Estruturas de Dados
Grafos
Grafos
(introdução)
Grafo é um conjunto de pontos e linhas que conectam vários
pontos
Formalmente, um grafo G(V,A) é definido pelo par de conjuntos
V e A, onde:
V - conjunto não vazio: os vértices do grafo;
A - conjunto de pares ordenados a=(v,w), v e w V: as ∈
arestas do grafo.
Seja, por exemplo, o grafo G(V,A) dado por: V = {t | t é um time de futebol}
A = {(v,w) | v é do mesmo estado de w}
São Paulo
Corintians Santos
Palmeiras Neste exemplo estamos considerando a relação
v é do mesmo estado de w, que é uma relação simétrica G1:
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(conceitos)
Digrafo (Grafo orientado)
Considere o grafo definido a seguir: V = {t | t é um time de futebol} A = {(v,w) | v é melhor do que w}
No caso de um digrado, as arestas são chamadas de
arcos
São Paulo
Corintians Santos
Inter G2:
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(conceitos)
Ordem: A ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do
conjunto de vértices, ou seja, pelo número de vértices de G.
Ordem de (G1) = 4
Adjacência: em um grafo não orientado, dois vértices v e w são
adjacentes se há uma aresta a = (v,w) em G. Esta aresta é dita ser incidente a ambos, v e w. É o caso de SAN e PAL em G1.
No caso de digrafos, a adjacência é dividida em:
Sucessor: um vértice w é sucessor de v se há um arco
de v para w. Em G2, COR é sucessor de SPL.
Antecessor: um vértice v é antecessor de w se há um
arco de v para w. Em G2, SPL é antecessor de COR.
SPL COR SAN PAL G1: SPL COR SAN PAL G2:
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(conceitos)
Grau: o grau de um vértice é dado pelo número de arestas que
lhe são incidentes. Em G1, grau de SAN = 3
No caso de digrafos, a noção de grau é dividida em:
Grau de emissão: corresponde ao número de arcos
que partem de um vértice v
Em G2, grau de emissão de COR = 1
Grau de recepção: corresponde ao número de arcos
que chegam a um vértice v
Em G2, grau de recepção de PAL = 2
Fonte: Um vértice v é uma fonte caso seu grau de recepção for
zero. Exemplo, SPL em G2. SPL COR SAN PAL G1: SPL COR SAN PAL G2:
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(conceitos)
Grafo valorado: um grafo G(V,A) é dito ser valorado quando
existe uma ou mais funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números.
Seja G(V,A) onde:
V = {v | v é uma cidade com aeroporto}
A = {(v,w,t) | <há linha aérea ligando v a w, sendo t o
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(conceitos)
Multigrafo: um grafo G(V,A) é dito ser um multigrafo quando
existem múltiplas arestas entre pares de vértices de G. No
grafo G8, por exemplo, há duas arestas entre os vértices A e C e entre os vértices A e B, caracterizando-o como um multigrafo
Subgrafo: um grafo G
s(Vs, As) é dito ser subgrafo de um grafo
G(V,A) quando Vs V e A⊆ s A. O grafo G⊆ 9, por exemplo, é subgrafo de G .
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(conceitos)
Grafo conexo: um grafo G(V,A) é dito ser conexo se há pelo menos
uma cadeia ligando cada par de vértices deste grafo G
Grafo desconexo: um grafo G(V,A) é dito ser desconexo se há
pelo menos um par de vértices que não está ligado por nenhuma cadeia
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(conceitos)
Base: uma base de um grafo G(V,A) é um subconjunto B V, tal que:⊆ Dois vértices quaisquer de B não são ligados por nenhum caminho Todo vértice não pertencente a B pode ser atingido por um caminho
partindo de B
Anti-base: uma anti-base de um grafo G(V,A) é um subconjunto AB V, tal ⊆
que:
Dois vértices quaisquer de AB não são ligados por nenhum caminho De todo vértice não pertencente a AB pode ser atingir AB por um
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(conceitos)
Raiz: se a base de um grafo G(V,A) é um conjunto unitário, então esta base
é a raiz de G
Anti-raiz: se a anti-base de um grafo G(V,A) é um conjunto unitário, então
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(implementação)
Matriz de Adjacência
Cada posição na matriz é um arco
Linha indica o nó de saida do arco Coluna indica o nó de chegada
Valor da posição indica a existência ou não do arco (também pode
indicar o peso associado ao arco)
Deve ser utilizada para grafos densos, onde o número de arcos |A| é
próximo do número de vértices ao quadrado |V|2
Complexidade de espaço O(V2)
O tempo necessário para acessar um elemento é constante Ler ou examinar a matriz tem complexidade de tempo O(V2)
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(implementação)
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(implementação)
Lista de Adjacência
Os vértices de uma lista de adjacência são em geral armazenados em
uma ordem arbitraria
Possui uma complexidade de espaco O(|V| + |A|)
Indicada para grafos esparsos, onde |A| é muito menor do que |V|2 É compacta e usualmente utilizada na maioria das aplicações
Tempo O(|V|) para determinar se existe uma aresta entre os vértices i e
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(implementação)
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(aplicações)
Muitos problemas reais podem ser reduzidos a problemas em
grafos
Vértices são cidades e arcos são estradas: os grafos
auxiliam a tracar os caminhos e descobrir o caminho mais curto (ou mais longo) entre cidades
Vértices são terminais de dispositivos eletrônicos e arcos
representam as conexões entre esses terminais
Vértices são tarefas em um projeto e arcos representam as
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(busca)
Busca: o objetivo de uma busca é explorar um grafo, i.e.,
obter um processo sistemático de como cominhar por
seus vértices e arestas
Raiz da busca: o vértice inicial da busca
Existem basicamente dois tipos de busca
Profundidade
Busca o mais profundo no grafo sempre que
possível
Largura
Busca primeiro nos vértices localizados a uma
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(busca em profundidade)
A estratégia é buscar o mais profundo no grafo sempre que
possível
Os arcos são exploradas a partir do vértice v mais
recentemente descoberto que ainda possui arestas não exploradas saindo dele
Quando todas as arestas adjacentes
a v tiverem sido exploradas a busca anda para trás para explorar vértices que saem do vértice do
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(busca em profundidade - algoritmo)
busca_profundidade (inicio, alvo, G)
empilha(pilha, inicio); e marque inicio Enquanto !estaVazia(pilha) faça
v = getTopo(pilha);
Av = o conjunto de arestas\arcos de v ainda não exploradas em G Se (Av != null) então
retire um arco\aresta (v,w) de Av Se (w não está marcado) então
Se (w == alvo) então retorne w;
marque e empilhe w (empilhe(pilha,w)) Senão
desempilhe(pilha); //retira v do topo da pilha retorne null;
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(busca em profundidade - algoritmo)
Execute o algoritmo com o seguinte digrafo G(V,A) V = {1,4,5,6,7,8}
A = {(1,4), (4,5), (4,6), (1,7), (7,6), (7,8)}
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(busca em largura)
Expande a fronteira entre vértices descobertos e não
descobertos uniformemente através da largura da fronteira
O algoritmo descobre todos os vertices a uma distância k do
vértice de origem antes de descobrir qualquer vértice a uma distância k + 1
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(busca em largura - algoritmo)
busca_largura (inicio, alvo, G)
enfileirar(fila,inicio); e marque inicio Enquanto !estaVazia(fila) faça
v = desenfileirar(fila);
Se (v == alvo) então retorne v;
Av = o conjunto de arestas\arcos de v em G
para cada (v,w) em Av tal que w não está marcado faça: marque e enfileire w (enfileirar(fila,w))
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(busca em largura - algoritmo)
Execute o algoritmo com o seguinte digrafo G(V,A) V = {1,4,5,6,7,8}
A = {(1,4), (4,5), (4,6), (1,7), (7,6), (7,8)}
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(busca)
Complexidade temporal de ambos os algoritmos de busca é
O(|V|+|A|)
Complexidade espacial da busca em profundidade é O(h), onde
h é o comprimento do mais longo caminho no grafo
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(Ordenamento Topológico)
Uma ordenação topológica de um digrafo acíclico (DAG) é uma
ordem linear de seus nós em que cada nó vem antes de todos nós para os quais este tenha arestas de saída
Ordenaçao linear de todos os vértices, tal que se DAG
contém uma aresta (u, v) então u aparece antes de v
Pode ser vista como uma ordenação de seus vértices ao
longo de uma linha horizontal de tal forma que todas as arestas estão direcionadas da esquerda para a direita
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(Ordenamento Topológico)
Exemplo:
Possíveis ordenações topológicas? 7, 5, 3, 11, 8, 2, 9, 10
3, 5, 7, 8, 11, 2, 9, 10 3, 7, 8, 5, 11, 10, 2, 9 5, 7, 3, 8, 11, 10, 9, 2
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(Ordenamento Topológico)
Algoritmo
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(Ordenamento Topológico)
Aplicações
Programação de uma sequência de trabalhos ou tarefas Exemplo (escalonamento de tarefas):
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(Caminho mais curto)
Muitas das aplicações de grafos necessitam encontrar o
caminho mais curto entre dois vertices de um grafo ponderado
Para isso consideraremos um grafo com arestas ponderadas
(valoradas), tanto direcionais como não direcionais, nos quais o peso se refere ao custo de atravessar a aresta (as unidades de custo dependem da aplicação)
Exemplo: um grafo direcionado para representar uma rede
de aeroportos
Vértices representam os aeroportos
Arestas representam os vôos disponíveis entre os
aeroportos
Custo das arestas podem representar: o tempo de
vôo, o custo do vôo, a distância entre os aeroportos, etc.
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(Caminho mais curto)
Existem duas abordagens para se calcular o caminho mais
curto
Caminho mais curto a partir de uma única fonte Algoritmo de Djikstra
Caminho mais curto entre todos os pares de vértices do
grafo
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(Algoritmo de Djikstra)
Escolhido um vértice como raiz da busca, este algoritmo
calcula o custo mínimo deste vértice para todos os demais vértices do grafo
O algoritmo pode ser usado sobre grafos orientados, ou não, e
considera que todas as arestas possuem pesos não negativos (nulo é possível)
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(Algoritmo de Djikstra)
Seja G(V,A) um grafo direcionado e v um vértice de G:
1. Atribuição de distâncias:
0 ao vértice inicial v;
∞ aos demais.
2. Marcar todos os vértices como abertos (não visitados) e o inicial
como atual
3. Para cada vértice aberto adjacente ao atual, atribua a distância
estimada dele até o nó inicial. Se a distância for menor que a distância registrada, atualize o valor.
4. Depois de processar todos os nós abertos adjacentes ao atual,
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(Algoritmo de Djikstra)
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(Algoritmo de Djikstra)
Aplicações
Protocolos de roteamento dinâmicos (OSPF, IS-IS).
Algoritmo de planejamento de rota.
Análise de circuitos elétricos.
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(Árvore Geradora de Custo Mínimo)
Considere um grafo não direcionado e conectado; e que
associada a cada arco há uma distância não negativa.
O objetivo é encontrar o caminho mais curto de tal maneira que
os arcos fornecam um caminho entre todos os pares de nós
O subgrafo que conecta todos os vértices é uma árvore
geradora. Essa árvore é uma árvore geradora mínima se o comprimento total é o menor possível
Este subgrafo possui as seguintes propriedades
Possui o mesmo conjunto de vértices do grafo É conexo
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(Árvore Geradora de Custo Mínimo)
Podem haver várias árvores geradoras mínimas, com o mesmo
comprimento
Se cada arco tem um peso diferente, existe uma única árvore
geradora mínima
A árvore geradora mínima é o subgrafo de menor custo conectando
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(Árvore Geradora de Custo Mínimo)
Algoritmo de Prim: as arestas adicionadas ao subconjunto (árvore)
devem ser as de mínimo peso que conectam a árvore a um vértice ainda não presente
Entrada: um grafo G(V,A) conectado e ponderado (valorado)
Inicialize V' = {u}, onde u é um nó arbitrário de V e A' = {}
Repita até que V' = V:
Escolha uma aresta (u, v) de A com o mínimo peso tal que u
esteja em V' e v ainda não
Adicione v a V' e (u, v) a A'
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(Árvore Geradora de Custo Mínimo)
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(Árvore Geradora de Custo Mínimo)
Exemplo de Aplicação: instalação de fíbras ópticas no campus
de uma universidade
Cada trecho de fíbra óptica entre os prédios possui um
custo associado
Um grafo fornece todas as conexões possíveis entre os
prédios
Uma árvore geradora fornece um modo de conectar todos
os prédios sem redundância
Uma árvore geradora mínima desse grafo nos daria uma
