O PROBLEMA DE CORTE ACOPLADO À PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO EM INDÚSTRIAS PAPELEIRAS: MODELAGEM MATEMÁTICA E MÉTODOS DE SOLUÇÃO

O PROBLEMA DE CORTE ACOPLADO À PROGRAMAÇÃO DA

PRODUÇÃO EM INDÚSTRIAS PAPELEIRAS: MODELAGEM

MATEMÁTICA E MÉTODOS DE SOLUÇÃO

Sônia Cristina Poltroniere

{soniap@icmc.usp.br}

Marcos Nereu Arenales

{arenales@icmc.usp.br}

Franklina Maria Bragion de Toledo

{fran@icmc.usp.br}

Kelly Cristina Poldi

{kelly@icmc.usp.br}

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC Universidade de São Paulo - USP

Av. Trabalhador São Carlense, 400

Caixa Postal 668 – CEP 13560-970 - São Carlos - SP

Resumo

Um importante problema de dimensionamento de lotes (PDL) surge em indústrias de manufatura, onde a programação da produção envolve um estágio fundamental de corte de peças grandes para obter itens que serão então processados em estágios subseqüentes. Tem-se, portanto, a combinação do PDL com o problema de corte de estoque (PCE). Esses dois problemas de otimização combinatória têm motivado intensas pesquisas. No entanto, a combinação deles é ainda pouco explorada, pois mesmo quando tratados separadamente são problemas de difícil solução. Neste trabalho, propomos um modelo matemático que acopla o PDL e o PCE, motivado por uma aplicação prática em indústrias papeleiras. Dependendo do tamanho dos lotes escolhidos, o processo de corte pode ser prejudicado (perdas maiores), de modo que tais decisões devem ser sincronizadas. O ambiente de planejamento é composto por máquinas paralelas com desempenhos e capacidades produtivas limitadas. São considerados custos e tempos de preparação das máquinas, custos de produção e estoque. Devido à complexidade do problema acoplado, uma heurística de decomposição é investigada.

Palavras-chave: problema de corte de estoque, dimensionamento de lotes, heurísticas. Abstract

An important lot-sizing problem (LSP) occurs in manufacture industries where production planning involves a fundamental stage that consists of cutting objects to obtain final items, which will be processed in successive stages. This results in the combination of LSP with the cutting stock problem (CSP). These two problems of combinatorial optimization have been studied extensively in literature nevertheless, the combination of them has not been broadly explored. Even when they are treated separately they are very difficult to solve. In this work, a generic mathematical model for LSP and CSP is considered in an integrated way. This problem has been inspired by a practical application in paper industries. Depending on the lot size of the master rolls, the cutting process can produce a larger waste, in this way, such decisions must be synchronized. The planning environment is composed of different parallel machines with limited capacity. The setup cost and the setup time of the machines

are also considered, as well as, the production and the inventory costs. A decomposition heuristic is investigated to handle the complexity of the integrated problem.

Key words: cutting stock problem, lot-sizing, heuristic. 1. Introdução

Em muitas situações práticas que se observam em indústrias de manufatura como, por exemplo, indústrias moveleira, papeleira, metalúrgica, o problema de corte de estoque aparece como um subproblema fundamental de um problema de planejamento da produção mais amplo. Na literatura são encontrados vários trabalhos que tratam os problemas de planejamento da produção e de corte de estoque de forma isolada, tais como Johnson & Montegomery (1974), Bahl et al.(1987), Maes et al. (1991), Kuik et al. (1994), Drexl & Kimms (1997), Karimi et al. (2003), Gilmore & Gomory (1961,1963,1965), Haessler (1979), Carvalho & Rodrigues (1995), Wäscher & Gau (1996).

O problema de planejamento da produção determina, para cada período do horizonte de planejamento, quantidades de produtos (problema de dimensionamento de lotes - PDL) que devem ser posteriormente cortados para atender a da demanda (problema de corte de estoque - PCE). Tratar estes dois problemas de forma separada pode elevar os custos globais, principalmente se o processo de corte for economicamente relevante. Atualmente, devido à grande competitividade entre as empresas, existe uma tendência de tratar problemas de planejamento e programação da produção de forma acoplada (Thomas & Griffin, 1996).

Drexl & Kimms (1997) ressaltam que os problemas de dimensionamento de lotes e programação da produção interagem com outras atividades de uma indústria como o planejamento da distribuição, o problema de corte e empacotamento e a programação de projetos, e que a coordenação deles pode diminuir os altos custos de transação, o que constitui um objetivo crucial de trabalhos futuros. Em Chandra & Fisher (1994), os autores compararam a solução acoplada de um sistema de produção-distribuição com a solução dos sistemas separados e relataram uma melhoria de 3% a 20% quando é aplicada versão acoplada. Em 1988, Farley estudou o problema de corte de estoque em indústrias de roupa, acoplado ao problema de planejamento e programação da produção. O objetivo global é maximizar a utilidade do sistema ao longo do período de planejamento, mas outros objetivos, em nível operacional, devem ser considerados.

Gramani (2001) considera os problemas de dimensionamento de lotes e de corte de estoque (bidimensional) de forma conjunta, motivada por uma aplicação em indústrias de móveis, procurando balancear o compromisso entre adiantar ou não a produção de certos lotes de produtos finais. Para isso, a autora propõe um modelo matemático que descreve a interdependência dos problemas. Devido à alta complexidade do problema, o modelo é relaxado de três diferentes maneiras, propondo assim, diferentes métodos de solução.

Em 2002, Respício & Captivo apresentaram um modelo de programação inteira, integrando o problema de corte de estoque unidimensional ao problema de planejamento, para um sistema de produção multi-produto, com aplicações em indústrias papeleiras. O modelo é uma extensão da formulação de Gilmore e Gomory e considera demanda acumulada, restrições de conservação de estoque e restrições de capacidade. O problema é tratado usando um algoritmo branch-and-price e o objetivo é estudar a adequação de um procedimento de solução exato para casos reais.

Recentemente, Correa et al.(2004) estudaram um problema de planejamento da produção e otimização do corte de bobinas e resmas, com aplicações numa indústria papeleira portuguesa. Os autores propõem um método de solução heurístico baseado

na enumeração

lexicográfica dos padrões de corte, que são selecionados e usados como colunas num modelo de programação linear, o qual procura determinar a quantidade/peso de papel a ser produzido em cada padrão. Os resultados obtidos são bastante satisfatórios e os autores não descartam a alternativa de desenvolver uma heurística global

Uma parte dessas bobinas intermediárias é embalada para atender a demanda e o restante é utilizado no processo de corte, produzindo diferentes tipos de itens finais. Observe que a disponibilidade de bobinas-jumbo no problema de corte é uma variável de decisão do problema de planejamento. Portanto, as decisões de planejamento consistem em escolher quais bobinas-jumbo (definidas pelo seu comprimento e sua gramatura) e em que quantidades (tamanhos dos lotes) devem ser produzidas em cada período, de forma a atender a carteira de pedidos, evitar atrasos e estoque, minimizando a perda de material durante o processo de corte e planejamento.

2. Descrição do problema

O problema de dimensionamento de lotes deve programar a produção das bobinas-jumbo em máquinas paralelas, cada qual com capacidade limitada e desempenho próprio, procurando minimizar os custos de produção, preparação e estoque. Essas bobinas comporão o estoque disponível de matéria-prima para o problema de corte de estoque, no qual serão cortadas para atender a uma carteira de pedidos conhecida e a sobra de papel (perda) deverá ser minimizada.

Atualmente, a decisão da produção de bobinas-jumbo é tomada empiricamente (experiências prévias). No entanto, dependendo dos tamanhos dos lotes escolhidos, o processo de corte pode ser prejudicado (perdas maiores), de modo que tais decisões, isto é, programação das máquinas e o processo de corte, devem ser interdependentes. A Figura 1 ilustra o processo de produção simplificado de uma indústria de papel brasileira.

Figura 1: Processo de produção simplificado de uma indústria de papel

Nessa indústria estão disponíveis duas máquinas que produzem jumbos (bobinas grandes de papel). A máquina 1 produz jumbos de 4,60m de largura pesando 12 toneladas cada e a máquina 2 produz jumbos de 5,40m de largura pesando 24 toneladas cada. Os jumbos passam, então, para o setor de rebobinamento, onde são realizados cortes longitudinais, que fornecem bobinas menores (intermediárias). Já no setor de acabamento, uma parte dessas bobinas intermediárias é embalada e despachada. As demais passam pela cortadeira que, através de cortes transversais e longitudinais, produzem resmas de vários tamanhos (retângulos, que podem ser A4(29,7x21cm), A5(21x14,8cm), entre outros), de acordo com a demanda. Pode ocorrer estoque de bobinas intermediárias durante o processo que, posteriormente, entrarão no setor de acabamento.

Uma mesma bobina-jumbo pode conter papel de gramaturas diferentes, como ilustrado na figura 2. A mudança de uma gramatura para outra gera perda de papel, o que leva a um custo de preparação das máquinas.

Figura 2: Bobina-jumbo: gramatura tipo i, perda de papel e gramatura tipo j.

j

Perda de

A Tabela 1 ilustra dados de uma carteira de pedidos com 5 tipos de itens, para um período fixo t. Enquanto que a Tabela 2 apresenta uma matriz de custos de preparação para uma máquina.

Tabela 1: Carteira de pedidos para o período t.

Tipos de itens Dimensão Gramatura Quantidade (ton)

1

_l

₁ 1

_d

_1t

2

_l

₂ 2

_d

_2t

3

_l

₃

_×

_w

₃ 2

_d

_3t

4

_l

₄

_×

_w

₄ 3

_d

_4t

5

_l

₅

_×

_w

₅ 1

_d

_5t

Os itens 1 e 2 são bobinas (apenas a largura

l

_i é especificada) enquanto os itens 3, 4 e 5 são resmas (retângulos).

Tabela 2: Custos de preparação de máquina (mudança de gramatura).

Gram 1 2 3

1 0 10 20 2 20 0 10 3 15 10 0

Na Tabela 2, observe que o “custo” (pode ser o peso de papel perdido) de passar da gramatura 1 para a gramatura 2 é 10 unidades, enquanto que passar da gramatura 2 para a gramatura 1 custa 20 unidades. Numa primeira abordagem considerada neste trabalho, os custos de preparação das máquinas são independentes da seqüência das gramaturas.

A demanda de itens finais pode ser agregada por gramatura. Dessa forma, teríamos um conjunto de itens de cada gramatura para cada período do horizonte de planejamento. Por exemplo, a demanda pela gramatura 1 no período t, na Tabela 1, é

d

_1t

+

d

_5t. Portanto, as decisões de planejamento no problema acoplado consistem em escolher quais bobinas-jumbo (definidas pela sua gramatura e seu comprimento) e em que quantidades (tamanhos dos lotes) devem ser produzidas em cada período, de forma a atender à carteira de pedidos, evitar atrasos e estoques indesejados, minimizando não somente os custos de produção, preparação e estoque (PDL), mas também a perda de material durante o processo de corte (PCE).

Uma bobina-jumbo (que pode conter várias gramaturas) pode ser tratada como várias bobinas-jumbo, cada qual de uma gramatura específica (a Figura 2 seria de duas bobinas-bobinas-jumbo, uma de gramatura i outra de gramatura j). Assim, sem perda de generalidade, cada bobina-jumbo é constituída de apenas um tipo de gramatura. Além disso, para a construção do modelo matemático, as bobinas-jumbo de uma gramatura fixa k, são “divididas” em x bobinas menores, as quais denominamos _s bobinas-mestre, com peso específico ρ_k pré-estabelecido, como ilustrado na Figura 3 e descrito a seguir.

Figura 3: Bobina-jumbo de gramatura k convertida em bobinas-mestre de gramatura k.

Seja

L

_s a largura (cm) do jumbo e

T

_s o seu peso (ton). O peso específico (ton/cm) desse jumbo é dado por

_ρ

s _{=Ts Ls . Seja}

s

x o número de bobinas mestre obtidas a partir do jumbo de largura L_s. Então, o peso de cada uma é T~_s =T_s x_s e o seu peso específico (constante) é dado por

s s s k =T x L

ρ

. Assim, o número de bobinas-mestre pode ser calculado por x_s =T_s

ρ

_kL_s e deve ser inteiro, ou seja T_s = L_s

ρ

_kx_s. Portanto, para efeito da modelagem matemática, uma bobina-jumbo (gramatura fixa) é um conjunto de bobinas-mestre. Em outras palavras, o peso de uma bobina-jumbo de gramatura k e de largura L_s é um múltiplo de

ρ

_kL_s. O peso específico das bobinas mestre é definido a priore e pode variar conforme a gramatura. Por exemplo, considere

ρ

_k =0,1 ton (100kg). Então 10 bobinas mestre correspondem a uma bobina jumbo de 1 tonelada. Se o problema de corte decidir cortar 7 bobinas-mestre num padrão de corte e 3 bobinas-mestre em outro, isto significa que a bobina-jumbo (de 1 tonelada) será cortada 700kg por um padrão de corte e 300kg por outro. Além disso, no problema de corte, o item final i de gramatura k pode ser, indiferentemente, obtido de qualquer tipo de bobina-mestre de gramatura k. O peso do item i será l_i

ρ

_k, onde l_i é a sua largura.

Esta modelagem introduz uma dificuldade ao PDL, pois exige que a variável de decisão seja inteira. Porém, com

ρ

_k (peso específico das bobinas-mestre de gramatura k) pequeno, o número de bobinas-mestre cresce para representar a mesma bobina-jumbo e as dificuldades com relação à integralidade do tamanho do lote podem ser atenuadas. Por outro lado, essa abordagem simplifica uma dificuldade no problema de corte, em que uma mesma bobina-jumbo pode ser cortada por diferentes planos de corte. Com o conceito de bobina-mestre, a cada uma é associado apenas um padrão de corte, evitando o problema de corte 1,5-dimensional. Ou seja, suponha que a bobina-jumbo seja desdobrada em 5 bobinas-mestre e 3 bobinas-mestre foram cortadas conforme um padrão e 2 conforme um segundo padrão. Isto significa que 3/5 da bobina-jumbo foi cortada pelo primeiro padrão e 2/5 pelo segundo.

Na seção a seguir, apresentamos um modelo matemático inteiro-misto com essas características, o qual combina as decisões de planejamento de produção e de corte das peças e cujo objetivo é um compromisso entre custos de produção, preparação, estoque e perdas com o corte.

3. Modelagem matemática

Para a modelagem matemática do problema acoplado utilizamos a seguinte notação: Índices: 1,..., t= T : número de períodos; 1,..., k= K : número de gramaturas; 1,...,

m= M : número de máquinas disponíveis (máquina m produz bobinas-mestre de largura L ); _m 1,..., _m

j= N : número de padrões de corte para as bobinas-mestre do tipo m disponíveis em estoque;

1,...,

i= Nf : número de diferentes tipos de itens finais demandados;

{

1,...,Nf

}

=S(1)∪S(2) ...∪ ∪S K( ) em que S k( )=

{

i tal que o item tem gramatura i k

}

.

. . . Ls Ls ρk T

x

s

Parâmetros:

kmt

c : custo de produção da bobina-mestre de gramatura k na máquina m no período t;

kt

h : custo de estoque de uma bobina-mestre de gramatura k no período t;

kmt

s : custo de preparação da máquina m para produzir bobina-mestre de gramatura k no período t;

kt

cp : custo/cm de perda de papel de gramatura k no processo de corte no período t;

it

σ

: custo/ton de estocagem de itens finais do tipo i no período t.

mt

C : limite de capacidade (ton) da máquina m no período t;

kt

d

: vetor da demanda de itens finais de gramatura k no período t. Sua dimensão é igual S k( ) ;

k

ρ

: peso específico da bobina-mestre de gramatura k;

k

η : vetor de pesos dos itens finais de gramatura k (o peso do item final i de gramatura k e largura l_i é

η

_ik =

ρ

_{k i}l ).

kt

D : demanda (ton) da gramatura k no período t

(

D_kt = η d_{k kt}

)

;

km

b : peso da bobina-mestre de gramatura k produzida na máquina m

(

b_km=L_m

ρ

_k

)

;

km

f : peso do papel desperdiçado na preparação da máquina m para produzir a bobina de gramatura k;

jm

a : padrão de corte j para a bobina-mestre de largura L_m. Seja a_ijm o número de itens do tipo i,

( )

i S k∈ , cortados pelo padrão j da bobina-mestre de largura L_m.

jm

p : perda de papel no padrão de corte j utilizado para cortar a bobina-mestre do tipo m;

Q

: número grande.

Variáveis do problema:

kmt

x : número de bobinas-mestre de gramatura k produzidas na máquina m no período t;

kmt

w : estoque de bobinas-mestre de gramatura k produzidas na máquina m no fim do período t;

kmt

z : variável binária que indica a produção ou não da bobina-mestre de gramatura k na máquina m no período t.

j kmt

y : quantidade de bobinas-mestre de gramatura k produzida na máquina m no período t, cortada usando o padrão j;

e_kt : vetor de estoque de itens finais de gramatura k no período t. Sua dimensão é igual S k( ) . Seja e_ikt o estoque do item final i, i S k∈

( )

.

Assim, um modelo para o problema de corte acoplado à programação da produção pode ser formulado como:

As restrições (1) representam as equações de balanço de estoque. As restrições (2) indicam que a quantidade de papel produzido mais a quantidade de papel desperdiçado durante a mudança de gramatura deve respeitar a capacidade de cada máquina m em cada período t. Observe que as variáveis

kmt

x e w_kmt estão multiplicadas por b_km =L_m

ρ

_k, pois a demanda de papel para o PDL é dada em peso.

As restrições (3) garantem a incidência do custo e desperdício de papel caso a variável

kmt

x seja positiva. O conjunto de restrições (4) assegura que a demanda de itens finais seja

atendida. O somatório 1 m N j jm kmt j y =

∑

a fornece um vetor com o número de itens de cada tipo cortados no período t.

As restrições de limitação da capacidade no corte aparecem em (5). Estas são as principais restrições de acoplamento dos dois problemas, pois incluem ambas as variáveis x_kmt, que definem o tamanho dos lotes, e y_kmt, que definem a quantidade de bobinas-mestre utilizadas no corte. Os estoques iniciais de todos os itens são considerados nulos, sem perda de generalidade (6). Isto porque, se o estoque inicial for diferente de zero, ele pode ser abatido das demandas dos primeiros períodos do horizonte até que se torne nulo (Johnson & Montegomery, 1974). As restrições (7) e (9) garantem a não negatividade das variáveis envolvidas no modelo matemático.

A função objetivo considera custos de produção e estoque das bobinas-mestre, custos de preparação das máquinas, custos com as perdas de papel durante o processo de corte, dada pela função

( )

1 1 , m N M j jm kmt m j F k t p y = =

=

∑∑

, e custos de estoque de itens finais.

No modelo acoplado, o PDL é do tipo monoestágio, com múltiplos itens, em um ambiente com máquinas paralelas distintas e restrições de capacidade. Segundo Maes et al (1991), o problema de encontrar uma solução factível quando consideramos perdas na preparação da máquina é NP-completo. Devido a dificuldade de resolver este problema, poucos métodos ótimos foram propostos. Além disso, as restrições de corte possuem dois fatores que tornam essa formulação impraticável. O primeiro é a restrição de integralidade, que pode ser relaxada e o problema resolvido pelo método simplex proposto por Dantzig em 1947. O segundo fator é o número grande de variáveis, podendo, em

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 ( ) M , , 1 m 1 1 Minimizar , sujeito a , 1,..., ; 1,..., (1) T M K T K T K kmt kmt kt km kmt kmt kmt kt it kt ik ikt t m k t k t k i S k km kmt km k m t km kmt kt k km kmt km kmt k c x h b w s z cp F k t h e b x b w b w D k K t T b x f z

σ

η

= = = = = = = ∈ − = = + + + + − + − = = = + ≤

∑∑∑

∑∑

∑∑ ∑

∑

∑

, 1 1 1 , , 1 1 0 0 , 1,..., ; 1,..., (2) 1,..., ; 1,..., ; 1,..., (3) , 1,..., ; 1,..., (4) 1,..., ; 1,..., ; 1,..., (5) 0, , m m mt kmt kmt N M j jm kmt k t kt kt m j N j kmt kmt k m t kmt j km k C m M t T x Qz k K m M t T y k K t T y x w w k K m M t T I − = = − = = = ≤ = = = + − = = = ≤ + − = = = = =

∑∑

∑

a e e d e 0

{

}

1,..., ; 1,..., (6) 0, 0 e inteiros, 1,..., ; 1,..., ; 1,..., (7) 0, 1 1,..., ; 1,..., ; 1,..., (8) 0, e inteiros, 1,..., ; 1,..., ; 1,..., ; 1,..., (9) kmt kmt kmt j kmt kt M k K m M x w k K m M t T z k K m M t T y j N k K m M t T = = ≥ ≥ = = = ∈ = = = ≥ e ≥0 = = = =

problemas práticos, ser da ordem de centenas de milhares. Para isso, Gilmore e Gomory (1961, 1963) propuseram uma técnica de geração de colunas que é bastante eficiente para resolver o problema linear. Como podemos ver, mesmo quando tratados separadamente, esses problemas são de difícil solução. Portanto, na próxima seção, descrevemos uma heurística de decomposição para o problema acoplado.

4. Método de solução

A abordagem de solução para o problema acoplado, a qual denominamos heurística Lote/Corte, realiza uma relaxação lagrangiana do problema, anexando à função objetivo as restrições (5) do modelo. Essas restrições são ponderadas pelas variáveis duais associadas

γ

_kmt,

1,..., ;

1,..., ;

1,...,

k

=

K

m

=

M

t

=

T

. Assim, a função objetivo é dada por:

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) , , 1 1 1 1 1 1 1 1 m N T M K T K M T K j kmt kmt kt km kmt kmt kmt kt jm kmt it kt ik ikt t m k t k m j t k i S k N T M K j kmt kmt kmt k m t kmt t m k j T M K kmt kmt kmt kt t m k c x h b w s z cp p y h e y x w w c x h

σ

η

γ

γ

= = = = = = = = = ∈ − = = = = = = = + + + + − −   − _ − − + _=   = + +

∑∑∑

∑∑ ∑∑

∑∑ ∑

∑∑∑

∑

∑∑∑

(

)

(

)

, , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) m m T M K T M K km kmt kmt kmt k m t kmt kmt t m k t m k N N T M K T K j kt jm kmt kmt it kt ik ikt t m k j j t k i S k b w w s z cp p y h e

γ

γ

γ

σ

η

− = = = = = = = = = = = = = ∈  − + + +     + _ − _ + −  

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑

∑

∑∑ ∑

Com a relaxação das restrições (5), o problema acoplado pode ser decomposto em dois subproblemas: PDL e PCE. A heurística Lote/Corte resolve, inicialmente, um PDL que deve minimizar a soma dos custos de produção, de estoque e de preparação de máquina, sujeito às restrições (1), (2) e (3) do modelo acoplado. Assim, sua função objetivo será:

(

)

_∑∑∑

[

(

)

]

_∑∑∑

∑∑∑

= = = = = = − = = =

+

+

−

+

+

T t M m K k kmt kmt T t M m K k t m k kmt kmt kmt km kt T t M m K k kmt kmt kmt

x

h

b

w

w

s

z

c

1 1 1 1 1 1 1 , , 1 1 1

γ

γ

γ

A solução obtida resolvendo-se o PDL fornece o estoque de bobinas-mestre para o PCE, que deve ser resolvido minimizando a soma dos custos com a perda de papel durante o processo de corte e os custos com o estoque de itens finais, sujeito às restrições (4) e (5) do modelo.

A heurística Lote/Corte realiza um número de iterações p pré-estabelecido, considerando as alterações na função objetivo devido à relaxação lagrangiana das restrições de estoque. Na primeira iteração, consideramos

γ

_kmt =0 e nas demais,

γ

_kmt assume o valor da variável dual associada à restrição de estoque (kmt), obtido pelo PCE que acabou de ser resolvido.

Finalmente, a heurística Lote/Corte realiza vários passos, diminuindo a porcentagem de folga na demanda do PDL a cada passo. Quando a solução atual do PCE for infactível, consideramos a última solução factível obtida pela heurística como sendo a solução final para o problema acoplado. O algoritmo a seguir resume a Heurística Lote/Corte.

2.1: Resolva o PDL utilizando a heurística proposta na seção 4.1, considerando a demanda de itens finais convertida em toneladas e agregada por gramatura, com a porcentagem de folga

θ

. Se a solução obtida for factível vá para o passo 2.2. Senão vá ao passo 3.

2.2: Para cada gramatura k e cada período t, resolva um PCE, onde a quantidade de bobinas em estoque é dada pela solução do PDL para este período mais a sobra de bobinas no período anterior. Se a solução obtida for factível vá para o passo 2.3. Senão vá para o Passo 4.

2.3: Resolva o PCE usando a heurística de antecipação de itens proposta na seção 4.2. Atualize a solução.

2.4: Atualize os multiplicadores lagrangianos

γ

_kmt e faça i = i +1. Passo 3: Diminua o valor de

θ

e volte ao passo 2.

Passo 4: Escreva a melhor solução factível encontrada.

No caso do PDL, a infactibilidade é devida ao excesso de capacidade utilizada, o que indica a necessidade de reduzirmos a folga incorporada à demanda. Por outro lado, o fato do PCE ser infactível indica que as bobinas produzidas não são suficientes para que seja definido um plano de corte capaz de atender a demanda de itens finais. Sabemos que o plano de corte tem, em geral, uma perda associada e como o valor de

θ

está sendo reduzido, isto mostra que para essa folga na demanda do PDL, não conseguimos um plano de corte factível. Logo, o algoritmo deve ser interrompido e a solução factível obtida anteriormente é a solução final.

4.1 Método de solução para o PDL

A heurística Lote/Corte considera, inicialmente, a demanda de itens finais agregada por gramatura, com uma porcentagem de folga, para evitar infactibilidades no processo de corte.

O PDL a ser resolvido deve minimizar a soma dos custos de produção, de estoque e de preparação de máquina, sujeito às restrições (1), (2) e (3) do modelo acoplado. Para resolvê-lo foi utilizada uma heurística lagrangiana baseada em Toledo (1998). Essa heurística considera a relaxação lagrangiana das restrições de capacidade do PDL em (2). Obtida uma solução para o problema lagrangiano, executamos o passo de factibilização. O passo de factibilização é aplicado a cada q passos do método do subgradiente. Sendo assim, a heurística é executada de vários pontos de partida diferentes, podendo encontrar várias soluções para o problema. O resultado final da heurística é a melhor solução gerada durante todo o processo. O algoritmo a seguir resume a heurística.

Algoritmo para o PDL:

Passo 1: Atribua o valor zero aos multiplicadores lagrangianos.

Passo 2: A solução lagrangiana atual é utilizada como solução inicial da heurística. Passo 3: Se a solução obtida não for factível, execute o passo de factibilização.

Passo 4: Execute passo do método do subgradiente. Se o ótimo do dual não for atingido, volte ao passo 2.

A solução apresentada por essa heurística representa a quantidade produzida de bobinas-mestre, que será o estoque para o problema de corte a ser resolvido posteriormente.

Para viabilizar a utilização da heurística que resolve o PDL, as bobinas-mestre produzidas para estoque foram agregadas por gramatura, para cada período , ou seja

∑

=

=

M m kmt km kt

b

w

w

1 . Assim, w_kt é a

quantidade (em ton) de bobinas em estoque no final do período t, de gramatura k e, inicialmente, não é considerada pelo PCE.

4.2 Método de solução para o PCE

Obtida a solução para o PDL, para cada gramatura, devemos resolver um problema de corte com estoque limitado de bobinas-mestre que minimiza a soma dos custos com a perda de papel durante o processo de corte e os custos com o estoque de itens finais, sujeito às restrições (4) e (5).

As variáveis de estoque de itens finais agregam os períodos e sugerem antecipações na produção desses itens, o que pode gerar melhores padrões de corte, diminuindo, assim, a perda de papel e, conseqüentemente, o custo total, desde que seja vantajoso estocar. Inicialmente, essas variáveis, dadas por e_ikt, são ignoradas no PCE. Isto faz com que os problemas (um para cada gramatura) sejam decompostos por período. Assim, fixando a gramatura, resolvemos um PCE para cada período, utilizando o algoritmo exato proposto por Poldi (2003), considerando que o número de bobinas-mestre em estoque é dado pela soma da solução oferecida pelo PDL para este período com a sobra de bobinas do período anterior, após o corte dos itens finais demandados. Dessa forma, a escolha de quais bobinas ficarão em estoque no período t é feita pelo PCE e não pelo PDL, que apenas determina o peso total.

A partir da solução oferecida pelo corte para cada período e cada gramatura e, baseado nos multiplicadores simplex associados aos itens finais (isto é, variáveis duais associadas às restrições (4)), realizamos antecipações de itens a serem cortados em um determinado período t para o período t-1, obedecendo as restrições de estoque, como está descrito no algoritmo a seguir.

Heurística de antecipação de itens no PCE: Para k = 1 até Ng faça:

Para t = 1 até T-1 faça:

Se existe sobra de bobinas em estoque (variável de folga em (4) positiva), então realize os passos de 1 a 4.

Passo 1: Considere o conjunto de itens favoráveis ao corte no período t dado por:

{

/ <0 _{, 1} >0

}

= i ₊ t k i kt t i e d IF

π

isto é, itens que têm os multiplicadores simplex associados às restrições (3) negativos e têm demanda positiva no período t+1. O multiplicador negativo fornece a taxa de variação decrescente da função perda por unidade de item i, ou seja, com mais itens do tipo i, a perda pode ser reduzida.

Passo 2: Para m = 1 até M faça: Resolva:     ≤ ≤ ≤ ∈ ∈

∑

∑

eiros e d L l a sujeito i i m IF i i kmt i IF i i kmt i kt t t int 0 min

α

α

α

π

Passo 3: Atualize as demandas dos períodos t e t+1:

∑

=

+

←

M m i kmt i kt i kt

d

d

1

α

e

∑

= + +

←

−

M m i kmt i t k i t k

d

d

1 1 , 1 ,

α

Passo 4:

4.1: Resolva o PCE para o período t, com a demanda atualizada. Se houver sobra de bobinas em estoque de gramatura k, no final do período t, transfira para o período t+1 (este é o valor de w_kt que havia sido ignorado).

4.2: Resolva o PCE para o período t+1, com demanda e estoque de bobinas mestre atualizados.

A heurística proposta para a antecipação de itens no PCE procura recuperar a relevância da variável e_ikt, que havia sido ignorada. Com isso, buscamos melhorar o aproveitamento das bobinas em estoque, combinando melhor os itens finais, o que levaria a um custo inferior com a perda de papel durante o processo de corte.

5. Conclusões e perspectivas futuras

Neste trabalho propomos estudar o acoplamento de dois importantes problemas de otimização combinatória que ocorrem em indústrias de manufatura, o problema de dimensionamento de lotes e o problema de corte de estoque, com o objetivo de desenvolver métodos de solução que apresentem bons resultados, procurando diminuir os custos globais envolvidos no processo de planejamento e programação da produção.

Propomos um modelo matemático inteiro-misto para o problema acoplado, o qual combina as decisões de planejamento de produção e de corte das peças e cujo objetivo é um compromisso entre custos de produção, preparação, estoque e perdas com o corte.

Para resolver o problema acoplado, modelado matematicamente na seção 3, apresentamos uma heurística de decomposição, Heurística Lote/Corte, que realiza uma relaxação lagrangiana nas restrições de estoque (restrições (5) do modelo). Estamos em fase de avaliação e melhoria dessa heurística. Foram geradas 27 classes de exemplos, variando-se o número de períodos, de gramaturas e de itens finais demandados. Para cada classe de exemplos, foram gerados aleatoriamente os tamanhos e as demandas dos itens finais, dentro de um intervalo pré-estabelecido, bem como as capacidades das máquinas, custos de produção e de estoque, custos e tempos de setup. O gerador dos dados para o PCE foi desenvolvido baseado em Wäscher & Gau (1996).

Os primeiros resultados computacionais obtidos, avaliando-se o valor da função objetivo do modelo acoplado são promissores. A heurística de antecipação da produção de itens finais apresentou uma diminuição de 19%, em média, nos custos relativos às perdas de papel durante o processo de corte, quando comparados aos custos obtidos resolvendo-se um PCE para cada período, como é feito usualmente, ou seja, a possibilidade de antecipação permite que itens de diferentes tamanhos sejam melhores combinados. Isso nos leva a investir no aprimoramento da heurística de antecipação de itens, assim como na melhoria da heurística lagrangiana que resolve o PDL, procurando obter custos inferiores com a produção e estoque das bobinas. Além disso, uma outra heurística para o problema acoplado deve ser testada, a qual faz o caminho inverso da heurística Lote/Corte, ou seja, resolve primeiramente o PCE.

Para problemas de pequeno porte, os resultados obtidos pela heurística proposta deverão ser comparados com os resultados obtidos resolvendo-se o problema acoplado exatamente, utilizando o pacote de otimização CPLEX.

Também pretendemos resolver o problema acoplado onde x_kmt representa a quantidade de papel (em toneladas) a ser produzida e posteriormente cortada para atender a demanda de itens finais. Isso envolve alterações no algoritmo já desenvolvido para o PCE. Esta estratégia, embora simplifique

a solução do PDL (a integralidade é eliminada), introduz uma dificuldade na solução do PCE, uma vez que uma mesma bobina-mestre pode ser cortada por diferentes padrões de corte, sendo necessária a definição de uma nova variável para representar a fração da bobina-jumbo a ser cortada conforme um padrão particular.

Como comentado nas seções 1 e 2, o trabalho é motivado por aplicações práticas em indústrias papeleiras. Portanto, nosso objetivo também consiste em realizar um estudo de caso, utilizando dados reais oferecidos por uma indústria do interior paulista e procurando adequar o nosso modelo à sua realidade.

Referências Bibliográficas

(1) Bahl, H.C.; Ritzman, L.P. & Gupta, J.N.D. (1987). Determining lot sizes and resource requirements: a review. Operations Research, 35, 329-345.

(2) Carvalho, J.M.V. & Rodrigues, A.J.G. (1995). An LP-based approach to a two-stage cutting stock problem. European Journal of Operational Research, 84(3), 580-589.

(3) Chandra, P. & Fisher, M.L. (1994). Coordination of production and distribution planning. European Journal of Operational Research, 72, 503-517.

(4) Correia, M.H.; Oliveira, J.F. & Ferreira, J.S. (2004). Reel and sheet cutting at a paper mill. Computers & Operations Research, 31, 1223-1243.

(5) Drexl, A. & Kimms, A. (1997). Lot sizing and scheduling - survey and extensions. European Journal of Operational Research, 99, 221-235.

(6) Farley, A.A. (1988). Mathematical Programming Models for Cutting-Stock Problems in the Clothing Industry. Operational Research Society, 1, 41-53.

(7) Gilmore, P.C. & Gomory, R.E. (1961). A linear programming approach to the cutting stock problem. Operations Research, 9, 848-859.

(8) Gilmore, P.C. & Gomory, R.E. (1963). A linear programming approach to the cutting stock problem - Part II. Operations Research, 11, 863-888.

(9) Gilmore, P.C. & Gomory, R.E. (1965). Multi-stage cutting stock problems of two and more dimensions. Operations Research, 13, 94-120.

(10) Gramani, M.C.N. (2001) Otimização do processo de cortagem acoplado ao planejamento da produção. Tese de Doutorado, DENSIS - UNICAMP.

(11) Haessler, R.W. (1979). Solving the two-stage cutting stock problem. Omega, The International Journal of Management Science, 7(2), 145-151.

(12) Johnson, L.A. & Montegomery, D.C (1974). Operations Research in Production Planning, Scheduling and Inventory Control. New York, John Wiley & Sons.

(13) Karimi, B.; Fatemi Ghomi, S.M.T. & Wilson, J.M. (2003). The capacitated lot sizing problem: a review of models and algorithms. Omega, 31, 365-378.

(14) Kuik, R.; Salomon, M. & Van Wassenhove, L.N. (1994). Batching decisions: structure and models. European Journal of Operational Research, 75, 243-263.

(15) Maes J.; McClain, J.O. & Van Wassenhove, L.N. (1991). Multilevel capacitated lotsizing complexity and LP based heuristic. European Journal of Operational Research, 53, 131-148.

(16) Poldi, K.C. (2003). Algumas extensões do problema de corte de estoque. Dissertação de Mestrado, ICMC-USP.

(17) Respício, A. & Captivo, M.E. (2002). Integrating the cutting stock problem in capacity planning. Department of Informatics and Centre of Operational Research. University of Lisbon/Portugal. (18) Toledo, F.M.B. (1998). Dimensionamento de lotes em máquinas paralelas. Tese de Doutorado.

DENSIS-UNICAMP.

(19) Thomas D.J. & Griffin P.M. (1996). Coordinated supply chain management. European Journal of Operational Research, 94, 1-15.