Sistemas Robotizados

(1)

44646-04

Sistemas Robotizados

Aula 10

Controle

Controle Independente

Independente das Juntas

das Juntas

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

Prof. Felipe Kühne

BIBLIOGRAFIA:

• Spong, Cap. 7 (pg. 167-183) • Slides de aula

• Lista de exercícios 6

Controle

Controle IndependenteIndependente das Juntasdas Juntas

(2)

• _{A trajetória de cada junta é independente da trajetória das outras juntas;} • _{Cada eixo do manipulador é controlado como um sistema SISO:}

• Objetivo:

o Seguimento de um valor de referência (set-point) o Rejeição a distúrbios

Controle

3

Spong, Cap. 6: DINÂMICA:

Representação de Newton-Euler para a descrição do movimento de

um corpo rígido de n GDL:

q: vetor das variáveis das juntas

ττττ: vetor de forças generalizadas aplicadas nas juntas

D: matriz de inércia

C: matriz de forças centrífugas e de Coriolis g: forças da gravidade

Controle

( )

q

+

C

(

q

)

q

+

g

( )

q

=

τ

D

_&

,

_&

(3)

• Considera os corpos sem deformação elástica • Vários efeitos dinâmicos não considerados

• Além disso, é não linear! Então requer técnicas de controle não linear...

( )

q

+

C

(

q

)

q

+

g

( )

q

=

τ

D

&

,

&

5

Tipos de acionamento:

Cada junta k de um manipulador pode ter acionamento do tipo: • _{Elétrico (mais fácil de modelar/controlar)}

• Pneumático

• Hidráulico (maior capacidade de carga)

Controle

(4)

Tipos de acoplamento:

O eixo do motor de uma junta k transmite o movimento ao membro do robô através de:

Redução de engrenagens (drive train)

• Vantagem: reduz os efeitos das não linearidades • Desvantagens: adiciona folgas, flexibilidade, histereses Acoplamento direto (harmonic drives)

• Vantagem: não adiciona folgas, flexibilidades e histereses • Desvantagens: acoplamento não-linear deve ser modelado

Controle

7

Controle

Uso de motores DC

Eixo do motor ligado ao eixo da junta através de engrenagem

(redução)

• A dinâmica de um motor DC é linear e simples

• A redução torna possível o desacoplamento dos efeitos não

lineares das outras juntas

• A equação dinâmica não-linear pode ser tratada como uma entrada de distúrbio de torque no sistema

• Só pode ser utilizado para baixas velocidades e para razões de redução elevadas

• Do contrário, a equação dinâmica não-linear não pode ser considerada como um distúrbio e terá que ser modelada

(5)

9

Modelo

Modelo dinâmicodinâmico do motor DCdo motor DC

Sistema eletro-mecânico: b a a

_Ri

_V

dt

di

L

+

=

−

_dt

d

K

V

m b b

θ

=

a m m

=

K

i

τ

m m m m m

dt

d

B

dt

d

J

θ

₂

+

θ

=

τ

2 10

(6)

Modelo

Redução: l m m m m m

r

dt

d

B

dt

d

J

θ

₂

+

θ

=

τ

−

τ

2 Razão de redução r ≈0,05 a 0,005 11 Modelo

Aplicando Laplace: (CI nulas!)

(

J

_m

s

2

+

B

_m

s

)

Θ

_m

( )

s

=

K

_m

I

_a

−

r

Τ

_l

( )

s

(

Ls

+

R

) ( )

I

_a

s

=

V

( )

s

−

K

_b

s

Θ

_m

( )

s

(7)

Constante de tempo elétrica: L/R Constante de tempo mecânica: J_m/B_m Exemplo: datasheet Pittman:

L/R = 0,52ms Jm/Bm = 15,6ms

• Podemos considerar que a dinâmica elétrica é insignificante se comparada à dinâmica mecânica

• Para L/R = 0, temos uma redução da ordem do sistema

13

Modelo

• Assim, podemos chegar às seguintes funções de transferência do motor: Entre Θ_me V: Entre Θ_me τ_l:

(

J

s

B

K

R

)

s

R

K

V

_m _m _b _m m m

+

=

Θ

(

J

s

B

K

R

)

s

r

m b m m l m

+

−

=

Τ

Θ

14

(8)

Modelo

• Pelo princípio da superposição, chegamos à seguinte expressão:

• Esta expressão, juntamente com a expressão de Newton-Euler (ττττ_l) descrevem o comportamento dinâmico de uma junta atuada com um motor DC + redução

( )

s

(

J

_m

s

(

B

_m

K

_b

K

_m

R

)

) (

K

_m

R

) ( )

V

s

r

_l

( )

s

m

+

=

−

Τ

Θ

15 • Substituindo:

Na equação acima, temos:

onde D(s) é modelado como um distúrbio, que no domínio do tempo é:

R

K

B

_eff

=

_m

+

_b _m

K

=

K

_m

R

( )

s

(

J

_m

s

B

_eff

)

KV

( )

s

rD

(s

)

m

+

=

−

Θ

g

q

c

q

d

n j i j i ij j j j

+

=

∑

=1 ,

:

&

16

Modelo

( )

s

(

J

_m

s

(

B

_m

K

_b

K

_m

R

)

) (

K

_m

R

) ( )

V

s

r

_l

( )

s

m

+

=

−

Τ

(9)

17

R

K

B

_eff

=

_m

+

_b _m

K

=

K

_m

R

( )

s

(

J

_m

s

B

_eff

)

KV

( )

s

rD

(s

)

m

+

=

−

Θ

Compensador Compensador PDPD 18 Objetivo do controle:

• Seguimento de um valor de referência • _{Rejeição a disturbios}

(10)

Compensador Compensador PDPD

• Sistema em malha fechada com controle PD • θθθθd_{é um sinal de referência a ser seguido}

No ponto (a) temos:

• KP: ganho proporcional / KD: ganho derivativo

( )

s

K

[

( )

s

( )

s

]

K

s

( )

s

V

=

_P

Θ

d

−

Θ

_m

−

_D

Θ

_m 19 (a) % Compensador Compensador PDPD

• Sistema em malha fechada com controle PD • θθθθd_{é um sinal de referência a ser seguido}

No ponto (a) temos:

• KP: ganho proporcional / KD: ganho derivativo

( )

s

K

[

( )

s

( )

s

]

K

s

( )

s

V

=

_P

Θ

d

−

Θ

_m

−

_D

Θ

_m

20

(11)

• Substituindo V(s) na eexpressão de ΘΘΘΘ(s), temos a expressão em malha

fechada:

onde ΩΩΩΩ(s) é o polinômio característico em malha fechada:

• Routh-Hurwitz: critério necessário e suficiente para determinar a estabilidade do sistema em malha fechada

( )

s

D

( )

s

r

s

KK

s

P d m

Ω

−

Θ

Ω

=

Θ

( )

s

=

J

m

s

+

(

B

eff

+

KK

D

)

s

+

KK

P

Ω

2 21 Compensador

Compensador PD PD -- EstabilidadeEstabilidade

Condição de estabilidade:

Fazendo a condição de Routh-Hurwitz para o polinômio

( )

s

=

J

m

s

+

(

B

eff

+

KK

D

)

s

+

KK

P

Ω

2 s2 a₂ a₀ s1 a₁ s0 b₂ 0 1 2 2

s

a

s

a

+

=

22

(12)

Compensador

Condição de estabilidade:

Fazendo a condição de Routh-Hurwitz para o polinômio

s2 a₂ Jm a₀ KKP s1 a₁ Beff+KKD 0 s0 b₂ KKP 0 1 2 2

s

a

s

a

+

=

0

0 →

>

_P P

K

KK

K

B

K

KK

B

_eff

+

_D

>

0 →

_D

>

−

eff 23

( )

s

=

J

m

s

+

(

B

eff

+

KK

D

)

s

+

KK

P

Ω

2 Compensador

ζ = 0: sistema sem amortecimento ζ = 1: sistema criticamente amortecido

A escolha dos ganhos se dá pela freqüência natural! Para ζ=0: (ganho crítico!)

24

( )

2

₂

2 n n

s

=

+

ζω

+

ω

Ω

K

J

K

n m P 2

ω

=

K

B

J

K

_D

=

2 ζω

n m

−

eff

K

B

K

_D

=

−

eff

(13)

• O erro em regime para o seguimento de trajetória pode ser calculado através do teorema do valor final.

• A expressão do erro E(s) é dada por:

E

( )

s

=

Θ

d

( )

s

−

Θ

_m

( )

s

E(s)

( )

s

sE

e

s ss

lim

₀ →

=

25 Compensador

Compensador PD PD –– ErroErro emem regimeregime

( )

(

)

( )

s

D

( )

s

r

s

KK

B

s

J

s

E

d D eff m m d

Ω

+

Θ

Ω

+

=

Θ

−

Θ

=

2 26 • O erro em regime para o seguimento de trajetória pode ser calculado

através do teorema do valor final.

• A expressão do erro E(s) é dada por:

( )

s

sE

e

s ss

lim

₀ →

=

( )

s

( )

s

( )

s

E

=

Θ

d

−

Θ

_m

(14)

Compensador

• Para entradas do tipo degrau (1/s), temos que:

• Teorema do valor final:

• E o erro em regime é:

( )

s

sE

e

s ss

lim

₀ →

=

( )

s

d d

Θ

=

Θ

( )

s

D

s

D

=

(

)

(

)

(

)

(

)

_      + + + + Θ + + + + + = → _J _s _B _KK _s _KK D r KK s KK B s J s KK B s J e P D eff m d P D eff m D eff m s ss 2 2 2 0 lim

D

KK

r

e

P ss

=

27 Compensador

• Conclusões:

• Para um sistema do Tipo 1 (um pólo na origem), o erro em regime é devido apenas ao distúrbio

• Ou seja, na ausência de distúrbio, teríamos ausência de erro em regime • Nota-se também que o distúrbio é multiplicado pela razão de redução r, o

que o torna menor. Pode-se fazer menor ainda simplesmente aumentando o ganho proporcional KP.

D

KK

r

e

P ss

=

28

(15)

• Problemas a serem contornados:

• Eliminar o erro em regime;

• Diminuir os ganhos do controlador;

• Inserir efeito integral! CONTROLADOR PID

29

Compensador Compensador PIDPID

• Sistema do atuador em malha aberta:

• Lei de controle: no ponto (a) temos:

( )

[

( )

s

( )

s

]

K

s

( )

s

K

s

V

I d _m _D _m P



Θ

−

Θ

−

Θ











+

=

(a)

(

J

s

B

)

KV

rD

s

_m _eff m

+

=

−

Θ

(16)

• Sistema em malha fechada:

Ω

₂(s): polinômio característico em malha fechada

• Fazendo as análises de estabilidade e erro em regime...

Compensador Compensador PIDPID

( )

s

D

( )

s

rs

s

KK

s

KK

s

P I d m 2 2

Ω

−

Θ

Ω

+

=

Θ

31

( )

s

=

J

m

s

+

(

B

eff

+

KK

D

)

s

+

KK

P

s

+

KK

I

Ω

₂ 3 2 Compensador

Compensador PIDPID -- EstabilidadeEstabilidade

• Condição de estabilidade (Routh-Hurwitz):

( )

s

=

J

m

s

+

(

B

eff

+

KK

D

)

s

+

KK

P

s

+

KK

I

Ω

₂ 3 2 s3 a3 a1 s2 a₂ a₀ s1 b₂ b₀ s0 c₂ c₀ 32

(17)

• Condição de estabilidade (Routh-Hurwitz): s3 a₃ Jm a₁ KKP s2 a₂ Beff+KKD a₀ KKI s1 b₂ b2 b₀ 0 s0 c₂ c2 c₀ 0

(

)

D eff I m P D eff

KK

B

KK

J

KK

B

b

+

−

+

=

2

(

)

m P D eff I

J

K

KK

B

K

<

+

0

0 2

=

a

→

K

I

>

c

K

B

K

_D

>

−

eff 33

( )

s

=

J

m

s

+

(

B

eff

+

KK

D

)

s

+

KK

P

s

+

KK

I

Ω

₂ 3 2 Compensador

Compensador PIDPID -- ErroErro emem regimeregime

• Expressão do erro em malha fechada:

( )

(

)

( )

s

D

( )

s

rs

s

KK

B

s

J

s

E

d D eff m m d 2 2 2 3

Ω

+

Θ













Ω

+

=

Θ

−

Θ

=

E(s) 34

(18)

Compensador

• O erro em regime para o seguimento de trajetória pode ser determinado pelo teorema do valor final: