6 N horizontal çã

nntido: da direita para a esquerda ou, simplesmente, para a esquerda     

APRENDER SEMPRE

16

(7)

Física, Biologia e etimologia

L U C I A N O O L I V E I R A

A dengue é uma doença infecciosa causada pelo

flavi viru s, ou seja, vírus da família Flaviviridae, dos

quais se conhecem quatro sorotipos: DENV-1, DENV-2, DENV-3 e DENV-4. Esses vírus são transmitidos por meio da picada de mosquitos e, por isso, são também conhe-cidos como arbovírus.

No Brasil, o principal vetor da dengue é a fêmea do mosquito Aedes aegypti. No entanto, ensaios em

labora-tório mostraram que mosquitos Aedes albopticus, espécie

comum nos Estados Unidos da América e no sudeste asiá-tico, mostraram-se capazes de transmitir o vírus no Brasil. O termo vetor, usado comumente na Biologia, é tam-bém usado na Física. Afinal, qual a relação entre um mos-quito e o conceito de vetor na Física?

Etimologicamente, a palavra vetor vem do latim

vector , que pode significar "aquele que carrega". Como o

mosquito “carrega” o vírus, ele é um vetor. Na Física, vetor

é um segmento de reta orientado que “carrega” informa-ções sobre grandezas físicas vetoriais: o valor numérico, ou intensidade, a direção e o sentido.

Disponível em: <https://www.agencia.fiocruz.br/dengue-0>. Acesso em: 25 abr. 2014. Adaptado.

2. Operações com vetores

As operações com grandezas escalares são as básicas, aquelas com as quais estamos acostumados na Matemáti-ca. Por exemplo, um casal resolve medir as suas respectivas massas e, para isso, procuram uma farmácia que possui uma balança. O homem sobe na balança e observa a leitura de 65 kg, e a mulher sobe na balança e observa a leitura de 53 kg. Se eles subirem simultaneamente na balança, qual será a lei-tura das suas massas?

Considerando a balança devidamente calibrada, a leitura será de 65 + 53 = 118 kg. Para obtermos o valor de 118 kg, realizamos uma simples operação de adição.

Para estudarmos asgrandezas vetoriais, precisamos co-nhecer outras formas de se realizarem as operações matemá-ticas. Nesse caso, devemos observar a intensidade, a direção e o sentido de cada grandeza. Por exemplo, um bloco, apoiado numa mesa plana e horizontal, é puxado por duas forças ho-rizontais, paralelas ao plano, que formam entre si um ângulo de 90°, conforme mostra a figura seguinte.

F

1 = 6 N

F

2 = 8 N

Qual é o valor da força que representa a ação simultânea dessas duas forças, ou seja, qual é o valor da adição vetorial dessas duas forças?

Para efetuar a adição de duas grandezas vetoriais, pode-mos utilizar aregra do polígono ou ado paralelogramo. Veja-mos cada uma delas.

A. Adição vetorial: regra do polígono

O objetivo é obter uma única força, que produzirá o mesmo efeito das duas forças aplicadas simultaneamente. Essa força única é denominada vetor soma,força resultante

(FR



) ou resultante das forças. A figura seguinte ilustra o procedimento.  F₁  F₂  F_R

A resultante das forças aplicadas no corpo é dada pela soma vetorial das forças F

 1 e F  2, ou seja: F  R = F  1 + F  2

Normalmente, a intensidade da força resultante é dife-rente da soma das intensidades das duas forças aplicadas

F F F F

   

1+ ≠ 2 1 + 2 . Neste caso em particular, como as forças

são perpendiculares entre si, a intensidade da força resultan-te aplicada no corpo pode ser encontrada usando-se o resultan- teore-ma de Pitágoras. F F F FR N 2 12 22 62 82 36 64 100 10 = + = + = + = =  F_R Observe que: F  R = F  1 + F 

2→ indica que o vetor resultante das forças

é obtido pela soma vetorial das duas forças aplicadas no cor-po. Ele é o único vetor que faz o mesmo efeito que os demais vetores juntos;

F_R2 F F

12 22

= + → indica que a intensidade da resultante das

forças foi encontrada aplicando-se o Teorema de Pitágoras.

Observações

• Quando os dois vetores possuem a mesma direção e o mesmo sentido, o módulo do vetor soma é igual à soma dos módulos desses dois vetores.

(8)

• Se as direções dos vetores forem perpendiculares entre si, o módulo do vetor soma poderá ser obtido usando-se o Teorema de Pitágoras. Isso é válido para qualquer grandeza física (velocidade, deslocamento, aceleração etc.). Generalizando, podemos escrever:

 a  b  c a2_{= b}2_{+ c}2

• Se os vetores forem de mesma direção e de sentidos opostos, então o módulo do vetor soma será encontra-do fazenencontra-do-se o módulo da diferença entre os módu-los dos dois vetores.

A regra do polígono pode ser aplicada para qualquer que seja o número de vetores. Para isso, devemos efetuar a liga-ção desses vetores, arrastando-os, sem alterar o seu módulo, a sua direção e o seu sentido, de maneira que a extremidade de um deles fique ligada à origem do seguinte. O vetor soma será aquele que liga a origem do primeiro à extremidade do úl-timo. Para um conjunto de vetores, o vetor soma será sempre o mesmo, independentemente da ordem da ligação dos vetores. Dados os vetores a seguir, encontraremos, graficamente, o vetor soma:  F1  F2  F3

Sem mudar o módulo, a direção e o sentido, ligamos os vetores de forma que a extremidade de um fique ligada à ori-gem do outro.  F1  F2  F3  FR  FR  F1  F2  F3

Para direções diferentes das citadas, o módulo do vetor soma poderá ser encontrado caso os vetores sejam forneci-dos num quadriculado.

Como exemplo vamos considerar que, no quadriculado mostrado na figura seguinte, temos três forças, F

 1, F  2e F  3,

aplicadas num mesmo corpo. Podemos substituí-las por um

único vetor, denominadoforça resultante (FR



), que é a resul-tante das forças:

F  R = F  1 + F  2 + F  3

Estando as forças ligadas pela regra do polígono, o vetor soma é aquele que liga a origem do primeiro vetor à extremi-dade do último.  F1  F₂  F3  F_R

Cada lado do quadriculado corresponde a 1 N.

Para encontrar a intensidade da resultante das forças aplicadas no corpo, devemos contar os quadriculados da resultante na horizontal (8 quadriculados) e na vertical (6 quadriculados) e, a seguir, aplicamos o Teorema de Pitágoras:

F_R2_{= 8}2_{+ 6}2→ _F

R2 = 64 + 36→ FR = 100

FR = 10 N

01.

Uma pista de passeio compreende dois trechos pla-nos, horizontais e que formam entre si um ângulo de 90°. Uma pessoa realiza um deslocamento retilíneo de 80 m no primeiro trecho e, a seguir, faz, no segundo trecho, um deslocamento retilíneo de 60 m. Calcule a distância total percorrida pela pessoa e o módulo deslocamento vetorial por ela realizado.

Resolução

Como a distância percorrida é uma grandeza escalar, a distância total percorrida (d) é a soma das distâncias d₁ e d2. Assim, temos:

d = d1 + d2 → d = 80 + 60 → d = 140 m

E, como o deslocamento é uma grandeza vetorial, o módulo é dado por d2_{= d}2

1 + d22, pois os dois deslocamentos

são perpendiculares entre si. Portanto:

d2_{= 80}2_{+ 60}2→_d2_{= 6 400 + 3 600 = 10 000}→_{d = 100 m}

Do ponto de partida ao ponto de parada, a pessoa ca-minhou 140 m (distância percorrida). Se ela fosse em linha reta do ponto de partida ao ponto de parada, percorreria 100 m (deslocamento).

(9)

1 2 2 1 F í s i c a 9 8 C i ê n c i a s d a N a t u r e z a e s u a s T e c n o l o g i a s E M I - 1 5 - 1 0 B. Adição vetorial: regra do paralelogramo

Dois vetores podem ser somados tanto pela regra do po-lígono quanto pela regra do paralelogramo. O vetor final será o mesmo, qualquer que seja a regra adotada.

A regra do paralelogramo vale para dois vetores. Ela per-mite o cálculo do módulo do vetor soma para qualquer que seja o ângulo conhecido entre os dois vetores.

Dados os vetores F



1 e F



2 a seguir, cujas origens são

coin-cidentes, tiramos da extremidade de F

 1 uma paralela a F  2 e da extremidade de F  2 uma paralela a F  1.  F₁  F₂  F₁  F₂

O vetor soma é obtido da seguinte forma: sua origem coincide com a origem dos dois vetores somados, e sua ex-tremidade coincide com o encontro das pontilhadas.

 F₁  F₂  F_R θ

θ →_{ângulo formado entre as origens dos vetores}

O módulo do vetor soma pode ser encontrado a partir da lei dos cossenos.

F_R2 F F F F

12 22 2 1 2

= + + ⋅ ⋅ ⋅_cosθ

Física e Matemática

Após estudarem a lei dos cossenos na disciplina de Matemática, alguns alunos podem achar estranho o sinal positivo na equação anterior. De fato, ela é muito parecida com a lei dos cossenos, mas o ângulo usado nesse caso é diferente. Isso ocorre porque a lei dos cossenos é definida para triângulos; posicionando os vetores de modo a formar um triângulo, temos:  F₁  F₂  F_R α FR2= + − ⋅ ⋅ ⋅F12 F22 2F F1 2 cosα (1)

Lei dos cossenos

Ao usarmos a regra do paralelogramo, temos o ângulo θ,

e não o ânguloα.  F₁  F₂ α θ

Pela trigonometria, temos que cosα = – cosθ (2). Substituindo 2 em 1: F_R2 F F F F 12 22 2 1 2 = + − ⋅ ⋅ ⋅ −

₍

_cosθ

₎

ou F_R2 F F F F 12 22 2 1 2 = + + ⋅ ⋅ ⋅_cosθ

Equação da força resultante usada na regra do parale-logramo.

Casos particulares da regra do paralelogramo

A maioria das situações da adição de dois vetores pode ser simplificada por meio dos casos particulares da regra do paralelogramo:

• θ = 0º (os vetores possuem a mesma direção e o mes-mo sentido): o módulo do vetor soma é igual à soma dos módulos dos dois vetores, F

 1 e F  2:  F₁  F₂  F_R F  R = F  1 + F  2 F  R = F1 + F2

• θ = 90º (os vetores são perpendiculares entre si): o módulo do vetor soma é obtido pelo Teorema de Pitágoras com os módulos dos dois vetores, F

 1 e F  2:  F₁  F₂  F_R _F _F _F F F F R R    = + = +1 2 2 12 22

• θ = 180º (os vetores possuem a mesma direção e sen-tidos contrários): o módulo do vetor soma é igual ao módulo da diferença dos módulos dos dois vetores,

F  1 e F  2:  F₁  F₂  F_R F F F F F F R R    = + = − 1 2 1 2

Nesse caso, a direção e o sentido do vetor soma coinci-dem com a direção e o sentido do vetor de maior módulo ( F



1).

C. Somas máxima e mínima

Considerando dois vetores de módulos conhecidos e va-riando-se o ângulo entre as suas origens comuns, o módulo

(10)

do vetor soma varia. O máximo módulo do vetor soma ocorre para o ângulo de 0°, e o mínimo módulo do vetor soma ocorre para o ângulo de 180°. Paraθ_{= 0°:}  F₁  F₂  F_R FR máx = F1 + F2 Paraθ_{= 180°:}  F₁  F₂  F_R F_{R mín.} = F₁ – F₂

Portanto, podemos dizer que o módulo do vetor soma (F_R) de dois outros vetores estará sempre compreendido entre os módulos das somas mínima (FR mín.) e máxima (FR máx.).

FR mín.≤ FR≤ FR máx.

|F1 – F2|≤ FR≤F1 + F2

01.

Uma partícula sofre dois deslocamentos retilíneos e sucessivos, cujas intensidades são d1 = 12 m e d2 = 5 m.

Calcule:

a. a intensidade do deslocamento vetorial resultante da partícula para os ângulos formados entre os ve-tores d e d

 

1 2 de 0°, 90° e 180°;

b. o intervalo das possíveis intensidades do desloca-mento vetorial resultante caso o ângulo entre os vetores d ed 

1 2 seja desconhecido.

Resolução

a. Para um ângulo de 0º, os deslocamentos possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Nesse caso, temos:

d = d1 + d2 → d = 12 + 5→ d = 17 cm

Para um ângulo de 90º, os deslocamentos são perpendiculares entre si. Assim:

d2_{= d}2

1 + d22→ d² = 122 + 52→ d² = 144 + 25→

d = 169→ d = 13 m

E para um ângulo de 180º, os deslocamentos pos-suem a mesma direção e sentidos contrários. Nesse caso, temos:

d = d1 – d2→ d = 12 – 5→ d = 7 cm

b. Quando desconhecemos o ângulo formado entre os vetores, dizemos, então, que o módulo do vetor soma estará compreendido entre a diferença e a soma dos módulos dos vetores:

d1 – d2≤ d≤ d1 + d2

12 – 5≤ d≤ 12 + 5 7 m≤_d≤_{17 m}

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18

3. Decomposição vetorial

Sabemos que a soma de dois vetores perpendiculares en-tre si resulta num vetor soma, como mostra a figura a seguir.

 F₁  F₂  F_R

Com base nessa figura, podemos fazer o processo inver-so ao da adição de dois vetores perpendiculares entre si, ou seja, dado um vetor, podemos decompô-lo em dois outros ve-tores perpendiculares entre si. Esse processo é denominado

decomposição vetorial.

y

x F_R

Veja os passos a seguir.

Vamos traçar uma paralela ao eixo y e outra ao eixo x , ambas partindo da extremidade do vetor força resultante. Os vetores que compõem o vetor soma são aqueles que ligam a origem aos pontos de intersecção das linhas tracejadas com os eixos x ey. y x θ F_R F_x F_y

Para encontrarmos os módulos dos vetores Fx e Fy,

usa-mos as relações trigonométricas no triângulo retângulo:

cosθ cosθ cosθ

θ = → = → = ⋅ = catetoadjacente hipotenusa F F F F sen ca X R X R ttetooposto hipotenusa sen F F F F sen Y R Y R → θ = → = ⋅ θ

(11)

1 2 2 1 F í s i c a 1 0 0 C i ê n c i a s d a N a t u r e z a e s u a s T e c n o l o g i a s E M I - 1 5 - 1 0 01.

O módulo do vetor soma de dois ou mais vetores pode ser encontrado efetuando-se a soma das componentes nos eixos x e y e, a seguir, aplicando-se o Teorema de Pi-tágoras nesses componentes. Sabendo que os vetores representados a seguir estão num mesmo plano do papel, obtenha o módulo do vetor soma pelo método da soma das componentes. Cada quadrícula corresponde a 1 m.

 a  b  c Resolução

No eixo horizontal (x), temos:

sx = ax+ bx + cx→ sx = 4 + 4 – 2→ sx = 6 m

E, no eixo vertical (y), temos:

sy = ay+ by – cy→ sy = 5 + 6 – 3→ sy = 8 m

Portanto, o módulo do vetor soma vale: s2_{= s} _s x y 2+ 2 →_s2_{= 6}2_{+ 8}2→_s2_{= 36 + 64}→ s = 100 → s = 10 m

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19

4. Produto de um número

real por um vetor

Uma grandeza vetorial pode ser multiplicada por um nú-mero real. O resultado desse produto será uma grandeza veto-rial. O vetor resultante dessa multiplicação poderá ter alterado o seu módulo e o seu sentido em relação ao vetor original, po-rém a direção será sempre a mesma.

Vejamos um exemplo. Dado um vetor deslocamento d



, vamos multiplicá-lo por um número real. Se esse número for positivo e diferente de 1, haverá alteração no módulo do vetor; se o número for negativo, poderá alterar o módulo e alterará o sentido do vetor, conforme mostram as figuras seguintes:

 d  –2 d  2 d O vetor 2d 

tem o dobro do módulo, a mesma direção e o mesmo sentido do vetor d



. Já o vetor –2 d



tem o dobro do mó-dulo, a mesma direção e o sentido oposto ao do vetor d



.

5. Subtração vetorial

Dados dois vetores, poderíamos desenvolver uma nova álgebra vetorial para o cálculo da diferença vetorial; porém, para facilitar, podemos obter a diferença vetorial a partir da soma dos dois vetores.

Dados dois vetores, F1 e F2, o vetor soma é dado por:

 F₁  F₂  F_R θ F_R2 F F F F c 12 22 2 1 2 = + + ⋅ ⋅ ⋅ _osθ

O vetor diferença entre os vetores F



1 e F



2 pode ser

encon-trado da seguinte forma: D F F D F F

     

= − → = + −₁ ₂ ₁

_{( )}

₂

Ou seja, a subtração entre F



1e F



2 pode ser entendida

como a adição de F



1 com o vetor oposto a F

 2, conforme mos-tra a figura.  F₁  F₂  D θ α

O módulo do vetor diferença é dado por: D2 F F F F

12 22 2 1 2

= + + ⋅ ⋅ ⋅_cosα α₊θ_{= 180°}→ α_{= 180° –}θ

Os ângulos α _e θ_{são suplementares; portanto, sendo}

dadoθ, podemos encontrar α, e o módulo do vetor diferen-ça poderá ser encontrado da mesma forma que o módulo da soma, bastando trocar o ângulo entre as origens. Devemos estar atentos ao fato de que F

 1 – F  2 é diferente de F  2 – F  1. Física e Matemática

Outro modo de subtrair os dois vetores, F



1 – F



2, é

co-locar ambos na mesma origem, e o vetor diferença terá ori-gem no vetor que possui o sinal negativo e fim no vetor com o sinal positivo:  F₁  F₁ –  F₂  F₂ θ

Usando a lei dos cossenos, temos: (F₁ – F₂)2_{= F}

(12)

1 2 2 1 F í s i c a 1 0 1 C i ê n c i a s d a N a t u r e z a e s u a s T e c n o l o g i a s E M I - 1 5 - 1 0

A Física na História

O estudo das Ciências Naturais remonta ao início da civilização e foi-se aperfeiçoando no decorrer do tempo. No começo, era disperso e com base apenas em observações superficiais e fragmentadas. No século XI da nossa era, eminentes pensado-res postularam a necessidade de regras para esse entendimento. Foi a partir do século XIII, por influência do uso da Matemá-tica, da observação e da experimentação, que a exigência de métodos precisos de investigação e explicação dos fenômenos naturais conduziram ao método científico.

O método científico consiste de um conjunto de regras básicas para se desenvolver uma experiência com o objetivo de produzir, corrigir e integrar conhecimento científico.

Com base no empirismo filosófico (conhecimento fundamentado na observação da natureza e no uso da razão), grandes pensadores e cientistas desenvolveram a ciência elevando o pensamento humano a um novo patamar de abrangência. No-mes como Descartes, Bacon, Galileu, Newton, entre outros, figuram entre aqueles que desenvolveram o chamado pensamen-to reducionista-mecanicista. Nessa visão de mundo, o universo é algo lógico e previsível, bastando ao cientista utilizar “seu microscópio” para conhecê-lo e, a partir daí, fazer previsões a respeito do seu comportamento.

G E O R G I O S K O L L I D A S / D R E A M S T I M E . C O M

René Descartes, Francis Bacon, Galileu Galilei e Isaac Newton

Com o acúmulo de uma quantidade imensa de conhecimento científico, surgiu a necessidade de segmentar esse conheci-mento, criando-se, então, inúmeros campos de atuação da Ciência, como a Física, a Química, a Matemática, as Ci ências Humanas, a Biologia, entre outros. Com o passar do tempo, essa separação foi-se aprofundando.

No século XX, pensadores de todos os campos do conhecimento humano perceberam que seria necessário criar uma nova abordagem científica, pois a antiga já não era suficiente para explicar muitos fenômenos. Surgiu o pensamento sistêmico. Nessa nova abordagem, propõe-se uma nova e diferente integração dos campos da Ciência, potencializando, assim, a compreensão humana sobre a natureza.

O pensamento sistêmico não nega a racionalidade científica, apenas a engloba em um nível mais elevado, no qual a aborda-gem subjetiva das artes e o conhecimento milenar obtido pelas filosofias espiritualistas são componentes valiosos. Nessa forma de pensar, a interdisciplinaridade encontrou campo fecundo para seu desabrochar.

Apoiada em ombros de gigantes, a ciência continua a avançar. "Se vi mais longe foi por estar de pé sobre ombros de gigantes."

(13)

A figura seguinte mostra duas forças, F



1e F



2, de

inten-sidades, respectivamente, iguais a 15 N e 12 N. O ângulo for-mado entre suas origens é de 60°. Calcule a intensidade da diferença vetorial ( F  = F  1 – F 

2) e faça a representação gráfica

desse vetor.  F1  F2 60° Resolução

Vamos transformar essa diferença em uma soma de ve-tores:      F F F= − = + −₁ ₂ F₁ ₍ F₂₎  F₁  F –  F₂ 120° F2_{= F} _F 12+ 22 + 2 · F1 · F2 · cos 120° F2₌₁₅2_{+ 12}2_{+ 2 · 15 · 12 · ( –0,50)} F² = 189⇒_F≈_{13,7 N}

APRENDER SEMPRE

20

6. Organizador gráfico

Características Apenas texto Grandeza físicas Vetorial

Tema Tópico Subtópico Subtópicodestaque

F_x = F · cosα F_y = F · senα = + + × × × a 2 2 2 R 1 2 1 2 F F F 2 F F cos Direção e sentido Medida mais a unidade de medida Escalar

(14)

Módulo 1

Grandezas físicas: escalar e vetorial

Exercícios de Aplicação

02.

Do alto de um prédio em construção, inadvertidamente, um pedreiro deixa cair um tijolo e, num dado instante, a sua velocidade é de 5 m/s e a queda é vertical. Caracterize a inten-sidade, a direção e o sentido do vetor velocidade do tijolo no instante considerado.

03.

Um corpo, apoiado numa superfície plana e horizontal, re-cebe a ação de uma força que o faz escorregar pela superfície. Para entendermos o fenômeno físico descrito, é necessário conhecermos, a respeito da força:

a. apenas a medida e a unidade de medida.

b. apenas a direção.

c. apenas o sentido.

d. a medida, a unidade da medida, a direção e o sentido.

e. apenas a medida, a direção e o sentido.

01.

As alternativas abaixo contêm grandezas físicas que po-dem ser escalares ou vetoriais. Assinale a que apresenta ape-nas grandezas vetoriais.

a. Força, massa e aceleração

b. Deslocamento, força e massa

c. Força, velocidade e deslocamento

d. Deslocamento, densidade e velocidade

e. Distância, massa e densidade

Exercícios Extras

04.

Observe a figura a seguir.

N

S L O

5 m/s

O bloco nela mostrado desloca-se com velocidade de 5 m/s e, ao lado da figura, encontra-se a orientação. Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta as características corretas do vetor velocidade.

a. v = 5 m/s, na horizontal para a direita

b. v = 5 m/s, na direção leste-oeste e no sentido de oeste para leste

c. v



= 5 m/s, na direção leste-oeste e no sentido de oeste para leste

d. v



= 5 m/s, na horizontal para a direita

e. v = 5 m/s

05.

Um avião faz o trajeto entre as cidades de Brasília e Rio de Janeiro. Num trecho desse voo, não há ventos, e a velocidade do avião é constante, horizontal e de 900 km/h, na direção e sentido representados pela seta a seguir. Caracterize a in-tensidade, a direção e o sentido da velocidade desse avião, usando as coordenadas geográficas fornecidas na figura.

N

S

L

O _{900 km/h}

Resolução

Para que uma grandeza física fique perfeitamente carac-terizada, é necessário que sejam explicitados a medida, a uni-dade dessa medida, a direção e o sentido.

a. Refere-se à grandeza escalar.

b. Nenhuma grandeza é caracterizada apenas pela direção.

c. Nenhuma grandeza é caracterizada apenas pelo sentido.

e. A intensidade de um vetor necessita, além da unida-de, da medida.

Alternativa correta: D

Habilidade

Reconhecer e discriminar grandezas escalares e vetoriais.

Resolução

Das grandezas expressas nas alternativas, temos:

• escalares: massa, densidade e distância;

• vetoriais: força, aceleração, deslocamento e velocidade. Alternativa correta: C

Resolução

Intensidade: v = 5 m/s Direção: vertical Sentido: para baixo

(15)

Exercícios Propostos

Da teoria, leia o tópico 1.

Exercícios de tarefa reforço aprofundamento

06.

Assinale a alternativa que contém a grandeza escalar.

a. Deslocamento b. Velocidade c. Força d. Aceleração e. Distância 07.

Assinale a alternativa que contém a grandeza vetorial.

a. Energia b. Densidade c. Força d. Massa e. Distância 08.

Faça a representação da força F = 100 N, na horizontal e para a esquerda.

Seu espaço

Orientações ao professor

• Sobre o módulo

Este módulo visa, especificamente, estabelecer as diferenças entre as grandezas físicas escalares e vetoriais. Seleciona-mos alguns pontos que merecem destaque:

1. a necessidade da colocação da unidade ao especificarmos uma grandeza física, seja ela escalar ou vetorial;

2. a comparação entre grandezas físicas só será possível quando elas forem da mesma espécie;

(16)

São dadas duas grandezas físicas vetoriais: F = 20 N, na horizontal e para a direita; v = 20 m/s, na horizontal e para a direita. Acerca dessas duas grandezas físicas, podemos afir-mar que:

a. elas são iguais.

b. a velocidade não é grandeza vetorial.

c. não comparamos grandezas diferentes.

d. a força não é grandeza vetorial.

e. elas são iguais apenas nas suas intensidades.

10. Acafe-SC

Assinale, entre as alternativas a seguir, aquela que com-pleta corretamente a afirmativa:

“Grandezas vetoriais são aquelas que necessitam de ____________, ____________,_______ e ________ para serem perfeitamente definidas.”

a. valor numérico – desvio – unidade – direção

b. desvio – sentido – direção – módulo

c. valor numérico – unidade – direção – sentido

d. módulo – vetor – padrão – quantidade

e. padrão – valor numérico – unidade – sentido

11.

A figura a seguir mostra dois vetores, paralelos entre si, e representando duas grandezas distintas: força e velocidade.

10 m/s 10 N v  F  Responda às perguntas.

a. Essas grandezas são iguais? Justifique.

b. Esses vetores têm o mesmo módulo? Justifique.

c. Esses vetores têm a mesma direção e o mesmo sen-tido? Justifique.

12. Acafe-SC

Na natureza, a energia não pode ser criada nem destruí-da. Ela simplesmente sofre transformações de uma modali-dade para outra. Por exemplo, numa usina hidrelétrica, a água represada possui energia potencial gravitacional. Ao chegar à tubulação, essa energia é transformada em energia cinética. Ao atingir a turbina da usina, a energia cinética é convertida em energia mecânica. Depois disso, no gerador, a energia me-cânica é convertida em energia elétrica. Acerca da grandeza física energia, é correto afirmar que:

a. é uma grandeza vetorial, portanto há necessidade de se caracterizarem a intensidade, a direção e o sentido.

b. é uma grandeza escalar, portanto há necessidade de se caracterizarem apenas a medida e a unidade.

c. enquanto armazenada na represa, é uma grandeza es-calar e, ao ganhar movimento, torna-se vetorial.

d. não é grandeza física, por não precisar de unidade de medida.

e. a energia mecânica é escalar, enquanto a energia elé-trica é vetorial.

13.

São dadas duas forças: F1 = 10 N, na horizontal e para a

direita, e F₂ = 10 N, na vertical e para cima. Com relação a es-sas duas forças, podemos afirmar que:

a. elas são iguais.

b. elas têm o mesmo sentido.

c. elas têm a mesma direção.

d. elas são opostas.

e. elas possuem a mesma intensidade.

14. PUC-RJ

O vetor posição de um objeto em relação à origem do sistema de coordenadas pode ser desenhado como mostra a figura. X (m) Y (m) 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6

Calcule o módulo, em metros, desse vetor.

a. 5,0 b. 7,5 c. 10,0 d. 11,2 e. 15,0 15.

Um ponto material encontra-se na origem de um sistema cartesiano (x, y). Esse ponto material recebe a ação de uma força de intensidade 20 N no segundo quadrante, formando o ângulo de 30° com o eixo x. Faça a representação gráfica desse vetor.

16.

A figura a seguir mostra um vetor força de 200 N, repre-sentado no plano cartesiano x, y. Caracterize esse vetor força.

y

x 30°

(17)

Módulo 2

Adição vetorial: regra do polígono

Exercícios de Aplicação

01. UEPG-PR

Uma pessoa sai de sua casa para comprar pão e leite na padaria. Inicialmente, ela caminha 400 m para o leste, dobra à esquerda e caminha mais 400 m para o norte. Logo após, vira novamente à esquerda e caminha mais 100 m para o oeste, até chegar à padaria. A distância percorrida e o vetor desloca-mento da pessoa são, respectivamente, iguais a:

a. 200 m e 400 m. b. 500 m e 900 m. c. 800 m e 900 m. d. 900 m e 250 m. e. 900 m e 500 m. 02.

Uma cidade planejada tem todos os quarteirões com a for-ma geométrica de um quadrado de lado 100 m. Ufor-ma pessoa per-corre um quarteirão, dobra a esquina e perper-corre mais um quar-teirão. Calcule o deslocamento vetorial realizado pela pessoa.

04.

Uma pessoa inicia uma caminhada num trecho retilíneo de uma trilha percorrendo a distância de 30 m. A seguir, ela retorna 10 m na mesma trilha e para. Do início até o momento em que parou, a distância percorrida e a intensidade do des-locamento vetorial são, respectivamente:

a. 20 m e 40 m. b. 40 m e 20 m. c. 40 m e 40 m. d. 20 m e 20 m. e. nula e 20 m. 05.

Observe a figura a seguir:

 a  b  c

O lado de cada quadriculado mede 1 cm. Calcule o módu-lo do vetor soma desses três vetores.

03.

Um corpo recebe a ação de duas forças horizontais de in-tensidades 12 N e 5 N. O ângulo formado entre essas duas for-ças é de 90°. A intensidade da resultante dessas duas forfor-ças é:

Exercícios Extras

a. nula. b. 5 N. c. 12 N. d. 13 N. e. 19 N. Resolução Distância percorrida (x) x = 400 + 400 + 100 x = 900 m Deslocamento vetorial (d) 400 m 400 m 100 m  d d2_{= 300}2_{+ 400}2 d = 500 m Alternativa correta: E Resolução d2_{= 100}2_{+ 100}2_{= 2 · 100}2 d = 100 2 m Resolução

Para o ângulo de 90°, podemos encontrar a intensidade da resultante das forças aplicadas no corpo pelo Teorema de Pitágoras:

F_R2 F F

12 22

= + = 122_{+ 5}2_{= 144 + 25 = 169}

F_R = 13 N

a. A soma vetorial de duas forças de intensidades 12 N e 5 N nunca resulta na soma nula.

b. A soma vetorial de duas forças de intensidades 12 N e 5 N nunca resulta na soma de 5 N.

c. Para resultar em 12 N, o ângulo entre as forças deveria ser diferente de 90°.

e. A soma vetorial de duas forças de intensidades 12 N e 5 N nunca resulta na soma de 19 N.

Alternativa correta: D

Habilidade

Efetuar operações que envolvam grandezas escalares e vetoriais.

(18)

Seu espaço

Da teoria, leia os tópicos 2 e 2A.

Exercícios de tarefa reforço aprofundamento

06. UMC-SP

Um móvel percorre 40 km para o norte e, em seguida, 30 km para o leste. O deslocamento resultante do móvel foi de:

a. 70 km. b. 50 km. c. 40 km. d. 30 km. e. 10 km. 07. Unopar-PR

Um estudante anda 1 km para o leste, 1 km para o sul e, em seguida, 2 km para o oeste. A intensidade do vetor des-locamento sofrido no percurso é, em km, aproximadamente, igual a: a. 0 b. 1,0 c. 1,4 d. 3,5 e. 4,0 08.

Com relação ao exercício anterior, calcule a distância per-corrida pelo estudante.

09.

Uma partícula realiza dois deslocamentos sucessivos, d e d 

1 2, tais que:

• d



1 – 8 m, vertical para cima;

• d



2 – 6 m, horizontal para a direita.

A intensidade do vetor deslocamento dessa partícula é de:

a. 2 m. b. 6 m. c. 8 m. d. 10 m. e. 14 m. 10. UFAM

O diagrama de corpo livre de um objeto puxado por várias forças, por meio de um piso sem atrito, está representado na figura a seguir. x 3 N 2 N 2 N 4 N 5 N 5 N y

A intensidade da força resultante e o quadrante em que a força se encontra são:

a. 15 N; primeiro quadrante. b. 21 N; terceiro quadrante. c. 7 N; segundo quadrante. d. 5 N; terceiro quadrante. e. 21 N; primeiro quadrante. 11. UFSCar-SP

Num voo intercontinental, o painel eletrônico de um avião informa que a velocidade do avião, em relação ao ar, é de 900 km/h, no sentido norte. No mesmo instante, sopra um vento com intensidade de 80 km/h, para o oeste. A velocidade do avião, em relação ao solo, deve ser, em km/h, próxima de:

a. 980 b. 910 c. 903 d. 896 e. 820

Exercícios Propostos

Orientações ao professor • Sobre o módulo

Neste módulo, procuramos estabelecer as diferenças entre distância percorrida e deslocamento. Na regra do polí-gono, é importante enfatizar que o resultado é o mesmo, inde-pendentemente da ordem dos vetores e dos significados das operações: a b c

  

= + _{e a = b + c.}

Como a Dinâmica está intimamente ligada ao conceito de força e será assunto do próximo capítulo, sempre que possível, usar a grandeza força como exemplo na adição de vetores.

• Naweb

Acesse: <https://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_pt_BR.html>.

Simulação que permite manipular vetores, alterando o seu comprimento e a sua inclinação, e que apresenta a soma de todos os vetores que foram escolhidos. Há um manual de-talhado, em inglês, de como utilizar o objeto de aprendizagem no site

(19)

1 1 2 2 2 2 1 1 F F í í s s i

i c c a a

1 1 0 0 8 8 C C i i ê ê n n c c i

i a a s s

d d a a N N a a t t u u r r e e z z a a e e s s u u a a s s T T e e c c n n o o l l o o g g i

i a a s s

E E M M I I - - 1 1 5 5 - - 1 1 0 0 12. 12.

Observe a figura a seguir: Observe a figura a seguir:

8 m 8 m 8 m 8 m 2 m 2 m Ela mostra três

Ela mostra três vetores deslocamentos sucessvetores deslocamentos sucessivos reali-ivos reali-zados por uma partícula. Os ângulos entre eles são de 90°. A zados por uma partícula. Os ângulos entre eles são de 90°. A intensidade do vetor deslocamento resultante é de:

intensidade do vetor deslocamento resultante é de:

08.

08. AA BB CC    rreepprreesseenntta va veettoor nr nuulloo

+ + + + ==_{00 00}₍₍ _.).) 16. 16. AA CC BB      + + ≥≥ 32. 32. AA CC BB      + + >> 64. 64. AA CC AA CC  + + = = ++

Dê a soma dos números dos itens corretos. Dê a soma dos números dos itens corretos.

15. UFSCar-SP

Três forças idênticas e coplanares são aplicadas sobre Três forças idênticas e coplanares são aplicadas sobre um ponto material, formando entre si ângulos de

um ponto material, formando entre si ângulos de 120°.120°.

  FF11   FF22   FF33 120° 120° 120° 120° 120° 120°

Nessas condições, pode-s

Nessas condições, pode-se afirmar que e afirmar que a intensidade daa intensidade da força resultante sobre o ponto material tem valor igual a: força resultante sobre o ponto material tem valor igual a:

a. a. 3 F3 F b. b. 2 F2 F c. c. FF d. d. FF 22 e. e. 00 16. PUC-RS 16. PUC-RS

Entrando pelo portão O de um

Entrando pelo portão O de um estádio, um torcedor execu-estádio, um torcedor execu-ta uma trajetória, represenexecu-tada pelas linhas contínuas OABC, ta uma trajetória, representada pelas linhas contínuas OABC, até alcançar a sua cadeira, C. Considerando que, na figura, a até alcançar a sua cadeira, C. Considerando que, na figura, a escala seja 1:1 000, é correto afirmar que o torcedor escala seja 1:1 000, é correto afirmar que o torcedor percor-reu uma distância de _________ e

reu uma distância de _________ e teve um deslocamento de _________.teve um deslocamento de _________.

9 9 8 8 8 8 A A BB CC O O ₁₁₀₀ ₁₁₂₂ ₁₁₄₄ 7 7 6 6 6 6 5 5 4 4 4 4 3 3 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 Posição (cm) Posição (cm) P P o o s s i i ç ç ã ã o o ( ( c c m m ) ) a.

a. 2,4 · 102,4 · 1022_{m; 1,2 · 10}_{m; 1,2 · 10}22_{m, na direção da reta OC.}_{m, na direção da reta OC.}

b.

b. 2,4 · 102,4 · 1022_{m; 1,2 · 10}_{m; 1,2 · 10}22_m._m.

c.

c. 2,4 · 10 m, na direção da reta 2,4 · 10 m, na direção da reta OC; 1,2 · 10 m.OC; 1,2 · 10 m.

d.

d. 1,2 · 10 m; 1,4 · 10 m, na direção da reta OC.1,2 · 10 m; 1,4 · 10 m, na direção da reta OC.

e.

e. 2,4 · 10 m; 1,2 · 10 m, na direção da reta OC.2,4 · 10 m; 1,2 · 10 m, na direção da reta OC.

a. a. 4 m.4 m. b. b. 6 m.6 m. c. c. 10 m.10 m. d. d. 12 m.12 m. e. e. 14 m.14 m. 13. Unicamp-SP modificado 13. Unicamp-SP modificado

Na viagem do descobrimento, a frota de Cabral precisou Na viagem do descobrimento, a frota de Cabral precisou na-vegar contra o vento uma boa par

vegar contra o vento uma boa parte do tempo. Isso só foi possí-te do tempo. Isso só foi possí-vel graças à tecnologia de transportes marítimos mais moderna vel graças à tecnologia de transportes marítimos mais moderna da época: as caravelas. Nelas, o perfil das velas é tal que a da época: as caravelas. Nelas, o perfil das velas é tal que a dire-ção do movimento pode formar um ângulo agudo com a diredire-ção ção do movimento pode formar um ângulo agudo com a direção do vento, como indicado no diagrama de

do vento, como indicado no diagrama de forças a seguir.forças a seguir.

Força lateral Força lateral (da quilha) (da quilha) Força da Força da vela vela Força de Força de resistência do ar resistência do ar = 1 000 N= 1 000 N V V _e_e n n _t_t o o

Assinale a alternativa que representa o módulo, a

Assinale a alternativa que representa o módulo, a direçãodireção e o sentido da força

e o sentido da força resultante.resultante.

a. a. 1 000 N 1 000 N b. b. 2 000 N 2 000 N c. c. 3 000 N 3 000 N d. d. 4 000 N 4 000 N e. e. 5 000 N 5 000 N 14. UEM-PR 14. UEM-PR

Dado o diagrama vetorial

Dado o diagrama vetorial a seguir, assinale a(s) alternati-a seguir, assinale a(s) alternati-va(s) correta(s). va(s) correta(s).   A A   B B   C C 01. 01. AA CC BB     + + == 02. 02. BB CC AA      + + == 04. 04. BB CC AA     − − ==

(20)

(21)

1 1 2 2 2 2 1 1 F F í í s s i

i c c a a

1 1 0 0 9 9 C C i i ê ê n n c c i

i a a

s s d d a a N N a a t t u u r r e e z z a a e e s s u u a a s s T T e e c c n n o o l l o o g g i

i a a

s s E E M M I I - - 1 1 5 5 - - 1 1 0 0

Módulo 3

Adição vetorial: regra do paralelogramo

Exercícios de

Aplicação

01.

Duas forças de intensidades 10 N e 24 N estão num Duas forças de intensidades 10 N e 24 N estão num mes-mo plano, atuam num mesmes-mo corpo e formam entre si um mo plano, atuam num mesmo corpo e formam entre si um ân-gulo de 90°.

gulo de 90°. Calcule a intensidade da resultante dessas duasCalcule a intensidade da resultante dessas duas forças.

forças.

03.

Em Física, quando nos referimos à partícula, estamos Em Física, quando nos referimos à partícula, estamos fa-lando de um corpo de pequenas dimensões, ou seja, o lando de um corpo de pequenas dimensões, ou seja, o tama-nho desse corpo pode ser comparado a um ponto. Um ponto nho desse corpo pode ser comparado a um ponto. Um ponto material recebe a ação de duas forças de intensidades iguais material recebe a ação de duas forças de intensidades iguais a 50 N e cujas origens formam entre si um ângulo de 120°. A a 50 N e cujas origens formam entre si um ângulo de 120°. A intensidade da resultante dessas forças vale:

intensidade da resultante dessas forças vale:

a. a. nula.nula. b. b. 25 N.25 N. c. c. 50 N.50 N. d. d. 70 N.70 N. e. e. 100 N.100 N. 02. 02.

Dois vetores deslocamentos possuem intensidades de Dois vetores deslocamentos possuem intensidades de 6 m e 8 m e suas origens formam entre si um ângulo de 60°. 6 m e 8 m e suas origens formam entre si um ângulo de 60°. A intensidade do

A intensidade do vetor deslocamento resultante desses doisvetor deslocamento resultante desses dois vetores é de: vetores é de: a. a. 6 m.6 m. b. b. 8 m.8 m. c. c. 10 m.10 m. d. d. 22 3377mm.. e. e. 12 m.12 m.

Exercícios

Extras

04.

O morador de um edifício

O morador de um edifício entra no elevador no quarto an-entra no elevador no quarto an-dar e desce verticalmente 12 m até o anan-dar térreo. A seguir, dar e desce verticalmente 12 m até o andar térreo. A seguir, ele caminha num trecho plano e

ele caminha num trecho plano e horizontal, percorrendo umahorizontal, percorrendo uma distância de 5 m até a

distância de 5 m até a porta do edifício. A porta do edifício. A intensidade do vetorintensidade do vetor deslocamento realizada pelo morador é:

deslocamento realizada pelo morador é:

05.

Dois homens puxam horizontalmente um poste por Dois homens puxam horizontalmente um poste por meiomeio de cordas, sendo o ângulo entre elas igual a 45°. Se um dos de cordas, sendo o ângulo entre elas igual a 45°. Se um dos homens exerce uma força de 750 N e o outro, uma força de homens exerce uma força de 750 N e o outro, uma força de 500 N, calcule a

500 N, calcule a intensidade da força resultante.intensidade da força resultante. Adote cos 45° = sen 45° = 0,7.

Adote cos 45° = sen 45° = 0,7.

a. a. 5 m.5 m. b. b. 12 m.12 m. c. c. 13 m.13 m. d. d. 17 m.17 m. e. e. nula.nula. Resolução Resolução F F_R_R22 FF FF 1 122 2222 = = ++ = 10 = 1022_{+ 24}_{+ 24}22_{= 100 + 576 = 676}_{= 100 + 576 = 676} F F_R_R = 26 N = 26 N Resolução Resolução d d22_{= d}_{= d}22 1 1 + d + d2222 + 2 · d + 2 · d11· d· d22 · cos · cosαα = = = 6 = 622_{+ 8}_{+ 8}22_{+ 2 · 6 · 8 · cos 60°}_{+ 2 · 6 · 8 · cos 60°} d d22_{= 36 + 64 + 96 · 0,5 = 148}_{= 36 + 64 + 96 · 0,5 = 148} d = d = ₂₂ ₃₃₇₇_m_m Alternativa correta: D Alternativa correta: D Resolução Resolução F F F F_R_R22 F F FF FF 1 122 2222 22 11 22 =

= + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅_cos_cosαα_{= F}_{= F}22_{+ F}_{+ F}22_{+ 2 · F · F · cos 120°}_{+ 2 · F · F · cos 120°}

F F_R_R22_{= F}_{= F}22_{+ F}_{+ F}22_{+ 2 · F}_{+ 2 · F}22_{· (– 0,5) = F}_{· (– 0,5) = F}22_{+ F}_{+ F}22_{– F}_{– F}22_{= F}_{= F}22 F FRR = F = F F F_R_R = 50 N = 50 N

A soma de dois vetores de mesmo módulo, cujas origens

formam entre si um ângulo de 120°, resulta num vetor soma

de mesmo módulo que cada um dos vetores somados.

a.

a. Seria correta se os vetores fSeria correta se os vetores fossem opostos.ossem opostos.

b.

b. Seria correta para um determinado ângulo diferenteSeria correta para um determinado ângulo diferente

de 120°.

d.

d. Seria correta para um determinado ângulo diferenteSeria correta para um determinado ângulo diferente

de 120°.

e.

e. Seria correta se os vetores fossem de mesma direçãoSeria correta se os vetores fossem de mesma direção

e mesmo sentido. e mesmo sentido. Alternativa correta: C Alternativa correta: C Habilidade Habilidade

Efetuar operações que envolvam grandezas escalares e

vetoriais.