APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS PARA RESOLUÇÃO DE TESTES DE BOMBEAMENTO EM POÇOS TUBULARES.

APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS PARA

RESOLUÇÃO DE TESTES DE BOMBEAMENTO EM POÇOS TUBULARES.

Ivan Felipe Silva dos Santos1*, Andressa Bernal2, Guilherme Fest3, Nathalia Diniz4, Camila Costa5, Regina Mambeli Barros6 e Nathalia Duarte Braz7.

RESUMO - Para gestão eficiente do aproveitamento das águas subterrâneas é necessário a determinação dos parâmetros hidrodinâmicos de um aqüífero e da interação deste com poços em bombeamento. Estes parâmetros são normalmente determinados por meio de cálculos que utilizam dados obtidos em ensaios de bombeamento em poços tubulares, que por sua vez podem ser de dois tipos: i) Testes de aqüífero: Quando se utiliza o bombeamento para determinação de propriedades do aqüífero e ii) Testes de produção: quando se procura determinar perdas de carga no poço e nas vizinhanças deste com o aquífero. Contudo, os cálculos necessários para determinação dos parâmetros de interesse podem se tornar trabalhosos devido à grande quantidade de variáveis envolvidas, sendo necessária a aplicação de métodos numéricos ou gráficos para sua resolução. Neste contexto, o presente artigo objetiva avaliar a eficácia da aplicação do método dos mínimos quadrados por meio do aplicativo Solver do Software Microsotf Excel ® para resolução destas equações. Os resultados obtidos foram comparados com os de metodologias comumente utilizadas, presentes na literatura, apresentando precisão satisfatória.

Palavras chave: Testes de bombeamento, Método dos mínimos quadrados e Poços Tubulares.

APPLICATION OF LEAST SQUARES METHOD FOR THE RESOLUTION OF A PUMPING TEST IN A TUBE WELL

ABSTRACT - For the efficient management of the groundwater use it is necessary to determine the hydrodynamic parameters of an aquifer and of the interaction of this with wells under pumping. These parameters are normally determined by calculations using data obtained in pumping tests, which can be of two types: i) Aquifer test: when the pumping test is used to determine the aquifer properties and ii) Production tests: when the objective is to determine head losses in the well and in the vicinity of this with the aquifer. However the calculations necessary to determine the parameters of interest can become cumbersome due to the large number of variables involved, requiring the application of numerical methods or graphics to its resolution. In this context, this article aims to evaluate the effectiveness of the application of the least squares method by means of the tool solver of the Microsoft Excel Software ® for the resolution of these equations. The obtained results were compared with the ones of generally used methodologies, presented in the literature, showing satisfactory precision.

Keywords: Pumping Tests, Least Squares Method and Tube Wells.

1* Engenheiro hídrico e Mestre em Engenharia de Energia pela UNIFEI (MG) - ivanfelipedeice@hotmail.com. 2Graduanda em Engenharia Ambiental pela UNIFEI (MG) – andpbernal@hotmail.com

3Graduando em engenharia Ambientalpela UNIFEI (MG) - galf_fest@hotmail.com 4Graduanda em Engenharia Ambiental pela UNIFEI (MG) - nathaliadiniz1@gmail.com 5 Graduanda em Engenharia Ambiental pela UNIFEI (MG) - milopes_@hotmail.com

1. INTRODUÇÃO

Os aqüíferos caracterizam uma fonte de água geralmente confiável e de boa qualidade, que associado as modernas tecnologias de perfuração, eletrificação e bombeamento, se tornou amplamente acessível à maior parte do mundo atual (Villholth e Giordano, 2007). Desta forma, as águas subterrâneas têm sido bastante utilizadas para inúmeros propósitos, tais como: irrigação, Abastecimento doméstico, em indústrias, etc. Neste contexto, se torna necessário um modelo apropriado do complexo sistema das águas subterrâneas a fim de gerenciar corretamente este recurso, o que requer uma especificação eficaz dos parâmetros hidráulicos dos aqüíferos tais como: Transmissividade (T), Condutividade Hidráulica (K) e coeficiente de armazenamento (S) (Bateni, et al., 2015).

Além das características do aqüífero, um entendimento correto das características hidrodinâmicas do meio poroso quando este interage com um poço em bombeamento também são extremamente importantes para a eficiência do aproveitamento, entendimento este que só é possível por meio da determinação da vazão de exploração (Qexp), perda de carga (∆H) e rebaixamento do

meio (s). Ambos os grupos de características citadas anteriormente podem ser determinados por meio dos testes de bombeamento. Estes se baseiam no principio de que o bombeamento em um poço impõe perturbações ao regime do fluxo em um aqüífero fazendo com que o nível potenciométrico (NP) destes seja reduzido. De acordo com Fetter (2001), a queda do NP equivale ao rebaixamento, e caso o aquífero seja livre, à queda de nível de água após o bombeamento.

Os testes de bombeamento podem ser de dois tipos: testes de aqüífero e testes de produção. O primeiro é orientado a determinação das características do aqüífero. Já o segundo, se refere às características da interação poço-aquífero, permitindo a determinação das perdas de carga no poço e na vizinhança entre o poço e o aquífero. Ambos os tipos de testes são apresentados nas seções posteriores. A interpretação dos testes de bombeamento, ou seja, a resolução das equações características destes testes a fim de se obter os resultados de interesse, pode se tornar difícil devido à grande gama de variáveis envolvidas. Sendo assim, o presente trabalho objetiva definir e avaliar a resolução de testes de bombeamento por meio da aplicação do método dos mínimos quadrados pelo aplicativo Solver do software Microsoft Excel®.

2. TESTES DE BOMBEAMENTO

2.1.Testes de aqüíferos

Um teste de aqüífero se baseia em um bombeamento realizado em um poço que tem por finalidade a determinação de parâmetros hidrodinâmicos de um meio poroso, como a transmissividade (T), o coeficiente de armazenamento (S) e a condutividade hidráulica (K). Estes parâmetros são determinados a partir de um bombeamento com vazão constante, onde se acompanha a evolução do rebaixamento produzido em um ou mais poços de observação, de distância pré-determinada ao poço bombeado. (Feitosa e Manoel Filho, 2000).

Os testes de aqüífero partem de algumas simplificações teóricas que podem ser obtidas em Fetter (2001). Vários são os métodos para resolução de um teste de aqüífero. Dentre este citamos: Método de Thiem (para aquíferos confinados), Método de Dupuit-Thiem (para aquíferos livres), Método de Jacob (para aquíferos confinados), etc. O presente trabalho analisará o método de Theis, utilizado para aqüíferos confinados em regime transitório (Em que o nível potenciométrico sofre mudanças). Este se baseia nas equações 1, 2 e 3 (Theis, 1935).

= п (1) = (2)

= п (3)

Onde: Q = vazão do bombeamento, T = transmissividade, W(u) = função do poço, r = distância do poço onde o bombeamento foi realizado até o poço de monitoramento, S = coeficiente de armazenamento e t = tempo de bombeamento. A resolução das equações de Theis a fim de se obter os parâmetros T, S e K podem se tornar complexas devido ao grande número de vezes que as variáveis de interesse ocorrem de modo implícito na expressão resultante (Equação 4), onde n é o número de medições durante o teste de aqüífero.

= −0,57772 − ln + − . + !. _"− ._#$ % &'(' 1 < < + (4)

Devido sua complexidade e importância, as equações de Theis têm sido amplamente discutidas na literatura (Griffiths e Ife, 1984; Bardsley, 1991; Prodanoff et al., 2006; Bateni et al., 2015, dentre outros), sendo, a metodologia mais comum para solução destas equações o método gráfico de superposição desenvolvido por Wenzel (1942, apud Griffiths e Ife, 1984). A aplicação da metodologia da superposição foi detalhadamente explicada por Feitosa e Manoel Filho (2000).

2.2.Testes de produção

Os testes de produção podem ser definidos como sendo um bombeamento que tem por finalidade a determinação das perdas de carga totais que ocorrem num poço. A sua execução consiste na realização de um bombeamento acompanhado do registro da evolução dos rebaixamentos no próprio poço bombeado (Feitosa e Manoel Filho, 2000) (diferentemente dos testes de aqüífero, onde se observa a evolução do rebaixamento em poços de monitoramento próximos – Figura 1).

Figura 1: Representação esquemática da diferença básica entre testes de produção e bombeamento. (a) Teste de aqüífero: observação do rebaixamento em poço vizinho; (b) Teste de produção: Observação do rebaixamento no mesmo

As perdas de carga totais (Rebaixamento total – s) são compostas em perdas lineares (hl) e

não lineares (hn). De acordo com Gonçales e Giampá (2006), as perdas lineares são aquelas que

ocorrem no aqüífero em função do fluxo laminar para o poço e as perdas não lineares ocorrem no próprio poço bombeado ou em suas vizinhanças, como por exemplo: i) Na passagem do filtro e pré filtro do poço; ii) Perdas ascensionais no poço devido atrito com a parede e com moléculas d’água em ascensão; iii) Perdas na entrada da bomba, dentre outras. Tanto as perdas lineares quanto as perdas não lineares podem ser expressas em termos da vazão segundo as equações 5 e 6. O que nos permite escrever o rebaixamento total em função da vazão bombeada por meio da soma das equações 5 e 6 (Equação 7).

ℎ-= ./ (5)

ℎ₀ = 1/2 (6)

= ./ + 1/2 ₍₇₎

A equação 7 é chamada de equação característica do poço. Os parâmetros B, C e m são constantes e variam com o tipo de poço e/ou aqüífero. A constante m geralmente varia entre 1 e 3,5 (Gonçales e Giampá, 2006). Como são 3 as constantes da equação 7, são necessário no mínimo três medições da vazão e rebaixamento em um teste de produção para determinação da equação característica do poço, que requererá a aplicação de métodos numéricos para solução de sistemas não lineares (Métodos que podem ser consultados em Ruggiero e Lopes, 2009).

3. METODOLOGIA

3.1. Resolução de testes de aqüífero por meio do método dos mínimos quadrados

A aplicação dos métodos dos mínimos quadrados para resolução do método de Theis consiste na manipulação das equações 1, 2 e 3 por meio da definição de duas constantes K1 e K2,

apresentadas nas equações 8 e 9 (Modificado de Barros s/d), e reescrevemos a equação 1 em termos destas constantes (Equação 10).

3 = (8) 3 = п (9) = 3 . (10)

Observa-se pela equação 11 que o rebaixamento está escrito em função de K2 (de modo

explicito) e de K1 (de modo implícito), pois K1 está inserido dentro da função do poço Wu. Esta

pode ser utilizada para aplicação do método dos mínimos quadrados por meio do ajuste de constantes K1 e K2 que a satisfaçam, o que equivale a dizer que o desvio D entre os ambos os lados

da equação deve ser minimizado em cada um dos pontos coletados durante o teste de aquífero (Equação 11 – os desvios são elevados ao quadrado a fim de que se evitem desvios individuais negativos que possam mascarar a soma total). Esta minimização e a determinação das constantes K1

software Microsoft Excel®. De posse das constantes retorna-se a equação 9 e 10 para determinação das características do aqüífero.

4 + 5, 5 = ∑ [ − 30 ]² ₍₁₁₎

3.2. Resolução dos testes de produção

A resolução dos testes de produção por meio do método dos mínimos quadrados evita a necessidade de aplicação de métodos numéricos e é realizada de modo similar ao caso dos testes de aqüíferos. Os n dados de vazão e rebaixamento anotados em campo são utilizados aplicados na equação 7. As constantes B, C e m que descrevem a perda de carga no poço equivalem aquelas que satisfazem a igualdade, o que equivale, a minimizar o desvio D entre ambos os lados da equação 12. Como no caso dos testes de aqüíferos, esta minimização e a determinação das constantes B, C e m responsáveis por tal minimização podem ser efetuadas por meio do aplicativo Solver do software Microsoft Excel®.

4 + 5, 5 = ∑ [ − ./ − 1/0 2_{]² (12)}

4. RESULTADOS

Para avaliação da metodologia para resolução de testes de bombeamento por meio do método dos mínimos quadrados pelo aplicativo Solver do Software Microsoft Excel ® serão apresentados dois exemplos onde serão comparados os métodos aqui apresentados para resolução dos testes de bombeamento com resultados, presentes na literatura, obtidos pelos métodos tradicionais.

4.1.Avaliação da eficácia do método proposto para resolução de testes de aqüífero

Griffiths e Iffe (1984) utilizaram o método da superposição (vide seção 2.2) para interpretação de um teste de aqüífero. Os dados do bombeamento estão apresentados na tabela 1. Este foi conduzido com uma vazão constante de 0,27 m³/min e o rebaixamento foi medido em um poço de observação localizado 30 [m] distante do poço de bombeamento. Os mesmos dados de bombeamento foram utilizados para aplicação da metodologia apresentada na seção 3.1. O Desvio total D foi minimizado pelo aplicativo solver do software Microsoft Excel®, resultando em um valor satisfatório: 0,00058. Os resultados obtidos por ambos os métodos estão comparados na tabela 2.

Tabela 1 - Dados do bombeamento

Tempo [min] Rebaixamento s [m]

5 0,32 10 0,41 15 0,48 30 0,6 45 0,65 60 0,7 90 0,74

Tabela 2 - Comparação dos resultados obtidos por ambos os métodos. Transmissividade T [m²/min] Coeficiente de armazenamento S [/] Método da superposição – Griffiths e Iffe (1984) 0,125 2,70.10-4 Metodologia proposta 0,140 2,34.10-4 Variação (%) 12 13,4

A análise da tabela 2 nos permite observar a eficácia do método aqui proposto, quando comparado ao método de superposição normalmente utilizado, dado que é pequena a variação percentual. Contudo quando vamos calcular o rebaixamento pelas equações de Theis, tanto a transmissividade quanto o coeficiente de armazenamento estão envolvidos. Desta forma os erros percentuais individuais podem implicar em um erro maior na curva de rebaixamento. Desta forma, a curva de rebaixamento utilizando-se os resultados de ambos os métodos foi traçada em dois cenários: Na figura 2.A em função do tempo para uma distância de 30 metros ao poço de bombeamento e na figura 2.B em função da distância lateral ao poço de bombeamento e após 1 hora de bombeamento.

Em ambas as figuras pode-se perceber a proximidade das curvas de rebaixamento. Em todos os pontos o desvio relativo entre os rebaixamento foi inferior a 9.1%. O desvio relativo médio foi de 5.5%, valor baixo que demonstra a eficácia da metodologia dos mínimos quadrados na resolução das equações de Theis.

Figura 2: (A) Evolução temporal do rebaixamento a 30 [m] do poço de bombeamento. (B) Variação do rebaixamento pela distância do poço de bombeamento após 1 hora de bombeamento.

4.2. Avaliação da eficácia do método proposto para resolução de testes de produção Gonçales e Giampá (2006) utilizaram o software GWW (Groundwater Software for Windows), desenvolvido pelas nações unidas, a fim de se obter os parâmetros B, C e m da equação de perda de carga de um poço tubular (Equação 8), após um teste de bombeamento. Os dados do bombeamento estão apresentados na tabela 3. A metodologia explicada na seção 3.2 foi também aplicada, sendo obtido um desvio total D de 0,0033. Os resultados de ambos os métodos foi comparado e está apresentado na tabela 4.

Tabela 3 - Dados do bombeamento utilizado por Gonçales e Giampá (2006). Vazão Q [m³/hr] Rebaixamento1 s [m] Tempo1 t [min]

21,20 10,05 60

31,75 15,45 120

47,59 24,43 170

63,29 33,9 230

1

Os valores de rebaixamento e tempo aqui apresentados são os obtidos ao término de cada etapa do bombeamento, pois estes são os relevantes para os cálculos do presente trabalho.

Tabela 4 - Comparação dos resultados obtidos por ambas as metodologias

B C m

Gonçales e Giampá (2006) - GWW 1684 758.788 3,05

Metodologia Proposta 1645,21 99.998,92 2,44

Pela análise da tabela 4 vemos que os resultados dos parâmetros C e m variam consideravelmente entre ambos os métodos. Contudo, como no caso dos testes de aqüífero, o mais importante no testes de produção não é a comparação das constantes individuais, e sim, a comparação da curva traçada por meio da combinação destas constantes. Por esta razão, foi traçada a curva do rebaixamento total (Equação 8) utilizando-se os resultados de ambos as metodologias (Figura 4). Pela figura 3, observamos que a metodologia aqui proposta apresenta erros insignificantes até uma vazão de 0,04 [m³/s] (144 [m³/hr]). A partir daí, os desvios começam a aumentar significativamente. Contudo, como se pode observar na tabela 3, a vazão de 144 [m³/hr] é bastante elevada e está acima dos valores de vazão utilizadas no teste de bombeamento, o que nos leva a conclusão de que para as vazões que seriam passiveis de ser exploradas no presente aqüífero, o método aqui proposto, apresenta eficácia satisfatória.

Figura 3: Resultados das curvas de perda de carga.

5. CONCLUSÕES

O presente artigo avalia a eficácia da aplicação do método dos mínimos quadrados, que pode ser facilmente aplicado por meio do aplicativo Solver do software Microsoft Excel ®, para a

0 100 200 300 400 500 600 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 R e b ai x am e n to s [ m ] Q [m³/s] Métodologia Proposta

interpretação de um teste de aqüífero e um teste de produção. A avaliação foi realizada por meio de comparações com as metodologias comumente utilizadas presentes na literatura. Os resultados obtidos apresentam eficácia satisfatória, sendo o desvio médio entre as curvas de rebaixamento obtidas, em cada caso por duas metodologias (a metodologia comumente utilizada na literatura e as metodologias aqui propostas, baseadas no método dos mínimos quadrados), igual a 5,5% no caso dos testes de aqüífero e igual a 2,05% no caso dos testes de produção para valores de vazão de até 144[m³/hr]. No caso de vazões superiores a 144 [m³/hr] os desvios entre os rebaixamentos, no caso do teste de produção, cresceram consideravelmente atingindo valores médios de 20%. Contudo, este aumento dos erros não influencia a eficácia do método dado que uma vazão de 144 [m³/hr] é bastante elevada, implicando em rebaixamentos próximos a 100 [m], sendo, portanto inviável seu aproveitamento.

Os desvios obtidos podem ser explicados por duas razões: (i) o método dos mínimos quadrados possui uma incerteza intrínseca dado que é um método de ajuste numérico e estatístico; (ii) Os dados usados para comparação como padrão (o método da superposição no caso do teste de aqüífero e os resultados obtidos por Gonçales e Giampá 2006 no caso do teste de produção), também foram estimativas, realizadas por métodos tradicionais, e embora não reflitam os valores reais, espera-se que o estimem com eficácia satisfatória. Assim sendo, também podem ser uma fonte que contribuiu para os erros obtidos no presente trabalho.

REFERÊNCIAS

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- Bateni, S. M. Evaluation of methods for estimating aquifer hydraulic parameters. Applied Soft Computing. V. 28, p. 541 – 549, 2015.

- Borsoi, Z. M. F. Águas Subterrâneas, 1998. Disponível em: <http://www.bndes.gov.br/SiteBNDES/export/sites/default/bndes_pt/Galerias/Arquivos/conhecime nto/infra/g7428.pdf>. Acesso em: 23 ago. 2014.

- Feitosa, F. A. C. e Manoel Filho, J. Hidrogeologia: Conceito e aplicações. 2ª Edição. Companhia de Pesquisa de Recursos Minerais (CPRM), 2000.

- Fetter, C. W. Applied Hydrogeology. Prenctice Hall, 4º Edição, 2001.

- Gonçales, V. G. e Giampá, C. E. Q. Águas subterrâneas e poços tubulares profundos. Ed. Signus, 1ª edição, 2006.

- Griffiths, W. T. e Ife, D. A Simplified graphical solution of the Theis Equation. Journal of Hydrology, V. 73, p. 177 – 186, 1984.

- Villholth, K. G. e Giordano, M. Groundwater use in a global perspective – Can it be managed? CAB International. The Agricultural Groundwater Revolution. International Water Management Institute – Sri Lanka, 2007.

- Prodanoff, J. H. A. et al. Numerical evaluation of Theis and Hantush-Jacob well functions. Journal of Hydrology, V. 318, p. 173-183, 2006.

- Ruggiero, M. A. G. e Lopes, V. L .R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª Edição, Ed. Pearson, 2009.

- Theis, C. V. The relation between the lowering of the piezometric surface and the rate and duration of discharge of a well using ground-water storage, Trans. Am. Geophys. Union 16, 519– 524, 1935.