Resolva os seguintes problemas de programação linear utilizando o método gráfico: Características Hidratos de carbono (unidades/kg)

(1)

Exercícios de Fundamentos de Investigação Operacional – 2011/2012 1

Exercício 1

Resolva os seguintes problemas de programação linear utilizando o método gráfico:

a) minimizar Z = 4x₁+ 2x₂ sujeito a 5x₁+15x₂≥ 50 20x₁+ 5x₂≥ 40 15x₁+ 2x₂≤ 60 x₁≥ 0, x₂≥ 0 b) maximizar Z = 4500x₁+ 4500x₂ sujeito a x₁ ≤ 1 x₂ ≤ 1 5000x₁ + 4000x₂ ≤ 6000 400x₁ + 500x₂ ≤ 600 x₁≥ 0, x₂≥ 0

Exercício 2

A empresa Bona Fide tenciona produzir e embalar doses dum alimento completo para um dado animal de estimação, satisfazendo as suas necessidades básicas diárias (70 unidades de proteína, 100 unidades de hidratos de carbono e 20 unidades de lípidos), a partir de 6 ingredientes com as características apresentadas na tabela seguinte:

Características Ingrediente Proteína (unidades/kg) Hidratos de carbono (unidades/kg) Lípidos (unidades/kg) Custo (€/kg) A 20 50 4 2 B 30 30 9 3 C 40 20 11 5 D 40 25 10 6 E 45 50 9 8 F 30 20 10 8

Formule o problema de optimização linear que permitirá determinar as quantidades dos vários ingredientes que devem ser utilizados no fabrico das doses, a um custo mínimo.

(2)

Exercícios de Fundamentos de Investigação Operacional – 2011/2012 2 Uma refinaria produz 6 tipos de produtos (gasolinas Normal, Super, e Sem Chumbo, Gasóleo, Óleo para Aquecimento e Óleo Lubrificante), por mistura de 5 tipos de petróleo bruto (A, B, C, D e E). Abaixo, estão indicadas as composições, custos e disponibilidades mensais dos petróleos brutos e a procura mensal de cada produto refinado:

Petróleo Bruto Procura

(milhares galões)

Produto A B C D E

Gasolina Normal 40% 30% 30% 20% 30% 5 000

Gasolina Super 20% 30% 40% 30% 20% 3 000

Gasolina Sem chumbo 20% 10% – 30% 10% 3 000

Gasóleo 10% 10% 10% – 20% 2 000 Óleo p/ Aquecimento – 10% 10% 20% 10% 1 000 Óleo Lubrificante 10% 10% 10% – 10% 2 000 Custo (€/galão) 0.20 0.14 0.15 0.18 0.12 Disponibilidade (milhares galões) 8 000 4 000 5 000 3 000 6 000

Que quantidades dos vários tipos de petróleo bruto deverão ser adquiridas para satisfazer a procura e minimizar os custos de produção? Formule o problema.

Exercício 4

No aeroporto de Lisboa, a Aerotransporta necessita de um número variável de funcionários de serviço de terra de acordo com a hora do dia.

Os requisitos mínimos são indicados na tabela seguinte:

Períodos de trabalho Necessidade de _{funcionários}

00:00 – 04:00 75 04:00 – 08:00 250 08:00 – 12:00 300 12:00 – 16:00 50 16:00 – 20:00 350 20:00 – 24:00 150

Os funcionários podem apresentar-se ao trabalho no início de cada um dos 6 períodos acima referidos e permanecem no trabalho 8 horas consecutivas.

Formule um modelo de programação linear para a Aerotransporta que minimize o número total de pessoal de terra e que satisfaça as necessidades de funcionários durante todo o dia.

(3)

Exercício 5

Um navio graneleiro dispõe de três porões (I, II e III) para transportar mercadorias. As capacidades em peso e em volume desses porões apresentam-se na tabela seguinte:

Porão Capacidade Peso (toneladas) Volume (m3) I 2000 2850 II 3000 3820 III 1500 850

O armador do navio recebeu pedidos de transporte das mercadorias A, B e C (ver tabela seguinte) e pode aceitar transportar a totalidade, ou somente parte, de cada uma delas. Um porão pode acomodar os 3 tipos de mercadorias, se tal for necessário.

Mercadoria _(toneladas)Peso _{tonelada (m}Volume por 3₎ _{tonelada (€)}Lucro por

A 6000 1.7 6

B 4000 1.4 8

C 2000 0.7 5

Para preservar a estabilidade e a estrutura do navio, a carga tem de ser distribuída proporcionalmente pelos três porões tendo em conta as respectivas capacidades (em peso). O armador quer saber que mercadorias devem ser transportadas e como devem ser distribuídas pelos porões para conseguir obter o máximo lucro. Formule o problema de optimização linear.

Exercício 6

Resolva o seguinte problema de programação linear utilizando o algoritmo Simplex: Maximizar Z = 3x1+ 2x2 sujeito a − x1+ 2x2≤ 4 3x₁+ 2x₂ ≤ 14 x₁− x2 ≤ 3 x₁≥ 0, x₂≥ 0

(4)

Exercícios de Fundamentos de Investigação Operacional – 2011/2012 4 Resolva o seguinte problema de programação linear utilizando

a) o método do grande M e b) o método das Duas Fases

Maximizar Z = 2x1− x2+ x3 sujeito a x₁ +x₂ +x₃ = 3 x₁ −2x₂ +x₃ ≥ 1 2x₂ +x3 ≤ 2 x_i≥ 0, i = 1,…,3

Exercício 8 (Luenberger)

Resolva o seguinte problema de programação linear usando o algoritmo Simplex Dual: Minimizar Z = 3x1+ 4x2+ 5x3

sujeito a

x₁ + 2x2 + 3x3 ≥ 5

2x1 + 2x2 + x3 ≥ 6

(5)

Exercício 9 (adaptado de Hillier e Lieberman)

Para resolver o problema formulado de seguida recorreu-se aos quadros abaixo apresentados. max Z = −5x1+ 5x2+13x3 sujeito a: −x1 +x2 +3x3 ≤ 20 12x1 +4x2 +10x3 ≤ 90 x1≥ 0, x2≥ 0, x3≥ 0 Var. Bás. Eq. Coeficiente de 2.º membro Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Z (0) 1 5 -5 -13 0 0 0 Quadro inicial 4 x (1) 0 -1 1 3 1 0 20 5 x (2) 0 12 4 10 0 1 90 Z (0) 1 0 2 5 0 Quadro final 2 x (1) 0 1 3 1 0 5 x (2) 0 0 -2 -4 1

a) Determine todos valores que estão omissos no quadro final (quadro da solução óptima) utilizando o cálculo matricial do Simplex.

b) Mostre como ficaria o quadro final após ser adicionada uma nova variável x6 com coeficientes

c

6

a

16

a

26

!

"

#

$

%

&

=

10

3

5 !

"

#

$

%

&

c) Introduza uma nova restrição 2x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 50.

d) No problema original mostre entre que valores é que poderiam variar os termos independentes das restrições 1 e 2 sem que as varáveis x2 e x5 saíssem da base.

(6)

Applications and Algorithms, 3rd Edition, Duxbury Press)

Powerco tem 3 centrais eléctricas para fornecer energia a 4 cidades. Cada central pode fornecer a energia que se mostra na coluna “Fornecimento”, e em hora de ponta, cada cidade necessita da energia mencionada na linha “Procura”. Os custos de envio de 1 milhão de kWh de electricidade das centrais para as cidades dependem da distância entre elas e são os mencionados na tabela seguinte.

Destino

Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade 4 Fornecimento

(106 kWh) O ri ge m Central 1 $8 $6 $10 $9 35 Central 2 $9 $12 $13 $7 50 Central 3 $14 $9 $16 $5 40 Procura (106 kWh) 45 20 30 30

Qual é o programa de distribuição de energia em hora de ponta que minimiza os custos de transporte?

Exercício 11

(Machineco Problem, Wayne L. Winston, 1993, Operations Research –

Applications and Algorithms, 3rd Edition, Duxbury Press)

A empresa Machineco necessita realizar 4 operações (jobs) em 4 máquinas. A cada operação deve ser afectada uma máquina. As durações necessárias para preparar as máquinas para que possam realizar estas operações, são distintas para cada combinação máquina/operação e, correspondem aos valores que se apresentam na tabela seguinte. A Machineco quer minimizar o tempo total de preparação das máquinas para completar as 4 operações.

Utilize o Método Húngaro para resolver este problema de afectação.

Duração (em horas)

Operação 1 Operação 2 Operação 3 Operação 4

Máquina 1 14 5 8 7

Máquina 2 2 12 6 5

Máquina 3 7 8 3 9

(7)

Exercício 12

Uma fábrica de automóveis necessita produzir 1200 chassis por mês. Cada chassis está avaliado em 2200 €. A fábrica tem capacidade para produzir 7000 chassis por quadrimestre. O custo de preparar a produção para um lote de chassis é de 200 € e o custo anual de posse é igual a 25 cêntimos por cada euro de inventário.

a) Determine o tamanho óptimo do lote de produção. b) Determine o custo anual da solução adoptada.

c) Quantos lotes de chassis deverão ser produzidos durante um ano?

Exercício 13

(Gaither, 1994)

Um fornecedor da válvula #3925 ofereceu, ao Sr. Swartz, descontos de quantidade, de acordo com a seguinte tabela de preços:

Quantidade encomendada Preço por válvula ($)

1 – 399 2.20

400 - 699 2.00

≥ 700 1.80

Mary Ann estimou as seguintes quantidades: procura de 10000 válvulas por ano, custo de armazenagem de 0.2 vezes o preço de aquisição por válvula por ano e custo de encomenda de $5.50 por encomenda. O Sr. Swartz quer saber qual é a quantidade a encomendar que minimiza o custo total anual, levando em conta a nova tabela de preços.

Exercício 14

O responsável pela gestão de inventários de uma oficina de reparação de máquinas industriais necessita estabelecer a política de encomenda para um rolamento especial. Uma análise de dados históricos de fornecimentos e procura revelou um tempo de entrega igual a 22 dias e uma procura diária com uma distribuição aproximadamente normal, com média igual a 300 rolamentos e variância de 225 unidades.

a) Determine o ponto de encomenda que garante um nível de serviço igual 95%? b) Tendo em consideração que a oficina recebeu instruções superiores para reduzir

todos os stocks de segurança em 50%, determine o novo ponto de encomenda para o rolamento especial e diga qual é o nível de serviço resultante?

Exercício 15

Um armazenista quer classificar os materiais listados na tabela seguinte de acordo com uma Análise ABC. Diga que itens pertencem a cada umas classes.

Item n.º Procura anual Custo

421 50 200

194 10 200

333 100 800

240 50 100

(8)

Exercícios de Fundamentos de Investigação Operacional – 2011/2012 8 O gabinete de previsões do Banco Mundial pretende saber em que medida é que o consumo (y) e o rendimento (x) pessoais entre 1993 e 2002 nos EUA está correlacionado e, caso essa correlação seja significativa pretende saber as previsões de consumo para 2003.

1) Construa um gráfico para representar a relação entre as duas variáveis. 2) Calcule a correlação entre elas.

3) Construa um modelo de previsão com base no modelo de regressão simples e preveja o consumo para 2003, sabendo que o rendimento esperado para esse ano é igual a 1100.

4) Teste a adequabilidade do modelo para efectuar as previsões pretendidas, através da análise de variância com um nível de significância α igual a 0.05.

(unidade: mil milhões de USD)

Ano Rendimento (x) Consumo (y)

1993 751.6 672.1 1994 779.2 696.8 1995 810.3 737.1 1996 864.7 767.9 1997 857.5 762.8 1998 874.9 779.4 1999 906.8 823.1 2000 942.9 864.3 2001 988.8 903.2 2002 1015.7 927.6

Exercício 17

Um grossista de produtos alimentares pretende saber as previsões de vendas de azeite para o trimestre seguinte. Além da quantidade total de azeite, o grossista pretende saber as quantidades que se estimam vender em cada um dos três meses seguintes para poder calendarizar as entregas de azeite com o produtor, já que os pagamentos serão efectuados consoante as quantidades a entregar em cada mês. No quadro seguinte apresentam-se as vendas (em milhares de litros) efectuadas pelo grossista no últimos 12 meses.

1) Construa um gráfico para ilustrar o andamento da série cronológica. 2) Elabore o correlograma da série cronológica.

3) Construa um modelo de previsão com base na decomposição clássica utilizando o modelo aditivo e preveja as vendas para os meses 13, 14 e 15.

(9)

Exercícios de Fundamentos de Investigação Operacional – 2011/2012 9 Mês (t) Vendas (Yt) 1 34.7 2 33.2 3 40.0 4 35.5 5 33.8 6 42.0 7 35.9 8 34.0 9 43.1 10 36.4 11 35.1 12 44.2

Exercício 18

O director de compras de uma central eléctrica necessita de obter as previsões de consumos de fuel oil para os três meses seguintes. No quadro seguinte apresentam-se os consumos (em toneladas) ocorridos nos 12 meses precedentes, utilizando o mesmo número de grupos geradores que se irão usar nos meses seguintes

1) Construa um gráfico para ilustrar o andamento da série cronológica.

2) Construa um modelo de previsão com base na decomposição clássica utilizando o modelo multiplicativo e preveja as necessidades de fuel oil para os meses 13, 14 e 15. Mês (t) Consumo (Yt) 1 2881 2 3249 3 3180 4 3505 5 3020 6 3449 7 3472 8 3715 9 3184 10 3576 11 3657 12 3941

Exercício 19

Com base nas demoras médias de entrega de motores turbo-hélice, registados nos últimos seis trimestres (t) por um fabricante de aviões, preveja quais serão as demoras médias que irão ocorrer nos trimestres 7, 8 e 9. Use como método de previsão o alisamento exponencial simples supondo que a constante de alisamento, que minimiza o erro quadrático médio, é igual a 0.4. Utilize como valor inicial para o nível a demora média ocorrida no trimestre 1 (efectue os cálculos utilizando 2 casas decimais).

t 1 2 3 4 5 6

(10)

Exercícios de Fundamentos de Investigação Operacional – 2011/2012 10 Com base na procura de vacinas contra a meningite registada em Portugal nas últimas quatro semanas (ver tabela seguinte), pretende prever-se qual será a procura na semana 5. Use como método de previsão o alisamento exponencial adaptativo de Trigg e Leach utilizando β = 0.2 (efectue os cálculos utilizando 2 casas decimais).

t 1 2 3 4

yt 2310 2130 2940 3660

Exercício 21

Com base na procura de óleo de girassol (em toneladas) ocorrida em cinco semanas (Yt, t =

1,...,5) registada na tabela abaixo pretende prever-se qual será a procura nas três semanas seguintes. Use como método de previsão o modelo de Holt com α = 0.7 e β = 0.1. Inicialize o nível com o valor da 2.ª observação e a tendência com a diferença entre as duas primeiras observações (utilize 2 casas decimais nos cálculos)

t 1 2 3 4 5

Yt 71.6 72.5 73.5 74.5 75.8

Exercício 22

Pretende prever-se para os quatro meses seguintes as vendas de vinho de uma marca conhecida tendo em consideração as vendas efectuadas nos nove meses anteriores (ver tabela e gráfico abaixo). Para efectuar as previsões utilize o modelo multiplicativo de Holt-Winters, assumindo que os valores dos coeficientes de alisamento que minimizam o erro quadrático médio são respectivamente iguais a α = 0.3, β = 0.3 e γ = 0.5.

t Yt 1 23 2 25 3 36 4 31 5 26 6 28 7 48 8 36 9 31

(11)

Exercício 23

(Hillier e Lieberman, 2010)

A gestão do Parque Seervada necessita de determinar sob que estradas deverão ser enterrados os cabos telefónicos para ligar as várias estações nele existentes, entre as quais a entrada do parque (O) e o ponto turístico de interesse (T).

Distâncias (em milhas):

Exercício 24

(Hillier e Lieberman, 2010)

Utilizando as distância indicadas na figura do exercício anterior determine o caminho mais curto entre a entrada do parque (O) e o ponto turístico de interesse (T).

Exercício 25

Uma empresa de recuperação de sucata vai efectuar obras numa antiga instalação industrial que acabou de adquirir para ampliar a sua capacidade de produção. A tabela de precedências abaixo apresentada indica as durações médias e os desvios-padrão associados a cada uma das actividades do projecto.

a) Desenhe a rede de actividades, determine o caminho crítico e indique a duração média necessária para a conclusão deste projecto.

b) Determine a probabilidade do projecto ser concluído sem um desvio (atraso ou adiantamento) superior a duas semanas relativamente à sua duração média.

c) Determine a probabilidade de o projecto terminar com um atraso superior a três semanas relativamente à sua duração média.

Tabela de precedências

Acti. Descrição Precedências Duração (semanas)

Média Desvio padrão

A Construir componentes internos - 4 0.38

B Modificar chão e tecto - 5 0.36

C Construir sistema de entrada de sucata A e B 4 0.31

D Betonar e colocar estrutura de suporte B 6 1.22

E Construir forno C 6 0.82

F Instalar sistema de controlo C 5 0.65

G Instalar sistema de filtragem de poluentes do ar D e E 6 0.66